【2013大兴一模】北京市大兴区2013届高三一模考试数学(理科)Word版含答案

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4}（C ）{1,2} （D ）{2,3}（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b（C ）-b a （D ）--a b（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）22 （B ）62（C ）322 （D ）362（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50（6）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（A ）52（B ）3 （C ）2（D ）31+（7）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-（8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n nk θ=，则y x -等于 （A ）1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- （B ）1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- （C ）1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- （D ）1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合A ＝{x ∈N|x ≤6}，B ＝{x ∈R|x 2−3x >0}，则A ∩B ＝（ ） A {3, 4, 5} B {4, 5, 6} C {x|3<x ≤6} D {x|3≤x <6}2. 在极坐标系中，曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为（ ） A π B 4 C 4π D 163. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 值为5，则输出的y 值（ ）A −2B −1C 12 D 24. 不等式组{x ≥1x +y −4≤0kx −y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为（ ）A −2B −1C 0D 15. 若向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|=1，则 a →⋅b →的值为（ ） A −12B 12C −1D 16. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( ) A 12种 B 15种 C 17种 D 19种7. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(x, y)为该抛物线上的动点，又点A(−1, 0)，则|PF||PA|的最小值是( )A 12 B √22 C √32 D2√338. 设l 1，l 2，l 3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：①∃A i ∈l i (i =1, 2, 3)，使得△A 1A 2A 3是直角三角形； ②①∃A i ∈l i (i =1, 2, 3)，使得△A 1A 2A 3是等边三角形；③三条直线上存在四点A i (i =1, 2, 3, 4)，使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的序号是（）A ①B ①②C ①③D ②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在复平面上，若复数a+bi(a, b∈R)对应的点恰好在实轴上，则b=________．10. 等差数列{a n}中，a3+a4=9，a2a5=18，则a1a6=________．11. 如图，AP⊙O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C．若∠ACB=90∘，BC=3，CP=4，则弦DB的长为________．12. 在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=−14，则c=________，sinC=________．13. 已知函数f(x)={2x−a,x≤0,x2−3ax+a,x>0,有三个不同的零点，则实数a的取值范围为________．14. 已知函数f(x)=sinπ2x，任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f(x), 点P(t, f(t)), Q(x, f(x))满足|PQ|≤√2}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记ℎ(t)=M t−m t．则（1）函数ℎ(t)的最大值是________；（2）函数ℎ(t)的单调递增区间为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数f(x)=2−(√3sinx−cosx)2．（1）求f(π4)的值和f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间[−π6, π3]上的最大值和最小值．16. 在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．(I)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(II)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望．17. 在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又PA ＝AB ＝4，∠CDA ＝120∘，点N 在线段PB 上，且PN =√2． (Ⅰ)求证：BD ⊥PC ；(Ⅱ)求证：MN // 平面PDC ；(Ⅲ)求二面角A −PC −B 的余弦值．18. 已知函数f(x)＝lnx +ax 2+bx （其中a ，b ）为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (Ⅰ)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)在(0, e]上的最大值为1，求a 的值． 19. 已知圆M ：(x −√2)2+y 2=r 2(r >0)，若椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为√22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在过原点的直线，使得该直线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG|=|BH|，若存在，则求出圆M 半径r 的取值范围，若不存在，说明理由.20. 设A(x A , y A )，B =(x B , y B )为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B ∈Z ．令△x =x B −x A ，△y =y B −y A ，若|△x|+|△y|=3，且|△x|⋅|△y|≠0，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：B =τ(A)．已知P 0(x 0, y 0)(x 0, y 0∈Z)为平面上一个定点，平面上点列{P i }满足：P i =τ(P i−1)，且点P i 的坐标为(x i , y i )，其中i =1，2，3，…n ．（1）请问：点P 0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （2）求证：若P 0与P n 重合，n 一定为偶数； （3）若p 0(1, 0)，且y n =100，记T =∑x i n i=0，求T 的最大值．2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. C3. C4. D5. A6. D7. B8. B9. 010. 1411. 24512. 3,3√151613. {a|49<a≤1}14. 解：（1）A t={y|y=f(x), 点P(t, f(t)), Q(x, f(x))满足|PQ|≤√2}表示以P点为圆心，√2为半径的圆及其内部函数y=sinπx2的图象上所有的点的纵坐标的集合，∵ f(−2)=f(0)=f(2)=0，f(1)=1，f(−1)=−1，设O(0, 0)，A(1, 1)，B(2, 0)，则AO=AB=√2，∴ M t={1,4k≤t≤4k+2(k∈Z)f(t)+√[2−(x0−t)2]，4k−2≤t<4k(k∈Z)，其中x0是最高点Q的横坐标，同理，m t={−1,4k−2≤t≤4k(k∈Z)f(t)−√[2−(x1−t)2]，4k≤t<4k+2(k∈Z)；其中x1是最低点Q的横坐标．∴函数ℎ(t)的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），（2）由（1）中的分析可知单调增区间是(2k−1, 2k)．15. 解：（1）因为函数f(x)=2−(√3sinx−cosx)2=2−(3sin2x+cos2x−2√3sinxcosx)=2−(1+2sin2x−√3sin2x)=1−2sin2x+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)．所以，f(π4)=2sin(2×π4+π6)=2sin2π3=√3，所以，f(x)的周期为T=2π2=π．（2）当x∈[−π6, π3]时，2x∈[−π3, 2π3]，2x+π6∈[−π6, 5π6]，所以，当2x+π6=−π6，即当x=−π6时，函数取得最小值f(−π6)=−1，当2x+π6=π2，即当x=π6时，函数取得最大值f(π6)=2．16. 解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷14=40人…所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1−0.375−0.375−0.15−0.025)=3…(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为40(1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075)40=2.9 (III)设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20…P(ξ=16)=C62C102=13，P(ξ=17)=C21C61C102=415P(ξ=18)=C61C21+C22C102=1345P(ξ=19)=C21C21C102=445P(ξ=20)=C22C102=145所以ξ的分布列为所以Eξ=16×13+17×415+18×1345+19×445+20×145=865所以ξ的数学期望为865…17. 证明：(I)∵ △ABC是正三角形，M是AC中点，∴ BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴ BD⊥平面PAC．∴ BD⊥PC．（2）在正△ABC中，BM=2√3．在△ACD中，∵ M为AC中点，DM⊥AC，∴ AD＝CD．∠ADC＝120∘，∴ DM=2√33，∴ BMMD =31．在等腰直角△PAB中，PA＝AB＝4，PB=4√2，∴ BNNP =31，∴BN NP=BM MD，∴ MN // PD ．又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， ∴ MN // 平面PDC ．(Ⅲ)∵ ∠BAD ＝∠BAC +∠CAD ＝90∘，∴ AB ⊥AD ，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系， ∴ B(4, 0, 0)，C(2,2√3,0)，D(0,4√33,0)，P(0, 0, 4)． 由(Ⅱ)可知，DB →=(4,−4√33,0)为平面PAC 的法向量． PC →=(2,2√3,−4)，PB →=(4,0,−4)． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅PC →=0n →⋅PB →=0，即{2x +2√3y −4z =04x −4z =0 ， 令z ＝3，得x ＝3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n →=(3,√3,3)，设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cosθ=n →⋅DB →|n →||DB →|=√77． 所以二面角A −PC −B 余弦值为√77．18. （I ）因为f(x)＝lnx +ax 2+bx 所以f′(x)=1x +2ax +b ，因为函数f(x)＝lnx +ax 2+bx 在x ＝1处取得极值f′(1)＝1+2a +b ＝0 当a ＝1时，b ＝−3，f′(x)=2x 2−3x+1x，f′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间为(0, 12)，(1, +∞)单调递减区间为(12, 1)(II)因为f′(x)=(2ax−1)(x−1)x令f′(x)＝0，x 1＝1，x 2=12a⋯因为f(x)在 x ＝1处取得极值，所以x 2=12a ≠x 1＝1， 当12a <0时，f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e]上单调递减 所以f(x)在区间(0, e]上的最大值为f(1)， 令f(1)＝1，解得a ＝−2 当a >0，x 2=12a>0当12a <1时，f(x)在(0, 12a )上单调递增，(12a , 1)上单调递减，(1, e)上单调递增 所以最大值1可能在x =12a 或x ＝e 处取得而f(12a )＝ln 12a +a(12a )2−(2a +1)12a =ln 12a −14a <0 所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1，解得a =1e−2⋯ 当1≤12a<e 时，f(x)在区间(0, 1)上单调递增，(1, 12a)上单调递减，(12a, e)上单调递增所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得 而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1， 解得a =1e−2，与1<x 2=12a<e 矛盾当x 2=12a ≥e 时，f(X)在区间(0, 1)上单调递增，在(1, e)单调递减， 所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0，矛盾 综上所述，a =1e−2或a ＝−2．19. 解：(1)设椭圆的焦距为2c ， 由椭圆右顶点为圆M 的圆心(√2, 0)， 得a =√2， 又ca =√22，所以c =1，b =1，所以椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y =kx ，因为直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ， 联立{y =kx,x 2+2y 2−2=0.消去y 得(1+2k 2)x 2−2=0.由韦达定理得x 1+x 2=0，x 1x 2=−21+2k 2， 所以|AB|=√(1+k 2)81+2k2=√8(1+k 2)1+2k 2. 因为点M(√2, 0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2，所以|GH|=2√r 2−2k 21+k 2，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|， 所以8(1+k 2)1+2k 2=4(r 2−2k 21+k 2)， 所以r 2=2k 21+k 2+2(1+k 2)1+2k 2=2(3k 4+3k 2+1)2k 4+3k 2+1=2(1+k 42k 4+3k 2+1)，当k =0时，r =√2， 当k ≠0时，r 2=2(1+11k 4+3k2+2)<2(1+12)=3，又显然r 2=2(1+11k 4+3k 2+2)>2，所以√2<r <√3，当直线的斜率不存在时，此时圆M 的半径的取值范围为√2<r ≤√3. 综上所述，√2≤r ≤√3. 20. 解：（1）∵ |△x |+|△Y |=3，(|△x|⋅|△y|≠0)∴ |△x |=1且|△Y |=2，或|△x |=2且|△Y |=1，所以点P 0的相关点有8个… 又∵ (△x )2+(△Y )2=3，即(x 1−x 0)2+(y 1−y 0)2=5∴ 这些可能值对应的点在以P 0(x 0, y 0)为圆心，√5为半径的圆上… （2）依题意P n (x n , y n )与P 0(x 0, y 0)重合则x n =(x n −x n−1)+(x n−1−x n−2)+(x n−2−x n−3)+...+(x 3−x 2)+(x 2−x 1)+(x 1−x 0)+x 0，y n =(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+(y n−2−y n−3)+...+(y 3−y 2)+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)+y 0，因此，可得(x n −x n−1)+(x n−1−x n−2)+(x n−2−x n−3)+...+(x 3−x 2)+(x 2−x 1)+(x 1−x 0)=0，且(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+(y n−2−y n−3)+...+(y 3−y 2)+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)=0 两式相加得[(x n −x n−1)+(y n −y n−1)]+[(x n−1−x n−2)+(y n−1−y n−2)]+...+[(x 1−x 0)+(y 1−y 0)]=0(∗)∵ x i ，y i 都是整数，且|x i −x i−1|+|y i −y i−1|=3(i =1, 2, 3,…,n)∴ (x i −x i−1)+(y i −y i−1)(i =1, 2, 3,…,n)为奇数，于是(∗)的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以左边不可能是奇数项，可得n 一定为偶数… （3）令△x i =x i −x i−1，△y i =y i −y i−1，(i =1, 2, 3,…,n)依题意(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+...+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)=100， ∵ T =∑x i n i=0=x 0+x 1+x 2+...+x n =1+(1+△x 1)+(1+△x 1+△x 2)+...+(1+△x 1+△x 2+...+△x n )=n +1+n △x 1+(n −1)△x 2+...+2△x n−1+△x n )… ∵ |△x i |+|△y i |=3，且|△x i |的|△y i |都是非零整数， ∴ 当△x i =2的个数越多，则T 的值越大，∵ 在△x 1，△x 2，△x 3，…，△x n−1，△x n 这个序列中，数字2的位置越靠前，相应的值越大且当△y i 取值为1或−1的次数最多时，△x i 取2的次数才能最多，T 的值才能最大．∴ ①当n =100时，令所有的△y i 都为1，且△x i 都取2，得T =101+2(1+2+...+100)=10201．②当n >100时，（1）若n =2k(k ≥50, k ∈N +)，此时△y i 可取k +50个1，k −50个−1，且△x i 可都取2，S(n)达到最大值从而T =n +1+2[n +(n −1)+...+2+1]=n 2+2n +1．（2）若n =2k +1(k ≥50, k ∈N +)，令△y n =2，其余的△y i 中有k −49个−1，k +49个1．相应的，对于△x i ，有△x n =1，其余的都为2，可得T =n +1+2[n +(n −1)+...+2+1]−1=n 2+2n③当50≤n ≤100时，令△y i =1，i ≤2n −100，△y i =2，2n −100<i ≤n ， 则相应地取△x i =2，i ≤2n −100，△y i =1，2n −100<i ≤n ，可得T =n +1+2[n +(n −1)+...+(101−n)]+[(100−n)+(99−n)+...+2+1]=12(n 2+205n −10098)综上所述，得T ={12(n 2+205n −10098)n ∈N +且50≤n <100(n +1)2n ≥100且n 是偶数n 2+2nn ≥100且n 是奇数…。

