数学-2015年高考真题——四川卷(理)(word版含解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科（四川卷）1、设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案：A解析：本题考查集合的运算以及一元二次不等式的解法,属于送分题. 易知A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|-1<x<2},所以A∪B={x|-1<x<3},选A.2、设i是虚数单位,则复数i3-=A.-iB.-3iC.iD.3i答案：C解析：本题考查复数的四则运算,属于容易题.i3-=-i-=-i+2i=i,选C.3、执行如图所示的程序框图,输出S的值为A.-B.C.-D.答案：D解析：本题考查程序框图与特殊角的三角函数值的计算,求解的关键是读懂循环结束的条件“k>4 ?”.由程序框图与循环结束的条件“k>4 ?”可知,最后输出的S=sinπ=sinπ,选D.4、下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A.y=cos(2x+π)B.y=sin(2x+π)C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案：A解析：本题考查三角函数的周期性和奇偶性,只需将已知函数化为正弦型函数f(x)=A sin(ωx+φ),即可判断.采用验证法.由y=cos(2x+π)=-sin 2x,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,故选A.5、过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=A. B.2 C.6 D.4答案：D解析：本题考查双曲线的标准方程、简单几何性质以及两点间的距离公式,属于基础题.由双曲线的标准方程x2-=1得,右焦点F(2,0),两条渐近线方程为y=±x,直线AB:x=2,所以不妨取A(2,2),B(2,-2),则|AB|=4,选D.6、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有A.144个B.120个C.96个D.72个答案：B解析：本题考查两个计数原理的灵活运用、排列组合的概念及运算,求解的关键是按最高位分两类处理:①万位为4,②万位为5.当五位数的万位为4时,个位可以是0,2,此时满足条件的偶数共有=48(个);当五位数的万位为5时,个位可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有=72(个),所以比40 000大的偶数共有48+72=120(个),选B.7、设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=A.20B.15C.9D.6答案：C解析：本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等.选择,为基向量.∵=3,∴+++,又=2,∴+-,于是·=(+)·(-)=(4+3)·(4-3)=(16||2-9||2)=9,故选C.8、设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：本题考查指数函数、对数函数的图象和性质,考查充要关系的判定,属于中档题.由指数函数的性质知,若3a>3b>3,则a>b>1,由对数函数的性质,得log a 3<log b 3;反之,取a=,b=,显然有log a 3<log b 3,此时0<b<a<1,于是3>3a>3b,所以“3a>3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件,选B.9、如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[,2]上单调递减,那么mn的最大值为A.16B.18C.25D.答案：B解析：本题考查二次函数的图象、单调区间、最值的求法以及线性规划的综合运用.由已知得f'(x)=(m-2)x+n-8,又对任意的x∈[,2],f'(x)≤0,所以′′,即.画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,令mn=t,则当n=0时,t=0,当n≠0时,m=.由线性规划的相关知识知,只有当直线2m+n=12与曲线m=相切时,t 取得最大值.由,解得n=6,t=18,所以(mn)max=18,选B.10、设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4) 答案：D解析：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系的判定,考查化归与转化思想、数形结合思想. 当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5±r,所以0<r<5;所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则.又,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),k AB=.设圆心为C(5,0),则k CM=.因为直线l与圆相切,所以·=-1,解得x0=3,于是=r2-4,r>2,又<4x0,即r2-4<12,所以0<r<4,又0<r<5,r>2,所以2<r<4,选D.11、在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案：-40解析：本题主要考查二项展开式指定项的系数的求解,属于基础题.由二项展开式的通项T r+1=(2x)5-r(-1)r(r=0,1,…,5)知,当r=3 时,T4=(2x)5-3(-1)3=-40x2,所以含x2的项的系数是-40.12、sin 15°+sin 75°的值是.答案：解析：本题主要考查两角和与差的正弦公式的运用,考查考生的运算求解能力.sin15°+sin75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=2sin45°·cos30°=.13、某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时.答案：24解析：本题是指数函数的简单应用题,考查幂的运算法则及函数与方程思想.