2017-2018海淀区高三第一学期文科数学期末试卷

2018北京市海淀区高三数学（文科）（上）期末 2018.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知i 是虚数单位,若i(i)1i a +=-+，则实数a 的值为 (A) （B ） （C ）（D ）（2） 已知,a b ∈R ，若a b <，则(A) 2a b <（B ） 2ab b <（C ）1122a b < （D ）33a b <（3） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）4 （B ） 5 (C) 6 （D ）7（4） 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，共8道题) :（A ） 0，0（B ） 0，5（C ） 5，0 （D ）5，5（5）已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O x y 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23 （B ）2（C ）23或23- （D ）26或26- （6） 设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7） 在∆ABC 中，1==AB AC ，D 是AC 边的中点，则⋅BD CD 的取值范围是(A) 31(,)44-(B) 1(,)4-∞ （C ）3(,+)4-∞ （D ）13()44，（8）已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上.若=PM PQ 长度的最小值为1 （B（C1 （D）5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2018届高三上学期期末数学试题（文科）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】是虚数单位，，化简得到根据复数相等的概念得到实数的值为.故答案为：A。

2. 已知，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，若，则A：，当两个数值小于0时就不一定成立；B. ，当b=0时，不成立；C. ，当两者均小于0时，根式没有意义，故不正确；D. ，是增函数，故正确。

故答案为：D。

3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则的值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】根据平均数的概念得到根据选项得到：.故答案为：B。

5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D.6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】两直线平行的充要条件为且故.故是两直线平行的充分必要条件。

故答案为：C。

7. 在中，是的中点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据向量的运算得到设BC=x,,代入上式得到结果为.故答案为：A。

点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。

解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

2017年北京市海淀区高三文科上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知，若，则A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各名同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题分，共道题）：已知两组数据的平均数相等，则，的值分别为A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知直线与圆相交于，两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在中，，是边的中点，则的取值范围是A. B. C. D.8. 已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，点在平面内，点在线段上．若，则长度的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为．10. 若实数，满足约束条件则的最大值为．11. 在中，，，且的面积为，则．12. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的值是．13. 函数的最大值为；若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是．14. 某次高三英语听力考试中有道选择题，每题分，每道题在A，B，C三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这道题的得分：得分甲乙丙则甲同学答错的题目的题号是；此题正确的选项是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16. 已知函数．（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域．17. 据中国日报网报道，年月日，发布了最新一期全球超级计算机强榜单，中国超算在前五名中占据两席．其中，超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是）测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试品牌品牌设，分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记．（1）求数据，，，，的众数；（2）从满足的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果的概率；（3）经过了解，前次测试是打开含有文字与表格的文件，后次测试是打开含有文字与图片的文件．请你根据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．18. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为棱，的中点．