【二轮精品】上海市17区县2013届高三一模(数学文科)分类汇编专题八不等式

专题十五 复数汇编2013年3月（闵行区2013届高三一模 文科）1．已知复数z 满足(1)4i z i +=(i 为虚数单位)，则z =_________________. 1．22i +；（静安区2013届高三一模 文科）14．（文）设复数i a a z )sin 2()cos (θθ-++=（i 为虚数单位），若对任意实数θ，2≤z ，则实数a 的取值范围为 .14．（（文）]55,55[-. （嘉定区2013届高三一模 文科）1．若i iiz +=11（i 为虚数单位），则=z ___________．1．i -2（静安区2013届高三一模 文科）15．（文）若复数021≠z z ，则2121z z z z =是12z z =成立的（ ）(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件 15．（文）D ； （黄浦区2013届高三一模 文科）16．已知1z =且z ∈C ，则|22i |z --（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．22B ．2C ．122+D ． 122-16．D（浦东新区2013届高三一模 文科）9．已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值等于 1- .（青浦区2013届高三一模）17．已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线zi z l =--22:的对称点的复数表示是……………………………………………………………………………（ .B ）．A .i - .B iC .i -1D .i +1（杨浦区2013届高三一模 文科）2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 2．2；（崇明县2013届高三一模）16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④16、C（金山区2013届高三一模）6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ．6．21（崇明县2013届高三一模）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =.1、3+5i（宝山区2013届期末）1.在复数范围内，方程210x x ++=的根是 ．12-（宝山区2013届期末）4.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)的模为,则yx的最大值是 . 3（长宁区2013届高三一模）6. (文)已知z 为复数，且(2)1i z i +=，则z= （文）i 3-（嘉定区2013届高三一模 文科）19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若A B 1BCz 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）（浦东新区2013届高三一模 文科）19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=. （1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与1AC 所成的角.解：（1）122242V =⋅⋅⋅=；…………………………………6分（2）设M 是1AA 的中点，连结,DM BM ，1//DM AC ∴,BDM ∴∠是异面直线BD 与1AC所成的角.………8分在BDM ∆中，BD BM MD ===，cos BDM ∠==.…………………………………10分即BDM ∠=.∴异面直线BD 与1AC 所成的角为.…………12分（浦东新区2013届高三一模 文科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数[]122sin ,1(2cos ),0,z z i θθθπ==+∈. （1）若12z z R ⋅∈，求角θ；（2）复数12,z z 对应的向量分别是12,OZ OZ ,其中O 为坐标原点，求12OZ OZ ⋅的取值范围. 解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅=R i ∈-++)32sin 2()cos 32sin 2(θθθ……2分 232sin =∴θ…………………………4分 又 πθ220≤≤ ，ππθ3232或=∴， 36ππθ或=∴…………………6分 （2）)cos 2,1OZ 3sin 2(OZ 21θθ（），，=-= θθcos 32sin 2OZ OZ 21-=⋅ )3sin(4πθ-=………………………10分3233ππθπ≤-≤-，4)3sin(432≤-≤-∴πθ[]4,32OZ OZ 21-∈⋅∴………14分（松江区2013届高三一模 文科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+． （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥．20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += ………… 2分 由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩ ……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分 ∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分（2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥……………………… 13分………………………………14分∴w1。

专题三 空间几何汇编2013年3月（松江区2013届高三一模 文科）15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 15．D（嘉定区2013届高三一模 文科）16．以下说法错误的是……………………………（ ） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 16．C（浦东新区2013届高三一模 文科）10．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π 2cm .（黄浦区2013届高三一模 文科）15．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形15．A（虹口区2013届高三一模）16、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面． 16、A ；（青浦区2013届高三一模）6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 π2 ．（奉贤区2013届高三一模）13、（理）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -， 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与点D 的“非常距离”的最小值是_________．13． 理78（杨浦区2013届高三一模 文科）7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为2cm . 7. π50（普陀区2013届高三一模 文科）4. 【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为 .4.【文科】60（嘉定区2013届高三一模 文科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 8．42R π（浦东新区2013届高三一模 文科）12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为23π+ .（金山区2013届高三一模）9．若直线l ：y=kx 经过点)32cos ,32(sin ππP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 9．56π（青浦区2013届高三一模）13．正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是439 ．俯视图左视图主视图A BCD 1A 1B 1C 1D （第4题图）杨浦区2013届高三一模 文科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V 33 ．（虹口区2013届高三一模）10、在A B C ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则A B C ∆的面积等于 ． 10、32或3；（普陀区2013届高三一模 文科）13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 . 13.1:1（松江区2013届高三一模 文科）13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是 ▲ ．13． （杨浦区2013届高三一模 文科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；（崇明县2013届高三一模）3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 3、+=0x y（长宁区2013届高三一模）17、已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列（第13题图） SB AC EHG FA MEPDCBNF命题中的假命题的是（ ）A.βαβα//,,则若⊥⊥m mB.αα⊥⊥n m n m 则若,,//C.n m n m //,,//则若=βααD.βαβα⊥⊂⊥则若,,m m17、C（闵行区2013届高三一模 文科）12． (文)已知△ABC 的面积为1，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则△APQ 的面积为 ．12．文13； （宝山区2013届期末）12.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R= ．（青浦区2013届高三一模）11．已知01c os s i n 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 1 ．（长宁区2013届高三一模）11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。