由题意得,即,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=·e b=()3×192=24(小时).14、如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F 分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为.答案：解析：本题考查异面直线的概念及异面直线所成角的余弦值的求法,考查考生的空间想象能力.取BF的中点N,连接MN,EN,则EN∥AF,所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角.在△EMN中,当点M与点P重合时,EM⊥AF,所以当点M逐渐趋近于点Q时,直线EN与EM的夹角越来越小,此时cos θ越来越大.故当点M与点Q重合时,cos θ取最大值.设正方形的边长为4,连接EQ,NQ,在△EQN中,由余弦定理,得cos∠QEN==-,所以cos θ的最大值为.15、已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).答案：①④解析：本题主要考查函数的图象、性质、导数及其应用,考查考生利用所学知识解决问题的能力.因为f(x)=2x在R上是单调递增的,所以对于不相等的实数x1,x2,m=>0恒成立,①正确;因为g(x)=x2+ax,所以n==x1+x2+a,正负不定,②错误;由m=n,整理得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2).令函数p(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax,则p'(x)=2x ln 2-2x-a,令t(x)=p'(x),则t'(x)=2x(ln 2)2-2,又t'(1)=2(ln 2)2-2<0,t'(3)=8(ln 2)2-2>0,从而存在x0∈(1,3),使得t'(x0)=(ln 2)2-2=0,于是p'(x)有极小值p'(x0)=ln2-2x0-a=-2log2-a,所以存在a=-2log2,使得p'(x0)=>0,此时p(x)在R上单调递增,故不存在不相等的实数x1,x2,使得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),不满足题意,③错误;由m=-n,得f'(x)=-g'(x),即-a=2x ln 2+2x.设h(x)=2x ln 2+2x,则h'(x)=2x(ln 2)2+2>0,所以h(x)在R上是单调递增的,且当x→+∞时,h(x)→+∞,当x→-∞时,h(x)→-∞,所以对于任意的a,y=-a与y=h(x)的图象一定有交点,④正确.16、设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)记数列{}的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.答案：(Ⅰ)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(Ⅱ)由(Ⅰ)得.所以T n=++…+=1-.由|T n-1|<,得|1--1|<,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10.解析：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和等基础知识,考查运算求解能力.由S n=2a n-a1,得a2=2a1,a3=4a1,再通过a1,a2+1,a3成等差数列确定首项a1=2是解决(Ⅰ)的切入点;由(Ⅰ)知{}是首项为,公比为的等比数列,所以T n=1-,然后解不等式即可.17、某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(Ⅰ)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.答案：(Ⅰ)由题意,参加集训的男、女生各有6名.代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为. 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-.(Ⅱ)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X 1 2 3P因此,X的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=2.概率、分布列、数学期望等相关概念不熟,从题干中提取数据时被无关信息干扰,或计算出错.解析：本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.(Ⅰ)先求对立事件“A中学没有学生入选代表队”的概率,然后利用对立事件的概率计算公式即可得解;(Ⅱ)参赛的男生人数X的可能取值为1,2,3,分别求出X=1,2,3的概率,由此求出X的分布列和数学期望.18、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(Ⅰ)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(Ⅱ)证明:直线MN∥平面BDH;(Ⅲ)求二面角A-EG-M的余弦值.答案：(Ⅰ)点F,G,H的位置如图所示.(Ⅱ)连接BD,设O为BD的中点,连接OM,OH.因为M,N分别是BC,GH的中点,所以OM∥CD,且OM=CD,HN∥CD,且HN=C D.所以OM∥HN,OM=HN.所以MNHO是平行四边形,从而MN∥OH.又MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,所以MN∥平面BDH.(Ⅲ)方法一连接AC,过M作MP⊥AC于P.在正方体ABCD-EFGH中,AC∥EG,所以MP⊥E G.过P作PK⊥EG于K,连接KM.所以EG⊥平面PKM,从而KM⊥E G.所以∠PKM是二面角A-EG-M的平面角.设AD=2,则CM=1,PK=2.在Rt△CMP中,PM=CM sin 45°=.在Rt△PKM中,KM=.所以cos∠PKM=.即二面角A-EG-M的余弦值为.方法二如图,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz.设AD=2,则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),所以=(2,-2,0),=(-1,0,2).设平面EGM的一个法向量为n1=(x,y,z),由得取x=2,得n1=(2,2,1).在正方体ABCD-EFGH中,DO⊥平面AEGC,则可取平面AEG的一个法向量为n2==(1,1,0),所以cos<n1,n2>=,故二面角A-EG-M的余弦值为.解析：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.(Ⅰ)利用平面展开图的有关知识求解;(Ⅱ)考虑用三角形的中位线寻找平行于平面BDH的直线即可证明;(Ⅲ)作出二面角的平面角,在三角形中求解,也可以建立空间直角坐标系,求出平面ACGE的法向量、平面MEG的法向量,即可求得结论.19、如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(Ⅰ)证明:tan;(Ⅱ)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.答案：(Ⅰ)tan .(Ⅱ)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(Ⅰ),有tan +tan +tan +tan=++°°+°°=+.连接B D.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C,所以AB2+AD2-2AB·AD cos A=BC2+CD2+2BC·CD cos A. 则cos A=.于是sin A=.连接A C.同理可得cos B=,于是sin B =. 所以tan +tan +tan +tan= + =+ = .解析：本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.第(Ⅰ)问三角恒等式的证明,利用二倍角公式化简即得;第(Ⅱ)问,首先由A 与C 、B 与D 互补及(Ⅰ)的结果,得tan +tan ,tan +tan ,然后由余弦定理,得cos A = ,cos B = ,即可获解.20、如图,椭圆E : + =1(a >b >0)的离心率是,过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点.当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 .(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ,使得 恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.答案：(Ⅰ)由已知,点( ,1)在椭圆E 上.因此,解得a =2,b = . 所以椭圆E 的方程为 + =1.(Ⅱ)当直线l 与x 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于C ,D 两点.如果存在定点Q 满足条件,则有 =1,即|QC|=|QD|.所以Q 点在y 轴上,可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,-).由,有,解得y0=1,或y0=2.所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2).下面证明:对任意直线l,均有.当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=-.因此+=2k.易知,点B关于y轴对称的点B'的坐标为(-x2,y2).又k QA==k-,K QB'==-k+=k-,所以k QA=k QB',即Q,A,B'三点共线..所以′故存在与P不同的定点Q(0,2),使得恒成立.解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.(Ⅰ)由题意得点(,1)在椭圆E上,然后进行求解;(Ⅱ)分动直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论,其中对运算的变形是求解的难点所在.21、已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.答案：本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想.(Ⅰ)由已知得g(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+),g'(x)=,通过判断函数y=x2-x+a(x>0,a>0)的正负确定g(x)的单调性;(Ⅱ)通过构造新函数,结合函数的零点存在性定理进行证明.解析：(Ⅰ)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+),所以g'(x)=2-+.当0<a<时,g(x)在区间(0,),(,+∞)上单调递增,在区间(,)上单调递减;当a≥时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由f'(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+)=0,解得a=.令φ(x)=-2(x+)ln x+x2-2()x-2()2+.则φ(1)=1>0,φ(e)=--2()2<0.故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.所以0==a0<<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.由(Ⅰ)知,f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）理科数学试题解析1. 解析 由题意可得，{}12A x x =-<<，则{}13AB x x =-<<.故选A.2. 解析3222ii i i 2i i i i-=--=-+=.故选C. 3. 解析 解法一：由程序框图可知，第一次循环为：24k =；第二次循环为：34k =；第三次循环为：44k =；第四次循环为： 54k =>.此时循环结束，5π1sin62S ==.故输出S 的值为12. 解法二：k 的初始值为1，每次循环k 值加1.当4k >时跳出循环，故最终5k =. 5π1sin 62=.故输出S 的值为12. 4. 解析 由2πT ω=，可知选项A ，B ，C 的周期都是π，选项D 的周期为2π.通过化简可得，选项A ： sin 2y x =-，为奇函数； 选项B 为：cos 2y x =，为偶函数；选项C 为：π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为非奇非偶函数.故选A.5. 解析 由题意可得1a =，b =2c =.所以渐近线的方程为y =.将2x =代入渐近线方程，得y =±.