高三期末数学试卷(文科)

数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1}A x x =>，2{|20}B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(02)，D ．(1)+∞， 2.复数(1)(2)z i i =-+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A.1 B.4 C.1- D.4-3.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ） A ．44π- B ．4π C ．34π- D ．24π-4.将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭（ ）5.若31log 2a =，2log 3b =，312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >> C.b a c >> D ．c a b >>6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥ B ．若m α⊂，αβ∥，则m β∥ C.若n β⊥，αβ⊥，则n α∥ D ．若m α⊂，n β⊂，l αβ=，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥7.若执行如图所示的程序图，则输出S 的值为（ ）A ．13B ．14 C.15 D ．168.若0a >，0b >，26a b +=，则2a bab+的最小值为（ ） A ．23 B ．43 C.53 D ．839.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（ ）A ．10B ．12 C.14 D ．16 10.已知cos 2cos()2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.4-B.4C.13-D.1311.已知实数x ，y 满足2236x y y x x y +⎧⎪-⎨⎪--⎩≤≥≥记该不等式组所表示的平面区域为Ω，且12z x y =-，214y z x +=-，223(1)z x y =-+，现有如下说法： ①()x y ∀∈Ω，，11z ≤；②()x y ∃∈Ω，，213z ≤-；③()x y ∃∈Ω，，32z ≤.则上述说法正确的有（ ）个.A.0B.1C.2D.312.若关于x 的不等式11x ke x x+->在(0)(0)-∞+∞，，上恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A.25()e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，B.23(2)e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，C.215()e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，D.223()e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2)a k k =-+，，(23)b =-，，若(2)a a b +∥，则实数k = ． 14.若函数230()20x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，，≤且()1f a =，则a = ．15.若ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 3sin b A a B =，则sin A = ．16.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若122PF PF a -=，2PM MF =，且2OMF △为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，1a ，31a a -，81a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，求满足3625n S >的最小的n 的值. 18. 随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续300亿立方米的年增量.进口LNG 和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续200天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格 （2）计算这200天中，该市空气质量指数的平均数；（3）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在101~150以及151~200的等级中抽取7天进行调研，再从这7天中任取2天进行空气颗粒物分析，求恰有1天空气质量指数在101~150上的概率.19. 已知平面四边形PABC 中，PAC PCA ∠=∠中，90BAC ∠=︒，现沿AC 进行翻折，得到三棱锥P ABC -，点D ，E 分别是线段BC ，AC 上的点，且DE ∥平面PAB .求证：（1）直线AB ∥平面PDE ；（2）当D 是BC 中点时，求证：平面ABC ⊥平面PDE .20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上一点P 满足124PF PF +=，且椭圆C 过点312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，过点(40)R ，的直线l 与椭圆C 交于两点E F .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点E 作x 轴的垂线，交椭圆C 于N ，求证：N ，2F ，F 三点共线. 21. 已知函数()ln f x mx x =.（1）若曲线在点(10)，处的切线经过(23)，，求m 的值；（2）若关于x 的不等式()1f x x -≥在(0)+∞，上恒成立，求m 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的普通方程； （2）若曲线1C ，2C 相交于A ,B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12018f x x =-+.（1）解关于x 的不等式()2018f x x >+；（2）若2(43)((4)1)f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围.参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5:BCADB 6-10:BABCC 11、12：CA二、填空题13.4 14.31 三、解答题17.解：（1）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件得12113(27)(2)0a d a a d d d +=⎧⎪+=⎨⎪>⎩，∴112a d =⎧⎨=⎩∴12(1)21n a n n =+-=-. （2）133(21)(21)n n n b a a n n +==-+31122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭∴311111312335212121n nS n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭. 由3362125n n >+得12n >. ∴满足3625n S >的最小值的n 的值为13 18.解：（1）所求表格数据如下：（2）依题意，故所求平均数为250.2750.41250.251750.12250.0595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）依题意，从空气质量指数在101~150以及151~200的天数为5，记为a ，b ，c ，d ，e ，空气质量指数在151~200的天数为2，记为1，2，则任取2天，所有的情况为()a b ，，()a c ，，()a d ，，()a e ，，(1)a ，，(2)a ，，()b c ，，()b d ，，()b e ，，(1)b ，，(2)b ，，()c d ，，()c e ，，(1)c ，，(2)c ，，()d e ，，(1)d ，，(2)d ，，(1)e ，，(2)e ，，(12)，，共21种，其中满足条件的有10种，故所求概率1021P =. 19.（1）证明：因为DE ∥平面SAB ，DE ⊂平面ABC ， 平面SAB 平面ABC AB =，所以DE AB ∥因为DE ⊂平面SDE ，AB ⊄平面SDE ，所以AB ∥平面SDE （2）因为D 是BC 的中点，DE AB ∥，所以E 为AC 的中点. 又因为SA SC =，所以SE AC ⊥又AB AC ⊥，DE AB ∥，所以DE AC ⊥，DE ，SE ⊂平面SDE ，DE SE E =，所以AC ⊥平面SDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDE . 20.解：（1）依题意，1224PF PF a +==，故2a =.将312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入22214x y b +=中，解得23b =，故椭圆C ：22143x y +=. （2）由题知直线l 的斜率必存在，设l 的方程为(4)y k x =-.点11()E x y ，，22()F x y ，，11()N x y -，，联立22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22234(4)12x k x +-=. 即2222(34)3264120k x k x k +-+-=，0∆>，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+由题可得直线FN 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，又∵11(4)y k x =-，22(4)y k x =-. ∴直线FN 方程为211121(4)(4)(4)()k x k x y k x x x x x -+-+-=--，令0y =，整理得2122111212112124424()88x x x x x x x x x x x x x x x --+-+=+=+-+-22222264123224343432834k k k k k k -⨯-⨯++=-+ 22222434132243234k k k k -+==--+，即直线FN 过点(10)，.又∵椭圆C 的左焦点坐标为2(10)F ，，∴三点N ，2F ，F 在同一直线上. 21.解：（1）()(ln 1)f x m x '=+.(1)f m '=，(1)0f = 切线方程为(1)y m x =-，切线过点(23)，，∴3m = （2）令()()1ln 1F x f x x mx x x =-+=-+，(0)x ∈+∞，. 若0m <，(2)2ln 210f m =-<，与已知矛盾.若0m =，则()1f x x =-+，显然不满足在(0)+∞，上()0F x ≥恒成立. 若0m >，对()f x 求导可得()ln 1F x m x m '=+-. 由()0F x '>解得1m mx e ->，由()0f x '<解得10m mx e-<<.∴()F x 在1(0)mme-，上单调递减，在1()m me -+∞，上单调递增，∴11min ()()1mm mmF x F eme--==-∴要使()1f x x -≥恒成立，须使110m mme --≥成立.即11m mem -≤恒成立，两边取得对数得，11ln m m m -≤，整理得1ln 10m m+-≤，即须此式成立. 令1()ln 1g m m m =+-，则21()m g m m-'=，显然当01m <<时，()0g m '<，当1m >时，()0g m '>于是函数()g m 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，单调递增. ∴min ()(1)0g m g ==，即当且仅当1m =时，min ()(1)0F x F ==，()1f x x -≥恒成立. ∴1m =满足条件，综上所述，1m =. 22.解：（1）曲线1C 的普通方程为221x y +=. 曲线2C 的普通方程为10x y --=. （2）据22110x y x y ⎧+=⎨--=⎩得01x y =⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩所以线段AB 23.解：（1）()2018f x x >+可化为1x x ->， 所以22(1)x x ->，所以12x <，所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（2）因为函数()12018f x x =-+在[1)+∞，上单调递增，431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+. 所以243(4)1a a -+>-+所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<.即实数a 的取值范围 是(26)，。