（1）求证：；（2）求三棱柱的体积；（3）在直线上是否存在一点，使得 平面．若存在，求出的长；若不存在，说明理由．19. 已知椭圆：，直线：与椭圆相交于，两点，与轴交于点，点，与点不重合．（1）求椭圆的离心率；（2）当时，求椭圆的方程；（3）过原点作直线的垂线，垂足为．若，求的值．20. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分不必要条件．答案第一部分1. A2. D3. D 【解析】，当时，，当时，，则，输出．4. B5. D6. C7. A8. C第二部分9.10.11. 或12.13. ，14. ，A第三部分15. （1）设等差数列的首项为，公差为．解得，，由，则，因此，通项公式为．（2）由（Ⅰ）可知：，则，，因为，所以是首项为，公比为的等比数列．记的前项和为，则16. （1），，解得：，，所以，函数的定义域为．（2）因为，，所以，，所以，所以，函数的值域为．17. （1）所以有次，有次，有次，有次，有次，则数据，，，，的众数为．（2）设事件“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”，满足的测试共有次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有次即测试和测试，不妨用，表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有次即测试和测试，不妨用，表示．从中随机抽取两次，共有，，，，，六种情况，其中事件发生，指的是，，，四种情况．故．（3）标准：分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述．标准：会用测试结果的平均数进行阐述．【解析】标准：会用前次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）．标准：会用前次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件的速度的波动）．标准：会用品牌A前次测试结果的平均值、后次测试结果的平均值与品牌B前次测试结果的平均值、后次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前次测试结果的平均值大于品牌B前次测试结果的平均值，品牌A后次测试结果的平均值小于品牌B后次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）．标准：会用品牌A前次测试结果的方差、后次测试结果的方差与品牌B前次测试结果的方差、后次测试结果的方差进行阐述（品牌A前次测试结果的方差大于品牌B前次测试结果的方差，品牌A后次测试结果的方差小于品牌B后次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度的波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度的波动小于品牌B）．标准：会用品牌A这次测试结果的平均值与品牌B这次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这次测试结果的平均值小于品牌B这次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于品牌B）．标准：会用品牌A这次测试结果的方差与品牌B这次测试结果的方差进行阐述（品牌A这次测试结果的方差小于品牌B这次测试结果的方差，品牌A打开文件的速度的波动小于品牌B）．标准：会用前次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌 B测试结果的次数进行阐述（前次测试结果中，品牌A小于品牌B的有次，占．后次测试中，品牌A小于品牌B的有次，占．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于品牌B）．标准：会用这次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这次测试结果中，品牌A小于品牌B的有次，占．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）．参考数据：期望前次后次次品牌品牌品牌与品牌方差前次后次次品牌品牌品牌与品牌18. （1）在三棱柱中，侧面底面，，因为侧面底面，底面，所以平面，又因为平面，所以；（2）连接，在三棱柱中，．因为，所以．又因为，所以是边长为的正三角形．因为是棱的中点，所以，．又因为，，所以．因为，底面，所以底面．所以三棱柱的体积为；（3）在直线上存在点，使得 平面．证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为，连接．因为，故，由于为棱的中点，所以，故有，又为棱的中点，连接，故为的中位线，所以．又平面，平面，所以 平面．故在直线上存在点，使得 平面．此时，．19. （1），，，，故．（2）设，，得到，依题意，由得，且有原点到直线的距离，所以，解得，故椭圆方程为．（3）直线的垂线为：，由解得交点，因为，又，所以，故的值为．20. （1）依题意，，，所以切线的斜率，又因为，所以切线方程为．（2）先证不必要性．当时，，令，解得．此时，有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立．再证充分性．方法一：当时，．令，解得，．（i）当，即时，，所以在上单调递增．又因为，，所以有且只有一个零点．（ii）当，即时，，随的变化情况如下：极大值极小值当时，，，所以，又，所以有且只有一个零点．（iii）当，即时，，随的变化情况如下：极大值极小值因为，所以时，，令，则．下面证明当时，．设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得极大值．所以当时，，即．所以．由零点存在定理，有且只有一个零点．综上，是函数有且只有一个零点的充分不必要条件．方法二：当时，注意到时，，，所以，因此只需要考察上的函数零点．（i）当，即时，时，，所以单调递增．又，，所以有且只有一个零点．（ii）当，即时，以下同方法一．方法三：令，显然不是该方程的根，所以．设，则．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．又，时，，时，．令，则．下面证明当时，．设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得极大值．所以当时，，即．所以．所以当时，直线与函数的图象有且只有一个交点，即当时，函数有且只有一个零点．第11页（共11 页）。

2018--2018海淀区高三第一学期期末统考数学试卷2018．1一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若πα713=，则（ ） A ．sin α>0且cos α>0 B ．sin α>0且cos α<0 C ．sin α<0且cos α>0 D ．sin α<0且cos α<02．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．-1或2B ．-1或-2C ．1或2D ．1或-2 3．已知m ，l 是异面直线，那么①必存在平面α，过m 且与l 平行； ②必存在平面β，过m 且与l 垂直；③必存在平面γ，与m ，l 都垂直； ④必存在平面π，与m ，l 的距离都相等。

其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④4．（理）要得到函数y=sin2x 的图象，可以把函数)42sin(π-=x y 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位（文）要得到函数)42sin(π-=x y 的图象，可以把函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位5．设圆锥的母线与其底面成30°角，若圆锥的轴截面的面积为S ，则圆锥的侧面积等于（ ）A ．S π21B ．πSC ．2πSD ．4πS6．已知点A （-2，0）及点B （0，2），C 是圆122=+y x 上一个动点，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．22-B ．22+C ．2D ．222- 7．（理）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．360（文）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．3608．设函数f(x)的定义域是[-4，4]，其图象如图。

海淀区2018年高三年级第一学期期末练习数 学（文科）2018．1学校________ 班级________ 姓名________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）sin （－300°）的值为（ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- （2）函数)1(21>=-x y x 的反函数是（ ）A ．)1(log 12>+=x x yB ．)0(log 12>+=x x yC ．)1(log 12>+-=x x yD ．)1)(1(log 2>-=x x y（3）设集合}2sin 2|){(x y y x A ==，，集合}|){(x y y x B ==，，则（ ） A ．A B 中有3个元素 B ．A B 中有1个元素C ．A B 中有2个元素D ．A B ＝R（4）焦点在直线01243=--y x 上的抛物线的标准方程为（ ） A ．y x 122-= B ．x y 82=或y x 62-= C ．x y 162= D ．y x 122-=或x y 162= （5）在nxx)12(3-的展开式中，只有第5项的第二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ） A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 （6）在△ABC 中，“A ＞B ”是“B A cos cos <”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（7）已知mn ≠0，则方程122=+ny mx 与02=+ny mx 在同一坐标系下的图形可能是（ ）（8）在数列}{n a 中，已知)(1R ∈++=c n cn a n ，则对于任意正整数n 有（ ） A ．1+<n n a a B ．n a 与1+n a 的大小关系和c 有关 C ．1+>n n a a D ．n a 与1+n a 的大小关系和n 有关二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． （9）函数x x x f -+-=2)1(log )(21的定义域为________．（10）函数)2πsin(sin x x y -=的最小正周期是________． （11）已知向量＝（1，0），＝（2，2），则||＝________________． （12）已知点A （6，0），B 为圆422=+y x 上任意一点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________________．（13）设双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的焦距为2c ，A ，B 分别为实轴与虚轴的一个端点，若坐标原点到直线AB 的距离为2c，则双曲线的离心率为________；渐近线方程为________________．（14）设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f函数．给出下列函数：①0)(=x f ；②2)(x x f =；③)cos (sin 2)(x x x f +=；④1)(2++=x x xx f ；⑤)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数1x ，2x ，均有2|)()(|21≤-x f x f||21x x -．其中是函数的序号为_____________________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）本小题满分12分 已知向量)23sin 23(cosx x ，=a ，)2sin 2(cos xx -=，b ，)13(-=，c ，其中R ∈x ． （Ⅰ）当a ⊥b 时，求x 值的集合；（Ⅱ）求|a －b |的最大值．（16）本小题满分13分在一次历史与地理两科的联合测试中，备有6道历史题，4道地理题，共10道题以供选择，要求学生从中任意抽取5道题目作答，答对4道或5道可被评为良好．学生甲答对每道历史题的概率为0.9，答对每道地理题的概率为0.8．（Ⅰ）求学生甲恰好抽到3道历史题，2道地理题的概率；（Ⅱ）若学生甲恰好抽到3道历史题，2道地理题，则他能被评为良好的概率是多少？（精确到0.01）（17）本小题满分14分 解关于x 的不等式22)1(>--x x a （其中1≤a ）．（18）本小题满分14分设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为1F （－2，0），左准线1l 与x 轴交于点N （－3，0），过点N 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．（Ⅰ）求直线l 和椭圆的方程；（Ⅱ）求证：点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上． （19）本小题满分14在等比数列)}({+∈N n a n 中，11>a ，公比0>q ．设n n a b 2l o g =，且6531=++b b b ，0531=b b b ．（Ⅰ）求证：数列}{n b 是等差数列；（Ⅱ）求}{n b 的前n 项和n S 及数列}{n a 的通项n a ； （Ⅲ）试比较n a 与n S 的大小．（20）本小题满分13分 已知函数)(231)(23R R ∈∈+-=a x ax x x x f ，，在曲线y ＝f （x ）的所有切线吸且仅有一条切线l 与直线x ＋y ＝0平行．设曲线y ＝f （x ）的所有切线的倾斜角α组成的集合为Ｍ，与切线垂直的直线的倾斜角β组成的集合为Ｎ． （Ⅰ）求a 的值及切线l 的方程； （Ⅱ）求集合M 与集合N ．参考答案二、填空题（每小题5分，共30分）9．]21(， 10．π 11．5 12．1)3(22=+-y x 13．2（3分）；x y ±=（2分） 14．①④⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．