则AB =.故选D.6. 解析 由题意可知，万位上只能排4,5.若万位上排4，则有342A 个；若万位上排5，则有343A 个.所以共有33442A 3A 524120+=⨯=（个）.故选B.7. 解析34AM AB AD =+，1143NM CM CN AD AB =-=-+， 所以()()114343412AM NM AB AD AB AD =+⨯-=()22116948AB AD -= ()11636916948⨯-⨯=.故选C. 8. 解析 若333ab>>，则1a b >>，所以log 3log 3a b <，故为充分条件；若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如，13a =，3b =，所以333a b>>不成立. 故选B.9. 解析 当2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--；当2m >时，822n m ---，即212m n +.262m n +，所以18mn .由2m n =且212m n +=，得3,6m n ==；当2m <时，抛物线开口向下，根据题意可得，8122n m ---，即218m n +.292m n +，所以812mn. 由2n m =且218m n +=，得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有()2182,8m n m n +=<>.所以()()1821828816mn n n =-<-⨯⨯=.所以最大值为18.故选B.10. 解析 设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=，则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m ∆=+，可得230t ->，即203t <<.又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.11. 解析 由二项式的展开式的通项公式为()()515C 21rrr r T x -+=-，可知当3r =时，为含2x 的项.所以含2x 的项的系数为()3325C 2140-=-.12. 解析()6sin15sin 75sin15cos152sin 15452+=+=+=. 13. 解析 由题意可得22192e 48e bk b+⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11192e 1e2bk ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以当33x =时，()333333111e e e ee 19224.2k b k b k b y +⎛⎫==⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭故选 C.14. 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，()()0,,101M y y ，则11,,02AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,,12EM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于异面直线所成的角的围为π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以cos θ==21y -()2222214181cos 1545545y y y y y θ-+⎛⎫+=⋅=- ⎪++⎝⎭令81y t +=，19t ，则281161,1814552y y t t+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦+-，所以24cos 0,25θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ的最大值为25，此时0y =. 15. 解析①.由()()1212f x f x m x x -=-得()()1122f x mx f x mx -=-.令()()2xF x f x mx mx =-=-，则()()12F x F x =，故()F x 不单调. 当0m时，()F x 为单调递增函数，不符合题意.当0m >时，()2ln 2xF x m '=-,由于2ln 2x y =是值域为()0,+∞的单调递增函数，故必存在一个0x ，使得()00F x '=.且当()00,x x ∈时，()0F x '<.当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>.即()F x 不单调.所以①正确.②.由()()1212g x g x n x x -=-得()()1122g x nx g x nx -=-.令()()()22G x g x nx x ax nx x a n x =-=+-=+-，则()()12G x G x =，即对任意的a ，()G x 不单调.取0a =，则()2G x x nx =-.此时对任意的n ，()G x 都不单调.所以不一定有0n >.②错误.③.若m n =，则()()()()12121212f x f xg x g x x x x x --=--，即()()()()1122f x g x f x g x -=-. 令()()()22x H x f x g x x ax =-=--，则()H x 不单调. 令()2ln 220x H x x a '=--=，得2ln 22xa x =-要有根.令2ln 22,xy x =-则()22ln 22x y '=-，是值域为()2,-+∞的增函数.所以存在0x ，使得()022ln 220x -=.所以2ln 22xy x =-在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增，存在最小值.因此，对于任意的a ，2ln 22xa x =-不一定有根.所以③错误.④.若m n =-，则()()()()12121212f x f xg x g x x x x x --=---，即()()()()1122f x g x f x g x +=+. 令()()()22xR x f x g x x ax =+=++,则()R x 不单调.令()2ln 220xR x x a '=++=，得2ln 22xa x =--要有根.而2ln 22x y x =--是值域为(),-∞+∞的减函数，所以2ln 22x a x =--一定会有根.