第3章例题三刚体平衡

消参数，得本体极迹方程：
y
B
ab 2 2 2 x y ( ) 2
该式是一个以AB中点为圆心， 以(a+b)/2为半径的圆
O
b
c
O
c
M
a
A
VM
x
VA

角速度
v c r ( a b) sin vm OM c ( a b) a 2 b 2 ctg 2
T
解：这是一平面运动，设x 轴向下为正， 由角动量定理可知：
d M Z IZ dt
r
O
AW XBiblioteka 或1 2 1W 2 1W 2 Tr mr r r 2 2 g 2 g
(1)
故圆盘的角加速度
2gT Wr
圆盘的运动可视为沿x方向无滑动地滚动，切点 A为瞬心，因而圆盘质心O的加速度a为：

h t g tg htg
2
x
B
C ( , )

vm
h
O
D
M 1


h
2
y
即为空间极迹
A
vA
在动坐标系xy中，C点坐标C（x,y)。 x=AM,y=MC,且有关系

x
B
C ( , )

vm
h
D
x2 y 2 AM MC AC
4 2 2
即本体极迹方程

（2）某瞬时A点，
x
B
C ( , )
r AC AD DC h h htg h(1 tg ) cos 2
2 2

vm
h

I
zx
I zy
I zz
**
(2)惯量椭球－用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量
Q点的坐标为：
x R
y
R
z
l
Q
R x
R y
z R 代入**得
y
o
x
椭球面方程
R z
Ixx x2 Iyy y2 Izz z2 2Iyz yz 2Izxzx 2Ixy xy 1
中心惯量椭球：刚体的质心(或重心)在O点
刚体绕基点A的“定点”转动，则刚体上任一点P的速度为
A
r
加速度为
a
aA
d
dt
r
(
r)
r是P点相对于基点A的位矢
3、刚体绕两相交轴转动的合成
刚体绕某点O作定点转动，相当于刚体绕某轴作“定轴”
转动，而该轴又绕另一固定轴转动，这两个轴相交于O点。
z
2
•
1
x
o
y
结论：当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速 度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。
Izx
I xy I yy I zy
I I
xz yz
x y
Izz z
三、转动惯量
转动惯量：描述刚体转动惯性大小的物理量。 1、对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述， 其定义为：
I midi2 或 I d 2dm
即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之 和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置决定。
i 1
ri
xii
xi
yi j
y
zik
j zk
J J
x y
I xx I yx
I xy I yy

∫θ
θ2
1
M外dθ = 0
刚体机械能守恒： E = mgz + 1 Jω2 = 常量 刚体机械能守恒： c 2
的实心滑轮， 例题 一质量为 M 、半径 R 的实心滑轮，一根细绳绕 在其上， 的物体。 在其上，绳端挂有质量为 m 的物体。问物体由静止 其速度为多大？ 下落高度 h 时，其速度为多大？
解：
v = Rω 2 v0 = 0 , ω0 = 0 , J = M R 2
解得： 解得：
1 2 1 2 TR ∆ϕ = Jω − Jω0 2 2 1 2 1 2 mg h −T h = mv − mv0 2 2 h = R ∆ϕ
M
T
m
mg
mgh v=2 M + 2m
解法二： 解法二： 1 2 1 2 1 2 1 2 Jω0 + mv0 = Jω + mv − mgh 2 2 2 2 1 2 1 2 mg h = Jω + mv 2 2
W = ∫ dW = ∫
定轴转动的 动能定理： 动能定理：
ω2 ω1
1 2 1 2 Jω dω = Jω2 − Jω1 2 2
1 2 1 2 W = Jω2 − Jω1 2 2
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动 能的增量。 能的增量。
刚体重力势能
∑∆mi zi Ep = ∑∆mi gzi = mg = mgzc m
当 J 转动惯量是一个恒量时，有
dω M=J dt
定轴转动定律： 定轴转动定律：
M = Jα
定轴， 定轴，可不写下标
刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度 与它所受到的合外力矩成正比，与刚体 的转动惯量成反比。
转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度

dF pdA pLdy
h 100m
L 1000m
y
dA
dy
dF pdA pLdy 令大气压为 p0 ，则
p p0 g (h y)
h y
dF [ p0 g (h y)]Ldy
h
x O
1 F [ p0 g (h y )]Ldy p0 Lh gLh2 0 2
(x2,y2,z2)
系统的自由度是多少？
3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 为由点O 到力的 平面内, r 作用点 P 的矢径. 一
M
F
*
M
O
z
Z F 对转轴 的力矩
r
d
P

M r F
0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0. 解 （1） 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 0 0 5π π 1 2 rad s rad s t 30 6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π ) 2 75π rad 2 2 (π 6)
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2 3
而
m π R
2
所以
2
1 2 J mR 2
例3 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
l 2
O
l 2
dr O´
O´
r
dr
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr