北京市西城区2017度高三上学期期末文科数学试卷及答案

西城区高三统一测试数学（文科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =ð（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B ）6 （C） （D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x =的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n '''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；2 12．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分] 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分] π)6A =+． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin AB + [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：[ 4分] 所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分] 所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题 的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分] 所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP D F ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编平面向量1、（昌平区2017届高三上学期期末）在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD -=+uu u r uuu r uu u r uuu r ，则平行四边形ABCD 是(A) 矩形 (B) 梯形 (C) 正方形 (D) 菱形2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知平面向量(1,0)=a ，1(2=-b ，则a 与+a b 的夹角为 A.6π B ．3π C. 32π D. 65π 3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（ ）A ．154-B ．34-C ．154D ．344、（东城区2017届高三上学期期末）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5,7,8a b c ===，则AB AC ⋅等于____.5、（丰台区2017届高三上学期期末）平面向量(1)，x =a ，=b (1),y ，=c (24),-，如果 b c ‖，且()^-a b c ，那么实数x ，y 的值分别是(A) 2，2- (B) 2-，2- (C) 12，2 (D) 12，126、（海淀区2017届高三上学期期末）已知向量a,b 满足2-0a b =，()2-⋅=a b b ，则=|b |A ．12 B ．1 C D ．27、（海淀区2017届高三上学期期中）已知向量(1,),(2,4)x =-=-a b . 若a b ，则的值为 A.2- B.12- C.12D.2 8、（石景山区2017届高三上学期期末）向量(3,1)a =，(3,1)b =-，a 与b 夹角的大小为______________9、（通州区2017届高三上学期期末）如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC DB AP λμ=+，则λμ+的取值范围是_______.10、（西城区2017届高三上学期期末）设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件11、（北京昌平临川育人学校2017届高三上学期期末）已知向量a 、b ，其中|a |=，|b |=2，且（a ﹣b ）⊥a ，则向量a 和b 的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．12、（北京市2017届高三春季普通高中会考）已知向量a b ，，那么1(24)22a b b -+等于（ ） A ．2a b - B ．4a b - C ．a D ．b 13、（北京市2017届高三春季普通高中会考）已知向量(3,1)a =-，(1,)b x =，且a b ⊥，那么x 的值是（ ）A ．-3B ．3C ．13- D ．1314、（朝阳区2017届高三上学期期中）设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则y = . 15、（海淀区2017届高三上学期期中）在正方形ABCD 中，E 是线段CD 的中点，若AE AB BD λμ=+，则λμ-=___.参考答案1、A2、B3、A4、445、A6、C7、D 8、39、[1,3]10、C 11、【解答】解：设两个向量的夹角为θ∵∴∴即∴∵θ∈[0，π] ∴故选A12、C13、B14.－415.1 2。

ð A （1）已知 U R ，集合 A {x | x 2或x 2} ，则 U
（A） ( 2, 2) （C） [ 2, 2] 【答案】C 【解析】因为 A {x x 2 或 x 2} ，所以 CU A x 2 x 2 ，故选 C. 【题型】选择题 【难度】一般 （2）若复数 (1 i)( a i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 （A） ( ,1) （C） (1, ) 【答案】B 【解析】 （B） ( , 1) （D） ( 1, ) （B） ( , 2) (2, ) （D） ( , 2] [2, )


z 1 i a i a 1 1 a i
，因为对应的点在第二象限，所以
a 1 0 1 a 0 ，解得： a 1 ，故选 B.
【题型】选择题 【难度】一般
（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
（A）2
3 （B） 2 8 （D） 5
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2017 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题
共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
为_________． 【答案】6
【解析】 AO AP | AO | | AP | cos | AO | | AP | 2 (2 1) 6. 所以最大值是 6. 【题型】填空题 【难度】一般 （13）能够说明“设 a，b，c 是任意实数．若 a>b>c，则 a+b>c”是假命题的一组整数

北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编函数一、选择题1、（昌平区2017届高三上学期期末）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（A ）xy e = （B ）2log y x = （C ）sin y x = （D ）3y x =2、（朝阳区2017届高三上学期期中）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A ．1y x =-B ．tan y x =C ．3y x =D ．2yx=- 3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．14、（丰台区2017届高三上学期期末）已知函数()ln()sin f x x a x =+-．给出下列命题： ①当0a =时，(0e),x ∀∈，都有()0f x <； ②当e a ≥时，(0+),x ∀∈∞，都有()0f x >； ③当1a =时，0(2+),x ∃∈∞，使得0()=0f x ． 其中真命题的个数是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35、（海淀区2017届高三上学期期末）下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是 A ．1()2x y =B ．2y x =-C ．2log y x =D ．||1y x =+6、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数,log a b y x y x ==的图象如图所示，则A.1b a >>B.1b a >>C.1a b >>D.1a b >>7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知定义在R 上的函数若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 A.1122a -≤≤ B.102a ≤< C.01a ≤< D.102a -<≤8、（石景山区2017届高三上学期期末）下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =D ．1y x=9、（通州区2017届高三上学期期末）下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1内单调递减的是A ．2y x = B ．2xy =C ．cos y x =D ．ln y x =10、（通州区2017届高三上学期期末）已知函数()())20,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()()()1g x f x k x =--有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是A ．(1)-∞，－B ．(0)∞，＋C ．(10)－，D ．(1)0-∞∞，－（，＋）11、（西城区2017届高三上学期期末）下列函数中，定义域为R 的奇函数是 （A ）21y x =+ （B ）tan y x = （C ）2xy = （D ）sin y x x =+ 12、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）设3log 2a =，21log 8b =，2c = A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>参考答案1、D2、C3、B4、B5、D6、A7、B8、D9、C 10、D 11、D 12、D二、填空题1、（昌平区2017届高三上学期期末）12,2,ln 2ee -三个数中最大的数是_________ .2、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 .3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .4、（东城区2017届高三上学期期末）已知函数1)(||)(+-=a x x x f .当0=a 时，函数)(x f 的单调递增区间为；若函数a x f x g -=)()(有3个不同的零点，则a 的取值范围为.5、（海淀区2017届高三上学期期中）计算1lg2lg 3lg54-+=___. 6、（石景山区2017届高三上学期期末）函数2()(3)1xf x x x =≥-的最大值为_______________． 7、（西城区2017届高三上学期期末）设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．8、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）设函数21()4()(2)1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，①若1a =，则()f x 的最小值为______；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______ .9、（昌平区2017届高三上学期期末）若函数2,11,()ln ,1.x x f x x x a -⎧-≤<=⎨≤≤⎩①当2a =时，若()1f x =，则x =___________；②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是________ .10、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）已知：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数()f x 在[1,1]-上是增函数；（Ⅱ）解不等式：1()(1)2f x f x +<-；（Ⅲ）若2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-恒成立，求：实数m 的取值范围．参考答案1、12e2、b c a >> 3、 4、(),-∞+∞,{}21aa << 5、3 6、37[4,9)8、 1-；11[2)2，，⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 9、0；122,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10、解：（Ⅰ）证明：设任意12,[1,1]x x ∈-且12x x <，由于()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，∴2121()()()()f x f x f x f x -=+- 因为12x x <，所以21()0x x +-≠，由已知有2121()()0()f x f x x x +->+-,∵2121()0x x x x +-=->，∴21()()0f x f x +->，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数. ………5分（Ⅱ）由不等式1()(1)2f x f x +<-得1112111112x x x x⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩，解得104x ≤< ………9分（Ⅲ）由以上知()f x 最大值为(1)1f =，所以要使2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-，只需2121m m ≤-+恒成立， 得实数m 的取值范围为0m ≤或2m ≥. ………14分。