分式的加减(1)——王干事

考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则 （1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算 （1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用式子表示为：a c a cb b b±±=． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=． （2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅． （3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅． （4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、二次根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除 0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B均为整式；（3）分母B中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1x的取值范围是A．x≥4B．x>4 C．x≤4D．x<4 【答案】D4-x>0，解得：x<4，即x的取值范围是：x<4，故选D．【名师点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是A．x≠1 B．x=1C．x=0 D．x>1考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A．扩大为原来2倍B．缩小为原来的12倍C．不变D．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x、y的值都扩大到原来的2倍，则为()()()2234623123 12432323x yx y x y x y xy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B．【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．下列变形正确的是A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考向三分式的约分与通分1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A．21 1x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x -1 C ．22xx 约分的结果是1 D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误； B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2-1，故本选项错误； C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【名师点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握． 3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyxB ．222x y-C ．22x y x y +-D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 化简：2291(1)362m m m m -÷---．【解析】2291(1)362m m m m -÷--- 33m m+=．【名师点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．4．先化简，再求值：2221()211x xx x x x+÷--+-，其中x=4．考向五二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 函数yA．x>0且x≠0B．x≥0且x≠12C．x≥0D．x≠12【答案】B【解析】根据题意得，x≥010≠，∴x≥0且x≠12．故选B．【名师点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数是非负数且分母不为零．5．已知：x>4=__________．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】A=，故原选项不是最简二次根式；B=C是最简二次根式；D =4，故原选项不是最简二次根式， 故选C ．6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较． 典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式CD 、原式，错误， 故选A ．7．计算：（1（2）（–2．典例8 比较大小：__________5（填“>” “<”或“=”）． 【答案】>【解析】因为2228,525==，28>25，所以>5．故答案为：>．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a b 1，c，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c >b >a B ．a >c >b C ．b >a >cD ．a >b >c1(2)a -有意义，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≥B ．2a ≠C ．1a ≥-且2a ≠D ．a >22．若分式293x x -+的值为零，则x 值为A ．x =±3B ．x =0C ．x =-3D ．x =33．下列式子是最简二次根式的是ABCD ．4．在化简分式23311x x x-+--的过程中，开始出现错误的步骤是 A ．33(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+-+-+-B ．331(1)(1)x x x x --++-C ．22(1)(1)x x x --+-D ．21x -- 5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x -有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．计算33a a a +-的结果是 A ．6a a + B ．6a a-C ．1aD ．17a 的值为 A ．1 B ．2C ．23D ．328．化简2211x ax ÷--的结果是21x +，则a 的值是A ．1B ．-1C ．2D ．-29．已知 1x <，则化简的结果是 A ．1x - B ．1x - C ．1x --D ．1x +10．下列运算中错误的是AB ．＋C2D 11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1B ．−1C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y -=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a=，则1x x+的值为 A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15．16最接近的整数是__________．17．比较大小：>、<、或=”）18．计算（-2）（-2）的结果是__________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++_____________．20．若1112a b -=，则a b abab a b--=-__________．21．计算：（10)a ≥；（2．22．先化简，再求值：22(1)a b a b a b -÷--，其中1a =，1b =． 23．先化简：22144(1)1m m m m m-+-÷--，再从-1≤m ≤2中选取合适的整数代入求值． 24．先化简，再求值：22121(1)1121m m m m m --÷-+--+，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根． 25．先化简，再求代数式21211a aa a a -÷-+-的值，其中a =2cos30°．1．（2019•常州）若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是A ．x =-1B ．x =3C ．x ≠-1D ．x ≠32．（2019x 的取值范围是 A ．x >0 B ．x ≥-1 C ．x ≥1D ．x ≤13．（2019•黄石）若式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．x ≥1且x ≠2B ．x ≤1C ．x >1且x ≠2D ．x <14．（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是A BCD5．（2019•贵港）若分式211x x -+的值等于0，则x 的值为A ．±1B ．0C ．-1D ．16．（2019=A ．B ．4CD ．7．（2019•扬州）分式13x-可变形为 A ．13x + B ．13x -+ C ．13x -D ．13x --8．（2019•江西）计算1a ÷（21a-）的结果为 A ．a B ．-aC ．31a -D ．31a 9．（2019·天津）计算2211a a a +++的结果是 A ．2B ．22a +C ．1D ．41aa + 10．（2019•临沂）计算21a a --a -1的正确结果是A ．11a -- B ．11a - C ．211a a ---D ．211a a --11．（2019•北京）如果m +n =1，那么代数式22221()()m n m n m mn m++⋅--的值为 A ．-3B ．-1C ．1D ．312．