第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 （文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） .1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数12log (1)y x =-的定义域为 。

2、抛物线24y x =的准线方程是 。

3、方程4220x x +-=的解是 。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。

6、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为 。

7、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。

8、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

9、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。

（用数字作答）10、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。

11、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

12、在数列{}n a 中，13a =，点*(1,)n n N >∈在直线0x y --=上，则2lim(1)nn a n →∞+= 。

13、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。

14、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令*a b mq np =-。

高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 设会合，，则A. B. C. R D.【答案】D【分析】【剖析】求解不等式化简会合A、 B，而后直接利用交集运算得答案．【详解】，，．应选： D．【点睛】此题考察了交集及其运算，考察了不等式的解法，是基础题．2. 复数z 知足为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得，．应选： C．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的基本观点，是基础题．3. 设命题，则是A. B.C. D.【答案】C【分析】因为全称命题的否认是特称命题，所以命题的否认为，应选 C.4. 已知拥有线性有关的变量x、 y，设其样本点为2，3，，，回归直线方程为，若，，则A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】第一求得样本中心点，而后利用线性回归方程的性质求解实数 a 的值即可．【详解】，，因为线性回归直线经过样本中心点，则，即，．应选： B．【点睛】线性回归直线经过样本中心点．5. 以下函数在区间为单一递加函数的是A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】利用基本函数的单一性逐一判断即可.【详解】，，在都为单一递减函数，在为单一递增函数．应选： D．【点睛】此题考察基本函数的单一性，熟记简单函数的单一性是重点.6. 已知函数，则A. 2019B.C. 2D. 1【分析】【剖析】依据自变量所在的范围代入相应的分析式计算即可获得答案.【详解】函数，，．应选： B．【点睛】此题考察分段函数函数值的计算，解决议略:(1)在求分段函数的值 f ( x0)时，必定要判断x0属于定义域的哪个子集，而后再代入相应的关系式;(2)求 f ( f ( f ( a)))的值时，一般要按照由里向外逐层计算的原则.7. 在等比数列中，已知，且，，成等差数列则的前 5 项和为A. 31B. 62C. 64D. 128【答案】【分析】【剖析】B设等比数列公比为q，由，可得依据，，成等差数列，可解得，再乞降即可 .【详解】设等比数列的公比为又，，成等差数列，q，，，，，解得．，解得的前 5 项和为，应选： B．【点睛】此题考察了等差数列与等比数列的通项公式与乞降公式，属于基础题.8. 已知向量、，知足，，且，则在上的投影为A. B. C. D. 4【答案】 C【分析】依据可得，从而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；；；又；；在上的投影为．应选： C．【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量的数目积运算，向量投影的计算公式，属于基础题 .9. 某几何体的三视图以下图，若图中，则该几何体的体积为A.2B.1C.4D.6【答案】 A【分析】【剖析】依据三视图知几何体为四棱锥，且侧棱垂直于底面，由图中数据可求该几何体体积．【详解】依据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，画出直观图，以下图；由图中数据，计算几何体的体积为：．应选： A．【点睛】解答此类题目的重点是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图 .10. 已知函数，则A.0B.7C.D.4【答案】 B【分析】【剖析】推导出，且，由此能求出的值．【详解】函数，，且．故．应选： B．【点睛】此题考察函数值的求法，考察函数性质等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．11. 若双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】渐近线为，时，，所以，即，，，应选 A．12. 平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】，，，，则，应选： C．【点睛】此题主要考察两角和差的三角公式的应用，联合三角函数的定义是解决此题的重点．二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13. 函数的最大值为______．【答案】【分析】【剖析】第一利用引诱公式和协助角公式化简函数分析式，即可求出函数的最大值．【详解】函数，当时，函数的最大值为，故答案为：．【点睛】此题考察引诱公式和协助角公式的应用，考察正弦函数图像的性质的应用，属于基础题 .14. 已知实数x、y 知足拘束条件，则的最小值为______．【答案】【分析】【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用的几何意义，即可获得结论．【详解】作出不等式组对应的平面地区如图：由解得：由得平移直线由图象可知当直线直线的截距最小，，，经过点时，此时z 最小，此时，故答案为：．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形联合是解决此题的重点．15. 曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】【分析】【剖析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．【点睛】此题考察导数的运用：求切线的斜率，考察直线和圆相切的条件：思想和运算能力，属于基础题．16. 设数列的前n项和为，已知，且对随意正整数n 都有，考察方程，则______【答案】【分析】【剖析】对随意正整数n都有，可得，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】对随意正整数n 都有，，即，．数列是首项与公差都为 1 的等差数列．，解得．故答案为：．【点睛】此题考察由数列递推关系求通项公式，考察等差数列的通项公式的应用，考察推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7 小题，共17. 在中，角的对边分别为82.0 分），且知足.（ 1）求角的大小；（ 2）已知，的面积为1，求边.【答案】（ 1）；（2）.【分析】【剖析】(1) 利用正弦定理化简即得A的值.