专题十七二项式定理
汇编2013年3月（闸北区2013届高三一模文科）2．已知的展开式中，的系数为，则．2．2；
（普陀区2013届高三一模文科）8.在的二项展开式中，常数项等于 . 8.180
（浦东新区2013届高三一模文科）11．二项式的展开式前三项系数成等差数列，则. （松江区2013届高三一模文科）11．若二项式展开式中项的系数是7，则= ▲ ．．11．
（闵行区2013届高三一模文科）6．（文）若二项式展开式的各项系数的和为，则其展开式的所有二项式系数中最大的是. (用数字作答)6．；
（黄浦区2013届高三一模文科）8．的展开式中的系数是（用数字作答）．8．36；
（宝山区2013届期末）9．二项式展开式中的常数项是 (用具体数值表示)
（长宁区2013届高三一模）4、展开式中含项的系数为. 4、1 （崇明县2013届高三一模）6、展开式中的系数是.（用数字作答）6、10
（金山区2013届高三一模）7．在的二项展开式中，常数项等于．(用数值表示) 7．–160 （杨浦区2013届高三一模文科）6. 若的二项展开式中，的系数为，则实数．6. ；。

2013年上海市普陀区高考数学一模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式|2x﹣1|≤1的解集为．2．（4分）函数y=sin2x﹣cos2x的最小正周期是．3．（4分）若集合，集合B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=．4．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．5．（4分）若函数f（x）=1﹣log3x，则f﹣1（﹣8）=．6．（4分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=14，S7=70，则数列{a n}的通项公式为．7．（4分）在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为（结果用最简分数表示）．8．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．9．（4分）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=．10．（4分）在△ABC中，若，，则=．11．（4分）若函数f（x）满足f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，则f（10）= _．12．（4分）若F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，则的最小值为．13．（4分）三棱锥S﹣ABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，则截面EFGH将三棱锥S﹣ABC分成两部分的体积之比为．14．（4分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），则“f（1）＜f（2）”是“函数y=f（x）在R上是增函数”的（）A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．非充分非必要条件．16．（5分）双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为（）A．（±4，0）．B．．C．（0，±4）．D．．17．（5分）已知a＞0，b＞0，若，则a+b的值不可能是（）A．7B．8C．9D．1018．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20．（14分）已知动点A（x，y）到点F（2，0）和直线x=﹣2的距离相等．（1）求动点A的轨迹方程；（2）记点K（﹣2，0），若，求△AFK的面积．21．（14分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，，b=6，．（1）求c；（2）求的值．22．（16分）f（x）和g（x）都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，称函数f（x）与g（x）在M上互为“H 函数”．（1）若函数f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，证明：f（n）=g（b）（2）若集合M=[﹣2，2]，函数f（x）=x2，g（x）=cosx，判断函数f（x）与g （x）在M上是否互为“H函数”，并说明理由．（3）函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），g（x）=x+1在集合M上互为“H函数”，求a的取值范围及集合M．23．（18分）在平面直角坐标系xOy中，点A n满足，且；点B n满足，且，其中n∈N*．（1）求的坐标，并证明点A n在直线y=x+1上；（2）记四边形A n B n B n+1A n+1的面积为a n，求a n的表达式；（3）对于（2）中的a n，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有a n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．2013年上海市普陀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式|2x﹣1|≤1的解集为[0，1]．【考点】R2：绝对值不等式．【专题】11：计算题．【分析】首先对不等式去绝对值可得到﹣1≤2x﹣1≤1，然后求解x的取值范围即得到答案．【解答】解：由不等式|2x﹣1|≤1，首先去绝对值可得到﹣1≤2x﹣1≤1；移项得：0≤x≤1故答案为：[0，1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．计算量小较容易．2．（4分）函数y=sin2x﹣cos2x的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】先根据两角和与差的正弦公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=得到答案．【解答】解：y=sin2x﹣cos2x=（）=sin（2x﹣）∴T==π故答案为：π【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由T=可解题．3．（4分）若集合，集合B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B={﹣1，0}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】首先求解分式不等式化简集合A，然后直接取交集运算．【解答】解：由，得：，，即，解得：﹣5＜x＜1．所以集合={x|﹣5＜x＜1}．又B={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩B={x|﹣5＜x＜1}∩{﹣1，0，1，2，3}={﹣1，0}．故答案为{﹣1，0}．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，移向后使得不等式一边为0，一边不为0，然后转化为不等式组求解，此题是基础题．4．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题．【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．5．（4分）若函数f（x）=1﹣log3x，则f﹣1（﹣8）=39．【考点】3T：函数的值；4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由已知函数先求出函数的反函数，然后把x=﹣8代入即可求解【解答】解：∵f（x）=1﹣log3x∴f﹣1（x）=31﹣x∴f﹣1（﹣8）=39故答案为：39【点评】本题主要考查了函数的反函数的求解及互为反函数之间的关系的简单应用，属于基础试题6．（4分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=14，S7=70，则数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2（n∈N*）．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a3，a4，可得公差，进而可得其通项公式．