（2019•河北）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在 A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④13．（2019·重庆A 卷）估计 A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间D ．7和8之间14．（2019有意义时，x 应满足的条件是__________．15．（2019的结果是__________．16=__________．17．（2019•吉林）计算：22yx·x y =__________．18．（2019·天津）计算1)的结果等于__________．19．（2019·南充）计算：2111x x x+=--__________．20．（2019•武汉）计算221164a a a ---的结果是__________．21．（20192）2 22．（2019•益阳）化简：2244(4)2x x x x+--÷． 23．（2019•深圳）先化简（132x -+）2144x x x -÷++，再将x =-1代入求值．24．（2019•河南）先化简，再求值：2212(1)244x x xx x x +--÷--+，其中x ． 25．（2019•烟台）先化简（x +373x --）2283x xx -÷-，再从0≤x ≤4中选一个适合的整数代入求值．26．（2019•安顺）先化简2221(1)369x x x x -+÷--+，再从不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1-x =0，即x =1， 故选B ． 2．【答案】D【解析】A ．a b ≠22a b ++，故A 错误； B ．0.20.1a b b +=210a b b +，故B 错误；C ．a b -1=a b b-，故C 错误，故选D ． 3．【答案】D 【解析】A 、2xy x =yx，错误； B 、222x y -=1x y-，错误；C 、22x y x y +-=1x y-，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【解析】2221()211x x x x x x+÷--+-=2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷--=2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+=21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-．5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，必须101x x -≥⇒≥．故选B ．6．【答案】B==，=，∴ 故选B ．7．【解析】（1）原式162．（2）原式=（–4）÷2=4÷2=12． 8．【答案】D【解析】a −1），b −1，c）×−1），，∴a >b >c ．故选D ．1．【答案】C【解析】由题意得：a+1≥0，且a–2≠0，解得，1a≥-且2a≠．故选C．2．【答案】D【解析】∵分式293xx-+的值为零，∴x2-9=0且x+3≠0．解得：x=3．故选D．3．【答案】C【解析】A=B，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；CD、=故选C．4．【答案】B【解析】∵正确的解题步骤是：23311xx x-+--33(1)(1)(1)(1)(1)x xx x x x-+=-+-+-333(1)(1)x xx x---=+-，∴开始出现错误的步骤是331(1)(1)x xx x--++-．去括号是漏乘了．故选B．5．【答案】1【解析】∵x>4，∴x-4>0，∴原式=44xx--=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】33331a a a a a++--==，故选D ． 7．【答案】D【解析】1+4a a =-，解得32a =，故选D ． 8．【答案】A 【解析】22122111111x x a x x x x +=÷==--+--，∴a =1，故选A ． 9．【答案】B【解析】∵x <1，∴x -1<0x -1|=1-x ．故选：B ． 10．【答案】B【解析】A ．原式，所以A 选项的计算正确；B ．和B 选项的计算错误C ．原式=2，所以C 选项的计算正确；D ．原式=4，所以D 选项的计算正确． 故选B ． 11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ．12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 13．【答案】B【解析】()2210y -=，∴()2121022101x x y y ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎩．∴13122x y +=+=．故选B ． 14．【答案】Ax +2+1x =a ²，∴x +1x=a ²−2，故选A ． 15==．16．【答案】4<<，，故答案为：4． 17．【答案】<，因为12<18，所以18．【答案】-16【解析】原式=-（）（）=-（20-4）=-16． 故答案为：-16． 19．【答案】1【解析】对待求值的代数式进行化简，得()ab a b a b +⋅+ab =，∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故答案为：1． 20．【答案】–32【解析】∵1112a b -=，∴a −b =−2ab ．∴原式=−22ab ab ab ab --=−2+12=−32． 故答案为：−32．21．【解析】（1）原式=4a 2．（2）原式． 22．【解析】22(1)a b a b a b-÷-- a b =+，当1a =，1b =时，原式11=23．【解析】原式=2-2(1)1(2)m m m m m -⋅-- =2mm -， 根据分式有意义的条件可知：m =-1， ∴原式=13． 24．【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++ =()()11m m m m --+=()11m m + =21m m+．由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=， 所以原式=13． 25．【解析】原式=2111(1)1a a a a --+÷-- =211(1)a a a a --⨯-，=1a． ∵a=2= ∴原式3=．1．【答案】D 【解析】∵代数式13x x +-有意义，∴x -3≠0，∴x ≠3．故选D ． 2．【答案】C【解析】由题意，得x -1≥0，解得x ≥1，故选C ． 3．【答案】A【解析】依题意，得x -1≥0且x -200，解得x ≥1且x ≠2．故选A ． 4．【答案】D 【解析】A 2=，故A 不符合题意； B 7=，故B 不符合题意； C =C 不符合题意；D D 符合题意．故选D ．5．【答案】D 【解析】21(1)(1)11x x x x x -+-==++x -1=0，∴x =1，经检验：x =1是原分式方程的解，故选D ． 6．【答案】B4==．故选B ．7．【答案】D 【解析】分式13x -可变形为：13x --．故选D ． 8．【答案】B 【解析】原式1a =·（-a 2）=-a ，故选B ． 9．【答案】A【解析】原式=222(1)211a a a a ++==++，故选A ． 10．【答案】B 【解析】原式()211a a a =-+-22111a a a a -=---11a =-．故选B ． 11．【答案】D【解析】原式=2()m n m n m m n ++--·（m +n ）（m -n ）=3()m m m n -·（m +n ）（m -n ）=3（m +n ）， 当m +n =1时，原式=3．故选D ．12．【答案】B 【解析】∵2222(2)1(2)111441(2)111x x x x x x x x x x ++-=-=-=+++++++， 又∵x 为正整数，∴12≤x <1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②，故选B ． 13．【答案】C【解析】，又因为，所以，故选C ． 14．【答案】x >8有意义时，x -8>0，解得x >8．故答案为：x >8． 15．【答案】3，故答案为：3．16．【答案】【解析】原式==．故答案为：17．【答案】12x【解析】22y x ·12x y x =，故答案为：12x． 18．【答案】2【解析】原式=3-1=2．故答案为：2．19．【答案】x +1 【解析】2111x x x +--=2111x x x ---211x x -=-()()111x x x +-=-1x =+，故答案为：x +1． 20．【答案】14a + 【解析】原式()()()()244444a a a a a a +=-+-+-()()2444a a a a --=+-()()444a a a -=+-14a =+． 故答案为：14a +． 21．【解析】原式63⨯=7．22．【解析】原式=2(2)2(2)(2)x x x x x -⋅+- =242x x -+． 23．【解析】原式21(2)21x x x x -+=⨯+-=x +2，将x =-1代入得：原式=x +2=1．24．【解析】原式=212(2)()22(2)x x x x x x x +---÷--- =322x x x -⋅- =3x ，当x时，原式25．【解析】（x +373x --）2283x xx -÷-=（29733x x x ----）2283x xx -÷- (4)(4)3x x x +-=-·32(4)x x x -- 42x x +=，当x =1时，原式145212+==⨯．26．【解析】原式232(3)3(1)(1)x x x x x -+-=⨯-+- =31x x -+，解不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩①②得-2<x <4， ∴其整数解为-1，0，1，2，3， ∵要使原分式有意义， ∴x 可取0，2．∴当x =0时，原式=-3， （或当x =2时，原式=13-）．。

