第十三章 实数 小结(1)

综合实数知识点总结一、实数的定义实数是数学上最基本的数，包括有理数和无理数，任何一个不是虚数的数都是实数。

实数可以用数轴上的点来表示，数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都可以对应数轴上的一个点。

实数包括正数、负数和零，可以表示为一个小数、一个分数、一个整数或者以无穷不循环小数的形式表示。

无理数是指不能被表示为两个整数之比的数，如π和根号2等。

有理数是指可以被表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、分数等。

二、实数的性质1. 实数的加法性质- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 存在加法单位元0：a + 0 = a- 存在加法逆元：a + (-a) = 02. 实数的乘法性质- 交换律：a * b = b * a- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)- 存在乘法单位元1：a * 1 = a- 存在乘法逆元：如果a ≠ 0，则存在a的乘法逆元1/a3. 实数的分配律：a * (b + c) = a * b + a * c4. 实数的比较性质：对于不相等的实数a和b- 反对称性：如果a > b，则b < a- 传递性：如果a > b，且b > c，则a > c- 密集性：在任意两个不相等的实数a和b之间，存在一个实数c，使得a < c < b5. 导数性质：对于可导的函数f(x)，f'(x)=lim（h->0）[f(x+h)-f(x)]/h三、实数的运算1. 实数的加法和减法加法：a + b减法：a - b = a + (-b)2. 实数的乘法和除法乘法：a * b除法：a / b = a * (1 / b)，其中b ≠ 03. 实数的指数运算幂运算：a^b，其中a是底数，b是指数4. 实数的根号运算开方运算：√a5. 实数的数学函数常见的数学函数包括四则运算、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

完整版)实数知识点总结第一章实数考点一：实数的概念及分类（3分）实数可以分为以下几类：1.正有理数2.零、有限小数和无限循环小数的有理数3.实数负有理数4.正无理数5.无限不循环小数的无理数6.负无理数7.整数，包括正整数、零和负整数。

8.正整数又称自然数。

9.有理数包括正整数、零、负整数、正分数和负分数。

10.无理数包括开方开不尽的数、有特定意义的数、有特定结构的数和某些三角函数。

考点二：实数的倒数、相反数和绝对值1.相反数是指符号相反的两个数，互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。

2.如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

3.一个数的绝对值是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0.4.零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0.5.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

6.如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

7.倒数等于本身的数是1和-1，零没有倒数。

考点三：平方根、算数平方根和立方根1.如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

2.一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

3.正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

4.正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

5.如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

6.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

7.注意：3-√a=-3√a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四：科学记数法和近似数1.一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2.科学记数法是将一个数写成n±a×10的形式，其中1≤a<10.1.科学记数法当一个数的绝对值非常大或非常小时，我们可以使用科学记数法来表示。

13.1平方根（34课时）学习目标：1、 理解数的算术平方根的概念，并会用符号表示。

2、 理解平方与开平方是互为逆运算。

3、 会求一些非负数的算术平方根。

自学指导：认真学习课本68—71页的内容，完成下列要求：1、a 中被开方数a 的范围怎样。

0的算术平方根的意义。

2、完成例1，注意例1的书写格式。

3、学习例3的内容，注意50与7是怎样比较的。

4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示。

展示内容：1、 ∵ 22 = ∴ 4的算术平方根是 即 ∵ 2)43( = ∴ 169的算术平方根是 即 2、∵正数a 的算术平方根是a ，∴2的算术平方根是 ∵4的算术平方根是2，∴4 = 3、求下列各数的算术平方根：⑴ 0.0025 ⑵ 121 ⑶ 23 ⑷ 2(3)- ⑸ 74、求下列各式的值： （1）1 （2）259（3）()2-5、计算下列各式：（1）49 — 49 （2）1691 —144 + 81（3）25×3616、求下列各等式中的正数x（1）2x = 169 （2） 42x — 121 = 0 7、比较下列各组数的大小。

（1）140与12 （2）215—与0.5 13.3 平方根（35课时）一、学习目标 1、 理解平方根的概念 2、 了解开平方的定义 3、 掌握平方根的性质 二、自学指导认真阅读72－74页内容，完成下列要求：1、 说明：一个正数a 的算术平方根有＿＿个，平方根有＿＿个，并且互为＿＿＿＿，0的平方根是＿＿＿。

2、 负数有没有平方根，为什么？ 3、 注意根号前的符号4、 自学20分钟后，进行展示活动 三、展示内容1、 填表：2、 计算下列各式的值:（1） （2）－ （3）± （4）－3、 平方根起源于正方形的面积，若一个正方形的面积为A ，那么这个正方形的边长为多少？4、 判断下列说法是否正确（1）5是25的算术平方根（ ） （2）65是3625的一个平方根（ ）（3）()42-的平方根是－4（ ）（4）0的平方根与算术平方根都是0（ ） 5、下列各式是否有意义，为什么？（1） －3（2）3-（3）()22-（4）10216、求下列各式的x 的值:（1）2x ＝25 （2）2x －81＝0 （3）252x ＝36 （4）22x －18＝013.2 立方根（36课时）学习目标：1、理解并掌握立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根。

年 级 初二 学 科 数学版 本人教新课标版课程标题 第十三章 第3节 实数编稿老师 陈孟伟 一校 黄楠二校李秀卿审核王百玲一、学习目标：1. 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；2. 正确理解有理数与无理数的区别；3. 知道实数的相反数、倒数、绝对值、大小的比较。

二、重点、难点：重点：实数的概念和性质，以及运算定律。

难点：对无理数的理解。

三、考点分析：实数和数轴是中考的必考内容，其中实数的有关概念是初中数学的重要概念之一，实数的运算是初中数学的基础，数轴是数形结合的具体体现，因此它是中考命题的热点，这类题型以填空题、选择题居多，试题难度多为低、中档。

1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

2. 实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

3. 实数的分类（1）按定义分：⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数——无限不循环小数 （2）按符号分：0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数4. 实数与数轴上的点是一一对应关系。

5. 实数的有关概念及运算（1）有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立，有理数的一些概念，如相反数、绝对值、倒数在实数范围内仍适用。

（2）对于实数,a b 有如下性质：①若a 与b 互为相反数，则0a b +=；②若a 与b 互为倒数，则1ab =；③任何实数的绝对值都是非负数，即||0a ≥；④互为相反数的两个数的绝对值相等，即||||a a =-；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； ⑥0没有倒数。

6. 实数的运算定律和运算顺序与有理数的运算定律和运算顺序相同。

知识点一：无理数的概念例1：下列说法中正确的有（ ） ①无理数都是实数； ②实数都是无理数； ③无限小数都是有理数； ④带根号的数都是无理数； ⑤除了π之外不带根号的数都是有理数。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 思路分析：无理数并不都是带根号的数，带根号的数也并不都是无理数（如π是无理数但不带根号，而4带根号却不是无理数），目前我们所接触到的无理数有如下三种形式：第一种是开方开不尽的数，如3，5-，39，57-等，但用根号形式表示的数却并不都是无理数，如16，327-等。