(2)经过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．【详解】（ 1）∵ bcosA+asinB=0∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0∵0＜ B＜π，∴ sinB ≠0，∴ cosA+sinA=0∵，∴ tanA= ﹣ 1 又 0＜ A＜π∴（ 2）∵，S△ABC=1，∴即：又由余弦定理得：故：【点睛】此题考察正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考察计算能力．18. 某栽种园在芒果邻近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100 个芒果，其质量分别在，，，，，单位：克中，经统计得频次散布直方图以下图．经计算预计这组数据的中位数；现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取 6 个，再从这 6 此中随机抽取 3 个，求这 3 个芒果中恰有 1 个在内的概率．某经销商来收买芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的均匀值，用样本预计整体，该栽种园中还未摘下的芒果大概还有10000 个，经销商提出以下两种收买方案：A：所以芒果以10 元千克收买；B：对证量低于250 克的芒果以 2 元个收买，高于或等于250 克的以 3 元个收买．经过计算确立栽种园选择哪一种方案赢利更多？【答案】（ 1） 268.75 ；（ 2）；（3）看法析 .【分析】试题剖析：（ 1）依据频次散布直方图和中位数的定义求解．（2）有分层抽样可得，应从内抽取 4 个芒果，从内抽取2个芒果，列举出从 6 此中任取 3 个的全部可能状况，而后判断出这个芒果中恰有个在的全部状况，依据古典概型概率公式求解．（3）分别求出两种收买方案中的赢利状况，而后做出选择．试题分析：（ 1）由频次散布直方图可得，前 3 组的频次和为，前 4 组的频次和为，所以中位数在内，设中位数为，则有，解得．故中位数为268.75.（ 2）设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为.从这 6个芒果中选出3个的状况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，合计 20 种，此中恰有一个在内的状况有，，，，，，，，，，，，合计12种，所以概率．（ 3）方案 A：．方案 B：由题意得低于250 克：元；高于或等于250 克元故的总计元．因为，故 B 方案赢利更多，应选 B 方案．点睛：利用频次散布直方图预计样本数字特点的方法(1)中位数：在频次散布直方图中，中位数左侧和右侧的直方图的面积相等，由此能够预计中位数值；(2)均匀数：均匀数的预计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19. 如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.（ 1）证明：平面；（ 2）若，求三棱锥的体积.【答案】（ 1）看法析（ 2）【分析】试题剖析：（ 1）取的中点，连结，依据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，，利用线面平行的判断定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，从而得平面，到平面的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，依据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题分析：（ 1）取的中点，连结.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（ 2）因为所以.因为所以，因为所以平面,平面.，，所以，平面,，因为点为棱所以点到平面的中点，且的距离为 2.，.三棱锥的体积.【方法点晴】此题主要考察线面平行的判断定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判断定理，使用这个定理的重点是想法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特点，合理利用中位线定理、线面平行.的性质或许结构平行四边形、找寻比率式证明两直线平行. ②利用面面平行的性质，即两平面平行，在此中一平面内的直线平行于另一平面.此题（ 1）是就是利用方法①证明的 .20. 已知椭圆：与抛物线：订交于，两点的极点是的一个焦点，过点B 且斜率为的直线l与、分别交于点、均异于点、M A．Ⅰ 求的方程．Ⅱ若点 A 在以线段 MN为直径的圆外，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】【剖析】Ⅰ由抛物线的极点，可得椭圆下焦点为即得c值，由，可得，代入抛物线得b，再利用，可得椭圆的方程．Ⅱ依题意知直线l 的方程为，分别与椭圆、抛物线的方程联立得点M，N的坐标，再利用数目积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．【详解】解：Ⅰ抛物线的极点为，即椭圆的下焦点为，，由，知，代入抛物线得，得，，的方程为．Ⅱ依题意知直线l 的方程为，与联立消去 y 得：，则，得，，由，得，由，得，则，得，，点 A 在以 MN为直径的圆外，，又，，解得，综上知．【点睛】此题考察椭圆与抛物线的方程及其性质、数目积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考察推理能力与计算能力，属于中档题．21. 已知函数. 此中(1) 当时，求函数的单一区间；(2)若关于随意，都有恒建立，求的取值范围 .【答案】（ 1）看法析；（ 2）.【分析】试题剖析：（ 1）求导获得区间上单一递减，上单一递加；（ 2）直接求导，对分类议论，获得.试题分析：（ 1），令其为，则所以可得即单一递加，而，则在区间上，，函数单一递减；在区间上，函数单一递加（ 2），另，可知.，令，①当时，联合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单一递减，∵，∴时，，时，.可知此时知足条件 .②当时，联合对应二次函数的图像可知，，单一递加，∵，∴时，，时，. 可知此时不建立 .③当时，研究函数. 可知. 对称轴.那么在区间大于 0，即在区间大于 0，在区间单一递加，，可知此时. 所以不知足条件 .综上所述：.22. 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取同样的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求曲线在极坐标系中的方程；（2）求直线被曲线截得的弦长 .【答案】（ 1）；（2）【分析】试题剖析：（1）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为一般方程，再依据，化为极坐标方程．（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．试题分析：（Ⅰ）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为一般方程为再化为极坐标方程是．（Ⅱ）直线的直角坐标方程为由求得或可得直线与曲线的交点坐标为，，所以弦长为．考点：极坐标、参数方程23. 已知函数.（ 1）求的解集；（ 2）若的最小值为, 正数知足，求证：.【答案】（ 1）；（ 2）看法析 .【分析】试题剖析：（ 1）将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形联合思想可得的解集；（ 2）由（ 1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，从而可得结果 .试题分析：（1）由图像可知：的解集为.（ 2）图像可知的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当时，“”建立，即.。