【解答】解：由等差数列的性质可得2a3=a2+a4=14，解得a3=7，由求和公式可得S7===70，解得a4=10，故等差数列的公差d=a4﹣a3=3，故数列{a n}的通项公式为a n=a3+（n﹣3）d=3n﹣2故答案为：a n=3n﹣2（n∈N*）【点评】本题考查等差数列的通项公式的求解，涉及等差数列的求和公式，属基础题．7．（4分）在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可得，所有的取法共有=10种，而满足条件的取法有•=6种，由此求得编号的和是奇数的概率．【解答】解：由题意可得，所有的取法共有=10种，编号的和是奇数，说明取出的2个数一个为偶数，另一个为奇数，故满足条件的取法有•=6种，故编号的和是奇数的概率为=，故答案为．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．（4分）在的二项展开式中，常数项等于180．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1=•（2x2）10﹣r•，令x的幂指数为0即可求得常数项．【解答】解：设在的二项展开式中的通项公式为：T r+1，则：T r+1=•（2x2）10﹣r•=210﹣r••，令20﹣r=0，得r=8．∴常数项T9=4×=180．故答案为：180．【点评】本题考查用二项展开式的通项公式，考查方程思想与运算能力，属于中档题．9．（4分）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=﹣1．【考点】3T：函数的值；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】，由图可求得A=2，再由2×+∅=2kπ+可求得∅，从而可求得f（0）．【解答】解：∵f（x）=Asin（2x+∅）（A＞0），∴由图知，A=2；又f（）=2，∴2×+∅=2kπ+，k∈Z，∴∅=2kπ﹣，k∈Z．又﹣＜∅＜，∴∅=﹣．∴f（x）=2sin（2x﹣），∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求∅是难点，属于中档题．10．（4分）在△ABC中，若，，则=3．【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】两式相减，由向量的运算可得==9，解之即可．【解答】解：∵，，∴，∴====9，∴=3故答案为：3【点评】本题考查向量的模长的运算，涉及向量的数量积的运算，两式相减是解决问题的关键，属中档题．11．（4分）若函数f（x）满足f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，则f（10）= 210_．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】根据f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，x=n，n∈N*，构造一个等比数列{f（n）}，其首项是1，公比是2，求f（10）的值就是求该数列的第10项，根据等比数列的通项公式的求法即可求得结果．【解答】解：令x=n，n∈N*，∵f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，∴f（n+1）=2f（n），f（0）=1，∴{f（n）}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴f（10）=1•210=210，故答案为：210．【点评】此题是个基础题．考查函数值，这里借助于构造等比数列来解决，增加了题目的难度，同时题目命题形式新颖，拓展了学生的思维空间，是个好题．12．（4分）若F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，则的最小值为1．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，知==，由|MF1|•|MF2|的最大值为a2=4，能求出的最小值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，∴==，∵|MF1|•|MF2|的最大值为a2=4，∴的最小值==1．故答案为：1．【点评】本题考查椭圆中的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．13．（4分）三棱锥S﹣ABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，则截面EFGH将三棱锥S﹣ABC分成两部分的体积之比为1：1．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】如图，直接利用棱锥的体积相等关系，推出截面EFGH将三棱锥S﹣ABC分成两部分的体积之比，即可．【解答】解：如图连接HC，HF，HA，AG，因为三棱锥S﹣ABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，由同底面积等高体积相等，∴V H=V H﹣GFC，V G﹣ABH=V C﹣SHE，V C﹣HEF=V A﹣HEF，﹣AGFV H﹣AGF+V G﹣ABH+V A﹣HEF=V H﹣GFC+V C﹣SHE+V C﹣HEF，截面EFGH将三棱锥S﹣ABC分成两部分的体积之比为1：1，故答案为：1：1．【点评】本题考查几何体的条件的求法，考查空间想象能力与计算能力以及转化思想的应用．14．（4分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．【考点】34：函数的值域；51：函数的零点．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在a＞b≥0时，要使f（a）=f（b），必然有b∈[0，1），a∈[1，+∞），然后通过图象看出使f（a）=f（b）的b与f（a）的范围，则b•f（a）的取值范围可求．【解答】解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．【点评】本题考查函数的零点，考查了函数的值域，运用了数形结合的数学思想方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，此题是中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），则“f（1）＜f（2）”是“函数y=f（x）在R上是增函数”的（）A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．非充分非必要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由“f（1）＜f（2）”成立，不能推出“函数y=f（x）在R上是增函数”成立，但由“函数y=f（x）在R上是增函数”，能推出“f（1）＜f（2）”成立，从而得出结论．【解答】解：由“f（1）＜f（2）”成立，不能推出对任意的x1＜x2，f（x1）＜f （x2），故不能推出“函数y=f（x）在R上是增函数”，故充分性不成立．由“函数y=f（x）在R上是增函数”可得“f（1）＜f（2）”成立，故必要性成立．综上，“f（1）＜f（2）”是“函数y=f（x）在R上是增函数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．16．（5分）双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为（）A．（±4，0）．B．．C．（0，±4）．D．．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据7＜λ＜9，将双曲线方程化为，可得a2=9﹣λ且b2=λ﹣7，再用双曲线基本量的平方关系，即可算出该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵双曲线（7＜λ＜9）∴9﹣λ＞0且7﹣λ＜0，方程化为由此可得：双曲线焦点在x轴，且c===∴双曲线的焦点坐标为故选：B．【点评】本题给出双曲线方程，求它的焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．17．（5分）已知a＞0，b＞0，若，则a+b的值不可能是（）A．7B．8C．9D．10【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；32：分类讨论．【分析】通过a＞b与a＜b，利用极限分别求出a与b的关系，然后求解a+b的值即可判断选项．【解答】解：当a＞b时，，可得=a，所以a+b＜2a=10．当a＜b时，，可得=b，所以a+b＜2b=10，综上，a+b的值不可能是10．故选：D．【点评】本题主要考查了数列极限的求解，解题的关键是判断a，b之间的大小关系，以及不等式的应用．18．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】98：向量的加法．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC 的中点，故A错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）根据圆柱筒的直径，可得半球的半径R=3cm，从而得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；（2）由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积S，进而得到2500个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量．