本小题满分12分解：（Ⅰ）由b a ⊥得a ·b ＝0，即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x ………………4分 则02cos =x ，得)(4π2πZ ∈+=k k x ． …………………………………5分 ∴ }4π2π|{Z ∈+=k k x x ，为所求．………………………………………6分（Ⅱ）)3π23sin(45)123(sin )323(cos||222-+=++-=-x x x c a ，……………10分 所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………12分 16．本小题满分13分解：（Ⅰ）学生甲恰好抽到3道历史题、2道地理题的概率为：21105102436=C C C ．……6分 （Ⅱ）若学生甲被评为良好，则他应答对5题，记作事件A ；或答对3道历史题，1道地理题，记作事件B ；或答对2道历史题，2道地理题，记作事件C ．∵ 238.09.0)(⨯=A P ，………………………………………………………………8分 2.08.09.0)(123⨯=C B P ，…………………………………………………………10分22238.01.09.0)(⨯⨯=C C P ，……………………………………………………12分∴ 甲被评为良好的概率为)8.03.09.04.08.09.0(8.09.0)()()(2⨯+⨯+⨯⨯⨯=++C P B P A P＝0.85536≈0.86．………………………………………………13分17．本小题满分14分解：22)1(>--x x a 02)4()2(022)1(>----⇔>---⇔x a x a x x a …………4分0224<----⇔x a a x (由a ≤1知a －2＜0)．……………………………………………6分 又由2224--=---a aa a 知，………………………………………………………………8分 当0＜a ≤1时，224>--a a ，则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<=242a a x x A ；………………………10分 当a ＝0时，原不等式解集A 为空集；…………………………………………………12分 当a ＜0时，224<--a a ，则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--=224x a a x A ． …………………………14分 综上所述，当0＜a ≤1时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<=242a a x x A ；当a ＝0时，A 为空集； 当a ＜0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--=224x a a xA ．18．本小题满分14分 解：（Ⅰ）直线l ：)3(33+=x y ………………………………………………………2分 由已知c ＝2及32=c a 解得：62=a ，∴ 22622=-=b ．……………………4分 ∴ 椭圆方程为12622=+y x ．…………………………………………………………5分 （Ⅱ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=②①，，)3(0633322x y x y 将②代入①，整理得03622=++x x ．③……………………………………………7分 设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则321-=+x x ，2321=x x ．……………………10分 解法一：22221111++=⋅⋅x y x y k k B F A F ……………………………………………………11分1]4)(2[39)(3)2)(2()3)(3(31212121212121-=++++++=++++=x x x x x x x x x x x x ，………………………………13分 ∴ B F A F 11⊥．则︒=∠901B AF ．∴ 点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上．…………………………………14分 解法二：)2()2(221111y x y x F F ，，++=⋅⋅ 2121)2)(2(y y x x +++= ………………………………………………………………11分 ]9)(3[314)(221212121+++++++=x x x x x x x x 07)(3342121=+++=x x x x ，…………………………………………………………13分 ∴ B F A F 11⊥．则︒=∠901B AF ．∴ 点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上． …………………………………14分 19．本小题满分14分证明：（Ⅰ）∵ n n a b 2log =，∴ nn n n n n a a a a b b 122121log log log +++=-=- q 2log =为常数，∴ 数列}{n b 为等差数列且公差q d 2log =．…………………………………………2分 解：（Ⅱ）∵ 6531=++b b b ，∴ 23=b ． …………………………………………3分∵ 11>a ，∴ 0log 121>=a b ．∵ 0531=b b b ，∴ 05=b ． ∴ ⎩⎨⎧=+=+．，042211d b d b 解得：⎩⎨⎧-==．，141d b ……………………………………………………6分∴ 29)1(2)1(42n n n n n S n -=-⨯-+=．……………………………………………8分 ∵ ⎩⎨⎧=-=，，4log 1log 122a q ∴⎪⎩⎪⎨⎧==．，16211a q ∴ )(25+-∈=N n a nn ． …………………10分（Ⅲ）显然 025>=-n n a ，当n ≥9时，02)9(≤-=n n S n ． ∴ n ≥9时，n n S a >． ………………………………………………………………12分 ∵ 161=a ，82=a ，43=a ，24=a ，15=a ，216=a ，417=a ，818=a ， 41=S ，72=S ，93=S ，104=S ，105=S ，96=S ，77=S ，48=S ． ∴ 当n ＝3，4，5，6，7，8时，n n S a <；当n ＝1，2或n ≥9时，n n S a >．……………………………………………………14分 20．本小题满分13分解：（Ⅰ）∵ a x x x f +-='4)(2，…………………………………………………1分 由已知可得，方程142-=+-a x x 有两个相等实根， ∴ 0)1(416=+-a ．得a ＝3．方程的解为x ＝2．……………………………………………………………4分当a ＝3时，x x x x f 3231)(23+-=，∴ 326838)2(=+-=f ． ∴ l 的方程为：)2(32--=-x y ，即0833=-+y x ．……………………………6分（Ⅱ）设过曲线上任一点P （x ，y ）处的切线斜率为k （由题意知k 存在）．则11)2(34)(22-≥--=+-='=x x x x f k ．………………………………………7分 ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<α≤<α≤α=π4π32π0或M ．……………………………………………9分 解法（一）：当2π0<≤α时，2π+=αβ，π2π<≤β；…………………………………………11分 当π4π3<≤α时，2π-=αβ，2π4π<≤β．………………………………………12分 ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=π4πββN ．……………………………………………………………13分 解法（二）：设与切线垂直的直线的斜率为k ′．当－1≤k ＜0时，[)∞+∈-='，11k k ，)2π4π[，∈β；………………………………10分 当k ＝0时，k ′不存在，2π=β； ……………………………………………………11分当k ＞0时，01<-='k k ，)π2π(，∈β． …………………………………………12分 ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=π4πββN ．……………………………………………………………13分 注：其它正确解法按相应步骤给分．。