高三第一学期文科数学期末考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{2,0,2,4}M =-，2{|9}N x x =<，则M N =（ ）A ．{0,2}B ．{2,0,2}-C ．{0,2,4}D ．{2,2}-2.已知3,5a b ==，a 与b 不共线，向量ka b +与ka b -互相垂直，则实数k 的值为 A.53 B.35 C.35± D.53± 3.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点P 是平面1111A B C D 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．己知命题p ：“a＞b”是“2a ＞2b ”的充要条件；q ：x e R x x ln ,<∈∃，则（ ） A ．￢p ∨q 为真命题 B ．p ∧￢q 为假命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∨q 为真命题5.已知()()6,2,1m b a -=-=和共线，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 A.36B.2 C.32D.36或2 6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为 A ．53 B ．103 C ．56 D ．1167 .43sin()cos(),0,322πππααα++-=--<<则2cos()3πα+等于( ) A.45-B.35-C.45D.358．函数的图象如图所示，为了得到g （x ）=cos2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ） A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度9.=+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥a z ay x z x y y x y y x 无数个，则取得最大值的最优解有若满足已知,,22),(（）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．无法确定 10．在∆ABC 中，点D 满足BD =34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE =AB λ+AC μ，则22(1)t λμ=-+的最小值是（） A ．310 B ．82 C ．910 D ．41811.已知函数()f x 的定义域为R ，对于12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，且()11f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为 （ ）A ．()+∞,1B ．(,1)-∞C ．(1,0)(0,3)- D ．(,0)(0,1)-∞12．已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+};③M={2(x,y )|y log x =}; ④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （ A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④第15题图BCAD第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = 14．均值不等式已知0,0,43>>=+y x xy y x 则x y +的最小值是15．如图CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且上的点为线段中在， 则B cos = ． 16.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=),1(log ),10(sin )(2014x x x x x f π若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈. （Ⅰ）证明数列{}2nn S 为等差数列； （Ⅱ）求12...n S S S +++. 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的体积. 19. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 20.(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，且长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设()0,2P 过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于B A ,两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式()R ∈≤⋅λλ恒成立,求λ的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )1()(R a x a xax x f ∈+--=． （Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为=4sin()3πρθ-，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中R ϕ∈），求||PQ 的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x x x t =-++，t R ∈.(Ⅰ)当1t =时，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）若存在实数a 满足()|3|2f a a +-<，求t 的取值范围.高三文科数学期末考试答案题号 12 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 B DADAACDBCDD二、填空题：13.1 14. 232+ 15.7618 16. )2015,2( 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，┄ ┄┄2分整理得11122n nn n S S ++-=， ┄┄4分 所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，┄┄┄┄┄┄7分 令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅①┄┄┄┄┄┄8分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②┄┄┄┄┄┄┄9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，┄┄┄┄┄┄10分整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. ┄┄┄┄┄┄┄12分18. 解：（1）作//FM CD 交PC 于M ，连接ME . ┄┄┄┄1分 ∵点F 为PD 的中点，∴1//2FM CD ，又1//2AE CD ，∴//AE FM ， ∴四边形AEMF 为平行四边形，∴//AF EM ， ┄┄┄┄3分∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线//AF 平面PEC .┄┄┄┄5分（2）连接ED ，在ADE ∆中，1AD =，12AE =，60DAE ∠=， ∴2222211132cos 601()212224ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，┄┄6分∴2ED =，∴222AE ED AD +=，∴ED AB ⊥.┄┄┄┄7分 PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD AB ⊥，PD ED D =，PD ⊂平面PEF ，ED ⊂平面PEF ，∴AB ⊥平面PEF .┄┄┄┄9分111222PEF S PF ED ∆=⨯⨯=⨯=， ∴三棱锥P BEF -的体积P BEF B PEF V V --==13PEF S BE ∆=⨯⨯1132==分 19.解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+；当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.┄┄┄┄6分 （2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=.20. 【解析】（1）依题意, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222222c b a a cba , ……1分解得22a =,21b =,∴椭圆Γ的标准方程为2212x y +=. …3分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,∴11221212(2,)(2,)(2)(2)PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+,当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112y =,此时1(3,)PA y =-,21(3,)(3,)PB y y =-=--,∴22117(3)2PA PB y ⋅=--=.…6分当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :(1)y k x =+,由22(1)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩,得2222(12)4220k x k x k +++-=,∴2122412k x x k +=-+,21222212k x x k -=+, ……8分 ∴21212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++ 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++ 2222222224(1)(2)41212k k k k k k k -=+⋅--⋅++++2217221k k +==+217131722(21)2k -<+. ……11分 要使不等式PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立,只需max 17()2PA PB λ≥⋅=,即λ的最小值为172. ……12分21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()'22111x a x a a f x x x x --+=+-=…………………………2分(1)当01a <<时，由()'0fx >得，x a 0<<或1>x ，由()'0f x <得，a x <<1故函数()f x 的单调增区间为()0,a 和()1,+∞,单调减区间为(),1a …………4分(2)当1a =时,()'0f x ≥,()f x 的单调增区间为()0,+∞…………………………5分（Ⅱ）先考虑“至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定“(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”。

