2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练五

高分突破复习：小题满分限时练(一)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x ∈N |y ＝3－x }，则A ∩B ＝( ) A.{3} B.{1，3} C.{1，2}D.{1，2，3}解析 由x 2－6x ＋8<0得2<x <4，故A ＝{x |2<x <4}，又B ＝{x ∈N |y ＝3－x }＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，故A ∩B ＝{3}. 答案 A2.复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A.－35iB.35iC.－iD.i解析 法一 ∵2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝2＋i ＋4i －25＝i ，∴2＋i1－2i 的共轭复数为－i.法二 ∵2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i （1－2i ）1－2i ＝i ，∴2＋i1－2i 的共轭复数为－i.答案 C3.已知数列{a n }满足：对于m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.答案 A4.已知角α的终边经过点P (2，m )(m ≠0)，若sin α＝55m ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－3π2＝( )A.－35B.35C.45D.－45解析 ∵角α的终边过点P (2，m )(m ≠0)， ∴sin α＝m4＋m2＝55m ，则m 2＝1. 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－32π＝cos 2α＝1－2sin 2α＝35.答案 B5.在ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A.48B.36C.24D.12解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝24.答案 C6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )A.8B.17C.29D.83解析 由程序框图知，循环一次后s ＝2，k ＝1. 循环二次后s ＝2×3＋2＝8，k ＝2.循环三次后s ＝8×3＋5＝29，k ＝3.满足k >n ，输出s ＝29. 答案 C7.如图，半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为A ，B ，C ，D ，这四个小圆都与圆O 内切，且相邻两小圆外切，则在圆O 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为( ) A.3－2 2 B.6－4 2C.9－6 2D.12－8 2解析 由题意，A ，O ，C 三点共线，且AB ⊥BC . 设四个小圆的半径为r ，则AC ＝AB 2＋BC 2， ∴2R －2r ＝22r ，∴R ＝(2＋1)r .所以，该点恰好取自阴影部分的概率P ＝4πr 2πR 2＝4（2＋1）2＝12－8 2. 答案 D8.已知函数f (x )＝3＋log a (7－x )(a >0，a ≠1)的图象恒过点P ，若双曲线C 的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与3x －y －1＝0垂直，且点P 在双曲线C 上，则双曲线C 的方程为( ) A.x 29－y 2＝1 B.x 2－y 29＝1C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1解析 由已知可得P (6，3)，因为双曲线的一条渐近线与3x －y －1＝0垂直，故双曲线的渐近线方程为x ±3y ＝0，故可设双曲线方程为x 2－(3y )2＝λ，即x 2－9y 2＝λ，由P (6，3)在双曲线上可得62－9×(3)2＝λ，解得λ＝9.所以双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案 A9.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )解析 f (x )＝x 2－2ln|x |为偶函数，排除D.当x >0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，所以当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，排除B ，C ，故选A. 答案 A10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.163π B.112π C.173π D.356π 解析 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则V ＝23πr 3＝16π3.答案 A11.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，不妨设此时x 1，x 2分别是函数f (x )和g (x )的最小值点和最大值点.即f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4.则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )， |x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z ).又|x 1－x 2|min ＝π6，0<φ<π2，所以φ＝π3.答案 C12.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a <23b 在R 上是单调递增函数，则c 2b －3a 的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 依题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在x ∈R 恒成立.∴a >0，且Δ＝4b 2－12ac ≤0，则b 2≤3ac ，c ≥b 23a >0.又a <23b ，知2b －3a >0，则3a (2b －3a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b －3a 22＝b 2，故c 2b －3a ≥b 23a （2b －3a ）≥b 2b2＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为5∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为________.解析 由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都被抽到的概率是C 22C 2n ＝128，可得n ＝8，所以总体中的个数是5×8＋8＝48.答案 4814.⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中含x 的项是(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 与(1－x )4展开式中含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x的和，所以其系数为1＋2×1＝3.答案 315.(2018·烟台模拟)已知F (2，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦的长度为6，若A (－2，2)，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________. 解析 ∵过点F 的弦长为6，得2b 2a＝6，b 2＝3a ，①又a 2－b 2＝c 2＝4，②联立①②，解得a ＝4，b ＝2 3.过点A 作x 轴垂线交椭圆于M ，当点M 在第三象限时，|MF |＋|MA |取最大值2a ＋2＝8＋ 2. 答案 8＋ 216.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ≠0)，若f (x )存在2个零点x 1，x 2，且x 1，x 2都大于0，则a 的取值范围是______.解析 f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a，当a >0时，易知x ＝0是极大值点，x ＝2a是极小值点.∵f (0)＝1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a 2－4a 2<0，解得a ∈(0，2).当a <0时，易知x ＝2a是极小值点，x ＝0是极大值点.又f (0)＝1>0，∴函数f (x )只有一个大于零的零点，不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(0，2). 答案 (0，2)。

限时练(六)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝( ) A.(0，2] B.[－2，e) C.(0，1]D.(1，e)2.若复数z 满足z ＝4－2ii －1(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( ) A.复数z 的虚部为1 B.|z |＝10C.z －＝－3＋iD.复平面内与复数z 对应的点在第二象限3.已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c4.如图，已知正六边形ABCDEF 内接于圆O ，连接AD ，BE ，现在往圆O 内投掷2 000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是(参考数据：π3≈1.82，3π≈0.55)( )A.275B.300C.550D.6005.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.56.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，3a ＝6sinA ，△ABC 的面积S ＝3，则a ＋b ＝( ) A.21B.17C.29D.57.若执行右面的程序框图，则输出的结果为( ) A.180 B.182 C.192D.2028.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.53π＋12D.53π＋19.已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( ) A.向左平移2π3个单位长度 B.向右平移2π3个单位长度 C.向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度10.已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 15的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A.500B.600C.700D.80011.如图，已知抛物线y 2＝8x ，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋9|QM |的最小值为( ) A.32 B.36 C.42D.5012.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4e B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 3，2e 2 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知向量a ，b 满足a ＝(cos 2 018°，sin 2 018°)，|a ＋b |＝7，|b |＝2，则a ，b 的夹角等于________.14.已知点P在不等式组⎩⎨⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1表示的平面区域内，A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________.15.点M 是双曲线x 2－y 24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________. 16.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为________.限时练(六)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝( ) A.(0，2] B.[－2，e) C.(0，1]D.(1，e)解析 由－x 2－x ＋2≥0，得－2≤x ≤1，则P ＝[－2，1]，又Q ＝{x |0<x <e}＝(0，e)，故P ∩Q ＝(0，1]. 答案 C2.若复数z 满足z ＝4－2ii －1(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A.复数z 的虚部为1B.|z |＝10C.z －＝－3＋iD.复平面内与复数z 对应的点在第二象限 解析 z ＝4－2i i －1＝12(4－2i)(－1－i)＝－3－i.∴z －＝－3＋i ，A ，B ，D 均不正确.答案 C3.已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c解析 0<a ＝20.9<2，c ＝log 123＝－log 23<0，又b 3＝(323)3＝9>8，则b >2.故b >a >c .答案 C4.如图，已知正六边形ABCDEF内接于圆O，连接AD，BE，现在往圆O内投掷2 000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是(参考数据：π3≈1.82，3π≈0.55)()A.275B.300C.550D.600解析依题意，设AB＝1，故阴影部分的面积S1＝2×34×12＝32，圆O的面积S2＝π×12＝π，故落在阴影区域内的小米的粒数为2 000×32π＝2 000×3≈550.答案 C5.在某项检测中，测量结果服从正态分布N(2，1)，若P(X<1)＝P(X>1＋λ)，则λ＝()A.0B.2C.3D.5解析依题意，正态曲线关于x＝2对称，又P(X<1)＝P(X>1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2.