2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2） D．（﹣1，2）2．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．33．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=log2x D．y=|x|+14．已知向量，满足=0，（）•=2，则||=（）A．B．1 C．D．25．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．96．在△ABC中，“A＜30°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A． B．[，] C． D．[，2]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线C：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为．10．已知数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，则a1= ，其前n 项和S n= ．11．已知圆C：x2+y2﹣2x=0，则圆心C 的坐标为，圆C截直线y=x 的弦长为．12．已知x，y满足，则2x+y的最大值为．13．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD=30°，∠CDB=50°．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①AD，DB②AC，DB③CD，DB其中，能使△ABC 唯一确定的条件的序号为．（写出所有所和要求的条件的序号）14．已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n} 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n﹣n} 的前n 项和为S n，比较S4和S5的大小，并说明理由．16．（13分）已知函数（Ⅰ）求f（x）的定义域及的值；（Ⅱ）求f（x）在上的单调递增区间．17．（13分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数（Ⅱ）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．19．（13分）已知椭圆的离心率为，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程．20．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在函数f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a 恰有两个不同的实根x1，x2，且x1＜x2，求证：．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2） D．（﹣1，2）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数i（2﹣i）=2i+1在复平面内对应的点的坐标为（1，2），故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=log2x D．y=|x|+1【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A.是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件．C．y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=|x|+1是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．已知向量，满足=0，（）•=2，则||=（）A．B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得=2，可得||的值．【解答】解：∵向量，满足=0，（）•=﹣=2﹣==2，则||=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．5．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．6．在△ABC中，“A＜30°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由，则0°＜A＜30°或150°＜A＜180°，则A＜30°”是“”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的关系是解决本题的关键．7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，即可求出体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，体积为=，故选B．【点评】本题考查几何体体积的计算，考查三视图与直观图的转化，确定直观图的形状是关键．8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A． B．[，] C． D．[，2]【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF 交于线段DD1，即可得出结论．【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选C．【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线C：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为y=2x或（y=﹣2x）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出a和b 的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：由双曲线C：得到a=1，b=2，则双曲线C 的渐近线方程为y=±2x，故答案为：y=2x或（y=﹣2x）．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．10．已知数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，则a1= ﹣1 ，其前n 项和S n= n2﹣2n ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】推导出数列{a n} 是公差d=2的等差数列，由此能求出首项和前n项和．【解答】解：∵数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，∴数列{a n} 是公差d=2的等差数列，∴a3=a1+2d=a1+4=3，解得a1=﹣1，∴S n==﹣1+=n2﹣2n．故答案为：﹣1，n2﹣2n．【点评】本题考查数列的首项和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．已知圆C：x2+y2﹣2x=0，则圆心C 的坐标为（1，0），圆C截直线y=x 的弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆C方程化为标准形式，找出圆C的半径及圆心坐标即可；利用点到直线的距离公式，求直线l与圆心C的距离，即可求出圆C截直线y=x 的弦长．【解答】解：圆C方程x2+y2﹣2x=0化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，则圆C的半径为1，圆心C坐标为（1，0）；圆心C（1，0）到直线l：x﹣y=0的距离d=，∴圆C截直线y=x 的弦长为2=，故答案为（1，0），．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程与一般方程的转化，考查计算能力．12．已知x，y满足，则2x+y的最大值为10 ．【考点】简单线性规划．【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解【解答】解：令z=2x+y，则y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分做直线2x+y=0，然后把直线2x+y=0向上平移，结合图形可知，当直线平移到B时，z最大由可得B（4，2），此时z=10故答案为：10【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想13．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD=30°，∠CDB=50°．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①AD，DB②AC，DB③CD，DB其中，能使△ABC 唯一确定的条件的序号为①②③．（写出所有所和要求的条件的序号）【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得，结合余弦定理即可得解．【解答】解：∵∠CAD=30°，∠CDB=50°．∴可得：∠ACD=20°，∴在△ACD中，可得，即给一边，可求另外两边，进而利用正弦定理，余弦定理可求△ABC的各边及角．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是乙．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，即可得出结论．