数学分析华师大二版课本上的习题16
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第十六章 多元函数的极限于连续 P.120 §1平面点集与多元函数 1． 判断下列平面点集，哪些是开集，闭集，有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点： （1）[)[);,,d c b a ⨯ (2){};0|),(≠xy y x (3) {};0|),(=xy y x (4) {};|),(2x y y x >(5) {};2,2,2|),(>+<<y x y x y x (6) {};0|),(≥xy y x (7) ;0,1sin |),(⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=x x y y x (8) {};10,01|),(22≤≤==+x y y x yx 或(9) {};21,01|),(22≤≤=≤+x y y x yx 或(10) {};,|),(均为整数y x y x2.试问集合{};0,0|),(δδ<-<<-b y a x y x 〈与集合{};,|),(δδ<-<-b y a x y x 是否相同？3．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{P n }E,P n P 0.PP nn 0lim =∞→时，P 0是E 的聚点。
4.证明：闭域必为闭集。
举例说明反之不真。
5．证明：点列{}),(y x P nnn收敛于),(0y x P 的充要条件是xx n n 0lim =∞→和y ynn 0lim =∞→6．求下列个函数的函数值：（1）])()([2),(y x arctg y x arctg y x f -+=，求);231,231(-+f（2）yx xyy x f 222),(+=，求),1(xy f ； （3）yxxytgy x f yx -+=22),(，求f(tx,ty). 7.设F(x,y)=ln xln y,证明：u>0,v>0,则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v); 8.求下列各界函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集： （1）yx y x y x f 2222),(-+=； （2）;321),(22yx y x f +=（3）f(x,y)=xy ; (4);11),(22-+-=yxy x f(5);ln ln ),(y x y x f += (6));sin(),(22y x y x f +=(7))ln(),(x y y x f -= (8);),()(22ey x y x f +-=(9)1),,(22++=yx zz y x f(10))(,1),,(22222222r R z y x f rz y x z yx R>-+++---=9.证明：开集与闭集具有对偶性——若E 为开集，则E c 为闭集；若E 为闭集，则E c 为开集。
10．证明：（1）若F 1，F 2为闭集，则F F FF 2121⋂⋃与都为闭集；（2）若E 1，E 2为开集, 则EE E E 2121⋂⋃与都为开集；（3）若F 为闭集，E 为开集，则F\E 为闭集，E\F 为开集。
11．试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之。
12．证明定理16.4（有限覆盖定理） §2二元函数的极限1． 试求下列极限（包括非正常极限）：（1）yx yx y x 2222)0,0(),(lim+→； （2）yx yx y x 2222)0,0(),(1lim+++→；（3）;11lim2222)0,0(),(-+++→yx y x y x （3）yx xy y x 44)0,0(),(1lim++→；（5）y x y x -→21lim)2,1(),(； （6）;1sin)(lim 22)0,0(),(yx y x y x ++→（7）.)sin(lim2233)0,0(),(yx y x y x ++→2.讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限。
(1)yx yy x f 222),(+=(2);1sin 1sin)(),(yx y x y x f +=(3))(22222),(y x y x y x y x f -+=(4) yy x f x yx ++=233),((5)xy y x f 1sin ),(= (6) yx y x y x f 3322),(+=(7) xyy x f eeyxsin ),(-=3.证明：若1o),(lim),(),(y x f b a y x →存在且等于A ，2o y 在b 的某邻域内，存在有.),(lim lim ),(),(lim A y x f y y x f ax b y ax ==→→→则ϕ4．试应用δξ-定义证明0lim222)0,0(),(=+→yx y x y x 。