2013年高三统一练习 高三数学（文科）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）(9)π 154)10(22=-y x215)11( 18)12( (](13)1,1- 15,3)14(三、解答题（共6小题，共80分） （15）（本小题共13分） 解:（Ⅰ）因为 ABC ,53cos 内角是∆=A A ,所以,54sin =A由正弦定理:B bA a sin sin =知4πsin 54a = 得: 58=a（Ⅱ）在 AB C ∆中, )sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π102722532254sin cos cos sin =⨯+⨯=+=B A B A ABC ∆的面积为:2528102725821sin 21=⨯⨯⨯==C ab s（16）（本小题共13分） 解：一、5名学生数学成绩的平均分为:93)9795939189(51=++++ 5名学生数学成绩的方差为:8])9397()9395()9393()9391()9389[(5122222=-+-+-+-+- 5名学生物理成绩的平均分为:90)9392898987(51=++++5名学生物理成绩的方差为:524])9093()9092()9089()9089()9087[(5122222=-+-+-+-+- 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A5名学生中选2人包含基本事件有：,21A A ,31A A ,41A A ,51A A ,32A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共10个.事件A 包含基本事件有：,41A A ,51A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共7个. 107)( =A P 则所以，5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为107. (17)（本小题共13分）解: (Ⅰ)在直三棱柱111C B A ABC -中，1AA ABC ⊥面，所以1AA BC ⊥, 在等边 ABC ∆中，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥因为 在平面AD A 1中，A AD A A =⋂1，所以 1BC A AD ⊥面 又因为AD A D 11面⊂A ，所以，BC D A ⊥1在直三棱柱111C B A ABC -中，四边形11BCC B 是平行四边形，所以BC C B //11 所以，111C B D A ⊥(Ⅱ) 在直三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， 在平行四边形11ACC A 中联结C A 1,交于1AC 点O ,联结DO . 故O 为C A 1中点.在三角形CB A 1中,D 为BC 中点,O 为C A 1中点,故B A DO 1//. 因为111, DO DAC A B DAC ⊂⊄平面平面,所以,11 //ADC B A 面故,11 ADC B A 与面平行 （18）（本小题共14分） 解：定义域为R)1())(1()1()('''++=+++=a ax e e ax e ax x f x x x(Ⅰ)①当0a =时，0)('>=xe xf ,则()f x 的单调增区间为),(+∞-∞②当0a >时，解0)('>x f 得, aa x 1+->,解0)('<x f 得, a a x 1+-<,则()f x 的单调增区间为),1(+∞+-a a ,()f x 的单调减区间为)1,(aa +--∞③当0<a 时，解0)('>x f 得, a a x 1+-<,解0)('<x f 得, a a x 1+->,则()f x 的单调增区间为)1,(a a +--∞,()f x 的单调减区间为),1(+∞+-aa(Ⅱ) ①当⎪⎩⎪⎨⎧->+->21aa a 时, 即 当1>a 时, ()f x 在)1,2(aa +--上是减函数,在)0,1(aa +-上是增函数,则函数()f x 在区间[-2,0]上的最小值为 aa ae aa f 1)1(+--=+-②当⎪⎩⎪⎨⎧-≤+->210aa a 时, 即 当10≤<a 时, ()f x 在]0,2[-上是增函数,则函数()f x 在区间[-2,0]上的最小值为221)2(eaf -=- 综上: 当1>a 时, ()f x 在区间[-2,0]上最小值为a a ae1+--当10≤<a 时, ()f x 在区间[-2,0]上最小值为221ea- （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设),(y x P ，由题意知 41-=⋅BP AP k k ，即)2(4122±≠-=-⋅+x x y x y 化简得曲线C 方程为：)2( 1422±≠=+x y x （Ⅱ）思路一满足题意的直线AQ 的斜率显然存在且不为零，设其方程为)2(+=x k y ，由（Ⅰ）知41-=⋅k k QB ，所以，设直线QB 方程为k y 41-=)2(-x ， 当4=x 时得N 点坐标为)21,4(kN -，易求M 点坐标为)6,4(k M 所以k k MN 216||+==|2|1|6|k k +32|2|1|6|2=⋅≥k k ， 当且仅当63±=k 时，线段MN 的长度有最小值32. 思路二：满足题意的直线AQ 的斜率显然存在且不为零，设其方程为)2(+=x k y ，联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧+==+)2(1422x k y y x消元得2222(41)161640k x k x k +++-=，设),(00y x Q ，),(),,(2211y x N y x M ，由韦达定理得：144162220+-=⋅-k k x ， 所以1428220++-=k k x ，代入直线方程得14420+=k ky ， 所以222284(,)1414k kQ k k -++，又2,0B () 所以直线BQ 的斜率为22240114,428214kk k kk -+=---+ 以下同思路一思路三：设),(00y x Q ，则直线AQ 方程为00(2)2y y x x =++ 直线BQ 的方程为00(2)2y y x x =-- 当4x =，得0062M y y x =+，即006(4,)2y M x + 当4x =，得0022N y y x =-，即002(4,)2y N x - 则0000200062282224y y x MN y x x x -=-=⋅+-- 2220020284()4x MN y x -=⋅- 又220044x y +=所以220204(4)4x MN x -=-利用导数，或变形为二次函数求其最小值。

2013年北京市大兴区高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．（5分）（2013•大兴区一模）复数（1+i）2的值是（）A．2B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．（5分）（2013•珠海二模）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}3．（5分）（2013•大兴区一模）执行如图所示的程序框图．若n=4，则输出S的值是（）A．﹣42 B．﹣21 C．﹣7 D．434．（5分）（2013•大兴区一模）设y1=40.7，y2=80.45，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y25．（5分）（2013•大兴区一模）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β6．（5分）（2013•大兴区一模）函数f（x）=（）A．在（﹣，）上递增B．在（﹣，0）上递增，在（0，）上递减C．在（﹣，）上递减D．在（﹣，0）上递减，在（，0）上递增7．（5分）（2013•大兴区一模）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）（2013•大兴区一模）抛物线y=x2（﹣2≤x≤2）绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是（）A．1B．2C．2D．4二、填空题9．（5分）（2013•南京二模）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是_________．10．（5分）（2013•大兴区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，实轴长为4，则双曲线的方程是_________．11．（5分）（2013•大兴区一模）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别是BC、CD的中点，则（）•等于_________．12．（5分）（2013•大兴区一模）已知数列{a n}，a n+1=a n+2，a1=1，数列{}的前n项和为，则n=_________．13．（5分）（2013•大兴区一模）已知函数f（x）=在区间[﹣1，m]上的最大值是1，则m的取值范围是_________．14．（5分）（2013•大兴区一模）已知函数f（x）是定义（0，+∞）的单调递增函数，且x∈N*时，f（x）∈N*，若f[f（n）]=3n，则f（2）=_________；f（4）+f（5）=_________．三、解答题15．（13分）（2013•大兴区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，B=，b=（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinC及△ABC的面积．16．（13分）（2013•大兴区一模）一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：学生A1A2A3A4A5数学89 91 93 95 97物理87 89 89 92 93（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．17．（13分）（2013•大兴区一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．18．（14分）（2013•大兴区一模）已知函数f（x）=（ax+1）e x．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[2，0]上的最小值．19．（14分）（2013•大兴区一模）已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D．求线段MN长度的最小值．20．（13分）（2013•大兴区一模）已知数列{a n}的各项均为正整数，且a1＜a2＜…＜a n，设集合A k={x|x=λi a i，λi=﹣1或λi=0，或λi=1}（1≤k≤n）．性质1：若对于∀x∈A k，存在唯一一组λi，（i=1，2，…，k）使x=λi a i成立，则称数列{a n}为完备数列，当k取最大值时称数列{a n}为k阶完备数列．性质2：若记m k=a i（1≤k≤n），且对于任意|x|≤m k，k∈Z，都有x∈A K成立，则称数列P{a n}为完整数列，当k取最大值时称数列{a n}为k阶完整数列．性质3：若数列{a n}同时具有性质1及性质2，则称此数列{a n}为完美数列，当K取最大值时{a n}称为K阶完美数列；（Ⅰ）若数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，求集合A2，并指出{a n}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列{a n}的通项公式为a n=10n﹣1，求证：数列{a n}为n阶完备数列，并求出集合A n中所有元素的和S n．（Ⅲ）若数列{a n}为n阶完美数列，试写出集合A n，并求数列{a n}通项公式．2013年北京市大兴区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•大兴区一模）复数（1+i）2的值是（）A．2B．﹣2 C．2i D．﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用完全平方公式把要求的式子展开，再利用虚数单位i的幂运算性质求得结果．解答：解：复数（1+i）2 =12+i2+2i=2i，故选C．点评：本题主要考查完全平方公式，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2013•珠海二模）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：化简A、B两个集合，利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1 或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21 }={x|x＞1}，A∩B={x|x＞1}，故选C．点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，化简A、B两个集合是解题的关键．3．（5分）（2013•大兴区一模）执行如图所示的程序框图．若n=4，则输出S的值是（）A．﹣42 B．﹣21 C．﹣7 D．43考点：循环结构．专题： 图表型．分析： 根据题意，i 、S 的初始值分别为1，1．该程序的意图是：当i ≤4时，用﹣2+S 值代替S ，直到i=5时输出S 的值，由此不难得到本题的答案．解答：解：该程序从i=1开始，直到i=5结束输出S 的值，循环体被执行了4次 ①i=1，满足i ≤4，用S ﹣2代替S ，得S=﹣1，用i+1代替i ，进入下一步； ②i=2，满足i ≤4，用S ﹣2代替S ，得S=﹣3，用i+1代替i ，进入下一步； ③i=3，满足i ≤4，用S ﹣2代替S ，得S=﹣5，用i+1代替i ，进入下一步； ④i=4，满足i ≤4，用S ﹣2代替S ，得S=﹣7，用i+1代替i ，进入下一步； ⑤i=5，不满足i ≤4，结束循环体，并输出最后一个S 值﹣7． 则输出S 的值是：﹣7． 故选C点评： 本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．4．（5分）（2013•大兴区一模）设y 1=40.7，y 2=80.45，y 3=，则（ ）A ． y 3＞y 1＞y 2B ． y 2＞y 1＞y 3C ． y 1＞y 2＞y 3D ． y 1＞y 3＞y 2考点： 有理数指数幂的化简求值；不等关系与不等式． 专题： 计算题． 分析： 把给出的各值化为以2为底数的幂的形式，然后利用指数函数的单调性进行大小比较． 解答：解：，，．因为函数y=2x为增函数，所以21.5＞21.4＞21.35． 所以y 3＞y 1＞y 2． 故选A ．点评： 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了指数函数的单调性，是基础题．5．（5分）（2013•大兴区一模）已知平面α，β，直线m ，n ，下列命题中不正确的是（ ） A ． 若m ⊥α，m ⊥β则α∥β B ． 若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ． 若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n D ． 若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 证明题；空间位置关系与距离． 分析： 利用线面垂直的性质可判断A ，B 的正误，利用线面平行的性质可判断C 的正误，利用面面垂直的判断定理可判断D 的正误．解答： 解：对于A ，∵m ⊥α，m ⊥β，∴α∥β，故A 正确；对于B ，∵m ∥n ，m ⊥α，∴n ⊥α，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知，B 正确； 对于C ，m ∥α，α∩β=n ，则m 与n 可能平行，可能垂直，也可能异面，故C 错误；对于D，m⊥α，m⊂β，由面面垂直的判断定理可知α⊥β，故D正确．综上所述，命题C错误．故选C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，突出考查线面垂直、线面平行、面面垂直的判断与性质，掌握这些判断定理与性质定理是关键，属于中档题．6．（5分）（2013•大兴区一模）函数f（x）=（）A．在（﹣，）上递增B．在（﹣，0）上递增，在（0，）上递减C．在（﹣，）上递减D．在（﹣，0）上递减，在（，0）上递增考点：复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，可得函数为偶函数，当0＜x＜时，函数f（x）=tanx，是增函数，故函数在（﹣，0）上递减，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）==，f（﹣x）=f（x），故此函数为偶函数．由于当0＜x＜时，函数f（x）=tanx 单调递增，故函数在（﹣，0）上递减，故选D．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，函数的奇偶性的性质，正切函数的单调性，属于中档题．7．（5分）（2013•大兴区一模）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点（a，b）在单位圆及其内部，如图所示．若关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根，则点（a，b）满足a+b＞1，即在单位圆内且直线a+b=1的上方．由此结合几何概型计算公式，用图中弓形的面积除以单位圆的面积，即可得到所求的概率．