答案 B6.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3，3a＝6sin A，△ABC的面积S＝3，则a＋b＝()A.21B.17C.29D.5解析在△ABC中，c＝3，3a＝6sin A，∴csin C＝asin A＝63，则sin C＝32，C＝π3.又S＝12ab sin π3＝3，知ab＝4.由余弦定理，32＝a2＋b2－2ab cosπ3＝(a＋b)2－3ab. ∴(a＋b)2＝9＋3ab＝21，故a＋b＝21.答案 A7.若执行右面的程序框图，则输出的结果为( ) A.180 B.182 C.192D.202解析 循环一次后：S ＝2，m ＝2. 循环两次后：S ＝7，m ＝3. 循环三次后：S ＝20，m ＝4. 循环四次后：S ＝61，m ＝5. 循环五次后：S ＝182，m ＝6. 不满足S <120？，退出循环体. 输出S ＝182. 答案 B8.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.53π＋12D.53π＋1解析 由三视图知，该几何体是由一个长方体、一个半球与圆锥构成的组合体.V 长方体＝3×2×2＝12，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 圆锥＝13·π×12×1＝π3.故该几何体的体积V ＝12＋23π＋π3＝π＋12. 答案 A9.已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( ) A.向左平移2π3个单位长度B.向右平移2π3个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度解析 f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴π3ω－π6＝k π(k ∈Z )，ω＝3k ＋12，又0<ω<3，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 为偶函数. 答案 B10.已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 15的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A.500B.600C.700D.800解析 由题意，可知公差最大值时，S 15最大；公差最小时，S 15最小.可得a 1＝1，a 2＝5，此时公差d ＝4是最大值，M ＝S 15＝1×15＋15×142×4＝435.当a 2＝5，a 5＝8，此时d ＝1是最小值，a 1＝4， m ＝S 15＝4×15＋15×142×1＝165. M ＋m ＝435＋165＝600. 答案 B11.如图，已知抛物线y 2＝8x ，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋9|QM |的最小值为( ) A.32 B.36 C.42D.50解析 易知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，圆心(2，0)，半径r ＝1，且圆心C (2，0)是抛物线y 2＝8x 的焦点，则|PN |＋9|QM |＝|PC |＋r ＋9(|QC |＋r )＝|PC |＋9|QC |＋10.设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝4. 故|PN |＋9|QM |＝|PC |＋9|QC |＋10 ＝x 1＋9x 2＋5p ＋10＝x 1＋9x 2＋30 ≥29x 1x 2＋30＝42.当且仅当x 1＝9x 2＝6时，上式等号成立. 答案 C12.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4e B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 3，2e 2 解析 由f (x )＝2x －2－1＝0，得x ＝2. 依题意|2－β|<1，解得1<β<3.又g (β)＝β2－a e β＝0，得a ＝β2e β，1<β<3.设φ(x )＝x 2e x ，x ∈(1，3)，则φ′(x )＝x （2－x ）e x ，当1<x <2时，φ′(x )>0；2<x <3时，φ′(x )<0，∴φ(x )在x ＝2处有极大值，且φ(2)＝4e 2， 又φ(1)＝1e ，φ(3)＝9e 3且φ(1)<φ(3).∴φ(x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知向量a ，b 满足a ＝(cos 2 018°，sin 2 018°)，|a ＋b |＝7，|b |＝2，则a ，b 的夹角等于________.解析 由条件知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝7，a·b ＝1.故cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12，〈a ，b 〉＝π3. 答案 π3 14.已知点P在不等式组⎩⎨⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1表示的平面区域内，A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________.解析 作不等式组表示的平面区域如图阴影部分，且|AB |＝2，又k AB ＝1<2，∴点C 到AB 所在直线的距离最大.易知直线AB 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2x ，得点C (1，2)，∴C 点到直线AB 的距离d ＝|1－2－1|2＝2，故△PAB 面积的最大值是12·|AB |·2＝1. 答案 115.点M 是双曲线x 2－y 24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________. 解析 不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点.∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心C (2，0)，半径R ＝1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直.因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R . 由于|MC |min ＝|4－0|22＋（－1）2＝455，故r min ＝455－1.答案 455－116.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为________.解析 以C 为顶点，把三棱柱补成长方体，设其外接球的半径为R ，则(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CC 21＝36＋AC 2＋BC 2，又V三棱柱＝12·AC ·BC ·CC 1＝48，知AC ·BC ＝16，∴AC 2＋BC 2≥2AC ·BC ＝32.则(2R )2的最小值为68，所以R min ＝17.故外接球体积的最小值为 43π(17)3＝68173π. 答案68173π。

