东南大学几代数学实验(平板的稳态温度分布状况)

中国当代著名数学家及其主要成就介绍中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界也同样具有许多耀眼的光环。

中国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及的思想方法，近代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的。

【李氏恒等式】数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为“李氏恒等式”。

中国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者。

原名心兰，字竞芳，号秋纫，别号壬叔，浙江海宁县硖石镇人，生于嘉庆十六年，卒于光绪八年。

李善兰自幼酷爱数学。

十岁时学习《九章算术》。

十五岁时读明末徐光启、利玛窦合译的欧几里得《几何原本》前六卷，尽解其意。

后来，他到杭州应试，买回元代李冶的《测圆海镜》、清代戴震（1724～1777）的《勾股割圆记》等算书，认真研读；又在嘉兴等地与数学家顾观光(1799～1862)、张文虎(1808～1888)、汪曰桢(1813～1881)以及戴煦、罗士琳(1774～1853)、徐有壬(1800～1860)等人相识，经常在学术上相互切磋。

自此数学造诣日臻精深，时有心得，辄复著书，1845年前后就得到并发表了具有解析几何思想和微积分方法的数学研究成果──“尖锥术”。

1852～1859年，李善兰在上海墨海书馆与英国传教士、汉学家伟烈亚力等人合作翻译出版了《几何原本》后九卷，以及《代数学》、《代微积拾级》、《谈天》、《重学》、《圆锥曲线说》、《植物学》等西方近代科学著作，又译《奈端数理》（即牛顿《自然哲学的数学原理》）四册（未刊），这是解析几何、微积分、哥白尼日心说、牛顿力学、近代植物学传入中国的开端。

李善兰的翻译工作是有独创性的，他创译了许多科学名词，如“代数”、“函数”、“方程式”、“微分”、“积分”、“级数”、“植物”、“细胞”等,匠心独运,切贴恰当，不仅在中国流传,而且东渡日本,沿用至今。

李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。

共10页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）姓名 学号 班级课程名称 数学建模与实验 考试学期 09-10-2得分适用专业 各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 。

2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 。

3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是： 。

4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正) 。

5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。

二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ( )A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； B.1.1 1.230.20000.40⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0030.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 （ )A. 0.1CR <B. 0.1CI <C. 0.1CR >D.0.01CR <3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 （ ）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有 （ ）A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=；B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=；C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D. A,B,C均正确三．判断题（每题2分，共10分）1. Hill密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。

（）2. 拟合函数不要求通过样本数据点。

第三章思考题1. 试说明集中参数法的物理概念及数学处理的特点答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。

而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。

2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性?答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数hA cvc ρτ=,形状上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。

3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。

如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。

4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点?答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x )和边界条件(Bi 数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。

这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。

5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由是： 这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi 有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。

你是否同意这种看法,说明你的理由。

答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。

这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。

实验一 空间曲线与曲面的绘制本实验的目的是利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

1、 空间曲线的绘制绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D ”。

如画出参数方程21 ,)()()(t t t t z z t y y t x x ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===所确定的空间曲线的命令格式为:ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项] 例1 画出旋转抛物面22y x z +=与上半球面2211y x z --+=交线的图形。

解：它们的交线为平面1=z 上的圆122=+y x ，化为参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧∈===]2 ,0[ ,1sin cos πt z t y t x ，下面的mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：p ParametricPlot3D Cos t ,Sin t ,1,t,0,2Pi运行即得曲线如图1所示。

在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的参数方程。

如果曲线为一般式 ⎝⎛==0),,(0),,(z y x G z y x F ，其在xOy 面上的投影柱面的准线方程为0),(=y x H ，可先将0),(=y x H 化为参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==)()(t y y t x x ，再代入0),,(=z y x G 或0),,(=z y x F 解出)(t z z =即可。

2、 空间曲面的绘制作一般式方程),(y x f z =所确定的曲面图形的Mathematica 命令为： Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项]作参数方程],[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧===所确定的曲面图形的Mathematica 命令为：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax},选项]例2 作出上半球面2211y x z --+=的图形。

东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 数学建模与数学实验 考试学期09-10-3得分适用专业 理工各专业考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟（可带计算器）注：以下各题只需计算到小数点后两位。

一 填空与选择（每题3分，共30分） 1 已知113,(mod19)02A A -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则 。

2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据，则其分段线性插值多项式为 。

3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小，则其最合适的拟合多项式阶数是 。

4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000x t x x x =-⎧⎨=⎩，则其变化率最大时间为 。

5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xyy x xy=-⎧⎨=-+⎩， 则,x y 的周期平均值为x y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 （b>0）， 则参数b 的取值范围为 。

7 记123()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ⎡⎤⎢⎥+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，其正平衡点为 。

自觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效8 轮渡船上甲板总面积为A 。

它能运载小轿车，每辆小轿车所占甲板面积为C ，能运载卡车，每辆卡车所占甲板面积为 L 。

每辆小轿车要付渡船费p 元；每辆卡车要付q 元。

调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润？ 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件？ （ ）A. yq xp+，满足 A xL yC ≤+B. yq xp +，满足 A yL xC ≤+C. ))((q p y x ++， 满足A yL xC ≤+D. ))((q p y x ++ ，满足A L C y x ≤++))((9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型？ （ ）A te --1 B 2)1(t -C2t t - D 1t e -+10 模型检验是建模过程中的必要步骤，以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。

08年东南大学硕士研究生招生考试试卷
一、名词解释
1． 集总参数法
2． 充分发展段
3． 维恩位移定律
4． 核态沸腾
5． 传热系数
二、简答题
1． 相似原理的意义。

2． 换热微分方程与导热第三类边界条件的异同。

3． 解释冬天用蔬菜棚种蔬菜。

三、理论分析与模型题
1． 两块电加热竖直平板，一块高2H 、宽H ，另一块高H 、宽2H ；加热功率、板子材料相同。

问：哪块板的温度高些？
2． 单位发热为Φ•
的非稳态导热物体，试列出其内部节点（m ，n ）的显式差分格式
迭代方程，并指出收敛条件。

3． 一根管子直径为80mm ，外包导热系数为?=λ的材料，外部表面传热系数h=？，问此材料起什么作用？
4． 两块无限大平板温度分别为1T 、2T ，发射率1ε、2ε，现于两块板间插入一块遮热板，左面发射率3ε，右面发射率4ε，432εε=（5.04<ε）。

试写出此辐射换热系统的热阻及辐射换热量的表达式。

四、计算
1． 一平板内部有内热源•q =0•q 2
x ，左侧面温度w T ，右侧面绝热，求板内温度分布表达式及示意图。

2． 管内强迫对流换热的计算。

3． 三个表面组成的系统，一个面（加热面）发射率ε，一个面绝热，另一个面为黑体（房间），求：绝热面的温度、加热面的净辐射换热。

4． 一套管换热器，管外为100C 的饱和水蒸气，流出时干度为0.4，管内冷水进口35C 流量为?=m q 。

求：a 、冷水出口温度； b 、换热器平均温差； c 、传热单元数。