【解答】解：（1）∵该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm，∴半球的直径也是6cm，可得半径R=3cm，∴两个半球的体积之和为cm3…（2分）而cm3…（2分）∴该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm3…（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是cm2…（6分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12πcm2…（8分）∴1个“浮球”的表面积为m2因此，2500个“浮球”的表面积的和为m2…（10分）∵每平方米需要涂胶100克，∴总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）…（12分）答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200π克．…（13分）【点评】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．20．（14分）已知动点A（x，y）到点F（2，0）和直线x=﹣2的距离相等．（1）求动点A的轨迹方程；（2）记点K（﹣2，0），若，求△AFK的面积．【考点】%H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由动点A（x，y）到点F（2，0）和直线x=﹣2的距离相等，知动点A的轨迹为抛物线，由此能求出动点A的轨迹方程．（2）过A作AB⊥l，垂足为B，根据抛物线定义，得|AB|=|AF|，由，知△AFK是等腰直角三角形，由此能求出△AFK的面积．【解答】解：（1）∵动点A（x，y）到点F（2，0）和直线x=﹣2的距离相等，∴动点A的轨迹为抛物线，其焦点为F（2，0），准线为x=﹣2设方程为y2=2px，其中，即p=4…（2分）所以动点A的轨迹方程为y2=8x．…（2分）（2）过A作AB⊥l，垂足为B，根据抛物线定义，得|AB|=|AF|…（2分）由于，所以△AFK是等腰直角三角形．…（2分）其中|KF|=4．…（2分）所以．…（2分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．21．（14分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，，b=6，．（1）求c；（2）求的值．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）由a，b及cosA的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；（2）由cosA的值小于0，得到A为钝角，即sinA大于0，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由sinA，a及b的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2B与cos2B的值，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即48=36+c2﹣2×c×6×（﹣），整理得：c2+4c﹣12=0，即（c+6）（c﹣2）=0，解得：c=2或c=﹣6（舍去），则c=2；（2）由cosA=﹣＜0，得A为钝角，∴sinA==，在△ABC中，由正弦定理，得=，则sinB===，∵B为锐角，∴cosB==，∴cos2B=1﹣2sin2B=﹣，sin2B=2sinBcosB=，则cos（2B﹣）=（cos2B+sin2B）=×（﹣+）=．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（16分）f（x）和g（x）都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，称函数f（x）与g（x）在M上互为“H 函数”．（1）若函数f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，证明：f（n）=g（b）（2）若集合M=[﹣2，2]，函数f（x）=x2，g（x）=cosx，判断函数f（x）与g （x）在M上是否互为“H函数”，并说明理由．（3）函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），g（x）=x+1在集合M上互为“H函数”，求a的取值范围及集合M．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】23：新定义；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，知f（g（x））=g（f（x））成立．即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立，由此能够证明f（n）=g（b）．（2）假设函数f（x）与g（x）互为“H函数”，则对于任意的x∈M，f（g（x））=g（f（x））恒成立．即cosx2=cos2x，对于任意x∈[﹣2，2]恒成立，由此能推导出在集合M上，函数f（x）与g（x）不是互为“H函数”．（3）由题意得，a x+1=a x+1（a＞0且a≠1），变形得a x（a﹣1）=1，由于a＞0且a≠1，由此能求出a的取值范围及集合M．【解答】（1）证明：∵f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，∴对于∀x∈R，f（g（x））=g（f（x））成立．即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立…（2分）∴max+an+b=amx+mb+n，…（2分）∴an+b=mb+n，∴f（n）=g（b）．…（1分）（2）解：假设函数f（x）与g（x）互为“H函数”，则对于任意的x∈Mf（g（x））=g（f（x））恒成立．即cosx2=cos2x，对于任意x∈[﹣2，2]恒成立…（2分）．当x=0时，cos0=cos0=1．不妨取x=1，则cos12=cos1，所以cos1≠cos21…（2分）所以假设不成立，在集合M上，函数f（x）与g（x）不是互为“H函数”…（1分）．（3）解：由题意得，a x+1=a x+1（a＞0且a≠1）…（2分）变形得，a x（a﹣1）=1，由于a＞0且a≠1，因为a x＞0，所以，即a＞1…（2分）此时x=﹣log a（a﹣1），集合M={x|x=﹣log a（a﹣1），a＞1}…（2分）【点评】本题考查函数值相等的证明，考查两个函数是否互为“H函数”的判断，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．23．（18分）在平面直角坐标系xOy中，点A n满足，且；点B n满足，且，其中n∈N*．（1）求的坐标，并证明点A n在直线y=x+1上；（2）记四边形A n B n B n+1A n+1的面积为a n，求a n的表达式；（3）对于（2）中的a n，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有a n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．【考点】3R：函数恒成立问题；8E：数列的求和；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】54：等差数列与等比数列；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明；（2）利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点B n的坐标，及﹣即可求出．（3）利用（2）的结论及作差法，求出a n+1﹣a n，进而即可判断出答案．【解答】解：（1）由已知条件得，，=，∴，∵，∴设，则x n+1﹣x n=1，y n+1﹣y n=1∴x n=0+（n﹣1）•1=n﹣1；y n=1+（n﹣1）•1=n．即A n=（n﹣1，n）满足方程y=x+1，∴点A n在直线y=x+1上．（2）由（1）得A n（n﹣1，n），，设B n（u n，v n），则u1=3，v1=0，v n+1﹣v n=0，∴v n=0，，逐差累和得，，∴．设直线y=x+1与x轴的交点P（﹣1，0），则a n=，n∈N*．（3）由（2）a n=，n∈N*，于是，a1＜a2＜a3＜a4=a5，a5＞a6＞a7＞…数列{a n}中项的最大值为，则，即最小的正整数p的值为6，所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N*都有a n＜p成立．【点评】熟练掌握向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式、逐差累和、及利用﹣求面积和作差法比较数的大小是解题的关键．。