所以对任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-.④正确.所以真命题为①，④. 16. 分析利用1n n n a S S -=-及题设可得n a 与1n a -的关系为()*121,nn a a n n -=>∈N ，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用1a ，21a +，3a 成等差数列，可求得12a =，从而求得通项公式；（2）由（1）得112n n a =，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前n 项和公式，可求得112n nT =-，代入111000n T -<，即可得使111000n T -<成立的n 的最小值. 解析 （1）由已知12n n S a a =-，可得()*11222,n n n n n a S S a a n n --=-=-∈N ，即()*122,nn a a n n -=∈N .则212a a =，32124a a a ==.又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即()13221a a a +=+. 所以()1114221a a a +=+，解得12a =.所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故2nn a =.（2）由（1）可得112n n a =，所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<，得111121000n --<，即21000n>.因为9102512100010242=<<=，所以10n.所以使111000n T -<成立的n 的最小值为10. 17. 分析（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.“A 中学学至少有1名学生入选代表队”的对立事件为“参赛学生全从B 中学抽取”，“参赛学生全从B 中学抽取”的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选的概率为1991100100-=；（2）由于总共有3名男生，所以X 的最大取值为3，又由于要抽取4人，而女生只有3人，所以至少有1名男生，所以X 的所有可能取值为1，2，3.由古典概型的概率公式可求出其分布列，进而求得其期望.解析 （1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.()133346C C 11C 5P X ===；()223346C C 32C 5P X ===；()313346C C 13C 5P X ===所以X 的分布列为：因此，X 的期望为()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=. 18. 分析 （1）注意ABCD 是底面，将平面展开图还原可得点,,F G H 的位置；（2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明MN 平行于平面BDH 的一条直线.连接,O M ，易得MNHO 是平行四边形，从而//MN OH ，进而证得//MN 平面BDH ；（3）要作出二面角A EG M --的平面角，首先要过点M 作平面AEGC 的垂线，然后再过垂足作棱EG 的垂线，再将垂足与点M 连接，即可得二面角A EG M --的平面角. 解析 （1）点F ，G ，H 的位置如图所示.（2）设O 为BD 的中点，连接BD ，OM .因为,M N 分别是BC ，GH 的中点，所以//OM CD ，且12OM CD =， //NH CD ，且12NH CD =，所以=//OM NH ，所以MNHO 是平行四边形，从而//MN OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以//MN 平面BDH . （3）连接AC ，过M 作MP AC ⊥于点P .在正方体ABCD EFGH -中，//AC EG ，所以MP EG ⊥.过P 作PK EG ⊥于点K ，连接KM ，所以EG ⊥平面PKM ，从而KM EG ⊥. 所以PKM ∠是二面角A EG M --的平面角. 设2AD =，则1CM =，2PK =， 在Rt CMP △中，2sin 452PM CM ==.G ECEG在Rt KMP △中，KM ==所以cos PK PKM KM ∠==.即二面角A EG M --.（另外，也可利用空间坐标系求解）19. 分析 （1）首先切化弦得sin2tan 2cos 2AA A=，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘2sin2A，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；（2）由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（1）的结果，有22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，所以只需求出sin ,sin A B 即可. 由于已知四边，且cos cos C A =-，cos cos D A =-，故考虑用余弦定理列方程组求cos ,cos A B ，从而求出sin ,sin A B .解析 （1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A A A A A A A A-===. （2）由180A C ∠+∠=，得180C A ∠=-∠，180D B ∠=-∠. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D +++= ()()()()1cos 1801cos 1801cos 1cos sin sin sin 180sin 180A B A B A B A B ------+++=--22sin sin A B +.连接BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB ADA =+-，G E在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-=++，则()()2222222265343cos 2265347AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===+⨯+⨯，所以sin A ===连接AC ，同理可得()()2222222263541cos 22635419AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===+⨯+⨯， 所以sin19B===.