解答：解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，即单位圆及其内部，如图所示若关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根，则满足△=4﹣4（a+b）＜0，解之得a+b＞1符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的上方，其面积为S1=π×12﹣×1×1=又∵单位圆的面积为S=π×12=π∴关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根的概率为P===故选：D点评：本题给出a、b满足的关系式，求关于x的方程无实数根的概率，着重考查了弓形面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•大兴区一模）抛物线y=x2（﹣2≤x≤2）绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是（）A．1B．2C．2D．4考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出过正方体的两条相对侧棱的截面图，设出正方体的棱长，然后利用A点的纵坐标相等列式求解a的值．解答：解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，设正方体AC1的棱长AA1=a，则底面对角线AC=，所以A点的横坐标等于，代入抛物线y=x2得：，即A点纵坐标为．又由题意可知A点纵坐标等于4﹣a．所以，解得：a=2．所以正方体的棱长是2．故选B．点评：本题考查了抛物线的应用，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，能够正确作出该题的截面图是解答该题的关键，属中档题．二、填空题9．（5分）（2013•南京二模）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是π．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．10．（5分）（2013•大兴区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，实轴长为4，则双曲线的方程是．考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，设双曲线方程为（a＞0，b＞0），由离心率等于且实轴长为4建立关于a、b、c的方程，解出a2、b2之值，即可得到该双曲线的方程．解答：解：∵双曲线中心在原点，焦点在x轴上∴设双曲线方程为（a＞0，b＞0）∵双曲线的离心率为，实轴长为4，∴，2a=4，可得a=2，c=3由此可得b2=c2﹣a2=5∴双曲线的方程是故答案为：点评：本题给出双曲线的离心率和实轴长，求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识点，属于基础题．11．（5分）（2013•大兴区一模）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别是BC、CD的中点，则（）•等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积的定义即可得出．解答：解：如图所示，∵矩形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，∴=，．∴（）•=====．故答案为．点评：利用向量的运算法则和数量积的定义即可得出c．12．（5分）（2013•大兴区一模）已知数列{a n}，a n+1=a n+2，a1=1，数列{}的前n项和为，则n=18．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由an+1=a n+2，a1=1可知数列{a n}为等差数列数列，从而可求得a n，进而可求得，拆项后利用裂项相消法可求得数列前n项和S n，令其等于即可解得n．解答：解：∵a n+1=a n+2，a1=1，∴a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴==，∴=，由数列{}的前n项和为，得=，解得n=18，故答案为：18．点评：本题考查等差数列的通项公式、数列求和，考查学生的运算能力，裂项相消法对数列求和是高考考查重点内容，要熟练掌握．13．（5分）（2013•大兴区一模）已知函数f（x）=在区间[﹣1，m]上的最大值是1，则m的取值范围是（﹣1，1]．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：对参数m分类讨论，利用函数的单调性，解出不等式f（m）＜1即可．解答：解：①当m≤0时，f（x）=2﹣x﹣1在区间[﹣1，m]上为减函数故f（m）=2﹣m﹣1＜1，故2﹣m＜2=21，解得m＞﹣1，则此时﹣1＜m≤0；②当m＞0时，f（x）=2﹣x﹣1在区间[﹣1，0]上为减函数，在区间[0，m]上为增函数，故f（m）=≤1，解得0＜m≤1．综上可知，则m的取值范围是（﹣1，1]．故答案为：（﹣1，1]．点评：本题为考查函数的单调性，以及分段函数求函数值的问题．14．（5分）（2013•大兴区一模）已知函数f（x）是定义（0，+∞）的单调递增函数，且x∈N*时，f（x）∈N*，若f[f（n）]=3n，则f（2）=3；f（4）+f（5）=15．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x∈N*时，f（x）∈N*，分类讨论可得f（1）=2，进而可得f（3）=6，f（6）=9，由单调性可知f（4）=7，f（5）=8，进而可得答案．解答：解：若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=1，与条件f（f（n））=3n矛盾，故不成立；若f（1）=3，则f（f（1））=f（3）=3，即f（1）=f（3）这与函数单调递增矛盾，故不成立；若f（1）=n （n＞3），则f（f（1））=f（n）=3，与f（x）单调递增矛盾，故不成立；所以只剩f（1）=2，代入可得f（f（1））=f（2）=3，进而可得f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，由单调性可知f（4）=7，f（5）=8，故f（4）+f（5）=15故答案为：3；15点评：本题考查函数值的求解，涉及分类讨论的思想，属基础题．三、解答题15．（13分）（2013•大兴区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，B=，b=（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinC及△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，再由正弦定理求得a的值．（Ⅱ）在△ABC中，根据sinC=sin（A+B），利用两角和的正弦公式运算求得sinC的值．再根据△ABC的面积为，运算求得结果．解答：解：（Ⅰ）因为，所以，由正弦定理：知，解得a=．（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（A+B）=，△ABC的面积为：．点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于中档题．16．（13分）（2013•大兴区一模）一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：学生A1A2A3A4A5数学89 91 93 95 97物理87 89 89 92 93（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：（Ⅰ）结合图表，由平均值和方差的定义可得答案；（Ⅱ）列举可得5名学生中选2人包含基本事件有共10个，事件A包含基本事件有7个，由古典概型的公式可得答案．17．（13分）（2013•大兴区一模）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1；（Ⅱ）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论．考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．分析：（I ）利用直三棱柱的性质即可得出四边形BCC 1B 1是平行四边形，AA 1⊥面ABC ，∴BC ∥B 1C 1，AA 1⊥BC ，再利用等边三角形ABC 的性质可得AD ⊥BC ，利用线面垂直的判定和性质定理即可证明； （II ）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；解答：证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，∴AA 1⊥BC ， 在等边△ABC 中，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC∵在平面A 1AD 中，A 1A ∩AD=A ，∴BC ⊥面A 1AD 又∵A 1D ⊂面A 1AD ，∴A 1D ⊥BC在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴B 1C 1∥BC ∴A 1D ⊥B 1C 1（Ⅱ） 在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1是平行四边形， 在平行四边形ACC 1A 1中联结A 1C ，交于AC 1点O ，连接DO ． 故O 为A 1C 中点．在三角形A 1CB 中，D 为BC 中点，O 为A 1C 中点，∴DO ∥A 1B ． 因为DO ⊂平面DAC 1，A 1B ⊄平面DAC 1，∴A 1B ∥面ADC 1 ∴A 1B 与面ADC 1平行．解答：解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为：5名学生数学成绩的方差为：5名学生物理成绩的平均分为：5名学生物理成绩的方差为：因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三（1）班总体物理成绩比数学成绩稳定． （Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A ，5名学生中选2人包含基本事件有：A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1A 5，A 2A 3，A 2A 4，A 2A 5，A 3A 4，A 3A 5，A 4A 5，共10个．事件A 包含基本事件有：A 1A 4，A 1A 5，A 2A 4，A 2A 5，A 3A 4，A 3A 5，A 4A 5，共7个.所以，5名学生中选2人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为．点评： 本题考查列举法求古典概型的概率，涉及数据的平均值和方差的求解，属基础题．点评：熟练掌握直三棱柱的性质、等边三角形的性质、线面垂直的判定和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理是就如同的关键．18．（14分）（2013•大兴区一模）已知函数f（x）=（ax+1）e x．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[2，0]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论即可解得，由导数与函数单调性关系即得单调区间；（Ⅱ）根据（I）中a＞0时函数的单调性进行讨论：按极值点x=在区间[﹣2，0]左侧、区间内两种情况讨论，由单调性即可得到最小值；解答：解：定义域为R，f′（x）=（ax+1）′e x+（ax+1）（e x）′=e x（ax+a+1），（Ⅰ）①当a=0时，f′（x）=e x＞0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；②当a＞0时，解f′（x）＞0得，，解f′（x）＜0得，，则f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为；③当a＜0时，解f′（x）＞0得，，解f′（x）＜0得，，则f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为；（Ⅱ）①当时，即当a＞1时，f（x）在上是减函数，在上是增函数，则函数f（x）在区间[﹣2，0]上的最小值为；②当时，即当0＜a≤1时，f（x）在[﹣2，0]上是增函数，则函数f（x）在区间[﹣2，0]上的最小值为，综上：当a＞1时，f（x）在区间[﹣2，0]上最小值为，当0＜a≤1时，f（x）在区间[﹣2，0]上最小值为．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．19．（14分）（2013•大兴区一模）已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D．求线段MN长度的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设P（x，y），由题意知利用斜率计算公式即可得到，化简即可；（2）思路一：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），由（Ⅰ）知，所以，设直线QB方程为（x﹣2），分别求出点M，N的坐标，再利用两点间的距离公式即可得到|MN|，利用基本不等式的性质即可得出；思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），与椭圆的方程联立，可得到根与系数的关系．设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），即可得到直线BQ的斜率，以下同思路一；思路三：设Q（x0，y0），则直线AQ的方程为，直线BQ的方程为，即可得到点M，N的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|MN|，利用导数即可得出．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意知，即化简得曲线C方程为：（Ⅱ）思路一满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），由（Ⅰ）知，所以，设直线QB方程为（x﹣2），当x=4时得N点坐标为，易求M点坐标为M（4，6k）所以=，当且仅当时，线段MN的长度有最小值．思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），联立方程：消元得（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理得：，所以，代入直线方程得，所以，又B（2，0）所以直线BQ的斜率为以下同思路一思路三：设Q（x0，y0），则直线AQ的方程为直线BQ的方程为当x=4，得，即当x=4，得，即则又所以利用导数，或变形为二次函数求其最小值．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、两点间的距离公式、基本不等式或利用导数研究函数的单调性极值、多角度解决问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．20．（13分）（2013•大兴区一模）已知数列{a n}的各项均为正整数，且a1＜a2＜…＜a n，设集合A k={x|x=λi a i，λi=﹣1或λi=0，或λi=1}（1≤k≤n）．性质1：若对于∀x∈A k，存在唯一一组λi，（i=1，2，…，k）使x=λi a i成立，则称数列{a n}为完备数列，当k取最大值时称数列{a n}为k阶完备数列．性质2：若记m k=a i（1≤k≤n），且对于任意|x|≤m k，k∈Z，都有x∈A K成立，则称数列P{a n}为完整数列，当k取最大值时称数列{a n}为k阶完整数列．性质3：若数列{a n}同时具有性质1及性质2，则称此数列{a n}为完美数列，当K取最大值时{a n}称为K阶完美数列；（Ⅰ）若数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，求集合A2，并指出{a n}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列{a n}的通项公式为a n=10n﹣1，求证：数列{a n}为n阶完备数列，并求出集合A n中所有元素的和S n．（Ⅲ）若数列{a n}为n阶完美数列，试写出集合A n，并求数列{a n}通项公式．考点：一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）先根据题中的新定义定出集合A2={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，再根据几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列的定义得出结论；（Ⅱ）对于∀x∈A n，先假设存在2组λi及μi（i=1，2…，n）使成立，则有，从而必有λ1=μ1，λ2=μ2…λn=μn，从而得出数列{a n}为n阶完备数列；再利用对∀x∈A n，，则，得到﹣x∈A n，从而求出S n的值；（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知A n中必有3n个元素，由（Ⅱ）知A n中元素成对出现（互为相反数），且0∈A n，又{a n}具有性质2，从而得出数列{a n}通项公式．解答：解：（Ⅰ）A2={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}；∴{a n}为2阶完备数列，2阶完整数列，2阶完美数列；（Ⅱ）若对于∀x∈A n，假设存在2组λi及μi（i=1，2…，n）使成立，则有，即，其中λi，μi∈{﹣1，0，1}，必有λ1=μ1，λ2=μ2…λn=μn，所以仅存在唯一一组λi（i=1，2…，n）使成立，即数列{a n}为n阶完备数列；S n=0，对∀x∈A n，，则，因为λi∈{﹣1，0，1}，则﹣λi∈{﹣1，0，1}，所以﹣x∈A n，即S n=0（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知A n中必有3n个元素，由（Ⅱ）知A n中元素成对出现（互为相反数），且0∈A n，又{a n}具有性质2，则A n中3n个元素必为．∴．点评：本小题主要考查一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式，考查分析问题、解决问题的能力．属于难题．。