16 分式的加减法（-）●教学目标（一）教学知识点1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，2、能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算；培养学生分式运算的能力。

3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。

（二）能力目标：1.经历用字母表示数量关系的过程，进一步发展符号感.2.并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力. （三）情感与价值观目标;1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气. ●教学重点1. 让学生掌握同分母、异分母分式的加减法法则。

2. 能熟练地进行简单的异分母的分式加减法. ●教学难点分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。

●教学方法启发与探究相结合 ●教学过程一、.创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：（出示投影片）问题：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km ，其中第一条是平路，第二条有1 km 的上坡路、2 km 的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间?（2）她走第一条路花费的时间比走第二条路少用多少时间？［分析］：根据题意可得下列线段图：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v32）h . （2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v23h .所以她走第一条路花费的时间比走第二条路少用（v 1+v 32）－v23 h 代数式（v 1+v 32）－v23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？ ［生］分式的加减法.［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题） 二、实践与探索（一），同分母的分式的加减法法则：1、计算5251+= 回忆：同分母的分数的加减法法则： 同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。

3.3 分式的加减法（一）课型：新授 学生姓名：_______[目标导航]1.学习目标：会进行简单的分式加减运算，具有一定的代数类比、化归能力；引导学生总结运算方法和技巧，提高运算能力。