所以tantan tan tan 2222A B C D +++=22sin sin 3A B +==. 20. 分析（1）根据椭圆的对称性，当直线l 与x 轴平行时，()2,1B -，()2,1A ，将这个点的坐标代入椭圆的方程，得22211a b+=.再根据离心率得2c a =，又，三者联立，解方程组即可得2,2a b ==，进而得椭圆的方程为22142x y +=；（2）先利用l 与x 轴平行和垂直这两种特殊情况找出点Q 的坐标为()0,2Q .接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线l ，均有QA PAQB PB=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由图可看出12PA x PBx =，为了证明QA PA QB PB =，只需证明12QA x QB x =，为此作点B 关于y轴对称的点()22,B x y '-，这样将问题转化为证,,Q A B '三点共线. 解析 （1）由已知点)在椭圆E 上.222a b c -=所以222222112a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆E 方程为22142x y +=. （2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于,C D 两点. 如果存在定点Q 满足条件，则1QC PCQD PD==，即QC QD =. 所以点Q 在y 轴上，可设点Q 的坐标为()00,y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于,M N 两点.则(M，(0,N ，由QM PM QNPN=，=01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标只可能为()0,2Q . 下面证明：对任意的直线l ，均有QA PAQB PB=. 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，,A B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=.其判别式()22168210k k ∆=++>，， 所以122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+.因此121212112x x k x x x x ++==. 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为()22,B x y '-.又11121QA y k k x x -==-，2221211QB y k k k x x x '-==-+=--， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线. 所以12QA QA x PAQB QB x PB==='. 故存在与点P 不同的定点()0,2Q ，使得QA PAQB PB=恒成立. 21. 分析（1）首先对函数()f x 求导，得()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+⎪⎝⎭，然后再求导得()222112222242x a a g x x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=.利用导数的符号即得其单调性.此题分1204a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和1204a ⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况讨论；（2）要使得()0f x 在区间()1,+∞恒成立，且()0f x =在()1,+∞有唯一解，则这个解0x 应为极小值点，且极小值为0.所以我们应考虑求()f x 的极小值.由()00f x '=，解得0011ln 1x x a x ---=+，代入()f x 得()200000000011001ln 1ln 2ln 211x x x x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫----=-++-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2000011001ln 1ln 211x x x x x x --⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭.是否存在0x 使得()00f x =呢？为此，令()2111ln 1ln 2ln 211x x x x x x x x x x x ϕ------⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2111ln 1ln 211x x x xx x ------⎛⎫+ ⎪++⎝⎭. 因为()110ϕ=>，()()211e e 2e 2e 201e 1e ϕ----⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭，故存在()01,e x ∈，使得()00x ϕ=.接下来的问题是，此时的a 是否满足()0,1a ∈呢？令000101ln 1x x a x ---=+，()()1ln 1u x x x x =--.由()110u x x'=-知，函数()u x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()()0011101e e 2011111e 1eu u x u a x ----=<=<=<++++，即()00,1a ∈. 当0a a =时，有()00f x '=，()()000f x x ϕ==.由（1）知，函数()f x '在区间()1,+∞上单调递增.故当()01,x x ∈时，有()00f x '<，从而()()00f x f x >=；当()0,x x ∈+∞时，有()00f x '>，从而()()00f x f x >=；所以当()1,x ∈+∞时，()0f x .解析 （1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，所以()222112222242x a a g x x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=. 