北京市2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编3：三角函数北京20XX年届高三理科数学最新模拟试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（20XX年北京东城高三二模数学理科）已知sin(A．325B．B．72549C．25x)35,那么sin2x的值为D．（）18252 ．（20XX年届北京大兴区一模理科）函数f(x)cosxπ（）ππ,)上递增22ππC．在( ,)上递减22A．在( Dπ,0]上递增，在(0,)上递减22ππD．在( ,0]上递减，在(0,)上递增22B．在(3 ．（北京市顺义区20XX年届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数f x sin 2x ,其中为实数,若f(x) f()对x R恒成立,且f() f( ).则下列结论正确的是62（）A．f11B．f7f 10 5C．f x 是奇函数D．f x 的单调递增区间是k3,k6k Z答案D因为f(x) f()恒成立,所以6是函数的对称轴,即2 k ,k Z,所626以( ) sin (2 ,即) sin sin ,所以k ,k Z,又f() f( ),所以sin 62sin 0,所以6,即f(x) sin(2x622k 2x622k ,得3k xk ,即函数的单调递增区间是k ,k k Z ,所以D正确,选D．636124 ．（20XX年北京丰台二模数学理科试题及答案）下列四个函数中,最小正周期为,且图象关于直线x称的是A．y sin(2x对（）3)B．y sin(2x3)C．y sin(2x 二、填空题3)D．y sin(2x )3C．5 ．（20XX年届北京市延庆县一模数学理）在ABC中，a,b,c 依次是角A,B,C的对边，且b c.若a 2,c 23,A1206，则角C 6 ．（20XX年北京顺义二模数学理科试题及答案）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA13, B4,b 5,则sinC __________, ABC的面积S __________.4 2100 252, 697 ．（北京市朝阳区20XX年届高三第一次综合练习理科数学）在ABC中, a,b,c分别为角A, B ,C所对的边.已知角A为锐角,且b 3asinB, 则tanA _________.48．（北京市顺义区20XX年届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在ABC中,若b 4,cosB14,sinA8,则a _______,c ________.答案2,3由cosB22214得,sinB24.由正弦定理asinAbsinB得a 2.又b a c 2accosB,即c c 12 0,解得c 3.9．（北京市石景山区20XX年届高三一模数学理试题）在△ABC中,若∠B=∠C=__________________.,b=4,则7 1210．（20XX年北京西城高三二模数学理科）在△ABC中,BC 2,AC ,B3,则AB ______;△ABC的面积是______.3,2;11．（20XX年北京海淀二模数学理科试题及答案）在ABC 中, A 30 , B 45 ,a ,则b _____;S ABC _____.212．（20XX年届门头沟区一模理科）在ABC中，若a 2，c 3，tanB b ．413．（20XX年届北京海滨一模理科）已知函数f(x) sinπ2x，任取t R，定义集合：At {y|y f(x)，点P(t,f(t))，Q(x,f(x))满足|PQ| .设Mt, mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h(t) Mt mt. 则（1）函数h(t)的最大值是_____；（2）函数h(t)的单调递增区间为________. 2, (2k 1,2k),k Z 三、解答题14．（20XX年北京房山二模数学理科试题及答案）已知函数f(x) sin( x )( 0,0 )的最小正周期为,且图象过点(,).162(Ⅰ)求, 的值;(Ⅱ)设g(x) f(x)f(x ),求函数g(x)的单调递增区间.4(Ⅰ)由最小正周期为可知由f()2 T2,126得sin(3)12,又0 ,333所以35 6,2,(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x) sin(2x 所以g(x) cos2x sin[2(x2) cos2xsin4x422k k解2k 4x 2k 得x (k Z)*****k k所以函数g(x)的单调增区间为[ , ] (k Z)2828)] cos2xsin2x115．（20XX年北京丰台二模数学理科试题及答案）已知ABC 的三个内角分别为A,B,C,且2sin2(B C) 2A.(Ⅰ)求A的度数;(Ⅱ)若BC 7,AC 5,求ABC的面积S.解: (Ⅰ)2sin2(BC) 2A. 2sin2AAcosA,sinA 0, sinA A, tanA 0 A , A 60°(Ⅱ)在ABC中, BC AB AC 2AB AC cos60,BC 7,AC 5,22249 AB2 25 5AB, AB2 5AB 24 0, AB 8或AB 3(舍),113AB AC sin60 5 8 103 222S ABC16．（20XX年北京西城高三二模数学理科）如图,在直角坐标系xOy中,角的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且,).将角的终边按逆时针方向旋转623,交单位圆于点B.记A(x1,y1),B(x2,y2). (Ⅰ)若x113,求x2;(Ⅱ)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.若S1 2S2,求角的值.(Ⅰ)解:由三角函数定义,得x1 cos ,x2 cos( 因为,),cos3)6213,所以sin3所以x2 cos(3)12cos21 6(Ⅱ)解:依题意得y1 sin ,y2 sin( 所以S1 3).12x1y1112cos sin14sin2 ,12[ cos( )] sin( ) sin(2*****2依题意得sin2 2sin(2 ),3S2|x2|y2整理得cos2 0 因为162, 所以32 ,所以22, 即417．（北京市石景山区20XX年届高三一模数学理试题）已知函数f(x)=sin(2x+(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间.(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f(A)=)+cos 2x. 62,a=2,B=,求△ABC的面积. 318．（20XX年北京昌平二模数学理科试题及答案）已知函数f(x) sin( 2x) x,x R.(Ⅰ)求f();26(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(Ⅰ)f(x) sin( 2x) x sin2x 2x 2sin(2x 23)f() 2sin( ) 26332(Ⅱ)f(x) 2sin(2x 又由2k3) T2 222x32k2k 5 125 12x k12(k Z)可得函数f(x)的单调递增区间为k,k(k Z) 122219．（20XX年届北京丰台区一模理科）已知函数f(x) (sinx cosx) 2cosx.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；3（Ⅱ）求函数f(x)在[,]上的值域.44解：（Ⅰ）f(x) 1 sin2x 2cos2xx4)，…………………3分最小正周期T= , …………………………………………………4分单调增区间[k （Ⅱ）4x8,k3 8](k Z), …………………………………7分4,22x3 2，42x5 44，……………………………………………10分f(x)在[ 34,4]上的值域是[ . …………………………………13分20．（20XX年届北京市延庆县一模数学理）已知f(x)3sin2x 2sin2x.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x [0,]，求f(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值．解：（Ⅰ）f(x) 3sin2x cos2x 12sin(2x6) 1 …………4分T22，f(x)最小正周期为. …………5分由2k 2x2622k (k Z)，得…………6分2 3 2k 2x32k …………7分3k x6k …………8分f(x)单调递增区间为[3k ,6k ](k Z). …………9分（Ⅱ）当x [0,6]时，2x6 [6,2]，…………10分f(x)在区间[0,6]单调递增，…………11分[f(x)]min f(0) 0，对应的x的取值为0. …………13分21．（北京市朝阳区20XX年届高三第一次综合练习理科数学）f(x)2x sin2x212( 0)的最小正周期为 .(Ⅰ)求的值及函数f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当x [0, 2 ]时,求函数f(x)的取值范围.本小题满分13分)解:(Ⅰ)f(x)2x1 cos x21212sin x2cos x知函数已sin( x )6因为f(x)最小正周期为,所以2 所以f(x) sin(2x 由2k6).2,k Z,得k22x62k3x k6.所以函数f(x)的单调递增区间为[k ,k ],k Z 367(Ⅱ)因为x [0,,所以2x [,],26661所以sin(2x ) 1261所以函数f(x)在[0,]上的取值范围是[ ,1]2222．（20XX年北京朝阳二模数学理科试题）在△ABC中, A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且f(A) 2cosA2sin(A2) sin2A2cos2A2.(Ⅰ)求函数f(A)的最大值; (Ⅱ)若f(A) 0,C 解:(Ⅰ)因为f(A) 2cos12,a 求b的值.sinA cosA A . 24 4.A2sinA2sin24A2cos24A因为A为三角形的内角,所以0 A ,所以所以当A A42,即A3 4时,f(A)取得最大值,A ) 0,所以sin(A ) 0.44又因为A ,所以A 0,所以A .*****又因为C ,所以B .123sinabasinB 3 由正弦定理得,bsinAsinBsinAsin4(Ⅱ)由题意知f(A)23．（20XX年北京海淀二模数学理科试题及答案）已知函数f(x) 1cos2xx )4.(Ⅰ)求函数f(x)的定义域; (Ⅱ) 求函数f(x)的单调递增区间. πππx kπ,{x|x kπ+,sin(x ) 0k Z 所以函数的定义域为44k Z} 4解:(I)因为所以f(x) 1cos2x sin2x(II)因为π= 1x )sinx cosx = 1+(cosx sinx)4(2kπππ,2kπ )22,k Z 2kπ3π4x 2kππ又y sinx的单调递增区间为2kππ2 xπ4 2kππ令2 解得(2kπ3ππx kπ+,4 又注意到4所以f(x)的单调递增区间为π,2kπ )44, k Z24．（北京市顺义区20XX年届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数f x cos 2 x cos 2 x 1 2sin2 x, x R, 0 的最小正周期为 .6 6(I)求的值;(II)求函数f x 在区间解:(I), 上的最大值和最小值. 43f x cos2 x cos6sin2 x sin6cos2 x cos6sin2 x sin6cos2 xsin2 x cos2 x2sin 2 x4因为f x 是最小正周期为, 所以,因此1(II)由(I)可知,f x2sin 2x ,4因为所以4x3,42x411 12于是当2x42,即x8时,f x 取得最大值2;44,即x4时,f x 取得最小值125．（20XX年届北京西城区一模理科）已知函数f(x) sinx acosx的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设g(x) f(x) f( x) xcosx，求g(x)的单调递增区间．（Ⅰ）解：依题意，得f(π4) 0，………………1分即sinπ4acosπ4220，………………3分解得a 1．………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f(x) sinx cosx．………………6分g(x) f(x) f( x)xcosx(sinx cosx)( sinx cosx) 2x ………………7分(cos2x sin2x) 2x ………………8分cos2x 2x ………………9分2sin(2x π6)．………………10分由2kπ πππ2 2x 6 2kπ 2，得kπ π3 x kπ π6，k Z．……………12分所以g(x)的单调递增区间为[kπ π3,kπ π6]，k Z．……13分26．（20XX年届东城区一模理科）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，bsinA cosB．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b ac的最大值．解：（Ⅰ）因为bsinA cosB，由正弦定理可得sinBsinAAcosB，因为在△ABC中，sinA 0，所以tanB.c，且又0 B ，所以B3.222（Ⅱ）由余弦定理b a c 2accosB，因为B 3，b22所以12 a c ac. 因为a c 2ac，所以ac 12. 当且仅当a c ac取得最大值12.27．（20XX年北京东城高三二模数学理科）已知函数f(x) sinxx sinx).(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)当x (0)时,求f(x)的取值范围.222 3(共13分)解:(Ⅰ)因为f(x)sinxx sinx)xcosx sin2x=12xcosx2sin2x) =2122x cos2x)1sin(2x ) . 2 62所以f(x)的最小正周期T .(Ⅱ)因为0 x ,所以2x .3662 所以f(x)的取值范围是(2 331,] 223528．（20XX年届北京大兴区一模理科）在ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b, c,cosA=b=．，B=π4，(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求sinC及ABC的面积．解:（Ⅰ）因为cosA35,A是ABC内角,所以sinA45由正弦定理:asinAbsinB知a28得: a 4 5si54（Ⅱ）在ABC 中, sinC sin[π (A B)] sin(A B)sinAcosB cosAsinB12**********1*****2 *****ABC 的面积为:sabsinC29．（20XX年北京顺义二模数学理科试题及答案）已知函数f x3cosx sinxsin2x2cosx12.(I)求f的值; 3(II)求函数f x 的最小正周期及单调递减区间. 解:(I)f323cos sinsin33 32cos313 322 211122221212(II)cosx 0,得x k2k Z,k Z . 2故f x 的定义域为x Rx k 因为f x3cosx sinxsin2x2cosx123212sinxcosx sinx 1 cos2x212123232sin2x sin2x1sin2xsin2xcos2x sin 2x , 262 2所以f x 的最小正周期为T因为函数y sinx的单调递减区间为2k 由2k 得k 2,2k3k Z , 222x62k 2 33 2,x k2k Z ,6x k ,x k2k Z ,所以f x 的单调递减区间为k62k Z , k ,k2 23π2 x)．30．（20XX年届门头沟区一模理科）已知：函数f(x) sin2x xcos(（Ⅰ）求函数f(x)的对称轴方程；（Ⅱ）当x [0, 7π12]时，求函数f(x)的最大值和最小值．2解：（Ⅰ）f(x) sinxxsinx1 cos2x22122x2cos2x…… 5分2x12sin(2x ) …………………………… 7分62ππ函数关于直线2x kπ(k Z)对称62πkπ所以对称轴方程为x (k Z) …………………………… 9分327πππ（Ⅱ）当x [0,]时，2x [ ,π]1266π1由函数图象可知，sin(2x 的最大值为1，最小值为……………………………12分。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的 大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π （5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C. D.8正视图侧视图俯视图（7）抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为A.B. 1C. D. 2 （8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .（10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若CD ，2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 .（13）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .D（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. （16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且P A A C ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==． （Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.PDABCFE（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点,A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求EM FN ⋅的取值范围. （20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.4三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 1()22x f x x ωω-=-+1cos 2x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分 所以()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分（Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 （Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯； 21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯． 所以随机变量X 的分布列为所以1()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分 （17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，PE PFPB PCλ==， 所以 EF BC ． 因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|BF CD θ-⋅-=〈〉==， 所以异面直线BF 与CD 9分 （Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-． 由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩令21x =，则2(1,1,1)=n ．若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=． 所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 （18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为{}0x x >， 且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>， 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点， 需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+，所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增， 从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,1314a b c ca a b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分 （Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,22E F，(3,(3,)22M N -，所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分 （2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --.所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k+-=⋅++ 22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈. 综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分 （20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。