高分突破复习：小题满分限时练(二)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |y ＝－2－x }，B ＝{x |2x>1}，则A ∩B ＝( ) A.{x |0<x ≤2} B.{x |1<x ≤2} C.{x |x >0}D.{x |x ≤2}解析 易知A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x >0}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤2}. 答案 A2.(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i. 答案 B3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如下表，根据数据表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝2，据此模型预测广告费用为9千元时，销售额为( )A.17万元B.18万元C.19万元D.20万元解析 易知x －＝4，y －＝7，∴a ^＝7－2×4＝－1，则y ^＝2x －1.当x ＝9时，y ^＝2×9－1＝17. 答案 A4.(2018·烟台模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( )A.5B.40C.20D.10解析 令x ＝1，得3n＝243，∴n ＝5.又T r ＋1＝C r5(x 3)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 5x 15－4r .令15－4r ＝7，∴r ＝2.∴展开式中x 7的系数为22C 25＝40. 答案 B5.(2018·烟台一模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的左支分别交于点A ，B ，若OA →＝12(OB →＋OF 2→)，则该双曲线的离心率为( ) A. 3B.2C.2＋ 3D. 5解析 由OA →＝12(OB →＋OF 2→)，知点A 是BF 2的中点，连接BF 1，易知AO 是△BF 1F 2的中位线，所以△BF 1F 2中∠F 2F 1B 为直角，故在R t△BF 1F 2中，∠BF 2F 1＝60°.∴|BF 2|＝|F 1F 2|cos 60°＝4c ；且|BF 1|＝23c .由双曲线定义，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，则a ＝(2－3)c ，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝12－3＝2＋ 3.答案 C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.9＋36π B.6＋36π C.3＋36πD.12＋36π 解析 由三视图可得，直观图为圆锥的12与圆柱的34组合体，由图中数据可得几何体的体积为12·13·π·12·3＋34π·12·2＝9＋36π. 答案 A7.已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，y ≤x ，3x －y ≤6，则z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A.1B. 2C.2D.4解析 作不等式组表示的平面区域如图(阴影部分).由x ＋y ＝2与y ＝x 联立得点A (1，1)，∵直线x ＋y ＝2与y ＝x 垂直，∴点A (1，1)到原点O 的距离最小， 因此z ＝x 2＋y 2的最小值为|OA |2＝2. 答案 C8.定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是( ) A.(1，2) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)D.(2，＋∞)解析 ∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在R 上是增函数，又f (x )>f (x 2－2x ＋2)，因此x >x 2－2x ＋2，解之得1<x <2.答案 A9.设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1＝(1，2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A.n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43B.n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34C.n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23D.n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 解析 因为P n P n ＋1＝OP n ＋1－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)， 所以a n ＋1－a n ＝2.所以{a n }是公差为2的等差数列. 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13，所以S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43.答案 A10.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，右图是解决这类问题的程序框图，若输入n ＝24，则输出的结果为( ) A.23 B.47 C.24D.48解析 由初始值n ＝24，S ＝24. 经过一次循环后，n ＝16，S ＝40. 经过两次循环后，n ＝8，S ＝48.经过三次循环后，n ＝0，S ＝48，退出循环. 输出S ＝48－1＝47. 答案 B11.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，c ＝3，且a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12，则a ＝( )A.1或 2B.1或 3C.1或2D.2或 3解析 由a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12且b ＝1，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝b2，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12sin B ＝12，又b ＝1<c ＝3，知B 为锐角，则B ＝π6.所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π6，即a 2－3a ＋2＝0，解之得a ＝1或a ＝2. 答案 C12.已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈(0，π)满足f ′(x )sin x >f (x )cos x (其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析 设g (x )＝f （x ）sin x ，则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos xsin 2x>0.