【解答】解：根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，A大学的男女生比例有可能等于B大学的男女生比例，即A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例故答案为乙【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知数列{a n} 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n﹣n} 的前n 项和为S n，比较S4和S5的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列{a n﹣n} 的前n 项和S n的意义可得S5﹣S4=a5﹣5，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n} 的公比为q，由a3+a4=6，可得又a2=1，所以q+q2=6，解得q=2 或q=﹣3，因为a n＞0 （n=1，2，3，…），所以．所以q=2，解得，所以，数列{a n} 的通项．．（Ⅱ）由数列{a n﹣n} 的前n 项和S n的意义可得S5﹣S4=a5﹣5，所以，所以S5＞S4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知函数（Ⅰ）求f（x）的定义域及的值；（Ⅱ）求f（x）在上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）根据函数成立的条件，结合三角函数的性质进行求解即可．（Ⅱ）将函数进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由cosx≠0，可得x≠kπ+，k∈Z，所以f（x）的定义域为，.．（Ⅱ）==2sinx+2cosx=，因为，所以．因为函数y=sinx 在上单调递增，所以时，单调递增，此时，所以，函数f（x）在上的单调递增区间为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件将函数进行化简是解决本题的关键．17．（13分）（2016秋•海淀区期末）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数（Ⅱ）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由数据统计表能求出八周诚信水站诚信度的平均数．（Ⅱ）表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，由此利用列举法能求出设至少有1个数据出现在第二个周期的概率．（Ⅲ）根据提供的数据，判断该主题教育活动有效．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）八周诚信水站诚信度的平均数为=．（Ⅱ）表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，从这5个数据中任取2个共有10种情况：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2．其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况．设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A 则．（Ⅲ）有效阐述理由含如下之一理由陈述的可能情况：①第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第二个周期的诚信度平均数87.75%；②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势；③第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第一、二个周期的诚信度平均数90.5%；④12周的整体诚信度平均数为91%，高于前两个周期的诚信度的平均数90.5%；【点评】本题考查数据统计表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．（14分）（2016秋•海淀区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，得CD⊥AE．（Ⅱ）由AB∥DC，CD⊥平面PAD，⇒AB⊥平面PAD．又由AB⊂平面PAB，得平面PAB⊥平面PAD．（Ⅲ）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，由已知得到，这与OB=OD 矛盾．【解答】解：（Ⅰ）因为PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．（Ⅱ）因为AB∥DC，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD．又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（Ⅲ）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，设BD∩AC=O，连结OE，则平面EAC∩平面PDB=OE，又PB⊂平面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以PB∥OE．所以，在△PDB 中有=，由E是PD中点可得，即OB=OD．因为AB∥DC，所以，这与OB=OD 矛盾，所以假设错误，PB与平面AEC不平行．（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）【点评】本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定，属于基础题．19．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知椭圆的离心率为，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题设可得，及其a2=b2+c2，解出即可得出．（Ⅱ）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于．由题设可得B（0，1），利用数量积运算性质可得：．又C（x C，y C）在椭圆G 上，可得，解出即可得出．法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为y=k（x﹣2），与椭圆方程联立可得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．利用根与系数的关系可得：由题设可得以AC为直径的圆经过点B（0，1）等价于．解出即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题设可得，解得，因为a2=b2+c2，所以，所以椭圆G 的标准方程为．．（Ⅱ）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于．由题设可得B（0，1），所以，，所以．又C（x C，y C）在椭圆G 上，所以，由，可得，解得x C=0 或，所以C（0，1）或，所以，直线l 方程为x+2y﹣2=0或3x﹣10y﹣6=0．法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为y=k（x﹣2），由，可得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．△＞0，，又因为x A=2，所以．由题设可得以AC为直径的圆经过点B（0，1）等价于．所以，即．解得或．所以，直线l 方程为x+2y﹣2=0 或3x﹣10y﹣6=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）（2016秋•海淀区期末）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在函数f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a 恰有两个不同的实根x1，x2，且x1＜x2，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算切线的斜率，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）根据函数的单调性得到方程f（x）=a 有两个不同的实根x1，x2时，必有0＜a＜1，且e﹣1＜x1＜1＜x2，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）令f（x）=0，得，所以，函数f（x）零点为，由得，所以，所以曲线y=f（x）在零点处的切线方程为，即y=e2x﹣e．（Ⅱ）由函数得定义域为（0，+∞）．令f'（x）=0，得x=1．所以，在区间（0，1）上，f'（x）＞0；在区间（1，+∞）上，f'（x）＜0．故函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f（x）在（0，e﹣1）上f（x）＜0，在（e﹣1，+∞）上f（x）＞0．由（Ⅱ）结论可知，函数f（x）在x=1 处取得极大值f（1）=1，所以，方程f（x）=a 有两个不同的实根x1，x2时，必有0＜a＜1，且e﹣1＜x1＜1＜x2，法1：所以，由f（x）在（1，+∞）上单调递减可知，所以；法2：由f（x）=a，可得lnx+1=ax，两个方程同解．设g（x）=lnx+1﹣ax，则，当0＜a＜1 时，由g'（x）=0，得，所以g（x），g'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，，所以．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．- 21 -。

