第七章 参数估计

第七章参数估计一、单项选择题1.区间X x S的含义是（）。

A. 99%的总体均数在此范围内B. 样本均数的99%可信区间C. 99%的样本均数在此范围内D. 总体均数的99%可信区间答案：D2.以下关于参数估计的说法正确的是（）。

A. 区间估计优于点估计B. 样本含量越大，参数估计准确的可能性越大C. 样本含量越大，参数估计越精确D. 对于一个参数只能有一个估计值答案：B3.假定抽样单位数为400，抽样平均数为300和30，相应的变异系数为50%和20%，试以的概率来确定估计精度为（）。

和%和2%%和98% 和1答案：C4.根据10%抽样调查资料，甲企业工人生产定额完成百分比方差为25，乙企业为49。

乙企业工人数四倍于甲企业，工人总体生产定额平均完成率的区间（）。

A. 甲企业较大B. 乙企业较大C. 两企业一样D. 无法预期两者的差别答案：A5.对某轻工企业抽样调查的资料，优质品比重40%，抽样误差为4%，用多大的概率才能确信全及总体的这个指标不小于32%（）。

答案：B6.根据抽样调查的资料，某城市人均日摄入热量2500千卡，抽样平均误差150千卡，该市人均摄入热量在2350千卡至2650千卡之间的置信度为（）。

B.D.答案：B7.对进口的一批服装取25件作抽样检验,发现有一件不合格。

概率为时计算服装不合格率的抽样误差为%。

要使抽样误差减少一半,必须抽（）件服装做检验。

答案：B8.根据以往调查的资料，某城市职工平均每户拥有国库券和国债的方差为1600，为使极限抽样误差在概率保证程度为时不超过4元，应抽取（）户来进行调查。

答案：B9.一般情况下，总体平均数的无偏、有效、一致的估计量是（）。

A. 样本平均数B. 样本中位数C. 样本众数D. 不存在答案：A10.参数估计的置信度为１－α的置信区间表示（）。

A. 以１－α的可能性包含了未知总体参数真值的区间B. 以α的可能性包含了未知总体参数真值的区间C. 总体参数取值的变动范围D. 抽样误差的最大可能范围答案：A11.无偏性是指（）。

第七章 参数估计第一节 基本概念1、概念网络图{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体2、重要公式和结论例7．1：设总体),(~b a U X ，求对a, b 的矩估计量。

例7．2：设n x x x ,,,,21 是总体的一个样本，试证（1）;2110351321x x x ++=∧μ （2）;12541313212x x x ++=∧μ（3）.12143313213x x x -+=∧μ都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。

例7．3：设n x x x ,,,,21 是取自总体),(~2σμN X 的样本，试证∑=--=ni i x x n S 122)(11 是2σ的相合估计量。

第二节 重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节 常见题型1、矩估计和极大似然估计例7．4：设0),,0(~>θθU X ，求θ的最大似然估计量及矩估计量。

例7．5：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥=--.,0,1)(/)(其他μθθμx e x f x其中θ>0, θ,μ为未知参数，n X X X ,,,21 为取自X 的样本。

试求θ,μ的极大似然估计量。

2、估计量的优劣例7．6：设n 个随机变量n x x x ,,,21 独立同分布，,)(11,1,)(122121∑∑==--===n i i n i i x x n S x n x x D σ 则（A ）S 是σ的无偏估计量；（B ）S 是σ的最大似然估计量； （C ）S 是σ的相合估计量；（D ）x S 与2相互独立。

例7．7：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=,,0,0),(6)(3其他θθθx x xx fn X X X ,,,21 是取自X 的简单随机样本。

（1） 求θ的矩估计量∧θ；（2） 求∧θ的方差D （∧θ）；（3） 讨论∧θ的无偏性和一致性（相合性）。

167第七章 参数估计2009考试内容点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计2009考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性。

4． 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。

一、点估计统计推断有两类基本问题：()1当分布函数形式为已知，如为()12, ,,, k F x θθθ ，但分布函数中的部分参数为未知时()12 ,,, k x θθθ 如已知，未知，我们需要根据样本所提供的信息对总体进行统计推断，估计其未知的参数，如数学期望、方差等，这类问题称为参数估计，分为点估计与区间估计两种。

根据样本是以随机变量或观察值的不同形式给出，参数估计的结果都有估计量和估计值之分，对应的字母有大小写之分。

()2当分布函数形式为未知，或只知道分布函数中的形式，所有参数为未知时，我们先假设它的形式或参数值，然后再根据8个枢轴量之一，根据小概率原理判断检验其真实，这一过程称为假设检验，详细假设检验思想参阅第八章。

参数估计中，用来自总体的一个样本观测值（样本点）去近似代替总体分布中的未知参数值，称为点估计；如要求估计该近似值的精确程度，即估计误差时，称为区间估计，也是根据8个枢轴量之一来判断。

点估计分为矩估计与极大似然法两种，原则是【同型估计】，即未知参数的矩是何种形式，就使用相应得矩形式来估计。

1、 矩估计法简单地说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。

一般我们只要求掌握一个（单参数）或两个（双参数）未知参数（如期望和方差）的情形。

用矩法构造未知参数估计量的步骤如下：()112,,,kkkEXνθθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭；()2替换，列出方程组如下1211212211211,,,1,,,1,,,nk iink iinmkk iiv xnv xnv xnθθθθθθθθθ===⎧⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎪⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎩∑∑∑对于双参数可以证明下列两个方程同解。