北京市延庆县2013届高三一模统考 数学（理科）2013年3月本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=mA ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或32.已知函数⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(4x x x x f x，则=)]161([f fA. 9B.91C.9-D.91-3. 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是A ．420B ．560C ．840D ．201604.在极坐标系下，圆03sin 4:2=++θρρC 的圆心坐标为 A.)0,2( B.)2,2(π C.),2(π D.)2,2(π- 5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A ．xy 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=6.已知直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“2-=a ”是“21l l ⊥” A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是 A.2 B. 22 C.3 D. 328.已知函数)0(2)(23≠-+=a bx ax x f 有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，则A ．当0<a 时，021<+x x ，021>x x B. 当0<a 时，021>+x x ，021<x x（7题C. 当0>a 时，021<+x x ，021>x xD. 当0>a 时，021>+x x ，021<x x 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知1||=a ，2||=b ，向量a 与b 的夹角为60，则=+||b a .10. 若复数i m m m z )1()2(2+++-=（为虚数单位）为纯虚数， 其中m R ∈，则=m .11. 执行如图的程序框图，如果输入6=p ，则输出的S = . 12.在ABC ∆中，c b a ,,依次是角C B A ,,的对边，且c b <.若6,32,2π===A c a ，则角=C .13.如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ， 交斜边AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 边于点E .则=BC BE .14. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后)1(≥n ，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(n f ，则=)3(f ；=)(n f .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）已知x x x f 2sin 22sin 3)(-=. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若]6,0[π∈x ，求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值． （13题2 4 （14题16.（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，∠2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为 60，求CP CM的值.17. （本小题满分13分）空气质量指数5.2PM (单位:3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM 进行监测,获得5.2PM 日均浓度指数数据如茎叶图所示: （Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内 哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 空气质量类别均为优或良的概率；(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个,设X 为空气质量类别为优或良的天数, 求X 的分布列及数学期望. 18. （本小题满分13分）已知函数axx x a x f ++-=2221ln 2)()(R a ∈. (Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）当0<a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 的最小值. 19. （本小题满分14分）已知动点),(y x P 与一定点)0,1(F 的距离和它到一定直线4:=x l 的距离之比为21.3 0 2 24 4 8 9 6 6 15 1 7 8 8 2 3 0 9 8 甲城市 3 2 0 45 56 47 6 9 78 8 0 7 9 1 8 0 9乙城市(Ⅰ) 求动点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知直线:l '1+=my x 交轨迹C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作直线4:=x l 的垂线，垂足依次为点D 、E .连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 20. （本小题满分13分）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：(1)对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ；(2)存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有-)2(|1x ϕ|)2(2x ϕ||21x x L -≤.(Ⅰ)设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ； (Ⅱ)设A x ∈)(ϕ，如果存在)2,1(0∈x ，使得)2(00x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的；(Ⅲ)设A x ∈)(ϕ，任取)2,1(∈n x ，令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k ,对任意的正整数p ,不等式||1||121x x L L x x k k pk --≤--+成立.高三数学（理科答案） 2013年3月一、选择题：)0485('=⨯'B BCD D A D B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.7 10.2 11.3231 12.120 13.2114.27,25,23,21； 22-n j （这里j 为]2,1[n 中的所有奇数） 三、解答题：)0365('=⨯'15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）12cos 2sin 3)(-+=x x x f1)62sin(2-+=πx …………4分ππ==22T ，)(x f ∴最小正周期为π. …………5分由πππππk x k 226222+≤+≤+-)(Z k ∈，得 …………6分ππππk x k 232232+≤≤+-…………7分ππππk x k +≤≤+-63…………8分)(x f ∴单调递增区间为)](6,3[Z k k k ∈++-ππππ. …………9分（Ⅱ）当]6,0[π∈x 时，]2,6[62πππ∈+x ， …………10分 )(x f ∴在区间]6,0[π单调递增， …………11分0)0()]([min ==∴f x f ，对应的x 的取值为0. …………13分16.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：因为侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，所以AB PQ ⊥，因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，⊂PQ 侧面PAB ， 所以⊥PQ 平面ABCD . ………3分（Ⅱ）连结AC ，设O BD AC = ，建立空间直角坐标系xyz O -，则)0,0,0(O ，)0,0,3(B ，)0,1,0(C ，)0,0,3(-D ，)3,21,23(-P ，………5分)3,21,233(--=PD ,平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m ，设斜线PD 与平面ABCD 所成角的为α，则10303414273||||||,cos |sin =++==><=PD m PD mα. ………8分（Ⅲ）设CPt CM =)3,23,23(t t t -=，则M )3,123,23(t t t +-，=BM )3,123,323(t t t +--，)0,0,1(32=DB ， ………10分设平面MBD 的法向量为),,(z y x n = ，则00·=⇔=⇔⊥x DB n DB n ， ⇔=⇔⊥0·MB n MB n03)123()323(=++-+-tz y t x t ，取3=z ，得)3,236,0(-=t tn ，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m ………12分所以|60cos ||,cos |||||·|=><=n m n m n m ，所以21)236(332=-+t t ，解得2=t （舍去）或52=t .所以，此时CP CM 52=. ………14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好. ………2分（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为321510=，………4分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为31155=， ………6分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为923132=⨯. ………8分(Ⅲ)X 的取值为2,1,0，………9分73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(21511015===C C C X P ，212)0(21501025===C C C X P X 的分布列为：X 02 P732110212数学期望32212221101730=⨯+⨯+⨯=EX………13分18. （本小题满分13分）解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，………1分(Ⅰ)x a x a x x a ax x x f ))(2(2)(22-+=-+='， ………4分（1）当0=a 时，0)(>='x x f ，所以)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增； …5分（2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=（舍去），a x =2， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下：此时，)(x f 在区间),0(a 单调递减， 在区间),(+∞a 上单调递增；………7分（3）当0<a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=，a x =2（舍去）， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下：此时，)(x f 在区间)2,0(a -单调递减， 在区间),2(+∞-a 上单调递增.………9分（Ⅱ）由(Ⅰ)知当0<a 时，)(x f 在区间)2,0(a -单调递减，在区间),2(+∞-a 上单调递增.………10分（1）当e a ≥-2，即2ea -≤时，)(x f 在区间],1[e 单调递减，所以，22min 212)()]([e ea a e f x f ++-==； ………11分 （2）当e a <-<21，即212-<<-a e 时，)(x f 在区间)2,1(a -单调递减， 在区间),2(e a -单调递增，所以)2ln(2)2()]([2min a a a f x f --=-=，………12分 （3）当12≤-a ，即021<≤-a 时，)(x f 在区间],1[e 单调递增，所以21)1()]([min +==a f x f .………13分19. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ，化简并整理，得 13422=+y x .所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………3分（Ⅱ）当0=m 时，)23,1(A 、)23,1(-B ，)23,4(D 、)23,4(-E 直线AE 的方程为：0522=-+y x ，直线BD 的方程为：0522=--y x ，方程联立解得0,25==y x ，直线AE 、BD 相交于一点)0,25(. 假设直线AE 、BD 相交于一定点N )0,25(. ………5分证明：设),1(11y my A +，),1(22y my B +，则),4(1y D ，),4(2y E ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x 消去x 并整理得096)43(22=-++my y m ，显然0>∆，由韦达定理得436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y . ………7分 因为),23(11y my NA -=，),23(2y NE =， 所以23)23(121⨯-⨯-y y my )(232121y y y my +-= 4392+-=m m 23-4362+-⨯m m0= ………11分所以，NE NA //，所以A 、N 、E 三点共线， ………12分同理可证B 、N 、D 三点共线，所以直线AE 、BD 相交于一定点N )0,25(.14分20. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)对任意]2,1[∈x ，]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ， ≤33)2(x ϕ35≤，253133<<<，所以)2,1()2(∈x ϕ.对任意的]2,1[,21∈x x ，()()()()23232132121211121212|||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ，<3()()()()32321321112121x x x x ++++++，所以0＜()()()()2323213211121212x x x x ++++++32<，令()()()()2323213211121212x x x x ++++++＝L ，10<<L ，|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ，所以A x ∈)(ϕ. ………5分(Ⅱ)反证法:设存在两个0000),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=，)2(00x x '='ϕ则由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-ϕϕ，得||||/00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立.………8分(Ⅲ)121223)2()2(x x L x x x x -≤-=-ϕϕ，所以|2()2(|||11-+-=-n n n n x x x x ϕϕ||1--≤n n x x L ||212---≤n n x x L ……||121x x L n -≤-+-+-=--+-+-+++)()(|||211p k p k p k p k k p k x x x x x x ……|)(1k k x x -++kk p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211≤123122x x L x x L p k p k -+--+-+＋…+121x x L k --||1)1(121x x L L L p k ---=-||1121x x L L k --≤-. ………13分。