东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科） .1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，则A. B. C. D.（2）下列函数中为偶函数的是A. B.C. D.（3）直线与圆相交于两点，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（4）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为A.8B.19C. 42D.89（5）已知向量a，b， c若(2a-b) c，则实数A. B. C. D.（6）已知，则A. B. C. D.（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A. B. C. D.（8）再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。

丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为A. 甲、丁、乙、丙B. 丁、甲、乙、丙C.丁、乙、丙、甲D. 乙、甲、丁、丙第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数 .（10）双曲线的渐近线方程为 .（11）若满足，则的最大值是 .（12）在中，，则，的面积为 .（13）函数当时，的值域为；当有两个不同零点时，实数的取值范围为 .（14）设命题已知，满足的所有点都在轴上.能够说明命题是假命题的一个点的坐标为 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知是等差数列，是等比数列，且. （Ⅰ）数列和（Ⅱ）设，求数列前项和.（16）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；（Ⅱ）当的图像经过点时，求的值及函数的最小正周期.（17）（本小题14分）“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）（18）（本小题13分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，为的中点，四边形为直角梯形，. （Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.（19）（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若对于任意，都有，求实数的取值范围.求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分必要条件. （20）（本小题13分）已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积.东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）C（5）A （6）D （7）B （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10（11）（12），（13），或（14（点的坐标只需满足，或，三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．因为，所以又因为，所以所以，，．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，数列前项和为．数列的前项和为所以，数列的前项和为，．………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）当时，所以，当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值为. ………6分（Ⅱ）因为，因为的图象经过点所以，即．因为，所以的最小正周期……13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于为事件，由图可知，这五年中有这三年城镇居民收入实际增速大于，所以.……5分（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超为事件，这五年中任选两年，有，，，，，，，，，共种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过的为前种情况，所以.………10分.………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为，，所以平面因为平面所以平面平面………5分（Ⅱ）连接．因为△为等边三角形，为中点，所以．因为平面，所以．因为，所以平面．所以．在等边△中，，，所以．………9分（Ⅲ）棱上存在点，使得∥平面，此时点为中点．取中点，连接．因为为中点，所以∥．因为平面，所以∥平面．因为为中点，所以∥．因为平面，所以∥平面．因为，所以平面∥平面．因为平面，所以∥平面．………14分（19）（共14分）解：所以曲线在点处的切线方程为………4分（Ⅱ）函数定义域为令解得与在区间极小值所以，的单调递增区间是的单调递减区间是………9分（Ⅲ）当时，“”等价于“.令，，当时，，所以在区间.当时，，所以在区间.所以在区间上的最大值为所以当时，对于任意，都有.………14分（20）（共13分）解：所以椭圆的方程为．………4分（Ⅱ）设，，则．①当时，点，点坐标为或，②当时，直线的方程为．即，直线的方程为．点到直线的距离为，．且，当且仅当，即时等号成立，综上，当时，取得最小值1. ………13分第11页共11页。

河南省开封市杞县等4地2022-2023学年高三下学期期末
考试文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、解答题
17．无论是国际形势还是国内消费状况，2023 年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得
了较好的效果．某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传．为了解大众传媒对本次促销活动的影响，在
本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x(单位：万元)和销售额y(单位：万元)的数据如下：
【点睛】关键点睛：本题第二问到韦达定理式，再计算出
1y y +利用基本不等式即可得到最值.
21．(1)2
0e
a <<。

2023年四川高三期末数学试卷（文科）一、选择题：（共12题，每题5分，只有一个正确选项）1.若{|10},{|30}A x x B x x =+>=-<，则A B =（）A.(1,)-+∞ B.(,3)-∞ C.(1,3)- D.（1，3）2.设a，b 是向量，命题“若,||||a b a b ==则”的逆命题是（）A.若,||||a b a b ≠≠则B.若,||||a b a b =≠则C.若||||,a b a b≠≠则 D.若||||,a b =则a=b3.具有线性相关关系的变量x、y 的一组数据如下表所示.若y 与x 的回归直线方程为233-=∧x y ，则m 的值是（）A.4B.29C.5.5D.64.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y 之间关系最强的是（）5.已知，，且，则()A.（2，-4）B.(2,4)或（2，-4）C.（2，-4）或（-2，4）D.（4，-8）6.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上x 0123y-11m8是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 取值范围是（）A.(,2)-∞ B.(2,)+∞ C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(2,2)-7.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法.若输入209m =，121n =，则输出的m 的值为（）A.0 B.11 C.22D.888.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若错误！未找到引用源。

”的否命题为：“若错误！未找到引用源。

”；B.“m 错误！未找到引用源。

”是“直线错误！未找到引用源。

”的充要条件；C.命题“∃错误！未找到引用源。

”的否定是：“错误！未找到引用源。

”；D.命题“已知Ａ、Ｂ为三角形的内角，若B A =，则B A sin sin =”的否命题为真命题；9.某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积.A.60π B.75πC.90πD.93π10.已知函数()()()2433,0log 11,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，则a 的取值范围是（）A.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.30,4⎛⎤⎥⎝⎦C.13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.10,3⎛⎤⎥⎝⎦11.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆22(4)1x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A.251-B.252-C.171-D.172-12.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ,数列{}n a 是等差数列,若273,13a a ==，则1232015()()()()f a f a f a f a ++++= （）A.2- B.3- C.2D.3二、填空题：（共4题，每小题5分）13.复数i215-的共轭复数是____________。