∴g (x )在x ∈(0，π)上是增函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sinπ6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________.解析 设|OC →|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC →＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1. 答案 114.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________.解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（b ，c >0），4c b＝b c，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c的最小值是9.答案 915.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形.若PA ＝26，则△OAB 的面积为________.解析 如图，由题意可知△PAC ，△PBC ，△PDC 均为直角三角形， 取PC 的中点O ，则O 到P ，A ，B ，C ，D 的距离相等，所以点O 为过P ，A ，B ，C ，D 的球的球心，由已知可得OA ＝OB ＝23， 所以△AOB 是正三角形，所以S ＝12×23×23×32＝3 3.答案 3 316.已知动点P 在椭圆x 249＋y 240＝1上，若点A 的坐标为(3，0)，点M 满足|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________.解析 由PM →·AM →＝0，知PM ⊥AM ，又A (3，0)，且|AM →|＝1.∴点M 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝1，则PM 是该圆的切线，故|PM →|＝|PA |2－|AM |2＝|PA |2－1. 当|PA |最短时，则|PM →|最小.由椭圆的几何性质，易知|PA |min ＝a －c ＝4. ∴|PM →|的最小值为42－1＝15. 答案 15。

高分突破复习：小题满分限时练(四)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2}，B ＝{x |x ≥－1}，则∁U (A ∪B )＝( ) A.[－2，－1] B.(－2，－1)C.(－∞，－2]∪[－1，＋∞)D.(－2，1)解析 A ∪B ＝(－∞，－2]∪[－1，＋∞)，∁U (A ∪B )＝(－2，－1). 答案 B2.已知复数z ＝5i1－2i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 因为复数z ＝5i 1－2i ＝5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－2＋i ， 所以z －＝－2－i ，其对应的点为(－2，－1)，在第三象限. 答案 C3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天的空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，下列说法错误的是( )A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成负相关解析 12月2日空气质量指数最低，所以空气质量最好，A 正确；12月24日空气质量指数最高，所以空气质量最差，B 正确；12月7日到12月12日AQI 在持续增大，所以C 正确；在该地区统计这段时间内，空气质量指数AQI 整体呈上升趋势，所以空气质量指数与这段日期成正相关，D 错误. 答案 D4.已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A >sin B ”是“tan A >tan B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 根据正弦定理asin A＝bsin B，知sin A >sin B a >b A >B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A >B A >tan B .答案 C5.右面程序框图是为了求出满足3n －2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和两个空白框中，可以分别填入( ) A.A >1 000和n ＝n ＋1 B.A >1 000和n ＝n ＋2 C.A ≤1 000和n ＝n ＋1 D.A ≤1 000和n ＝n ＋2解析 因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”.由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n ，所以◇内填入“A ≤1 000”. 答案 D6.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( ) A.17532里 B.1 050里 C.22 57532里D.2 100里解析 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝22 57532.答案 C 7.已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值为( )A.43－310 B.43＋310 C.4－3310D.33－410解析 ∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝1－15＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.答案 A8.如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则此双曲线的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析 因为2c ＝|AB |＝6，所以c ＝3.因为b 2a ＝|BC |＝52，所以5a ＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以9＝a 2＋5a 2，解得a ＝2或a ＝－92(舍去)，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.答案 B9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB＝2，BC ＝23，则球O 的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π解析 法一 由题意知，S ，A ，B ，C 是如图所示三棱锥S －ABC 的顶点，且SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AC ＝22＋（23）2＝4，SC ＝22＋42＝2 5.