2013年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A ={x|x 2−4<0}，B ={0, 1, 2}，则A ∩B 等于（ ） A {0} B {0, 1} C {0, 1, 2} D ⌀2. 在复平面内，复数21−i对应的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 已知圆的直角坐标方程为x 2+y 2−2y =0．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）A ρ=2cosθB ρ=2sinθC ρ=−2cosθD ρ=−2sinθ4. 已知函数f(x)={2x x ≤0log 2x ，x >0，则f[f(−1)]=( )A −2B 2C 1D −15. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）A 16+4√2B 12+4√2C 8+4√2D 4+4√26. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A 251−2B 250−2C 251−1D 250−17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a =2bcosC”是“△ABC 是等腰三角形”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 8. 已知直线l 1:4x −3y +6=0和直线l 2:x =−1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（ ） A 3√55 B 2 C 115D 3二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 如图，已知AD =5，DB =8，AO =3√10，则圆O 的半径OC 的长为________．10. 已知x ，y 满足约束条件{2x +y ≤4x +2y ≤4x ≥0y ≥0，则z =x +y 的最大值为________．11. 若x +1>0，则x +1x+1的最小值为________．12. 在边长为1的等边△ABC 中，D 为BC 边上一动点，则AB →⋅AD →的取值范围是________． 13. 奇函数f(x)的定义域为[−2, 2]，若f(x)在[0, 2]上单调递减，且f(1+m)+f(m)<0，则实数m 的取值范围是________．14. 对任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)={x 1，x 1≥x 2x 2，x 1<x 2若f(x)=x 2−2，g(x)=−x ，则max （f(x)，g(x)）的最小值为________．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知函数f(x)=sinxcosx +cos 2x −12． （1）求f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在[−π8，π2]的最大值和最小值．16. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =2√2，CC 1=4，M 是棱CC 1上一点． （1）求证：BC ⊥AM ；（2）若N 是AB 上一点，且AN AB =CMCC 1，求证：CN // 平面AB 1M ；（3）若CM =52，求二面角A −MB 1−C 的大小．17. 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．18. 已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F(2, 0)的距离为√10，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．（1）求这个椭圆的标准方程；（2）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．19. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a, b∈R)（1）若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值；（2）若对任意a∈[−4, +∞)，f(x)在x∈[0, 2]上单调递增，求b的最小值．20. 现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，x n=n5，y n=1T(a0+a1+⋯+a n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)，作函数y=f(x)，使其图象为逐点依次连接点P n(x n, y n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)的折线．（1）求f(0)和f(1)的值；（2）设直线P n−1P n的斜率为k n(n=1, 2, 3, 4, 5)，判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（3）证明：当x∈(0, 1)时，f(x)<x．2013年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. A3. B4. D5. B6. B7. A8. B9. 510. 8311. 112. [12, 1]13. (−12，1]14. −115. 解：（1）由已知，得f(x)=12sin2x+12cos2x=√22sin(2x+π4)，∵ ω=2，∴ T=π，则f(x)的最小正周期为π；（2）∵ −π8≤x≤π2，∴ 0≤2x+π4≤5π4，则当2x+π4=π2时，即x=π8时，f(x)取得最大值√22；当2x+π4=5π4时，即x=π2时，f(x)取得最小值−12．16. （1）证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．因为AC=BC=2，AB=2√2，所以，由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1因为AM⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AM；（2）证明：如图，过N作NP // BB1交AB1于P，连结MP，则NP // CC1，且△ANP∽△ABB1．于是有NPBB1=ANAB．由已知ANAB =CMCC1，有NPBB1=CMCC1．因为BB1=CC1．所以NP=CM．所以四边形MCNP是平行四边形．所以CN // MP．因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，所以CN // 平面AB1M；（3）因为BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，所以以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C−xyz ．因为CM =52，所以C(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B 1(0, 2, 4)，M(0,0,52)， AM →=(−2,0,52)，B 1M →=(0,−2,−32)．设平面AMB 1的法向量m →=(x,y,z)， 则{m →⋅B 1M →=0˙，即{−2x +52z =0−2y −32z =0， 令x =5，则y =−3，z =4，即m →=(5,−3,4)． 又平面MB 1C 的一个法向量是CA →=(2,0,0)， 所以cos <m →，CA →>=|m →|⋅|CA →|˙=√52+(−3)2+42√22=√22． 由图可知二面角A −MB 1−C 为锐角， 所以二面角A −MB 1−C 的大小为π4．17. x ¯=16(107+111+111+113+114+122)=113x ¯=16(108+109+110+112+115+124)=113，S 2=16[(107−113)2+(111−113)2+(111−113)2+(113−113)2+(114−113)2+(122−113)2]＝21， S 2=16[(108−113)2+(109−113)2+(110−113)2+(112−113)2+(115−113)2+(124−113)2] =883，∵ x ¯=x ¯，S 甲2<S 乙2，∴ 甲车间的产品的重量相对较稳定．从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：(108, 109)， (108, 110)，(108, 112)，(108, 115)，(108, 124)，(109, 110)， (109, 112)，(109, 115)，(109, 124)，(110, 112)，(110, 115)， (110, 124)，(112, 115)，(112, 124)，(115, 124)．设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A 的基本事件有4种：(108, 109)，(108, 110)，(109, 110)，(110, 112)． 故所求概率为P(A)=415．18. 解：（1）由已知，可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则a =√10，c =2．所以b =√a 2−c 2=√10−4=√6， 所以椭圆方程为x 210+y 26=1．（2）若直线l ⊥x 轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为(2c, 0)．因为2c >a ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． 于是，设直线l 的方程为y =k(x −2)，点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则{x 210+y 26=1y =k(x −2)，整理得，(3+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−30=0，x 1+x 2=20k 23+5k 2，所以y 1+y 2=−12k 3+5k 2．因为四边形AOBC 为平行四边形，所以OA →+OB →=OC →， 所以点C 的坐标为(20k 23+5k 2，−12k3+5k 2)， 所以(20k 23+5k 2)210+(−12k 3+5k 2)26=1，解得k 2=1，所以k =±1． 19. 解：（1）f ′(x)=3x 2+2ax +b则{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10⇒{a =4b =−11或{a =−3b =3…当{a =4b =−11时，f ′(x)=3x 2+8x −11，△=64+132>0，所以函数有极值点； 当{a =−3b =3时，f′(x)=3(x −1)2≥0，所以函数无极值点；则b 的值为−11．…（2）解法一：f ′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立则F(a)=2xa +3x 2+b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立∵ x ≥0，F(a)在a ∈[−4, +∞)单调递增或为常数函数所以得F(a)min =F(−4)=−8x +3x 2+b ≥0对任意的x ∈[0, 2]恒成立， 即b ≥(−3x 2+8x)max ，又−3x 2+8x =−3(x −43)2+163≤163，当x =43时(−3x 2+8x)max =163，得b ≥163，所以 b 的最小值为163． …解法二：f ′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立即b ≥−3x 2−2ax 对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立， 即b ≥(−3x 2−2ax)max ．令F(x)=−3x 2−2ax =−3(x +a3)2+a 23①当a ≥0时，F(x)max =0，∴ b ≥0； ②当−4≤a <0时，F(x)max =a 23，∴ b ≥a 23．又∵ (a 23)MAX =163，∴ b ≥163．综上，b的最小值为163．…20. （1）解：f(0)=a0a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，…f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5a0+a1+a2+a3+a4+a5=1；…（2）解：k n=y n−y n−1x n−x n−1=5Ta n，n=1，2，3，4，5．…因为a0<a1<a2<a3<a4<a5，所以k1<k2<k3<k4<k5．…（3）证：由于f(x)的图象是连接各点P n(x n, y n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)的折线，要证明f(x)<x(0<x<1)，只需证明f(x n)<x n(n=1, 2, 3, 4)．…事实上，当x∈(x n−1, x n)时，f(x)=f(x n)−f(x n−1)x n−x n−1⋅(x−x n−1)+f(x n−1)=x n−x x n−x n−1f(x n−1)+x−x n−1x n−x n−1f(x n)<x n−xx n−x n−1x n−1+x−x n−1x n−x n−1x n=x．下面证明f(x n)<x n．法一：对任何n(n=1, 2, 3, 4)，5(a1+a2+...+a n)=[n+(5−n)](a1+a2+...+a n)…= n(a1+a2+...+a n)+(5−n)(a1+a2+...+a n)≤n(a1+a2+...+a n)+(5−n)na n...= n[a1+a2+...+a n+(5−n)a n]<n(a1+a2+...+a n+a n+1+...+a5)=nT…所以f(x n)=a1+a2+⋯+a nT <n5=x n．…法二：对任何n(n=1, 2, 3, 4)，当k n<1时，y n=(y1−y0)+(y2−y1)+...+(y n−y n−1)=15(k1+k2+⋯+k n)<n5=x n；…当k n≥1时，y n=y5−(y5−y n)=1−[(y n+1−y n)+(y n+2−y n+1)+...+(y5−y4)]=1−15(k n+1+k n+2+⋯+k5)<1−15(5−n)=n5=x n．综上，f(x n)<x n．…。

2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={x ∈R|2x +1<0}，B ={(x +1)(x −2)<0}，则A ∩B =( ) A.(−∞, −1) B.(−1, −12)C.(−12,2)D.(2, +∞)2. 在复平面内，复数1−2i 2+i对应的点的坐标为（ ）A.(0, −1)B.(0, 1)C.(45, −35)D.(45, 35)3. 参数方程{x =2−ty =−1−2t （为参数）与极坐标方程ρ=sin θ所表示的图形分别是（ ）A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线4. 已知向量a →=(2, 1)，b →=(−2, k)且a →⊥(2a →−b →)，则实数k ＝（ ） A.−14 B.−6C.6D.145. 如图，AB ，AC 分别与圆O 相切于点B ，C ，ADE 是⊙O 的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE ．则（ ）A.AB 2=AD ⋅DEB.CD ⋅DE =AC ⋅CEC.BE ⋅CD =BD ⋅CED.AD ⋅AE =BD ⋅CD6. 从0，1中选一个数字，从2，4，6中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A.36 B.30 C.24 D.127. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ．若圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是（ ） A.[2√2, 2√5] B.(2√2, 3√2] C.(3√2, 2√5] D.(0, 2√2)∪(2√5, +∞)8. 已知函数f(x)=sin (2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π)．则下列结论正确的是（ ） A.f(1112π)=−1B.f(7π10)>f(π5)C.f(x)是奇函数D.f(x)的单调递增区间是[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．在△ABC 中，若b =4，cos B =−14，sin A =√158，则a =________，c =________．如图是根据50个城市某年6月份的平均气温（单位：∘C ）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5, 26.5]，样本数据的分组为[20.5, 21.5),[21.5, 22.5),[22.5, 23.5),[23.5, 24.5),[25.5, 26.5]，由图中数据可知a =________；样本中平均气温不低于23.5∘C的城市个数为________．已知定义域为R的偶函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数，且f(12)=2，则不等式f(2x)>2的解集为________．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120∘，那么|PF|=________．函数B1的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)= x+1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)=x2−2x(x∈R)是单函数；②函数f(x)={log2x，x≥22−x,x<2是单函数；③若y=f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④函数f(x)在定义域内某个区间D上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)=cos(2ωx−π6)−cos(2ωx+π6)+1−2sin2ωx，(x∈R, ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f(x)在区间[−π4, π3]上的最大值和最小值．已知{a n}为等差数列，且a2=−1，a5=8．（1）求数列{|a n|}的前n项和；（2）求数列{2n⋅a n}的前n项和．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（1）求该射手恰好命中两次的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX；（3）求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．设函数f(x)=13x3−ax(a>0)，g(x)＝bx2+2b−1．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求a，b的值；(Ⅱ)当a＝1−2b时，若函数f(x)+g(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(Ⅲ)当a＝1−2b＝1时，求函数f(x)+g(x)在区间[t, t+3]上的最大值．已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M:x2+y2+6x−2y+7=0相切．过点(0, −12)的直线与椭圆C交于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点(n, S n)在函数y＝2x+1−2的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n}满足：b1＝0，b n+1+b n＝a n，求数列{b n}的前n项和公式；(Ⅲ)在第(II)问的条件下，若对于任意的n∈N∗不等式b n<λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先解不等式求出集合A和B；再由交集定义求出结论．【解答】解：∵集合A={x∈R|2x+1<0}={x|x<−12}B={(x+1)(x−2)<0}={x|−1<x<2}∴A∩B={x|x<−12}∩{x|−1<x<2}=(−1, −12)故选B．2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】化简复数1−2i2+i，它在复平面内的对应点为(0, 1)，由此求得结果．