2.学习重点：分式的加减运算法则及运用。

3.学习难点 ：简单异分母的分式加减运算。

[课前导学]1、课前预习(1)回顾同分母分数加减法法则计算： 15____,1212+=41____33-= 你能根据这个法则计算下面三题吗？(2)回顾异分母分数加减法法则计算：12____,123+=11____,26-= 你能根据这个法则计算下面两题吗？11____,2a a +=21____,x y y x+=-- 2、课前学记（课前学习的疑难点、教学要求建议）123132_____,_____,______,11a a x x x x +=-=-=--[课堂研讨]1、回答课前预习（1），并交流总结同分母分式加减法的法则。

2、口答：1313331,,,2222a a x x x x x x a a +---++①②③④3、例题讲解： 24(1)22x x x --- 213(2)111x x x x x x +---++++4、通过上述例题的学习在做同分母加减法的时候要注意什么呢？5、能力拓展：（简单的异分母加减法） 33(1)4a a + 21(2)11x x x -+--结论：5、请认真阅读课本P78—P81，请你帮助柯南做出选择。

名侦探柯南接到举报，A 地有案情发生，经分析有两条路都可到达A 地，每一条路都是3km ，其中第一条是平路，第二条有1km 的上坡路2km 的下坡路。

柯南在上坡路上的速度是vkm/h ，在平路上的车速是2vkm/h ，在下坡路上的车速是3vkm/h 。

讨论回答：（1）若柯南走第一条平路需要多少时间？（2）走第二条路又需要多少时间？（3）柯南走哪条路花的时间少？少多少？分组讨论6、巩固练习：315(1)5a a a-+ 1(4)22x x x x+---[课外拓展]1. 课后记 （收获、体会、困惑）Ⅰ.同分母分式加减法法则是_______________________________.Ⅱ.异分母分式进行加减法时，首先要________,找到它们的______________.2、分层作业（班级：_____________，学生姓名：____________）A 、必做题（限时15钟，实际完成时间：_______分钟）1.判断题： ①0a b a b a b a b a a a+-+---== （ ） ②222221111(1)(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x -+=-==------ （ ） 2.1110,23x x x x≠++已知则分式等于 （ ） 11511....2666A B C D x x x x 222(3)a b ab a b a b ++++3(2)22x x y x y x y +---3.22x y y x y x---化简的结果是 （ ） ....A x y B y x C x y D x y ----+4.计算题 ①343xy xy xy -+ ②22a b a b a b +++③22m n n m n m m n n m++---- ④5.应用题Ⅰ.某人用电脑打字的速度是用手抄的3倍。