5．叙述并证明：二元函数极限存在的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。
6．试写出下列类型极限的精确定义：（1）;),(lim ),(),(A y x f y x =∞-∞→ （2）;),(lim ),0(),(A y x f y x =∞→7．试求下列极限：（1）yx y x y x 4422),(),(l i m+++∞+∞→ （2）eyx y x y x )(22),(),()(lim+-+∞+∞→+（3）)11(sin ),(),(limxyyx y x ++∞+∞→ （4）)11()0,(),(limxyx x y x +++∞→8．试作一函数f(x,y)使当,+∞→x ,+∞→y 时，（1） 两个累次极限存在而重极限不存在； （2） 两个累次极不限存在而重极限存在； （3） 重极限和累次极限都不存在；（4） 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在。
9．证明定理16.5及其推论3。
§3二元函数的连续性1． 讨论下列函数的连续性：（1）)),(22(y x tgy x f += （2）][),(y x y x f +=0,sin ≠y yxy(3)=),(y x fy=00,sin 2222≠++yx yx xy(4) =),(y x f0 x 为无理数 (5) =),(y x fy x 为有理数),ln(222yx y+022≠+yx（6）=),(y x f022=+yx（7）yx y x f sin sin 1),(= （8）e y xy x f -=),(2． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性。
3． 设,22)(y x px+022≠+yx=),(y x f022=+yx讨论它在（0，0）点处的连续性。
4． 设),(y x f 定义于闭矩形域S=[a,b][c,d].若f 对y 在[c,d]上处处连续，对x 在[a,b]上（且关于y ）为一致连续，证明f 在S 上处处连续。
5． 证明：若R D 2⊂是有界闭域，f 为D 上连续函数，则f(D)不仅有界（定理16.8），而且是闭区间。
6． 设),(y x f 在集合R G 2⊂上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：y y y y L x f x f ''''''),(),(-≤-，其中（x,y ’）,(x,y ’’)G ∈,L 为常数，试证明f 在G 上处处连续。
7． 若一元函数)(x ϕ在[a,b]上连续，令),(y x f =)(x ϕ，（x,y ）).,(],[∞-∞⨯=∈b a D 试讨论f 在D 上是否连续，是否一致连续？ 8． 设),(y x f =)1,0[)1,0[),(,11⨯=∈-D y x xy， 证明f 在D 上连续但不一致连续。
9． 设f 在R 2上连续，且.,),(lim 22y x r A y x f r +==+∞→证明（1）f 在R 2上有界；（2）f 在R 2上一致连续。
10．设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 是连续的，并且每当固定x 时对y 是单调的，证明f 是R 2上的二元连续函数。
总练习题 1． 设R E 2⊂是有界闭集，d(E)为E 的直径，证明：存在P 1,P 2E,使得)(),(21E d P P =ρ。
2． 设),(y x f =xy1，r=,1,22>+k yx ,1|),(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=kx y x k y x D {}0,0|),(2>>=y x y x D . 试分别讨论 i =1,2时极限),(lim ),(y x f Dy x r ∈+∞→是否存在？为什么？ 3． 设,)(lim 0A y y y =→ϕ,0)(lim 0=→x x x ψ且在（),0y x 附近有.),(lim ).()(),(),(),(00A y x f y x x y y x f y x =≤-→证明ψϕ4． 设f 为定义在R 2上的连续函数，是任一实数，{},),(,),(|),(2R y x y x f y x E ∈>=α{},),(,),(|),(2R y x y x f y x F ∈≥=α证明E 是开集，F 是闭集。
5． 设f 在有界开集E 上一致连续，证明：（1） 可将f 连续延拓到E 的边界。
（2） f 在E 上有界。
6． 设),(y x ϕμ=与),(y x ψν=在xy 平面中的点集E 上一致连续；ψϕ与把点集E 映射为平面中的点集D ，f(νμ，)在D 上一致连续，证明复合函数f[),(y x ϕ,),(y x ψ]在E 上一致连续。
7． 设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数)(),(),()()(),('x y x F y x yx y f x f y x F f=≠--=定义在区域),(),(b a b a D ⨯=内，证明：对任何c(a,b),有).(),(lim '),(),(c y x F fc c y x =→。