【解答】复数1−2i2+i =(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5i5=−i，它在复平面内的对应点为(0, −1)，3.【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形；将参数方程{x=2−ty=−1−2t（为参数）的参数方程消去参数后化成直角坐标方程即可得到结论．【解答】解：∵曲线的参数方程{x=2−ty=−1−2t（为参数），消去参数t得：2x−y−5=0．∴它所表示的图形是直线．∵ρ=sinθ∴ρ2=ρsinθ∴x2+y2=y∴直角坐标方程为x2+y2−y=0∴它所表示的图形是圆故选B．4.【答案】D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知易得2a→−b→的坐标，由成立垂直的充要条件可得关于k的方程，解之即可．【解答】∵a→=(2, 1)，b→=(−2, k)，∴2a→−b→=(6, 2−k)，又∵a→⊥(2a→−b→)，∴2×6+1×(2−k)＝0，解得k＝145.【答案】C【考点】与圆有关的比例线段【解析】由已知中AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，根据切割线定理，及相似三角形性质（对应边成比例），逐一分析四个答案，可得结论．【解答】解：∵AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，由切割线定理可得AB2=AD⋅AE，故A不正确，D不正确；由△ACD∽△AEC，可得CD⋅AE=AC⋅CE，故B不正确；由△ACD∽△AEC，可得AD⋅CE=AC⋅CD，由△ABD∽△AEB，可得AD⋅BE=AB⋅BD，又因为AB=AC，故BE⋅CD=BD⋅CE，故C正确故选C6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先选后排，特殊元素和特殊位置优先安排的原则即可得出．【解答】解：分以下两类：①当从0，1中选一个数字为0时，再从2，4，6中选两个数字可有C32种选法，组成无重复数字的三位数，则0不能在首位，共可组成C32C21A22=12个偶数；②当从0，1中选一个数字为1时，再从2，4，6中选两个数字可有C32种选法，组成无重复数字的三位数，则1不能放在末位，共可组成C32C21A22=12个偶数．综上可知：共有12+12=24个偶数．故选C．7.【答案】D【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以(−1, −1)为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r<CM或r>CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，其中M(1, 1)，N(2, 2)，P(1, 3)∵圆C：(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)，表示以C(−1, −1)为圆心，半径为r的圆∴由图可得，当半径满足r<CM或r>CP时，圆C不经过区域D上的点，∵CM=√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP=√(1+1)2+(3+1)2=2√5∴当0<r<2√2或r>2√5时，圆C不经过区域D上的点故选：D8.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用正弦函数的单调性【解析】根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．【解答】解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z．不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．∴D√；故选D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）【答案】−2【考点】程序框图【解析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：由程序框图，知：第一次循环：i=1+1=2，S=3−13+1=12；第二次循环：i=2+1=3，S=12−112+1=−13；第三次循环：i=3+1=4，S=−13−1−13+1=−2．结束循环，输出S=−2．故答案为：−2．【答案】 2,3【考点】 正弦定理同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin B =√154且B 为钝角，cos A =78，再利用诱导公式求得sin C 的值，再利用正弦定理求得a 、c 的值． 【解答】解：∵ 在△ABC 中，b =4，cos B =−14，sin A =√158，∴ sin B =√154 且B 为钝角， ∴ cos A =78，sin C =sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B =√158×(−14)+78×√154=3√1516． 由正弦定理可得4sin B=a sin A=c sin C，即√154=√158=3√1516，∴ a =2，c =3，故答案为2，3． 【答案】 0.18,33【考点】频率分布直方图 【解析】先由样本的频率分布直方图，结合总的概率和为1求出a ，再求出平均气温低于23.5∘C 的城市频率，利用频数=频率×样本容量求解平均气温不低于23.5∘C 的城市个数即可． 【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a =1−1×(0.10+0.12+0.12+0.22+0.26)=0.18．平均气温低于23.5∘C 的频率，即最右边三个矩形面积之和为0.18+0.22+0.26=0.66， ∵ 总城市数为50，∴ 平均气温不低于23.5∘C 的城市个数为50×0.66=33． 故答案为：0.18；33．【答案】 (−1, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合 其他不等式的解法 【解析】根据偶函数性质可知f(−12)=2，及f(x)在[0, +∞)上是增函数，利用函数单调性即可求得不等式的解集． 【解答】解：因为f(x)为偶函数，且f(12)=2，所以f(−12)=2， 又f(x)在(−∞, 0]上是减函数，所以f(x)在[0, +∞)上是增函数，由f(2x )>2得，2x >12或2x <−12（舍），由2x >12解得x >−1．所以不等式f(2x )>2的解集为(−1, +∞)． 故答案为：(−1, +∞)． 【答案】 4【考点】 抛物线的求解 【解析】利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F 在l 上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P 的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P 的横坐标，从而可求得|PA|． 【解答】解：∵ 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， ∴ |PF|=|PA|，F(1, 0)，准线l 的方程为：x =−1； 设F 在l 上的射影为F′，又PA ⊥l ， 依题意，∠AFF′=60∘，|FF′|=2，∴ |AF′|=2√3，PA // x 轴，∴ 点P 的纵坐标为2√3，设点P 的横坐标为x 0，则(2√3)2=4x 0， ∴ x 0=3，∴ |PF|=|PA|=x 0−(−1)=3−(−1)=4．故答案为：4．【答案】③【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据已知中“单函数”的定义，可得函数f(x)为单函数时，对任意x1≠x2，均有f(x1)≠f(x2)成立，由此举出反例可判断①②，根据定义可判断③④，进而得到答案．【解答】解：①中函数f(x)=x2−2x(x∈R)，当x=0或x=2时，f(x)=0，故∃x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；②中函数f(x)={log2x，x≥22−x,x<2，当x=0或x=4时，f(x)=2，故∃x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；③由“单函数”的定义可得f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，故其逆否命题：x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)成立，故③为真命题④中函数f(x)在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x1≠x2，使x1≠x2，从而不满足“单函数”的定义；综上真命题只有③故答案为：③三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）f(x)=cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6−cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6+cos2ωx=sin2ωx+cos2ω x=√2sin(2ωx+π4)．…因为f(x)是最小正周期为π，所以2π2ω=π，因此ω=1．…（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤2x+π4≤11π12．…于是当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值√2；…当2x+π4=−π4，即x=−π4时，f(x)取得最小值−1．…【考点】求两角和与差的正弦正弦函数的奇偶性正弦函数的定义域和值域正弦函数的单调性【解析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为√2sin(2ωx+π4)，由此根据函数的周期求得ω的值．（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，再根据−π4≤x≤π3，求得函数的最值．【解答】解：（1）f(x)=cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6−cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6+cos2ωx=sin2ωx+cos2ω x=√2sin(2ωx+π4)．…因为f(x)是最小正周期为π，所以2π2ω=π，因此ω=1．…（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤2x+π4≤11π12．…于是当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值√2；…当2x+π4=−π4，即x=−π4时，f(x)取得最小值−1．…【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a2=−1，a5=8，所以{a1+d=−1a1+4d=8解得a1=−4，d=3，…所以a n=−4+3(n−1)=3n−7，…因此|a n|=|3n−7|={−3n+7,n=1,23n−7,n≥3…记数列{|a n|}的前n项和为S n，当n=1时，S1=|a1|=4，当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5，当n≥3时，S n=S2+|a3|+|a4|+...+|a n|=5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n−7)=5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n2−112n+10，又当n=2时满足此式，综上，S n={4,n=132n2−112n+10，n≥2…（2）记数列{2n a n}的前n项和为T n，由（1）可知，a1=−4，d=3，a n=3n−7，则T n=2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n，①2T n=22a1+23a2+24a3+⋯+2n a n−1+2n+1a n，②①-②可得−T n=2a1+d(22+23+⋯+2n)−2n+1a n=−8+3×22(1−2n−1)1−2−2n+1(3n−7)=−8+3(2n+1−4)−2n+1(3n−7)=−20−(3n−10)2n+1，故T n=20+(3n−10)2n+1…【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=−1，a 5=8，利用等差数列的通项公式能求出a n ，由此能求出数列{|a n |}的前n 项和；（2）记数列{2n a n }的前n 项和为T n ．则T n =2a 1+22a 2+23a 3+⋯+2n a n ，由错位相减法可求和． 【解答】 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2=−1，a 5=8，所以{a 1+d =−1a 1+4d =8解得a 1=−4，d =3，…所以a n =−4+3(n −1)=3n −7，… 因此|a n |=|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3…记数列{|a n |}的前n 项和为S n ， 当n =1时，S 1=|a 1|=4，当n =2时，S 2=|a 1|+|a 2|=5，当n ≥3时，S n =S 2+|a 3|+|a 4|+...+|a n |=5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n −7) =5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n 2−112n +10，又当n =2时满足此式，综上，S n ={4,n =132n 2−112n +10，n ≥2…（2）记数列{2na n }的前n 项和为T n ，由（1）可知，a 1=−4，d =3，a n =3n −7， 则T n =2a 1+22a 2+23a 3+⋯+2n a n ，①2T n =22a 1+23a 2+24a 3+⋯+2n a n−1+2n+1a n ，② ①-②可得−T n =2a 1+d(22+23+⋯+2n )−2n+1a n =−8+3×22(1−2n−1)1−2−2n+1(3n −7)=−8+3(2n+1−4)−2n+1(3n −7) =−20−(3n −10)2n+1， 故T n =20+(3n −10)2n+1…【答案】 解：（1）记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D ． 由题意知，P(B)=P(C)=34，P(D)=23，所以P(A)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=P(B)P(C)P(D ¯)+P(B)P(C ¯)P(D)+P(B ¯)P(C)P(D) =34×34×(1−23)+34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=716． （2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=(1−34)×(1−34)×(1−23)=148，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)=18，P(X =2)=P(BCD ¯)+P(B ¯C ¯D)=34×34×(1−23)+(1−34)×(1−34)×23=1148，P(X =3)=P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=14，P(X =4)=P(BCD)=34×34×23=38， 故X 的分布列是∴ EX =0×148+1×18+2×1148+3×14+4×38=176．（3）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2， 则A 1=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P(A 1)=P(B 1)+P(B 2)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)+34×34×23=12． ∴ 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）该射手恰好命中两次共有C 32=3种情况，根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可．（3）该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次可分为以下两种情况：“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”事件，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”事件，且上述两种事件互斥，利用相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式解出即可．【解答】 解：（1）记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D ． 由题意知，P(B)=P(C)=34，P(D)=23，所以P(A)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=P(B)P(C)P(D ¯)+P(B)P(C ¯)P(D)+P(B ¯)P(C)P(D)=34×34×(1−23)+34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=716． （2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=(1−34)×(1−34)×(1−23)=148，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)=18， P(X =2)=P(BCD ¯)+P(B ¯C ¯D)=34×34×(1−23)+(1−34)×(1−34)×23=1148，P(X =3)=P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=14， P(X =4)=P(BCD)=34×34×23=38， 故X 的分布列是∴ EX =0×148+1×18+2×1148+3×14+4×38=176．（3）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2， 则A 1=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P(A 1)=P(B 1)+P(B 2)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)+34×34×23=12． ∴ 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12．【答案】(I)f ′(x)＝x 2−a ，g ′(x)＝2bx ．