取AC 的中点E ，SC 的中点F ，连接EF ，EB ，BF ，FA ，则FS ＝FC ＝FA ＝12SC ＝5，BE ＝12AC ＝2，FB ＝BE 2＋EF 2＝22＋12＝5，故FS ＝FC ＝FA ＝FB ，即点F 就是三棱锥的外接球的球心，且其半径为5，故球的表面积S ＝4π·(5)2＝20π.法二 由题意可知，S ，A ，B ，C 为如图所示长方体的四个顶点，连接SC ，且SA ＝AB ＝2，BC ＝23，设球O 的半径为R ，则2R ＝SC ＝SA 2＋AB 2＋BC 2＝25，即R ＝5，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝20π. 答案 C10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( ) A.f (log 27)<f (－5)<f (6) B.f (log 27)<f (6)<f (－5) C.f (－5)<f (log 27)<f (6) D.f (－5)<f (6)<f (log 27)解析 由f (x ＋2)＋f (x )＝0，得f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，f (x )的周期T ＝4. 又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0，所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1，f (6)＝f (2)＝0. 又2<log 27<3，所以0<log 27－2<1，即0<log 274<1，∵x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈[0，1]， ∴f (log 27)＝－f (log 27－2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274 ＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274＋1＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272，又1<log 272<2，所以0<log 2⎝⎛⎭⎪⎫log 272<1，所以－1<－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272<0， 所以f (－5)<f (log 27)<f (6). 答案 C11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.若x 1x 2<0，且f (x 1)－f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，＋∞解析 如图，画出f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的大致图象，记M ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则|MN |＝π6.设点A ，A ′是平行于x 轴的直线l 与函数f (x )图象的两个交点(A ，A ′位于y 轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x 1，x 2，结合图形可知，|x 2－x 1|＝|AA ′|∈(|MN |，＋∞)，即|x 2－x 1|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞.答案 A12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )对任意的x >2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3B.4C.5D.6解析 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m >2)， 所以f ′(m )＝f （m ）m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln mm －2，化为m －4－2ln m ＝0，设g (x )＝x －4－2ln x (x >2)，则g ′(x )＝1＋2x>0，故g (x )在(2，＋∞)上单调递增.因为g (e 2)＝e 2－8<0，g (e 3)＝e 3－10>0，且g (m )＝0，所以e 2<m <e 3，又k <f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)，且k ∈Z ，所以k max ＝4. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.(x ＋2y )5的展开式中含x 3y 2项的系数为________.解析 展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5x5－r(2y )r.依题意，r ＝2，故含x 3y 2项的系数22C 25＝40. 答案 4014.若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2≥0，x ＋y －1≤0，y ≥m ，且x －y 的最大值为5，则实数m 的值为________.解析 画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示：x －y 的最大值为5，由图形可知，z ＝x －y 经过可行域的点A 时取得最大值5.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，x ＋y ＝1⟹A (3，－2)是最优解，直线y ＝m 过点A (3，－2)，所以m ＝－2. 答案 －215.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 为正方形，P 为A 1D 1的中点，AD ＝2，AA 1＝3，点Q 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QC ＝2QP ，则线段BQ 的长度的最大值为________.解析 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则P (1，0，3)，C (0，2，0)，B (2，2，0)，Q (x ，y ，0)，因为QC ＝2QP ，所以x 2＋（y －2）2＝2（x －1）2＋y 2＋3⟹(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，所以(y ＋2)2＝4－(x －2)2⟹|y ＋⟹－4≤y ≤0，|BQ |＝（x －2）2＋（y －2）2＝4－8y ，又4≤4－8y ≤36，则2≤|BQ |≤6，故线段BQ 的长度的最大值为6. 答案 616.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.解析 由已知条件，得192＝e b， 又48＝e22k ＋b＝e b ·(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋b＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 24。