北京海淀区2017~2018学年上学期高三期末数学文科试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知i 是虚数单位，若()1+i a i i +=，则实数a 的值为 A. 1 B. 0 C. 1- D. 2- （2）已知,a b R ∈，若a b ，则A. 2ab B. 2ab b C. 1122ab D. 33a b（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则,x y 的值分别为 A. 0,0 B. 0,5 C. 5,0 D. 5,5（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为 A. 32 B. 62 C. 32或32- D. 62或62-（6）设，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线++10x ay =平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（7）在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅的取值范围是 A. 31(,)44- B. 1(,)4-∞ C. 3(,)4-+∞ D. 13(,)44（8）已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为 A.21- B. 2 C. 3515- D.355第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为y x =，则实数k 的值为 .（10）若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是 .（11）ABC ∆中， 1,7,a b ==且ABC ∆的面积为32，则c = .（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .（13）函数2,0()(2),0x x f x x x x ⎧≤=⎨-⎩的最大值为 ；若函数()f x 的图像与直线(1)y k x =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 1 2 3 4 5 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙BCCBB2则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共6小题，共80分。

海淀区2018年高三年级第一学期期末练习数学 (文科)第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．设集合{}{}2|1|1,0A x x x B x x x =+=+=+<，则A B ⋂等于 （ ）.A [)1,0-.B(1,0)- .C (]1,0- .D []1,0- 2．若曲线4y x =的一条切线l 的斜率为4，则切线l 的方程是 （ ）.A 430x y --= .B 450x y +-= .C 430x y -+=.D 430x y ++=3．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题 ①//m n ，n α⊂⇒//m α； ②l α⊥，m β⊥，//l m ⇒//αβ； ③,,//,//m n m n ααββ⊂⊂⇒//αβ；④αβ⊥，m αβ⋂=，n β⊂，n m ⊥⇒n α⊥.其中正确的命题个数是 （ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 44．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）.A 0 .B12 .C 35.D 25．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）.A 2,0M M ∉∈ .B 2,0M M ∉∉.C 2,0M M ∈∉.D 2,0M M ∈∈绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 A.75辆 B.120辆 C.180辆 D.270辆 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．12B ．6C ． 4D ．2 7. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈， 01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥8. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin 2f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且a =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.(I) 求这三个社团共有多少人？(II)书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O =，侧棱1AA ⊥BD,点F为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .ABC1B 1C 1A D F1D O18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P .（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.。

