分形几何与混沌ppt

上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。

——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。

著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。

Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。

分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。

1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。

在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。

事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。

Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。

这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。

分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。

Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。

混沌理论与分形几何学展开全文我们都知道，心脏大体上必须呈现规则的活动，否则你将死亡。

然而脑部大体上必须呈现不规则的活动，否则你将发生癫痫。

这显示不规则（混沌）将导致复杂的系统。

它并不是完全的无秩序。

恰好相反，我认为生命与智慧便是基于混沌才可能发生。

脑部在设计上如此不稳定，所以最小的影响便可以导致秩序的形成。

——伊利亚普利高津目标：进一步了解混沌理论与分形几何学“范式”是来自于希腊，意义为“模型或模式”。

亚当斯密在他的书《心灵的力量》中，将范式定义为：“一组共同认定的假设”。

他又说：“范式是我们感知世界的方法，它如同是鱼类的水。

范式向我们解释世界，并协助我们预测世界的行为。

”社会的范式决定我们的行为与价值观。

医学的范式将决定我们对自己身体的了解。

我们对于市场的范式，将决定、并限制我们与市场之间的互动。

范式是我们观察世界的一片滤镜。

它是我们对于“实在”的观念。

由于它决定我们的实在，所以我们甚少留意它，甚至更少怀疑它。

我们个人的范式将决定我们个人的实在，以及我们对于世界的假设。

我们不会思考这些假设，我们是根据这些假设来思考。

我们无法直接观察世界，我们永远是透过范式的滤镜来观察世界。

我们永远无法观察世界的整体，我们仅能够看见其中的片段。

市场的情况也是如此。

我们无法观察它的整体，我们仅能够看见其中的片段。

我们的心智架构将自然而偏颇地引导我们，让我们仅看见符合我们个人范式的部分世界（市场）。

范式也会过滤接收的资讯，使它们来强化我们既有的范式（信心系统与心智模式）。

所以，市场便像大峡谷一样。

如果你大声向它呼喊：“技术分析！”回声也是“技术分析”。

如果你大喊：“占星术！”，回声也是“占星术”。

如果你喊道：“混沌！”你将听到“混沌”。

这使我们怀疑一项概念，是否有所谓固定而客观的宇宙（市场）？犹如置于红外线、一般光线与X光线下的物体一样，实体（市场）反映的是我们对它的感知，而这些感知未必对应真正的实体。

亚当斯密指出：“我们身处某种范式中时，我们很难想像任何其他的范式。

混沌的几何特征：•通过前面的一系列具体实例、李雅普洛夫指数和吸引子形态的分析，我们明白非线性系统的演化来自于驱动、耗散和非线性的共同作用。

•驱动使系统离开原来状态，耗散保持系统整体结构，非线性使系统具有几何与拓扑上的多样性。

•从几何学上理解混沌结构是有价值的。

•从简单例子开始：•帐篷映射：•锯齿映射：•这两类映射具有局域演变的两个特点：伸长与折叠。

•帐篷映射第一半是驱动过程，具有伸长性质；后一半是耗散反馈过程，将伸长又折叠回来。

构成局域的分叉甚至是混沌。

•几何示意图如下：•锯齿映射显得更为有趣：将x 看成角变量，映射是圆上的映射，x从0 到1 对应于旋转一周，映射前一半是圆周伸长一倍，后一半将圆周扭转成8 字型，再折叠成近似重合的一个圆：•可以看到，从几何上观察映射过程对应于系统在相空间中的伸长－扭转－折叠过程，具有明显几何构造特征。

•所以，非线性动力学系统在广域上是稳定的，在局域上是失稳的。

•对于二维及高维映射，有类似行为：•考虑折叠Baker映射：•考虑堆积Baker映射：•和折叠Baker映射的区别在于映射后上下两个半块是堆在一起，通量加倍了。

•再看Small马蹄映射：•这一过程通过伸长和折叠变成了一个马蹄。

•除了伸长、折叠、扭转之外，还有剪切过程存在，一般发生在三维情况下：•先是伸长，然后扭转，再是剪切。

•非线性系统演化是伸长、折叠、扭转、剪切，传统线性动力学只是岿然不动或者原地兜圈。

局域失稳导致分形特征：•从上述几何特征看出混沌系统首先要求局域失稳和广义稳定。

先讨论广域稳定的边界几何特征。

•非线性混沌动力学系统的奇异吸引子实际上就是其广域稳定性的表现。

很多情况下，这类广域边界是分形结构。

•从最经典的Julia和Mandelbrot迭代映射开始讨论问题。

•Julia集取名于法国数学家Gaston Julia，他在1915年开始研究简单复平面的迭代问题，在1918年发表一篇著名论文。

当时他研究的是一个复杂的多项式：z4+ z3/(z-1) + z2/(z3+ 4 z2+ 5)+ c。

混沌与分形（Ⅲ）混沌和分数维的发现，使我们能从一个似乎是杂乱无章的时间序列中计算出它的分数维，表征其结构。

同时，我们还可以从一个时间序列中得到有关可预测值的信息。

—《分形和分维理论》刘式达，刘式适第讲一.再从Cantor 集合谈起大家知道，一个典型的例子往往包含着丰富的内涵，使人们百谈不厌。

Cantor 集合就是这样一个例子。

Cantor 集合的重要背景是海岸线的测量。

作为最简单的例子，如果海岸线如图8-1为L =1的一条直线。

那么我们用r 尺寸去量它，所得长度总为1。

第讲Fig8.1海岸线为L =1的直线段第讲1=L可以得到（8-1）已经知道，线段的维数D =1，即1维情况。

我们大胆猜测（8-2）即D =1（注记：猜测还有一个方案是，但后边实际情况要求，即可排除）。

现在再画出Koch 曲线如图8-2所示第讲0r L =D r L −=11D r −0≥DFig8-2Koch 海岸线第讲31)(=r a 91)31()(2==r b第讲91)31(2==r 916)34(L 2==0≥D 对于这种海岸线，若尺寸r=1/3，那么量出来的长度为L=4/3。

若，则，……我们可以理解为图形本身是无限复杂的，而用粗糙尺子去丈量，对小的细节量不出来。

一般地，若尺寸，则对应长度。

n r )31(=n L )34(=第讲r r N r L D •==−)(1n D D n n ])31[(])31[()34(11−−==换句话说，尺寸r 越小，对应的海岸线长度L 就越长。

我们假设L 和r 的一般关系与（8-2）相同（8-3）在（8-3）式中N （r ）表示用尺寸r 去丈量所获得的段数。

代入Koch 曲线的一般情况（8-4）很易导出最后得到（8-5）由于海岸线的曲折，使维数大于1维。

再一次考虑（8-3）式第讲)34ln()1()31ln(D −=2618.13ln 4ln ==D rr N r D )(1=−于是有（8-6）又得到（8-7）第讲D rr N −=)()1ln()(ln r r N D =在计算分维问题中（8-7）是一个非常重要的公式，它表示当尺度r 的变化造成N(r)的变化，典型地则由（8-6）和（8-7）式可知我们以图8-3 考察公式（8-8）第讲111222 N(r )=N N(r )=N r r r r =⎧⎨=⎩时对应 时对应 2112ln () (8-8)ln ()N N D r r =第讲（a）线（b）面（c）体Fig 8-3 典型的线面体对于线的情况对于面的情况12212,2r Nr N==ln21 (8-9)ln2D==12212,4r Nr N==ln42 (8-10)ln2D==第讲对于体的情况公式(8-8)把整数维与分数维统一了起来。