因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13−a =b +2b −1，且1−a ＝2b ， 解得a =13,b =13． (II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)， 当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，ℎ′(x)＝x 2+(1−a)x −a ＝(x +1)(x −a)，令ℎ′(x)＝0，得x 1＝−1，x 2＝a >(0)当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(a, +∞)；单调递减区间为(−1, a)， 故ℎ(x)在区间(−2, −1)内单调递增，在区间(−1, 0)内单调递减，从而函数ℎ(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0 ，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13)．(III)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)． ①当t +3<−1时，即t <−4时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13(t +3)3−(t +3)−1=13t 3+3t 2+8t +5；②当t <−1且−1≤t +3<1，即−4≤t <−2时，ℎ(x)在区间[t, −1)上单调递增，在区间[−1, t +3]上单调递减，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；当t <−1且t +3≥1，即−2≤t <−1时，t +3<2且ℎ(2)＝ℎ(−1)=−13， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；③当−1≤t <1时，t +3≥2>1，ℎ(x)在区间[t, 1)上单调递减，在区间[1, t +3]上单调递增， 而最大值为ℎ(t)与ℎ(t +3)中的较大者．由ℎ(t +3)−ℎ(t)＝3(t +1)(t +2)知，当−1≤t <1时，ℎ(t +3)≥ℎ(t)， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5； ④当t ≥1时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5． 【考点】 函数的零点利用导数研究函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I ）求出f ′(x)，g ′(x)，由题意得f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，解该方程组即可； (II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，利用导数可研究其单调性、极值情况，由函数在(−2, 0)内有两零点可得端点处函数值及极值符号，由此得一不等式组，解出即可； (III)当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调区间及极值点，按照在区间[t, t +3]内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最大值； 【解答】(I)f ′(x)＝x 2−a ，g ′(x)＝2bx ．因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13−a =b +2b −1，且1−a ＝2b ，解得a =13,b =13．(II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)， 当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，ℎ′(x)＝x 2+(1−a)x −a ＝(x +1)(x −a)，令ℎ′(x)＝0，得x 1＝−1，x 2＝a >(0)当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(a, +∞)；单调递减区间为(−1, a)， 故ℎ(x)在区间(−2, −1)内单调递增，在区间(−1, 0)内单调递减，从而函数ℎ(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0 ，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13)．(III)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)． ①当t +3<−1时，即t <−4时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13(t +3)3−(t +3)−1=13t 3+3t 2+8t +5；②当t <−1且−1≤t +3<1，即−4≤t <−2时，ℎ(x)在区间[t, −1)上单调递增，在区间[−1, t +3]上单调递减，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；当t <−1且t +3≥1，即−2≤t <−1时，t +3<2且ℎ(2)＝ℎ(−1)=−13，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；③当−1≤t <1时，t +3≥2>1，ℎ(x)在区间[t, 1)上单调递减，在区间[1, t +3]上单调递增， 而最大值为ℎ(t)与ℎ(t +3)中的较大者．由ℎ(t +3)−ℎ(t)＝3(t +1)(t +2)知，当−1≤t <1时，ℎ(t +3)≥ℎ(t)， 所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5；④当t ≥1时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5．【答案】 解：（1）将圆M 的一般方程x 2+y 2+6x −2y +7=0化为标准方程(x +3)2+(y −1)2=3，则圆M 的圆心M(−3, 1)，半径r =√3．由A(0,1),F(−c,0)(c =√a 2−1)得直线AF 的方程为x −cy +c =0． 由直线AF 与圆M 相切，得√1+c 2=√3，解得c =√2或c =−√2（舍去）． 当c =√2时，a 2=c 2+1=3， 故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y =kx −12． 因为点(0,−12)在椭圆内，所以对任意k ∈R ，直线都与椭圆C 交于不同的两点． 由{y =kx −12x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2−3kx −94=0．设点P ，Q 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则y 1=kx 1−12，y 2=kx 2−12，x 1+x 2=3k 1+3k 2，x 1x 2=−94(1+3k 2)，所以|PQ|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=3√(1+k 2)(1+4k 2)1+3k ．又因为点A(0, 1)到直线y =kx −12的距离d =2√k 2+1，所以△APQ 的面积为S =12|PQ|⋅d =9√1+4k 24(1+3k 2)．设t =11+3k2，则0<t ≤1且k 2=13t−13，S =94t ⋅√43t−13=94√4t 3−t 23=94√−13(t −2)2+43．因为0<t ≤1，所以当t =1时，△APQ 的面积S 达到最大， 此时11+3k 2=1，即k =0．故当△APQ 的面积达到最大时，直线的方程为y =−12． 【考点】圆锥曲线的综合问题 直线的一般式方程 椭圆的标准方程【解析】（1）写出直线AF 的方程，由直线AF 与圆M 相切得关于c 的方程，解出c 再由a 2=c 2+b 2即可求得a 值； （2）易判断直线PQ 的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出PQ ，根据点到直线的距离公式表示出点A(0, 1)到直线PQ 的距离，由三角形面积公式可表示出△APQ 的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k 的值；【解答】 解：（1）将圆M 的一般方程x 2+y 2+6x −2y +7=0化为标准方程(x +3)2+(y −1)2=3，则圆M 的圆心M(−3, 1)，半径r =√3．由A(0,1),F(−c,0)(c =√a 2−1)得直线AF 的方程为x −cy +c =0．由直线AF 与圆M 相切，得√1+c 2=√3， 解得c =√2或c =−√2（舍去）． 当c =√2时，a 2=c 2+1=3， 故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y =kx −12． 因为点(0,−12)在椭圆内，所以对任意k ∈R ，直线都与椭圆C 交于不同的两点． 由{y =kx −12x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2−3kx −94=0．设点P ，Q 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则y 1=kx 1−12，y 2=kx 2−12，x 1+x 2=3k1+3k ，x 1x 2=−94(1+3k 2)，所以|PQ|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=3√(1+k 2)(1+4k 2)1+3k 2．又因为点A(0, 1)到直线y =kx −12的距离d =2√k 2+1，所以△APQ 的面积为S =12|PQ|⋅d =9√1+4k 24(1+3k 2)．设t =11+3k 2，则0<t ≤1且k 2=13t −13，S =94t ⋅√43t −13=94√4t3−t 23=94√−13(t −2)2+43．因为0<t ≤1，所以当t =1时，△APQ 的面积S 达到最大， 此时11+3k 2=1，即k =0．故当△APQ 的面积达到最大时，直线的方程为y =−12．【答案】（I ）由题意可知，S n =2n+1−2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ， 当n ＝1时，a 1=S 1=21+1−2=2也满足上式， 所以a n =2n (n ∈N ∗)．(II)由(I)可知b n+1+b n =2n (n ∈N ∗)，即b k+1+b k =2k (k ∈N ∗)． 当k ＝1时，b 2+b 1=21，…①当k ＝2时，b 3+b 2=22，所以−b 3−b 2=−22，…② 当k ＝3时，b 4+b 3=23，…③当k ＝4时，b 5+b 4=24，所以−b 5−b 4=−24，…④ … …当k ＝n −1时（n 为偶数），b n +b n−1=2n−1，所以−b n −b n−1=−2n−1⋯n −1 以上n −1个式子相加，得b n +b 1=2−22+23−24+⋯+2n−1=2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2(1+2n−1)3=2n 3+23，又b 1＝0，所以，当n 为偶数时，b n =2n 3+23．同理，当n 为奇数时，−b n +b 1=2−22+23−24+⋯−2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2−2n 3，所以，当n 为奇数时，b n =2n 3−23．因此，当n 为偶数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n =(23−23)+(223+23)+(233−23)+(243+23)+⋯+(2n 3+23) =23+223+⋯+2n 3=13⋅2(1−2n )1−2=2n+13−23；当n 为奇数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n−1+b n =(23−23)+(223+23)+⋯+(2n−13+23)+(2n 3−23) =(23+223+⋯+2n3)−23=2n+13−43． 故数列{b n }的前n 项和T n ={2n+13−23(n)2n+13−43(n)．(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，①当n 为偶数时，b nb n+1=2n 3+232n+13−23=2n +22n+1−2=12+32n+1+2，所以b nbn+1随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，b nb n+1的最大值是b2b 3=1．②当n 为奇数时，b n b n+1=2n 3−232n+13+23=2n −22n+1+2=12−32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而增大，且b nb n+1=12−32n+1+2<12<1．综上，b nb n+1的最大值是1．因此，若对于任意的n ∈N ∗，不等式b n <λb n+1恒成立，只需λ>1，故实数λ的取值范围是(1, +∞)． 【考点】 数列的求和 数列的函数特性等差数列与等比数列的综合【解析】（I ）由题意可知S n =2n+1−2，分当n ＝1，和n ≥2两种情况，可得数列{a n }的通项公式；第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页(II)可得b n+1+b n =2n ，分n 为奇数和n 为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，分当n 为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得b nbn+1的最大值是1，进而可得结论． 【解答】（I ）由题意可知，S n =2n+1−2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ， 当n ＝1时，a 1=S 1=21+1−2=2也满足上式， 所以a n =2n (n ∈N ∗)．(II)由(I)可知b n+1+b n =2n (n ∈N ∗)，即b k+1+b k =2k (k ∈N ∗)． 当k ＝1时，b 2+b 1=21，…①当k ＝2时，b 3+b 2=22，所以−b 3−b 2=−22，…② 当k ＝3时，b 4+b 3=23，…③当k ＝4时，b 5+b 4=24，所以−b 5−b 4=−24，…④ … …当k ＝n −1时（n 为偶数），b n +b n−1=2n−1，所以−b n −b n−1=−2n−1⋯n −1 以上n −1个式子相加，得b n +b 1=2−22+23−24+⋯+2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2(1+2n−1)3=2n 3+23，又b 1＝0， 所以，当n 为偶数时，b n =2n 3+23．同理，当n 为奇数时，−b n +b 1=2−22+23−24+⋯−2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2−2n 3，所以，当n 为奇数时，b n =2n 3−23．因此，当n 为偶数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n =(23−23)+(223+23)+(233−23)+(243+23)+⋯+(2n 3+23) =23+223+⋯+2n 3=13⋅2(1−2n )1−2=2n+13−23；当n 为奇数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n−1+b n =(23−23)+(223+23)+⋯+(2n−13+23)+(2n 3−23) =(23+223+⋯+2n3)−23=2n+13−43． 故数列{b n }的前n 项和T n ={2n+13−23(n)2n+13−43(n)．(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，①当n 为偶数时，b nb n+1=2n 3+232n+13−23=2n +22n+1−2=12+32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，b nb n+1的最大值是b2b 3=1．②当n 为奇数时，b nb n+1=2n 3−232n+13+23=2n −22n+1+2=12−32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而增大，且b nb n+1=12−32n+1+2<12<1．综上，b nbn+1的最大值是1．因此，若对于任意的n ∈N ∗，不等式b n <λb n+1恒成立，只需λ>1， 故实数λ的取值范围是(1, +∞)．。

2024年北京市大兴区中考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下面几何体中，是圆锥的为()A. B.C. D.2.2024年是京津冀协同发展十周年，高标准建设雄安新区成效显著.从新区设立至2023年底，累计开发面积184平方公里，4017栋楼宇拔地而起，总建筑面积4370万平方米.将43700000用科学记数法表示应为() A. B. C. D.3.五边形的内角和是()A. B. C. D.4.如图，直线AB，CD相交于点O，，若，则的大小为()A.B.C.D.5.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A. B. C. D.6.不透明的盒子中装有3个小球，每个小球上面写着一个汉字分别是“向”、“前”、“冲”，这3个小球除汉字外无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其汉字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其汉字，则两次都摸到“冲”字的概率是()A. B. C. D.7.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值是()A. B. C. D.8.如图，在中，，于点D，设，，给出下面三个结论：①；②；③若，则上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为.10.分解因式：.11.方程的解为______.12.在平面直角坐标系xOy中，若点和在反比例函数的图象上，则m的值为______.13.如图，AB是的直径，点C，D在上，若，则的度数为______14.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，于点若，，则OE的长为______.15.某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图.若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有______人.16.某公园门票价格如下表：购票人数80以上门票价格20元/人16元/人13元/人某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为a和若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为______，______.三、解答题：本题共12小题，共68分。