当104a <<时，()g x在区间10,2⎛- ⎝⎭，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在区间1122⎛-⎝⎭上单调递减. 当14a时，()g x 在区间()0,+∞上单调递增. （2）由()()22ln 210a f x x a x x ⎛⎫'=---+= ⎪⎝⎭，解得11ln 1x x a x ---=+. ()2211111ln 1ln 1ln 1ln 2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则()110ϕ=>，()()211e e 2e 2e 201e 1e ϕ----⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭. 故存在()01,e x ∈，使得()00x ϕ=.令000101ln 1x x a x ---=+，()()1ln 1u x x x x =--≥由()110u x x'=-知，函数()u x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()()0011101e e 2011111e 1eu u x u a x ----=<=<=<++++，即()00,1a ∈. 当0a a =时，有()00f x '=，()()000f x x ϕ==. 再由（Ⅰ）可知，()f x '在区间()1,+∞上单调递增.故当()01,x x ∈时，有()00f x '<，从而()()00f x f x '>=； 当()0,x x ∈+∞时，有()00f x '>，从而()()00f x f x >=； 所以当()1,x ∈+∞时，()0f x .综上所述，存在()0,1a ∈，使得()0f x 在区间()1,+∞恒成立，且()0f x =在()1,+∞有唯一解.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川理）一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ） （A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<2、设i 是虚数单位，则复数32i i-=（ ） （A ）i - （B ）3i - （C ）i （D ）3i3、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）（A ）-（B （C ）12- （D ）124、下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） （A ）cos(2)2y x π=+（B ）sin(2)2y x π=+（C ）sin 2cos 2y x x =+ （D ）sin cos y x x =+5、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）（A ）3（B ） （C ）6 （D ）6、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个7、设四边形ABCD 为平行四边形，||6AB = ，||4AD =。

若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）68、设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 9、如果函数21()(2)(8)12f x m x n x =-+-+（0m ≥，0n ≥）在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81210、设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)x y r -+=（0r >）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点。

=2 答案：C 2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工农医类)第I 卷参考公式:P n (k)=C ；p k (1 — p)n±(k =0,1,2,…n)一、选择题：(1) i 是虚数单位，计算i + i 2 + i 3 = (A )- 1( B ) 1(C ) -i(D ) i解析：由复数性质知：i 2=- 1 故 i + i 2+ i 3= i +( — 1)+( — i) =- 1 答案：A (2)下列四个图像所表示的函数，在点 x = 0处连续的是解析：由图象及函数连续的性质知， D 正确.答案：D (3)2log 510 + log 50 . 25=―(A ) 0( B ) 1( C ) 2解析：2log 510+ log 50. 25P(A+B) =P(A)+P(B)s 二 4 二 R 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A B)=P(A) P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么4 D 2 v R3在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式(B ) (C )(D) 4w=log 5100 + log50. 25=log 525=2答案：C(A )甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱(B )甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱80(4) 函数f(x) = x2+ mx+ 1的图像关于直线(A) m = _2 ( B) m = 2答案：A2解析：由BC = 16,得| BC| =4 AB AC I A^-A C而AB AC AM答案：C w…(6)将函数y =sin x的图像上所有的点向右平行移动'个单位长度，再把所得各点的横坐10标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是w—m(A) y =sin(2x ) (B) y = sin(2x )10 51 兀 1 兀(C) y 二sin(—x ) (D) y 二sin(—x )2 10 2 20解析：将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动一个单位长度，所得函数图象的解析10式为y= sin(x—) •10再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是1 ny"门(异-石).