2017年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}2．圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=13．执行如图所示的程序框图，输出的x的值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．若实数a，b满足a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．B．C．D．36．在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上D．点D在CB的延长线上7．若函数的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1] D．（﹣1，0）8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③ D．②③二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知复数z=a（1+i）﹣2为纯虚数，则实数a= ．10．已知等比数列{a n}中，a2a4=a5，a4=8，则公比q= ，其前4项和S4= ．11．若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p= ．12．若x，y满足则的最大值是．13．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若函数y=f（x+a）（a＞0）的部分图象如图所示，则ω= ，a的最小值是．14．阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为，你的理由是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+a n+1}的前n项和．16．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地有a，b两种“共享单车”（以下简称a型车，b 型车）．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a型车．租用a型车租用b型车第3个月第4个月租用a型车60% 50%租用b型车40% 50%若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a，b两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17．在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求证：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EAD的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q（4，0），若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=e x﹣x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=e x﹣2x﹣1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．数学试题答案一、1．【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}，则集合A∩B={x|2＜x＜3}．故选：A．2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程【解答】解：设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，∵直线y=2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=1故圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，故选：C3．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，y=5不满足条件=，执行循环体，x=1，y=4不满足条件=，执行循环体，x=2，y=2满足条件=，退出循环，输出x的值为2．故选：C．4．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】据a，b的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可．【解答】解：设f（x）=x+lnx，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞b，∴f（a）＞f（b），∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb”，∴f（a）＞f（b），∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件，故选：C5．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，即可得出结论．【解答】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，长度为=，故选B．6．【考点】向量的三角形法则．【分析】据条件，容易得出，可作出图形，并作，并连接AD′，这样便可说明点D和点D′重合，从而得出点D在CB的延长线上．【解答】解：==；如图，作，连接AD′，则：=；∴D′和D重合；∴点D在CB的延长线上．故选D．7．【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，讨论x≤a和x＞a时，f（x）∈[﹣1，1]，即可求出a的取值范围．【解答】解：函数的值域为[﹣1，1]，当x＞a时，f（x）=∈[﹣1，1]，应满足0＜≤1，解得x≥1；∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．8．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．【解答】解：因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”．把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关故选C．二、9．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z=a（1+i）﹣2=a﹣2+ai为纯虚数，∴a﹣2=0，a≠0，则实数a=2故答案为：2．10．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a4=a5，a4=8，可得q2=a2q3， =8，解得a2，q，利用求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a4=a5，a4=8，∴q2=a2q3， =8，解得a2=q=2．∴a1=1．其前4项和S4==15．故答案为：2，15．11．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线x=﹣经过双曲线的右焦点（﹣2，0），即可求出p．【解答】解：因为抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，∴p＞0，所以抛物线的准线为x=﹣，依题意，直线x=﹣经过双曲线的右焦点（﹣2，0），所以p=4故答案为：4．12．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：则的几何意义表示平面区域内的点与点（0，0）的斜率的最大值，由解得A（1，）显然过A时，斜率最大，最大值是，故答案为：．13．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．a．【解答】解：由已知函数图象得到π，所以T=π，所以=2，又y=f（x+a））=sinω（x+a）且（，1）在图象上，所以sin2（+a）=1，所以+2a=2kπ，k∈Z，所以k取0时a的最小值为；故答案为：2；．14．【考点】收集数据的方法．【分析】根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论【解答】解：选①，理由为：数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．故答案为：①；数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数三、15．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．（II）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，因为a1+a2=6，a2+a3=10，所以a3﹣a1=4，所以2d=4，d=2．又a1+a1+d=6，所以a1=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n．（Ⅱ）记b n=a n+a n+1，所以b n=2n+2（n+1）=4n+2，又b n+1﹣b n=4（n+1）+2﹣4n﹣2=4，所以{b n}是首项为6，公差为4的等差数列，其前n项和．16．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．到2人，至少有一人租到a型车”，则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”．利用列举法能求出抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%，由此能同市场4月租用a，b型车的用户比例．【解答】解：（Ⅰ）依题意租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；租到b型车的3人为B1，B2，B3；设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车”，则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”．如下列表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件发生共有3种情况，所以事件A概率．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%，所以市场4月租用a，b型车的用户比例为．17．【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得，即可证明：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为A=2B，所以由正弦定理，得，得，所以a=2bcosB．（Ⅱ）解：由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，因为b=2，c=4，A=2B，所以16cos2B=4+16﹣16cos2B，所以，因为A+B=2B+B＜π，所以，所以，所以．18．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，推导出OF∥PB，由此能证明PB∥平面FAC．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA为棱锥P﹣ABD的高．由S△PAE=S△ABE，知，由此能求出结果．（Ⅲ）推导出AD⊥PB，AE⊥PB，从而PB⊥平面EAD，进而OF⊥平面EAD，由此能证明平面EAD⊥平面FAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，在△PBD中，O，F分别是BD，PD的中点，所以OF∥PB，又因为OF⊂平面FAC，PB⊄平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P﹣ABD的高．因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，因为E为PB中点，所以S△PAE=S△ABE，所以．证明：（Ⅲ）因为AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE⊂平面EAD，AD⊂平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以OF⊥平面EAD，又OF⊂平面FAC，所以平面EAD⊥平面FAC．19．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又，b2=a2﹣c2，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，，．设点M（x1，y1），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，可得，解得x1，代入椭圆方程，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又因为，所以c=1，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，所以，所以．设点M（x1，y1），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，则有，所以|BH|=1，所以H（1，0），所以x1=1，代入椭圆方程，求得，所以P（4，±3）．20．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a的方程，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出g（x）的导数，可得单调区间和极值，且为最值；（Ⅲ）显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，运用零点存在定理可得g（x）的零点范围，可设g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．讨论x＜0时，0＜x＜x0时，x＞x0时，g（x）的符号，可得f（x）的极值，进而得到f （x）在（﹣∞，0）上单调递增，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=e x﹣x2+ax的导数为：f′（x）=e x﹣2x+a，由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=﹣1．（Ⅱ）g'（x）=e x﹣2，令g'（x）=0，得x=ln2，所以x，g'（x），g（x）的变化情况如表所示：x （﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）递减极小值递增所以g（x）的极小值，且为最小值为g（ln2）=e ln2﹣2ln2﹣1=1﹣2ln2．（Ⅲ）证明：显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．又g（ln2）＜0，g（2）=e2﹣5＞0，由零点存在性定理，存在唯一实数x0∈（ln2，2），满足g（x0）=0，即，，综上，g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．所以x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；0＜x＜x0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；x＞x0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以f（0）是极大值，f（x0）是极小值，，因为g（1）=e﹣3＜0，，所以，所以f（x0）＞0，因此x≥0时，f（x）＞0．因为f（0）=1且f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，所以一定存在c＜0满足f（c）＞0，所以存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．。