2018-2019学年度第一学期期末调研测试高三数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元一次不等式求得的范围，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得.故.故选D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集等知识，属于基础题.2.已知复数（为虚数单位），则（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算化简为的形式，由此求得.【详解】依题意，，故，故选B.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的知识和运算，属于基础题.3.已知向量，，若，则实数的值为（）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，由，得，解得x=2，故选D.【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果=,=，则||的充要条件是.4.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据离心率得到，由此计算得，进而求得双曲线渐近线方程.【详解】由于双曲线离心率为，故，解得，故双曲线的渐近线方程为.所以选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.若，，，则的最大值为（）A. 25B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将等价变换后，利用基本不等式求得最大值.【详解】依题意，当且仅当时等号成立，故选D. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.6.函数的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能在平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题.8.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】将转化为，由此判断出正确选项.【详解】由于，故需向左平移后得到的图像.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题.9.在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得b5＝2,再利用对数的运算性质即可得出．【详解】已知,由等比数列的性质可得，又等比数列各项为正数，b5＞0，可得b5＝2．则＝log2（b1b2•…•b9）＝log2＝9．故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设出点的坐标，代入，化简后求得取值范围.【详解】画出图像如下图所示，以分别为轴建立平面直角坐标系，故设，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为，当时取得最小值为，故的取值范围是.故选B.【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.已知圆：与轴负半轴交于点，圆与直线：交于两点，那么在圆内随机取一点，则该点落在内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式求得，利用点到直线的距离求得到直线的距离，由此求得三角形的面积，根据几何概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径为，故，点到直线的距离为，故三角形的面积为.故所求的概率为，故选A.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查点到直线的距离公式，考查三角形的面积公式，属于中档题.有关直线和圆相交所得弦长问题，往往是通过计算圆心到直线的距离，然后通过弦长公式来求解，其中是圆的半径，是圆心到直线的距离.12.设函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为_____．【答案】【解析】【分析】先求得曲线在点处切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程.【详解】，所以，且切线的斜率为，由点斜式得，即. 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线的点斜式方程，属于基础题.要求曲线在某点处的切线方程，要先求得曲线在切点的斜率，斜率是利用导数来求得.直线的点斜式方程为，其中为斜率，即.填空题，切线方程可写为一般式或者斜截式.14.实数，满足，且，则的最小值为_____．【答案】-11【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】画约束条件可行域如图：目标函数z＝3x﹣y可化为y＝3x﹣z，即斜率为3，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点C时，z最小由得C（﹣4，-1）∴目标函数z＝3x﹣y的最小值为z＝-12+1＝-11．故答案为：-11【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为2的等边三角形，则球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据已知条件是球的直径，所以的中点为球心，根据直径对的圆周角为直角，在等腰直角三角形中求得直径的长，进而求得球的表面积.【详解】由于是球的直径，故的中点为球心.由于直径所对的圆周角是直角，且是有一条公共边的等边三角形，故三角形是等腰直角三角形，故，所以球的表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积计算问题，关键是找到球心和求出球的半径，属于基础题.16.如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边.则四边形的面积最大值为_____．【答案】【解析】【分析】设，利用表示出四边形面积，并根据三角函数的性质求得面积的最大值. 【详解】设，由余弦定理得，所以四边形的面积，故当，时，面积取得最大值为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查辅助角公式以及三角函数求最值的方法，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的首项，且，10，构成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）因为，10，构成等差数列，所以，又因为数列为等比数列，，设其公比为，那么，解得，所以；（2）因为，所以，【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和，考查裂项求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分.为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为，，，，，，，，九组，整理得到如图频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）从当天购物数额在，的顾客中按分层抽样的方式抽取6人.那么，从这6人中随机抽取2人，则这2人积分之和不少于240分的概率.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用小长方形面积之和为列方程，解方程求得的值.（2）利用列举法列出所有的基本事件，求得“积分之和不少于分”的事件数，根据古典概型概率计算公式求得所求的概率. 【详解】（1）各组的频率分别为0.04，0.06，，，，0.2，，0.08，0.02∴化简得，解得，（2）按分层抽样的方法，在内应抽取4人，记为每人的积分是110分；在内应抽取2人，记为，每人的积分是130分；从6人中随机抽取2人，有共15种方法.所以，从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的有共9种方法.设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分为事件，则.所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查利用列举法求解古典概型问题，属于中档题.19.如图，四棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，.（1）求证：；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见证明；（2）1【解析】【分析】（1）通过证明，证得平面，由此证得.(2)首先证得平面，其次证得平面，由此得到，从而得到四边形是直角梯形，并求得面积，利用锥体体积公式计算得四棱锥的体积.【详解】（1）因为平面，平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）因为，，且，平面，平面，所以平面.①因为平面，平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面②由①②得，因为，所以四边形是直角梯形，因为，，所以又因为平面，所以【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查四棱锥体积的计算，属于中档题.20.已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求得，根据焦点求得，结合求得，由此得到椭圆的标准方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式及韦达定理，利用列出方程，并由此化简直线方程，得到直线所过定点.当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，证得直线过定点.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，∴∴∴所以，椭圆的标准方程为.（2）①直线斜率存在，设直线：，，，联立方程消去得，，，，又，由得，即，，∴，∴，∴.解得：，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，直线过定点.②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线：，：，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，也过定点综上所述，直线恒过定点【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数关系以及判别式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.直线和圆锥曲线相交有关的题目，直线的斜率是否存在，这是首先要考虑的，要分为斜率存在和不存在两种情况来讨论.21.已知函数，（且为常数）.（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）当时，先求得函数的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.（2）构造函数，将原不等式恒成立问题，转化为来求解.利用的导数，研究函数的单调性，求得的最小值，令这个最小大于或等于零，求得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，当时，的导数.令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值.（2）令那么，对于任意都有，只须即可，，且记由已知，所以对于任意，都有恒成立，又因为，所以在上单调递增，所以，，由，解得，所以，当时，对任意都有成立.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.解决恒成立问题，可以采用分离常数法，或者构造函数法，本题中构造出函数，将问题转化为的最小值为非负数来求解.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）直线与曲线在第一象限内的交点为，过点的直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的斜率.【答案】(1) 的极坐标方程,曲线的普通方程 (2)-4【解析】【分析】（1）对于，根据圆心和半径，得出其极坐标方程，对于，利用消去参数，化简为直角坐标方程.（2）求出直线的参数方程，代入得到关于的一元二次方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义列方程，由此求得直线的斜率.【详解】（1）曲线的圆心极坐标为，半径为1，所以，其极坐标方程为.由题意得：，，曲线的普通方程.（2）当时，，，所以，于是直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入的普通方程，整理得关于的方程.①因为曲线截直线所得线段的中点在内，设对应的参数为，，则.由韦达定理得：，，.所以，直线的斜率为-4.【点睛】本小题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查参数方程化为直角坐标方程，考查直线的参数方程的几何意义，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2），使得，求的取值范围.【答案】(1) (2) 或.【解析】【分析】（1）利用零点分段法，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；（2）不等式有解，即,利用绝对值三角不等式可得f(x)最大值，从而得到a的范围.【详解】（1）当时，，令，①当时，，，矛盾.②当时，，，所以，.③当时，，，所以.综上所述，不等式的解集为.（2）由题意得：，有解，因为，，所以，，于是，或，所以，或.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查利用绝对值三角不等式求最值问题，属于基础题型.。