2013年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．2．（6分）已知（1+px2）5的展开式中，x6的系数为80，则p=．3．（6分）设{a n}是公比为的等比数列，且，则a1=．4．（6分）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为．5．（6分）函数，则f（3.5）的值为．6．（6分）一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α（0°＜α＜45°），在海面上向山顶的方向行进m米后，测得山顶C的仰角为90°﹣α，则该山的高度为米．（结果化简）7．（6分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为．8．（6分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有种．9．（6分）若实常数a∈（1，+∞），则不等式的解集为．10．（6分）设函数则方程f（x）=x2+1有实数解的个数为．二、选择题（每小题5分，共15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（）A．B．C．D．12．（5分）已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A．B．C．D．13．（5分）以下四个命题中，真命题的个数为（）①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；③设z1，z2∈C，若，则z1=0且z2=0；④设无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{S n}是等差数列，则{a n}一定是常数列．A．0B．1C．2D．3三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．15．（11分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD的面积为S，AB=x，求函数S=f（x）的解析式；（2）求试验田ABCD占地面积的最小值．16．（15分）设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数．（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明）17．（16分）设点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．（1）求数量积的取值范围；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．18．（21分）若数列{b n}满足：对于n∈N*，都有b n+2﹣b n=d（常数），则称数列{b n}是公差为d的准等差数列．如：若则{c n}是公差为8的准等差数列．（1）求上述准等差数列{c n}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9；（2）设数列{a n}满足：a1=a，对于n∈N*，都有a n+a n+1=2n．求证：{a n}为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列{a n}的前n项和为S n，若S63＞2012，求a的取值范围．2013年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【考点】A5：复数的运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣1【点评】考查复数的代数形式的混合运算，复数相等条件，易错处增根a=1没有舍去．高考基本得分点．2．（6分）已知（1+px2）5的展开式中，x6的系数为80，则p=2．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式，找到含x6项是第几项，通过该项的系数写出关于p的方程求出实数p的值．【解答】解：（1+px2）5的展开式中含x6项是第4项，其系数为C53（p）3=80，解得p=2．故答案为：2．【点评】本题考查二项展开式的特定项的问题，首先要弄清这一项是展开式的哪一项，其次通过系数建立关于字母的方程，达到求解的目的．3．（6分）设{a n}是公比为的等比数列，且，则a1=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由题设条件（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=4．列出方程，求出a1的值．【解答】解：∵{a n}是公比为的等比数列，a1+a3+a5+…+a2n﹣1是公比为的等比数列的前n项和，∴（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）==4．∴a1=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意等比数列求和公式的应用．4．（6分）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，得到A、F两点的坐标．因此可得设BF的方程为y=±（x﹣5），与双曲线的渐近方程联解得到点B的坐标，即可算出△AFB的面积，得到本题答案．【解答】解：根据题意，得a2=9，b2=16，∴c==5，且A（3，0），F（5，0），∵双曲线的渐近线方程为y=±x∴直线BF的方程为y=±（x﹣5），①若直线BF的方程为y=（x﹣5），与渐近线y=﹣x交于点B（，﹣）=|AF|•|y B|=•2•=；此时S△AFB②若直线BF的方程为y=﹣（x﹣5），与渐近线y=x交点B（，）=|AF|•|y B|=•2•=．此时S△AFB因此，△AFB的面积为故答案为：【点评】本题给出双曲线右顶点为A，过右焦点F与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于B，求△ABF的面积，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的知识，属于中档题．5．（6分）函数，则f（3.5）的值为．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】直接利用函数的表达式，由f（3.5）求出x小于0时对应的函数值即可．【解答】解：因为函数所以f（3.5）=f（3.5﹣1）=f（2.5）=f（1.5）=f（0.5）=f（﹣0.5）=21﹣（﹣0.5）=．即f（3.5）的值为．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．6．（6分）一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α（0°＜α＜45°），在海面上向山顶的方向行进m米后，测得山顶C的仰角为90°﹣α，则该山的高度为米．（结果化简）【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由题可知，在图中直角三角形，在Rt△OBC中，利用α角的正切求出BC；在△ACD中，利用正弦定理，求出山高h．【解答】解：令OC=h，在Rt△OBC中，由sin（90°﹣α）=，得BC=，在△ACB中，由正弦定理可知=，h=．即山高为：．故答案为：．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用正弦定理解三角形．7．（6分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）过M作准线的垂线于M，由PF=PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故答案为：（，﹣1）．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．8．（6分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有20种．【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，根据甲安排在另外两位前面可以分三类：甲安排在周一，甲安排在周二，甲安排在周三，写出这三种情况的排列数，根据加法原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，根据题意分三类：甲安排在周一，共有A42种排法；甲安排在周二，共有A32种排法；甲安排在周三，共有A22种排法．根据分类加法原理知共有A42+A32+A22=20．故答案为：20【点评】本题考查分类计数问题，解题时一定要分清完成这件事需要分为几类，每一类有几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果，本题是一个基础题．9．（6分）若实常数a∈（1，+∞），则不等式的解集为．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】由a＞1，然后利用对数函数的单调性结合分式不等式的求法可解【解答】解：由a＞1，可得1﹣整理可得，∴故答案为：（，0）【点评】本题主要考查了对数函数的单调性及分式不等式的求解，属于基础试题10．（6分）设函数则方程f（x）=x2+1有实数解的个数为2．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】方程f（x）=x2+1的实数解的个数问题转化为图象的交点问题，作图分析即得答案．【解答】解：画出与y=x2+1的图象，有两个交点，故方程f（x）=x2+1的实数解的个数为2个．故答案为：2．【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、选择题（每小题5分，共15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（）A．B．C．D．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件．【解答】解：依题圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点．故选：C．【点评】本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组，△＜0来解；是基础题．