第七章 参数估计(一) 习题1. 设是来自总体n X X ,,1 X 的一个样本,求下述各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量(1) 其中⎩⎨⎧<<+=其它,010,)1()(x x x f θθ1−>θ是未知参数; (2) 其中 2,1,)1(}{1=−==−x p p x X P x 10<<p 是未知参数;(3) , 其中⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−−θθθθx x e x f x ,0,,2),()(20>θ为未知参数; (4) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−其他,0,10,),(1x x x f θθθ, 其中0>θ为未知参数; (5) ⎪⎩⎪⎨⎧>−−=其它,0},exp{1),;(121221θθθθθθx x x f (6) σσσ||21),(x e x f −=, 其中0>σ为未知参数. 2. 求上题中各未知参数的极大似然估计量.3. 设总体X 服从参数为的二项分布:p m ,m x p p x m x X P x m x ,,2,1,0,)1(}{…=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−, 10<<p ,是未知参数是来自该总体的一个样本,求的极大似然估计量.p n X X ,,1 p 4. (1)设总体X 服从参数为λ的泊松分布,是来自总体n X X ,,1 X 的一个样本,求的极大似然估计;}0{=X P (2)某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布.求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率的极大似然估计值.使用下面122个观察值.下表中,p r 表示一扳道员五年内引起严重事故的次数,表示观察到的扳道员人数.s r 0 1 2 3 4 5s 44 42 21 9 4 25.(1)设,即),(~ln 2σμN X Z =X 服从对数正态分布,验证}21exp{)(2σμ+=X E . (2)设从对数正态总体X 取容量为样本,求的极大似然估计值.此处n n x x x ,,,21 )(X E μ,均为未知.2σ (3)已知在文学家萧伯纳的《AN Intelligent Woman’s Guide To Socialism 》一书中,一个句子的单词数近似服从对数正态分布.μ,均为未知.今从该书中随机的取20个句子.这些句子的单词数分别为2σ54 24 15 67 15 22 63 26 16 327 33 28 14 7 29 10 6 59 30问这本书中,一个句子字数均值的极大似然估计值等于多少?6.设总体,是来自总体),(~2σμN X n X X ,,1 X 的一个样本,试确定常数c ,使统计量为的无偏估计.2111)(i n i i X X c −∑−=+2σ7.设和相互独立且均为参数1ˆθ2ˆθθ的无偏估计,并且的方差是的方差的2倍,试求出常数,使得是1ˆθ2ˆθb a ,21ˆˆθθb a +θ的无偏估计,并且在所有这样的无偏估计中方差最小. 8. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布,是来自总体n X X ,,1 X 的一个样本,X ,分别为样本均值和样本方差,(1)试证对一切2S α(10≤≤α),统计量2)1(S X αα−+均为λ的无偏估计量;(2)试求的极大似然估计量,;(3)讨论的无偏性,并给出的一个无偏估计量.2,λλM λˆ2ˆM λ2ˆM λ2λ9.设总体X 服从区间)1,(+θθ上的均匀分布, 是来自总体n X X ,,1 X 的一个样本,证明估计量211ˆ11−=∑=n i i X n θ, 1ˆ)(2+−=n n X n θ 皆为参数θ的无偏估计,并且比有效. 2ˆθ1ˆθ10.从一台机床加工的轴承中,随机地抽取200件,测量其椭圆度,得样本均值mm x 081.0=,并由累积资料知道椭圆度服从,试求)025.0,(2μN μ的置信度为0.95的置信区间.11.设总体,是其样本值,如果为已知,问取多大值时,能保证),(~2σμN X n x x x ,,,21 2σn μ的置信度为α−1的置信区间的长度不大于给定的L ?12.在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以95%的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0,01秒,应取多大的样本容量.n 13.从自动机床加工的同类零件中抽取16件,测得长度为(单位mm)：12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.1312.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06设零件长度近似服从正态分布,试求方差的置信度为0.95的置信区间.2σ14.为比较甲与乙两种型号同一产品的寿命,随机地抽取甲型产品5个,测得平均寿命h x 1000=,标准差,随机地抽取乙型产品7个,测得平均寿命h s 281=h y 980=, ,设总体服从正态分布,并且由生产过程知它们的方差相等,求两个总体均值差的置信度为0.99的置信区间.h s 322=15.为了在正常条件下检验一种杂交作物的两种新处理方案,在同一地区随机地挑选8块地,在每块试验地上按两种方案种植作物,这8块地的单位面积产量分别是:一号方案产量: 86 87 56 93 84 93 75 79二号方案产量: 80 79 58 91 77 82 74 66假设两种方案的产量都服从正态分布,试求这两个平均产量之差的置信度为0.95的置信区间.16.设两位化验员独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做10次测定,其测定值的样本方差依次为,,设分别为所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的.求方差比B A ,5419.02=A s 6065.02=B s 22,B A σσB A ,22B A σσ的置信度为0.95的置信区间.。