高三期末数学试卷（文科）一、选择题1、已知i为虚数单位，若（1+i）z=2i，则复数z=（）A、1﹣iB、1+iC、2﹣2iD、2+2i2、已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B=﹛5，6﹜，C=﹛（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈B﹜，则C中所含元素的个数为（）A、5B、6C、11D、123、若将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移?个单位长度，可以使f（x）成为奇函数，则?的最小值为（）A、B、C、D、4、若等差数列{a n}的前n项和为S n，且7S5+5S7=70，则a2+a5=（）A、1B、2C、3D、45、已知平面向量=（2，1），=（1，﹣1），若向量满足（﹣）∥，（+ ）⊥，则向量=（）A、（2，1）B、（1，2）C、（3，0）D、（0，3）6、执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（）A、4B、3C、2D、57、设z=x+y，其中x，y满足当z的最大值为6时，k的值为（）A、3B、4C、5D、68、已知样本x1，x2，…ｘm的平均数为，样本y1，y2，…ｙn的平均数，若样本x1，x2，…ｘm，y1，y2，…ｙn的平均数=α　+（1﹣α），其中0＜α≤　，则m，n的大小关系为（）A、m＜nB、m＞nC、m≤ｎD、m≥ｎ9、已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、B、C、D、4010、已知0为坐标原点，抛物线y2=8x，直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），满足，则△A0B的面积为（）A、B、C、D、11、已知函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的最小值等于（）A、2B、C、2+D、212、已知函数f（x）= ，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（）A、[ ，1]B、[0，1]C、[1，2]D、[ ，2]二、填空题13、已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为________．14、已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在球O的表面上，且侧棱垂直于底面ABC，若AC=4，∠ABC=30°，AA1=6，则球O的体积为________．15、已知函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=e x﹣ax，其中a为正实数，若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围为________．16、数列{a n}的首项为a1=1，数列{b n}为等比数列，且b n= ，若b10b11=201 ，则a21=________．三、解答题17、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA．(1)求角C的大小；(2)若sinA+sinB=2 sinAsinB，c=3，求△ABC的面积．18、随着旅游观念的转变和旅游业的发展，国民在旅游休闲方面的投入不断增多，民众对旅游的需求也不断提高，安庆某社区居委会统计了2011至2015年每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计资料如表：年份（x）2011 2012 2013 2014 2015家庭数（y） 6 10 16 22 26(1)从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭至少有1年多于20个的概率；(2)利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，并判断它们之间是正相关还是负相关；(3)利用（2）中所求出的回归直线方程估计该社区2016年在春节期间外出旅游的家庭数．参考公式：，．19、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．(1)求证：平面PAD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．20、已知椭圆C：=1（a＞b＞0），e= ，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数λ的值．21、已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）(1)讨论函数f（x）的单调性；(2)若对任意的a∈（1，），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，求实数m的取值范围．22、已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．(1)求证：AD延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+ ，求△ABC外接圆的面积．23、在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程（α为参数）(1)已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q为曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．24、已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，(1)当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；(2)若a＞﹣1，且当x∈[﹣a，1]时，不等式f（x）≤ｇ（x）有解，求实数a的取值范围．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：由（1+i）z=2i，得，故选：B．【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．2、【答案】 C【考点】集合的表示法【解析】【解答】解：集合A={0，1，2，3，4，5}，B=﹛5，6﹜，x=0时，y=5，x=1时，y=4，5，x=2时，y=3，4，x=3时，y=2，3，x=4时，y=1，2，x=5时，y=0，1，则C中所含元素的个数为：11个，故选：C．【分析】由集合C中的元素所满足的条件，用列举法写出集合C中的所有元素，则答案可求．3、【答案】 A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移?个单位长度，所得函数的图象对应的解析式为y=sin[2（x﹣?）+ ]=sin（2x+ ﹣2?），根据y=sin（2x+ ﹣2?）为奇函数，则﹣2?=kπ，k∈Z，故?的最小值为，故选：A．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，得出结论．4、【答案】 B【考点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵7S5+5S7=70，∴7 +5 =70，化为：2a1+5d=2．则a2+a5=2a1+5d=2．故选：B．【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式即可得出．5、【答案】 D【考点】平面向量的坐标运算【解析】【解答】解：设=（x，y），﹣=（2﹣x，1﹣y），=（3，0），∵（﹣）∥，（+ ）⊥，∴1﹣y+2﹣x=0，3x=0，解得x=0，y=3．则向量=（0，3），故选：D．【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．6、【答案】 B【考点】程序框图【解析】【解答】解：当判断框中的条件是a≤３时，∵第一次循环结果为b=2，a=2，第二次循环结果为b=4，a=3，d第三次循环结果为b=16，a=4不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，故选B．【分析】结合判断框的流程，写出几次循环的结果，当判断框中的条件是3时，符和题意．7、【答案】 A【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：作出可行域如图，直线x+y=6过x﹣y=0，y=k，的交点A（k，k）时，z=x+y取最大，2k=6，∴k=3，故答案为3，故选A．