本节课主要内容是同分母分式相加减和异分母分式相加减，是通分与约分的应用，也是解分式方程的基础，所以说这节课的内容在本章中起着承上启下的作用，在整个初中代数运算中也起着非常重要的作用．分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序．一、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．二、异分母的分式加减法法则：（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．分式的加减及综合计算知识结构知识精讲内容分析模块一：分式的加、减法2/ 14【例1】 计算：（1）111a a a +++； （2）33131x x x ---． 【答案】（1）1；（2）133--x x ． 【解析】本题主要考查同分母的加减法．【例2】 计算：（1）x yx y x y ---； （2）211a ab ab+-． 【答案】（1）1；（2）b2． 【解析】本题主要考查同分母的加减法，注意计算结果一定要是最简分式．【例3】 化简的结果是（ ） A 、 B 、C 、D 、【答案】A【解析】本题主要考查同分母的加减法，注意结果为最简分式．【例4】 将分式1x x+化成分母分别为以下整式的分式： （1）3xy ；（2）()2x x +．【答案】（1）xyy xy 333+；（2）()2232+++x x x x ．【解析】（1）()1313333x y x xy yx xy xy+++==；（2）()()()()21213222x x x x x x x x x x +++++==++． 【总结】本题主要是利用分式的基本性质将分式的分母化为指定的分母．【例5】 计算：22x y y x y x---x y --y x -x y -x y +例题解析（1）22x x+； （2）31269x x+． 【答案】（1）x x 242+；（2）321843xx + 【解析】 （1）222442222x x x x x x x ++=+=； （2）22333312343469181818x x x x x x x ++=+=． 【总结】本题主要考查异分母分式的加减法．【例6】 计算： （1）22244xx x ---；（2）22x y x y y x+--． 【答案】（1）12x -+； （2）x y +． 【解析】（1）()()2222221444222x x x x x x x x x ---===----+-+；（2）()()2222x y x y x y x y x y x y y x x y x y-+-+===+----． 【总结】本题主要考查异分母分式的加减法，注意结果要化为最简分式．【例7】 计算：（1）22232325222x y y x x yxy xy xy --+-+；（2）2222231221323232x x x x x x x x x -+-+--+---+．【答案】（1）23y ；（2）11-+x x ．【解析】（1）22232325222x y y x x y xy xy xy --+-+()2323252x y y x x y xy ---++=262x xy =23y =；（2）2222231221323232x x x x x x x x x -+-+--+---+()()()()()()()()()()()()()()22222312211212122131221211212121x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x -+-=---------+----+--+====-------【总结】本题主要考查同分母分式的加减法，当分母是多项式时，注意要分解因式 【例8】 计算： （1）221x x y x y--+；（2）； 22111a a a ---4/ 14（3）； （4）． 【答案】（1）22y x y -；（2）11+a ；（3）41+x ；（4）ab ba +-． 【解析】（1）221x x y x y --+()()1x x y x y x y=-+-+ ()()()()x x y x y x y x y x y -=-+-+- ()()y x y x y =+-22yx y =-；（2）()()21111a a a a =-+--()()()2111a a a a -+=+-()()111a a a -=+-11a =+； （3）()()18444x x x =--+-()()4844x x x +-=+-()()444x x x -=+-14x =+ ；（4）()()b a a a b b b a =+--()22b a ab a b -=-()()()b a b a ab a b -+=-a b ab+=-．【总结】当分式的分母是多项式时，要先分解因式，再按照相应法则进行加减运算．【例9】 计算：（1）23(3)3x xx x ---； （2）2216322a a a a a --++--． 【答案】（1）()223x x -；（2）4102--a a ． 【解析】（1）23(3)3x x x x ---()()2233(3)3x x x x x -=---2233(3)x x x x -+=-22(3)x x =-；（2）2216322a a a a a --++--()()()()161221a a a a a -=-++-+()()()()()()()()()1262122122a a a a a a a a a --+=-++-++-()()()232612122a a a a a a -+--=++-()()()2910122a a a a a --=++-()()()()()101122a a a a a -+=++-()()1022a a a -=+-2104a a -=-． 【总结】当分式的分母是多项式时，要先分解因式，再按照相应法则进行加减运算．【例10】 计算：（1） 222xy x y x y x y y x +--+-； （2）231326629x x x -++--． 【答案】（1）y x y x -+；（2）23x +．218416x x ---22b aa ab b ab +--22111a a a ---218416x x ---22b a a ab b ab +--【解析】（1）222xy x y x y x y y x +--+-()()()()()()()()2x x y y x y xyx y x y x y x y x y x y -+=+++-+-+-()()222xy x xy xy y x y x y +-++=+-()()()2x y x y x y +=+-x y x y +=-；（2）231326629x x x -++-- ()()()()313232333x x x x =+-+-+-()()()()()()3(3)36233233233x x x x x x x x -+=+-+-+-+- ()()412233x x x -=+- ()()()43233x x x -=+-23x =+．【总结】当分式的分母是多项式时，要先分解因式，再按照相应法则进行加减运算，并且要 特别注意符号的变化．【例11】 若0x y >>，则11y yx x+-+的值为（ ）． A 、正数 B 、负数 C 、零D 、无法确定【答案】A 【解析】()()()()()()111011111y x y x y y xy x xy y x yx x x x x x x x x x++++----=-==>+++++． 【总结】本题主要是通过做差法来比较两数的大小．【例12】 若113x y -=，则232x xy y x xy y+---=____________． 【答案】43 【解析】∵113x y-=，∴3=-xyxy ∴xy x y 3=-∴()()2323323233344x y xy xy xy x xy y xy x xy y x y xy xy xy xy -+⋅-++--====-------．【总结】本题主要考查异分母分式的减法以及整体代入思想的运用．