12．（5分）已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量模及其夹角的计算公式即可得出．【解答】解：∵（k＞0），∴=3（），∵=，∴=3（），化为，∵k＞0，∴=2．∴，当且仅当k=1时取等号．∴．∴向量与向量的夹角的最大值为．故选：B．【点评】熟练掌握向量的数量积、模及其夹角的计算公式是解题的关键．13．（5分）以下四个命题中，真命题的个数为（）①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；③设z1，z2∈C，若，则z1=0且z2=0；④设无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{S n}是等差数列，则{a n}一定是常数列．A．0B．1C．2D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用；83：等差数列的性质；A1：虚数单位i、复数．【专题】21：阅读型．【分析】根据含有N个元素的集合的真子集的个数是2N﹣1，来判断①；根据直线夹角与向量交集的范围，来判断②是否正确；利用i2=﹣1，举反例，判断③是否正确；利用数列的项与和的关系式，求数列的通项．来判断④是否正确．【解答】解：∵含有4个元素的集合的真子集的个数是24﹣1=15个，∴①正确；对②，∵两条直线的夹角的范围是[0，]，而方向向量的夹角的范围是[0，π]，∴②不正确；对③，举反例，1，i∈C，12+i2=0，∴③不正确；∵{S n}是等差数列，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=d，当n=1时，a1=S1，∵d、S1不一定相等，∴{a n}不一定是常数列．故④不正确．故选：B．【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查虚数单位i的性质及向量的夹角问题．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）先化简函数得出的表达式，通过f（﹣）≠±f（﹣），直接证明即可．（2）先得出，然后根据正弦函数的单调性求出取值范围．【解答】解：（3分）（1）∵，∴f（x）是非奇非偶函数．（3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是奇函数．（2）由，得，．（4分）所以．即．（2分）【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力．15．（11分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD的面积为S，AB=x，求函数S=f（x）的解析式；（2）求试验田ABCD占地面积的最小值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题；51：函数的性质及应用．【分析】（1））设ABCD的长与宽分别为x和y，则（x﹣4）（y﹣2）=800，由此能求出函数S=f（x）的解析式．（2）试验田ABCD的面积S=xy=，令x﹣4=t，t＞0，则，由此能求出试验田ABCD占地面积的最小值．【解答】解：（1）设ABCD的长与宽分别为x和y，则（x﹣4）（y﹣2）=800（3分）∴（2分）（2）试验田ABCD的面积S=xy=（2分）令x﹣4=t，t＞0，则，（4分）当且仅当时，t=40，即x=44，此时，y=22．（2分）答：试验田ABCD的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2．（1分）【点评】本题考查函数问题在生产生活中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（15分）设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数．（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明）【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由单调性的定义可x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞﹣x1＞﹣x2，则可得f（﹣x1）＜f（﹣x2），由奇函数的性质可得﹣f（x1）＜﹣f（x2），进而可得f（x1）＞f（x2），即得单调性；（2）举出例子即可，举分段函数．【解答】解：（1）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞﹣x1＞﹣x2（2分）由y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调递减函数，有f（﹣x1）＜f（﹣x2），（3分）又由y=f（x）是奇函数，有﹣f（x1）＜﹣f（x2），即f（x1）＞f（x2）．（3分）所以，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（1分）（2）如函数满足在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，但在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数（6分）【点评】本题考查函数单调性的判断与证明，属基础题．17．（16分）设点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．（1）求数量积的取值范围；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由P为椭圆C上任意一点，可得出点P的横坐标的取值范围，再利用向量的数量积的计算公式即可求出；（2）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段AB的中点坐标，再利用已知即可得出线段AB的垂直平分线NG的方程．【解答】解：（1）由题意，可求得F1（﹣1，0），F2（1，0）．设P（x，y），则有，，，∴．（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，（*）∵直线AB过椭圆的左焦点F1，∴方程*有两个不相等的实根．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），则，，．线段AB的垂直平分线NG的方程为．令y=0，则x G=x0+ky0===．∵k≠0，∴．即点G横坐标的取值范围为．【点评】熟练掌握椭圆的性质、向量的数量积的计算公式、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、线段的中点坐标公式、线段的垂直平分线的方程是解题的关键．18．（21分）若数列{b n}满足：对于n∈N*，都有b n+2﹣b n=d（常数），则称数列{b n}是公差为d的准等差数列．如：若则{c n}是公差为8的准等差数列．（1）求上述准等差数列{c n}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9；（2）设数列{a n}满足：a1=a，对于n∈N*，都有a n+a n+1=2n．求证：{a n}为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列{a n}的前n项和为S n，若S63＞2012，求a的取值范围．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知把n=8，n=9分别代入数列的通项可求c8，c9，然后结合等差数列的求和公式可求T9（2）由a n+a n+1=2n可得a n+1+a n+2=2（n+1），两式相减可知a n+2﹣a n=2，结合n的奇偶及等差数列的通项公式可求（3）法一：在S63=a1+a2+…+a63中，有32各奇数项，31各偶数项，分组结合等差数列的求和公式可求S63，然后结合已知不等式可求a的范围法二：当n为偶数时，a1+a2=2×1，a3+a4=2×3，…a n﹣1+a n=2×（n﹣1），然后各式相加可求S n，而S63=S62+a63代入可求S63，然后结合已知不等式可求a的范围【解答】解：（1）c8=41，c9=35（2分）=211．（4分）（2）∵a n+a n+1=2n①a n+1+a n+2=2（n+1）②②﹣①得a n+2﹣a n=2．所以，{a n}为公差为2的准等差数列．（2分）当n为奇数时，；（2分）当n为偶数时，，（2分）∴（3）解一：在S63=a1+a2+…+a63中，有32各奇数项，31各偶数项，所以，．（4分）∵S63＞2012，∴a+1984＞2012．∴a＞28．（2分）解二：当n为偶数时，a1+a2=2×1，a3+a4=2×3，…a n﹣1+a n=2×（n﹣1）将上面各式相加，得．∵（4分）∵S63＞2012，∴a+1984＞2012．∴a＞28．（2分）【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，以新定义为载体考查了数列的递推公式的应用，及等差数列的求和公式的综合应用．。

专题十二 应用题2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；（松江区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）。