答案：C(7)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两解析：函数f( x) = x2+ mx+ 1的对称轴为x= —曰疋—m= 1 =• m= —22x=1对称的充要条件是(C) m - -1(5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC夕卜，BC2=16,AB ACi IA^-A C.贝y(A)8 (B)4 (C) 2 (D ) 1w_w-=BC = 4故二2车间每天总获利最大的生产计划为（D ）甲车间加工原料 40箱，乙车间加工原料 30箱 解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱x y _ 70nt I则 <10x+6y 兰480x, y N目标函数z = 280x + 300y结合图象可得：当 x = 15, y = 55时z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验 . 答案：Bw … （8）已知数列的首项印=0，其前n 项的和为S n ，且S n.i =2S 「印，则lim n 二1（A ）0（ B ） —（ C ） 1 （ D ）22解析：由 & 1=2Sn ' a 1,且Sn 2-2S n 1a1 1作差得 a n +2 = 2a n +1^又 S 2 2S 1 + a 1, 即卩 a ? + a 1 2 a 1 + a^ —■ a ? 2 a 1故｛a n ｝是公比为2的等比数列S n = a 1+ 2a 1 + 22a 1 + .......................... + 2n 1a 1= (2n — 1) a 1则 lima n= lim nn；：S nn ::(2n -1)a 1答案：B2 2xy（9）椭圆二 2 =1（a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点a bP 满足线段AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是 co（A ） 0,彳（B ） 0,1（C ）J2-1,1（D ） 1,1解析：由题意，椭圆上存在点 P ,使得线段AP 的垂直平分线过点F ,2nJ 31即F 点到P 点与A 点的距离相等m2 ,2ab而 | FA| = C = 一c c| PF| € [a — c, a + c]即 ac — c ?w ac + c ?.j ac _c 2 兰 a 2 _c 2 a 2 -c 2 乞ac c 2于是b 2€ [ a — c, a + c]c—叮屏11 或--a — 2又e€ (0, 1)故e€ |-,1 | '2丿答案：D(10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且-3都不与5相邻的六位偶数的个数是(A)72 ( B)96 ( C) 108 ( D)144w …解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法_…①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3 A f A f = 24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A2A2 = 12个算上个位偶数字的排法，共计3(24 + 12) = 108个答案：C(11)半径为R的球O的直径AB垂直于平面「，垂足为B , BCD是平面〉内边长为与球面交于点M , N,/A、f 17(A) Rarccos——25 那么R的正三角形，线段AC、M、N两点间的球面距离是厂18(B) Rarccos -25(C)AD分别解析: 由已知,1 AB = 2R, BC = R,故tan / BAC = —•一.…2cos/ BAC =连结OM，则△ OAM为等腰三角形4品4亦AM = 2AOcos / BAC = R，同理AN= R，且MN// CD w5 5而AC = . 5R, CD = R故MN : CD = AN:AC w一MN = 4R ,5连结OM、ON, 有OM = ON= R于是cos/ MON =2 2 2OM ON -MN2OM LON172517所以M 、N 两点间的球面距离是 Rarccos25答案：A1i(12)设 a >b :- c ,0 ,则 2a 2 10ac ：-25c 2 的最小值是ab a(a_b)(A )2( B )4( C ) 2,5( D ) 5解析： 2a 2 — 110ac - 25c 2ab a(a —b)=(a -5c)2 ab 丄 a(a -b) --ab a(a —b)> 0 + 2+ 2=4当且仅当a — 5c = 0, ab = 1, a( a -b) = 1时等号成立2c = 2满足条件5答案：B=(a _5c)2a 2 —ab ab 丄 --ab a(a —b)如取a =第口卷、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上1 6(13) (2-3—)6的展开式中的第四项是.Jx(14)直线x -2y 5=0与圆x 2 y 2 =8相交于A 、B 两点，则 AB 〒解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2、、2故 LABJ 二.、二二=二 2 二…2得 | AB| = 2 3 答案：2 3(15)如图，二面角〉-I - '■的大小是60°,线段AB 二：；• B 三丨,AB 与I 所成的角为30° .则AB 与平面1所成的角的正弦值是•解析：过点A 作平面B 的垂线，垂足为 C ,在B 内过C 作I 的垂线•垂足为D 连结AD ，有三垂线定理可知 AD 丄I ,故/ ADC 为二面角：• -I - 1的平面角，为60° 又由已知，/ ABD = 30° 连结CB ,则/ ABC 为AB 与平面一：所成的角..设 AD = 2，贝V AC = /3 , CD = 1ADAB =0 =4sin 30AC 3--sin / ABC =AB 4答案：空解析: T 4= C ；23160x答案:160 x 圆心到直线x -2y • 5=0的距离为4(16)设S为复数集C的非空子集.若对任意x, y S ,都有x • y,x - y,xy • S ,则称S为封闭集。