6/ 14【例13】 已知12m m+=，则4221m m m ++=____________．【答案】3【解析】24222221111212213m m m m m m m ++⎛⎫=++=+-+=-+= ⎪⎝⎭． 【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，那它们的平方和的等于和的平方减2．一、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．【例14】 化简：()211331x x x x +⎛⎫-⋅- ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A 、2 B 、21x - C 、23x -D 、41x x -- 【答案】B【解析】()211331x x x x +⎛⎫-⋅- ⎪--⎝⎭()11=331x x x ⎛⎫-⋅- ⎪--⎝⎭311x x -=--21x =-． 【总结】本题主要考查分式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．【例15】 化简：的结果为（ ）A 、B 、C 、D 、1【答案】A29333a a a a a ⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭a a -()23a + 模块二：分式的综合计算知识精讲例题解析【解析】原式=a a aa a =+⋅--3392．【总结】本题在计算时，注意按照运算顺序进行，有括号先算括号里面的．【例16】 计算：262393m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为（ ） A 、1 B 、33m m -+ C 、33m m +-D 、33mm + 【答案】A 【解析】原式=()()1333233363=+++=-⋅+--+mm m m m m m m ． 【总结】本题依旧考查的是分式的混合运算，注意先乘除后加减．【例17】 计算：（1）21122222a b a ab a a b a a ⎛⎫++-⋅- ⎪+⎝⎭；（2）422a a+--． 【答案】（1）1；（2）22-a a ．【解析】（1）21122222a b a ab a a b a a ⎛⎫++-⋅- ⎪+⎝⎭()211222a a b a b a a b a a +⎡⎤+=-⋅-⎢⎥+⎣⎦()1122a b a b a a b a +⎡⎤=-⋅-+⎢⎥+⎣⎦()11122a b a b a a b aa b +=-⋅+⋅+++11122a a=-+ 1=．（2）422a a+--()()22422a a aa +-=---2442a a --=-22a a =-． 【总结】本题依旧考查分式的混合运算，第（1）小题注意乘法分配率的运用，第（2）小题注意符号的变化．【例18】 计算：（1）22211()()a b ab a b b a a b a b--÷-+--；（2）2284111[(1)()]442a a a a+-⋅-÷--．【答案】（1）ab a b -+；（2）22+-a a ．【解析】（1）22211()()a b ab a b b a a b a b--÷-+--()()()()()()()()2()a a b b a b ab b aa b a b a b a b a b a b ab ab⎡⎤-+=+-÷-⎢⎥+-+-+-⎢⎥⎣⎦8/ 14()()222a ab ab b ab ab a b a b b a -++-=⋅+--()()()2a b aba b a b b a-=⋅+-- aba b=-+；（2）2284111[(1)()]442a a a a+-⋅-÷--()()284421[()()]224422a a a a a a a a a +=-⋅-÷-+- ()()()228212242a aa a aa -=-⋅⋅+-- 412a =-+ 22a a -=+． 【总结】本题主要考查分式的混合运算，在计算时一方面注意法则的准确运用，一方面注意 方法的灵活．【例19】 计算：（1）22[()]33x y x y x y x x y x x +----÷+； （2）2411241111x x x x +++-+++． 【答案】（1）y x x -2；（2）818x -． 【解析】（1）22[()]33x y x y x y x x y x x +----÷+222[()]33x y x x y x x y x x y x y+=-⋅+⋅+⋅++-22233xx x x y ⎛⎫=-+⋅ ⎪-⎝⎭2x x y=-．（2）2411241111x x x x +++-+++()()()()241124111111x x x x x x x x +-=+++-+-+++()()242241111x x x x =++-+++()()()()()()22422222121411111x x x x x x x +-=+++-+-+()()42244111x x x =++-+444411x x =+-+()()()()()()44444441411111x x x x x x +-=+-+-+()()44811x x =-+ 881x =-． 【总结】本题的综合性比较强，在计算时注意要细心一些．【例20】 计算：3232242312111x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭．【答案】x 32-．【解析】3232242312111x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭()()()23222131211111x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+⎛⎫=-÷-÷⎢⎥ ⎪-++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()232231111x x x x x x ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪++⎝⎭()()2223111x x x x x -=⋅+⋅+23x =-．【总结】本题在计算时，注意按照运算顺序进行，有括号先算括号里面的．【例21】 已知320a b -=，求下式的值：(1)(1)b a b aa ab a a b+-÷---+． 【答案】-5．【解析】∵320a b -=， ∴23=a b ，2-=-b a a ，52=+b a a ．∴(1)(1)b a b a a a b a a b +-÷---+332121225⎛⎫⎛⎫=++÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5=-． 【总结】本题主要是利用分式的性质，通过整体代入的思想求值，另外本题也可以通过分式的混合运算，算出分式的最终结果之后再求值．【例22】 化简：11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)a a a a a a a ++++-------．【答案】()()99199---a a【解析】11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)a a a a a a a ++++-------1111111=1213210099a a a a a a a +-+-++--------1100a =-．【总结】本题主要是类比分数的拆项的思想来求解，注意方法的恰当选择．【例23】 111111()()()3a b c b c c a a b++++++的值．【答案】0． 【解析】111111()()()3a b c b c c a a b ++++++3a a b b c cb c c a a b =++++++3b c a c a b a b c +++=+++3a b c a b c---=+++()()()1113=-+-+-+0=．10/ 14【总结】本题一方面考查分式的运算，另一方面考查了整体代入的思想．