（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分 （2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩………8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； …………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==． …………………………12分所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．（浦东新区2013届高三一模 理科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x . （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪， 每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =； 试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）. 解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||， 60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，………………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈…4分于是32253200≤≤S 为所求.……………………………6分（2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ……………………7分 又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，……………………………………………………11分 当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分 此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分NNPMDCBANPM D C BA （黄浦区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DCNA AM=， ∴46x x AM -=，即64x AM x =-，……………………3分 故264x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分由261504x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，故所求函数的解析式为264x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，故2266(4)166(8)4x t S t x t t +===++- …………………………10分8)96≥=， …………………………12分当且仅当16t t=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米． …………14分（长宁区2013届高三一模）21、（本题满分14分）（理）经过统计分析，公路上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元。

专题八 数列 2013年2月 （杨浦区2013届高三一模 理科）18. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：， ， ， ，则为“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ） ②． ③④． ②④． ②③④ ． 18. ．2013届高三一模 理科）17．若，，，的方差为，则，，，的方差为 （ ） （黄浦区2013届高三一模 理科）3. 若数列的通项公式为，则 ．； （虹口区2013届高三一模）18、数列满足，其中，设，则等于( )． 18、C； （杨浦区2013届高三一模 理科）8. 设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前 项的和______________．8. 2013； 2013届高三一模）17、（理）已知是等差数列的前n项和，且，有下列个命题．；．中，最大；．的的个数有11个；．2013届高三一模）17、（文）已知是等差数列的前n项和，且， ） A．均为的最大值. B．；．；．；2013届高三一模）10．三所学校共有高三学生1500人，且三所学校的高三学生人数成等差数列，在一联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从校学生中抽取_________人． 10 （松江区2013届高三一模 理科）5．的前项和，则 ▲ ．．2013届高三一模）14、（理）设函数，是公差为的等差数列，，则 ．14．理 （浦东新区2013届高三一模 理科）7．等差数列中，，则该数列的前项和 . （浦东新区2013届高三一模 理科）14．共有种排列（），其中满足“对所有 都有”的不同排列有 种. （嘉定区2013届高三一模 理科）13．观察下列算式： ， ， ， ， … … … … 若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_______．13． （嘉定区2013届高三一模 理科）5．在等差数列中，，从第项开始为正数， 则公差的取值范围是__________________． 5． （嘉定区2013届高三一模 理科）4．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________． 4． （金山区2013届高三一模）14．若实数成等差数列，点1, 0)在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是 ． 14． 2013届高三一模）9、在等比数列中，已知，，则 ． 9、； （青浦区2013届高三一模）8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．． （奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn＝，，则公比的取值范围是． 6． （崇明县2013届高三一模）13、数列满足，则的前项和. 13、1830 （虹口区2013届高三一模）12、等差数列的前项和为，若，，则 ．12、10； （长宁区2013届高三一模）7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为 7、 （宝山区201的通项公式是，则=_______. （崇明县2013届高三一模）9、数列的通项公式是前项和为，则. 9、 （长宁区2013届高三一模）3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为 . （结果精确到） 3、 （宝山区20115.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C）满分分，第3小题满分分已知数列，且、、成等比数列． （）求数列的通项公式；对任意，都有成立，求的值．，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积． 22．（）是递增的等差数列，设公差为 、、成等比数列，∴ 及得 ……………………………3分 ∴ ……………………………4分 （2）∵， 对都成立 当时，得 ……………………………5分 当时，由①，及② ①－②得，得 …………7分 ∴ ……………8分 ∴ …………10分 （3）对于给定的，若存在，使得 ………11分 ∵，只需， …………………12分 即，即 即， 取，则 …………………14分 ∴对数列中的任意一项，都存在和 使得 ………………………16分 （浦东新区2013届高三一模 理科）22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立， 那么我们称数列为“摆动数列”． （1）设，（），，判断数列、是否为“摆动数列”， 并说明理由； （2）已知“摆动数列”满足，，求常数的值； （3）设，且数列的前项和为，求证：数列是“摆动数列”， 并求出常数的取值范围. 解：（1）假设数列是“摆动数列”， 即存在常数，总有对任意成立， 不妨取时则，取时则，显然常数不存在， 所以数列不是“摆动数列”； ……………………………………………2分 由，于是对任意成立，其中. 所以数列是“摆动数列”. ………………………………………………4分 （2）由数列为“摆动数列”， ， 即存在常数，使对任意正整数，总有成立； 即有成立.则，………………6分 所以.……………………………………7分 同理.…………………………………………8分 所以，解得即.…9分 同理，解得；即. 综上.……………11分 （3）证明：由，…………………………………13分 显然存在，使对任意正整数，总有成立， 所以数列是“摆动数列”； …………………………………………………14分 当为奇数时递减，所以，只要即可 当为偶数时递增，，只要即可 综上，的取值范围是.………………………………………16分 （取中的任意一个值，并给予证明均给分） 如取时， . 因为，，存在，使成立. 所以数列是“摆动数列”. 在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列． （1）若且，求的值； （2）若，求的取值范围． A、B、C成等差数列，∴ 又,∴， …………………………2分 由得，，∴① ………………………4分 又由余弦定理得 ∴，∴ ② ………………………6分 由①、②得， ……………………………………8分 （2）由（1）得，∴，即， 故=……………………………10分=， …………………………12分 由且，可得，∴， 即，∴的取值范围为． …………………………14分 （青浦区2013届高三一模）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列满足． （1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 解：（） 为等差数列．又，． ． （2）设，则 3． ． ． ． （金山区2013届高三一模）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列满足，λ≠0且λ≠1，n∈N*)，为数列的前项和 (1) 若，求的值； 2) 求数列的通项公式； 3) 当时，数列中是否存在三项构成等差数列，若存在，求出；若不存在，请说明理由23．解：令，得到，令，得到。