【习题1】 计算：（1）2111x xx x -+++； （2）9333a b a bab ab++-． 【答案】（1）1；（2）a2 【解析】（1）21211=11111x x x x x x x x x -+-++==++++；（2）939362=3333a b a b a b a b b ab ab ab ab a+++---==．【总结】本题主要考查同分母的加减运算．【习题2】 计算：（1）22222621616x x x x x +-++--；（2）2222135333x x x x xx x x +--+-++++． 【答案】（1）42+x ；（2）2．【解析】（1）22222222262262282=161616164x x x x x x x x x x x x +-++----+==----+；（2）2222222135213526=233333x x x x x x x x x x x x x x x x +--++-+++++-+==+++++．【总结】本题主要考查同分母的加减运算．【习题3】 分式1a b +，222a a b -，bb a -的最简公分母为（）．A 、()()()22a b a b b a -+- B 、()()22a b a b -+ C 、()()22a b b a --D 、22a b -【答案】D【解析】本题主要考查最简公分母的概念．【习题4】 计算： （1）212293x x +--； （2）2431222x x x x ++----． 【答案】（1）32+-x ；（2）222--+x x x ． 随堂检测【解析】（1）212293x x +--()()()()()23123333x x x x x +=-+-+-()()()2333x x x -=+-23x =-+；（2）2431222x x x x ++----2431222x x x x =-+----()()11221x x x =+--+()()1121x x x ++=-+()()221x x x +=-+222x x x +=--． 【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算．【习题5】 计算：（1） ； （2）222111()121x x x x x x -+--÷--+． 【答案】（1）x y -；（2）2x x -+．【解析】（1）原式=()()()()x y x x y x y y x x x y x y x y x y y x y x -=+-⋅+=+-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++； （2）原式()()2221111111x x x x x x x --⎡⎤=--⋅⎢⎥---+⎣⎦()222211111x x x x x x -⎛⎫-+-=-⋅ ⎪--+⎝⎭ ()211x x =--+2x x =-+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，要注意法则的准确运用和符号的变化． 【习题6】 已知2610x x -+=，求2421x x x ++的值． 【答案】135． 【解析】∵2610x x -+=， ∴61=+x x ． ∴2422222111116135x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-=-= ⎪⎝⎭． ∴2421=135x x x ++． 【总结】本题主要是考查如何将已知的方程化为互为倒数的两个数的和．【习题7】 化简：2222(1)(3)(3)(5)(5)(7)(99)(101)x x x x x x x x ++++++++++++． 221y x x y y x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭12/ 14 【答案】()()1011100++x x ． 【解析】2222(1)(3)(3)(5)(5)(7)(99)(101)x x x x x x x x ++++++++++++ ()()11111111133557991011111011001101x x x x x x x x x x x x =-+-+-++-++++++++=-++=++ 【总结】本题主要是类比分数的拆项的思想来求解，注意方法的恰当选择．【作业1】 （1）22____a b a b a b-=--； （2）33_____a b a b a b a b ++-=++． 【答案】（1）b a +；（2）b a b a +-22． 【解析】（1）2222a b a b a b a b a b a b --==+---；（2）333322a b a b a b a b a b a b a b a b a b+++----==++++． 【总结】本题主要考查同分母的加减运算．【作业2】 计算：（1）2x y x x y y x++--； （2）2222223223x y x y x y x y x y x y ++--+---． 【答案】（1）1；（2）y x +2． 【解析】（1）22=1x y x x y x x y x y y x x y x y +---+==----； （2）222222222232233223222=x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y++-+--+---+==-----+． 【总结】本题主要考查同分母分式的加减运算．【作业3】 计算：（1）2222a a a a +-+-+； （2）1133x x --+． 【答案】（1）48222-+a a ；（2）962-x ． 课后作业【解析】（1）()()()()()()()()2222222222444428=222222224a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+++-++++==-+-+-+-+-； （2）()()()()2113363333339x x x x x x x x x +--=-=-+-+-+-． 【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算．【作业4】 计算：（1） ； （2）2211a b a b ab -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）12a +；（2）ba +-1． 【解析】（1）原式=()()()()()()228282[]222222a a a a a a a a a a a a a a +-+--÷=⋅-+-+-- ()()()2212222a a a a a a a -=⋅=+--+； （2） 原式=()()ba b a b a ab ab a b +-=-+⋅-1． 【总结】本题主要考查分式的混合运算，有括号时要先算括号里面的．【作业5】 计算：()222663443x x x x x x x-+-÷+⋅-+- ． 【答案】22--x ． 【解析】()222663443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-()()()()223321332x x x x x x -+-=⋅⋅+--22x =--． 【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意法则的准确运用．【作业6】 已知：22x y P x y x y =---，22y Q x y x y=-++，当2,1x y ==-时比较,P Q 值的大小．【答案】Q P < 【解析】∵2222x y x y P x y x y x y x y-=-==+---， ()()222222x y x y y y x y Q x y x y x y x y x y -++=-+=+=++++ ∴当21x y ==-，时，1=P ，5=Q ， ∴Q P <．2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算．14/ 14。

分式的加减讲义分式是研究数学中一个重要的概念，它将一个数表示为两个整数的比值。

在分式中，我们可以进行加法和减法运算。

本讲义将详细介绍分式的加法和减法运算法则。

分式的基本形式一个分式由两个整数构成，分子（被除数）和分母（除数）。

我们用`a/b`的形式表示一个分式，其中`a`为分子，`b`为分母。

分子可以是任意整数，而分母不能为0。

分式的加法当两个分式`a/b`和`c/d`的分母相同（即`b=d`）时，我们可以直接将它们的分子相加得到结果的分子，并保持分母不变。

即：a/b + c/d = (a+c)/b当两个分式的分母不相同时，我们需要找到它们的最小公倍数（LCM），然后将两个分式的分子和分母同时乘以适当的因子，使得它们的分母变为最小公倍数，然后进行相加。

具体步骤如下：1. 找到两个分式的分母的最小公倍数（LCM）。

2. 将两个分式的分子和分母同时乘以适当的因子，使得它们的分母变为最小公倍数。

3. 将经过调整的两个分式的分子相加得到结果的分子，并保持分母不变。

分式的减法分式的减法与加法类似，当两个分式`a/b`和`c/d`的分母相同（即`b=d`）时，我们可以直接将它们的分子相减得到结果的分子，并保持分母不变。

即：a/b - c/d = (a-c)/b当两个分式的分母不相同时，我们需要通过和分式的加法类似的方式进行处理。

具体步骤如下：1. 找到两个分式的分母的最小公倍数（LCM）。

2. 将两个分式的分子和分母同时乘以适当的因子，使得它们的分母变为最小公倍数。

3. 将经过调整的两个分式的分子相减得到结果的分子，并保持分母不变。

总结通过本讲义的研究，我们了解了分式的加法和减法运算法则：- 当分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，结果的分母保持不变。

- 当分式的分母不同时，需要找到最小公倍数（LCM），通过乘以适当的因子将分母调整为最小公倍数，然后进行加减运算，结果的分母保持不变。

通过掌握这些基本法则，我们能够更好地理解和运用分式的加减运算。

徐闻县和安中学 数学教研组 ◆八年级数学导学案 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ 执笔：林朝清 第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 10 课时 姓名：________课题：16.2.2 分式的加减（第1课时）学习目标 我的目标 我实现1熟练地进行同分母的分式加减法的运算.2会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.学习过程 我的学习 我作主导学活动1：知识回顾1、通分：⑴b a 223与c ab ba 2- ⑵52-x x 与53+x x 导学活动2：知识引入 填一填：=+5251 ；=+3121 = = 试一试： 类比分数加减法计算：=+a b a 1 ；=+b a 11 = =分式加减法法则： .导学活动3：知识转化例6：⑴2222235y x x y x y x ---+ ⑵q p q p 321321-++注意：计算结果为 练习：⑴=-+xx x 11 = ；⑵13121+-+++b a b a b a = = (3)311+-n n (4) ba b a a ++-122徐闻县和安中学 数学教研组 ◆八年级数学导学案 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ 学习评价 我的评价 我自信当堂检测（限时：8分钟 ）我自信 我进取计算： (1)b a a b b a b a b a b a 22255523--+++ （2）m n m n m n m n n m -+---+22（3）96312-++a a （4）ba b a b a b a b a b a b a b a ---+-----+-87546563自我小结：自我评价：我完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差课后作业 我的作业 我承担课本（P22）习题16.2 第4题。