专题九应用题汇编2013年3月（静安区2013届高三一模文科）（文）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f(x)的图像大致为（）15．（文）D；（闸北区2013届高三一模文科）6．一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α)450(<<α，在海面上向山顶的方向行进m米后，测得山顶C的仰角为α-90，则该山的高度为米．（结果化简） 6．α2tan21m；（普陀区2013届高三一模文科）18.如图,四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得CDDE=.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中AP AB AEλμ=+，下列判断正确．．的是………………………………………………………………………………（）（A）满足λμ+2=的点P必为BC的中点.（B）满足1λμ+=的点P有且只有一个.（C）λμ+的最大值为3.（D）λμ+的最小值不存在.18.C（浦东新区2013届高三一模文科）21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形BP（第18题图）ACDEABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x .（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =；试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）.解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||，60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，………………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈…4分于是32253200≤≤S 为所求.…………………6分（2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ………………………………………7分又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分36123216≥+SS ，……………………………………………………11分 当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分NNPMDCBANPM D CB A（黄浦区2013届高三一模 文科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DCNA AM=， ∴46x x AM -=，即64x AM x =-，……………………3分 故264x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分 由261504x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，故所求函数的解析式为264x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，故2266(4)166(8)x t S t t t +===++ …………………………10分8)96≥=， …………………………12分当且仅当16t t=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96（平方米）…………14分（长宁区2013届高三一模）21、（本题满分14分）（理）经过统计分析，公路上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元。

2013年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）（2013•上海）不等式＜0的解为0＜x＜．解：原不等式化为，，＜2．（4分）（2013•上海）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．3．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．4．（4分）（2013•上海）已知，，则y=1．解：由已知，，5．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．cosC==，C=故答案为：6．（4分）（2013•上海）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．=40%7．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．的展开式的通项为（8．（4分）（2013•上海）方程的实数解为log34．的实数解为9．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．=．．10．（4分）（2013•上海）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B 是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．为中，直接由．中，因为，所以故答案为11．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）个球共有个球共有=21所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有所以两球编号之积为偶数的概率为：．故答案为：．，12．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边，CBA=，，，=c=．故答案为：13．（4分）（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．9x+）9x+9x+≥）≥9x=时，等号成立[14．（4分）（2013•上海）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．为起点，其余顶点为终点的向量，，，以分别为，的值，从而得出为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，分别为，，．如图建立=二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2013•上海）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值Bx=16．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若17．（5分）（2013•上海）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”18．（5分）（2013•上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：=M=2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）（2013•上海）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．其面积为=，D=OD=∴三棱锥的侧面积为×，20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．千克该产品所用的时间是小时，）元，即可得到生产5+千克该产品所用的时间是小时，﹣﹣×5+==故获得最大利润为21．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．）））x+），（﹣（﹣）（）））的图象向左平移个单位，再向上平移x+x+或22．（16分）（2013•上海）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．，得，得（舍去）或．．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（时过圆的左焦点为（，其中所以方程组，得，则由方程组，得：有实数解，的距离，，从而因此，圆。

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。

例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。

例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． （0，1）四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。