【分析】先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k值．8、【答案】 C【考点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】解：由题意知，x1+x2+…+x m=m ，y1+y2+…+y n=n ，故= = + ，故0＜≤　，故m≤ｎ，故选：C．【分析】易知x1+x2+…+x m=m ，y1+y2+…+y n=n ，从而可得= + ，从而解得．9、【答案】 B【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如下图所示：原三棱柱的体积V= ×4×4×4=32，切去的三棱锥的体积V= ×（）×4= ，故组合体的体积V=32﹣= ，故选：B【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，进而可得答案．10、【答案】 C【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），设直线l为x=my+2，代入抛物线方程可得y2﹣8my﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣16，由，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得m2= ，又△AOB的面积为S= |OF|?|y1﹣y2|= 2×= ．故选C【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+2，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．11、【答案】A【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】【解答】解：∵f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则lga=﹣lgb，则a= ，即ab=1（a＞b＞0）= =（a﹣b）+ ≥2故的最小值等于 2故选 A【分析】根据对数的运算性质，可得ab=1（a＞b＞0），进而可将=（a﹣b）+ ，进而根据基本不等式，可得答案．12、【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】【解答】解：由题意可得，f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，∵函数f（x）= = =1+ ，∴当m≥１时，函数f（x）在R上是减函数，函数的值域为（1，m）；故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜m，∴m≤2 ①．当m＜1时，函数f（x）在R上是增函数，函数的值域为（m，1）；故f（a）+f（b）＞2m，f（c）＜1，∴2m≥１，m≥　②．由①②可得≤m≤２，故选：D．【分析】由题意可得则f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数m的取值范围．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线为y=±x，即为bx±ay=0，由渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，可得=1，化为a2=3b2，由c2=a2+b2= a2，可得e= = ．故答案为：．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为（2，0），半径为1，运用直线和圆相切的条件：d=r，化简整理可得a2=3b2，运用a，b，c的关系和离心率公式，计算可得所求值．14、【答案】【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：设底面ABC所在球截面的圆心为M，则∠AMC=2∠ABC=60°，∵MB=MC，∴△AMC是等边三角形，∴MA=MC=AC=4，∵AA1=6，∴OM= =3，∴球的半径OC= =5．∴球的体积V= = ．故答案为：．【分析】根据圆的性质和球的对称性可求出底面所在圆的半径和球的半径．15、【答案】[1，e]【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】解：∵f（x）=ax﹣lnx，（x＞0），f′（x）=a﹣= ，若f（x）在（1，+∞）上无最小值，则f（x）在（1，+∞）单调，∴f′（x）≥０在（1，+∞）上恒成立，或f′（x）≤０在（1，+∞）上恒成立，∴a≥　，或a≤　，而函数y= 在（1，+∞）上单调减，∴x=1时，函数y取得最大值1，∴a≥１或a≤０，而a为正实数，故a≥１①，又∵g（x）=e x﹣ax，∴g′（x）=e x﹣a，∵函数g（x）=e x﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，∴函数g′（x）=e x﹣a≥０在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．而e x＞e，∴a≤ｅ②；综合①②，a∈[1，e]，故答案为：[1，e]．【分析】求出f（x）的导数，问题转化为f′（x）≥０在（1，+∞）上恒成立，分离参数，求出a的最小值；求出g（x）的导数，问题转化为a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立，求出a的范围，取交集即可．16、【答案】2016【考点】数列递推式【解析】【解答】解：由b n= ，且a1=1，得b1= ．b2= ，a3=a2b2=b1b2．b3= ，a4=a3b3=b1b2b3．…a n=b1b2…ｂn﹣1．∴a21=b1b2 (20)∵数列{b n}为等比数列，∴= ．故答案为：2016．【分析】由已知结合b n= ，得到a21=b1b2…ｂ20，结合b10b11=201 ，及等比数列的性质求得a21 ．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，因为sinB≠０，所以cosC= ，因为0＜C＜π，所以C=（2）解：设△ABC外接圆的半径为R 由题意得2R= =2 ，由sinA+sinB=2 sinAsinB得，2R（a+b）=2 ab，即a+b= ab，①由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0，②将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得ab=3或ab=﹣（舍去），所以S△ABC= absinC=【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠０，解得cosC= ，结合范围0＜C＜π，可求C的值．（2）设△ABC外接圆的半径为R 由题意得2R= =2 ，由sinA+sinB=2 sinAsinB得a+b= ab，由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．18、【答案】（1）解：从这5年中任意抽取2年，所有的事件有：（2011，2012），（2011，2013），（2011，2014），（2011，2015），（2012，2013），（2012，2014）．（2012，2015），（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共10种，外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的事件有（2011，2014），（2011，2015），（2012，2014），（2012，2015），（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共7种；故概率为P=0.7；（2）解：由已知数据计算得=2013，=16，=（﹣2）（﹣10）+（﹣1）（﹣6）+1×6+2×10=52，=（﹣2）2+（﹣1）2+12+22=10，所以= = =5.2，=16﹣5.2×2013=﹣10451.6，所以回归直线方程为y=5.2x﹣10451.6，因为=5.2＞0，所以外出旅游的家庭数与年份之间是正相关；（3）解：2016年该社区在春节期间外出旅游的家庭数的估计值为y=5.2×2016﹣10451.6≈32，答：估计该社区2016年在春节期间外出旅游的家庭数为32【考点】线性回归方程【解析】【分析】（1）利用列举法求出基本事件数，再计算对应的概率值；（2）由题目中的公式计算、，求出回归系数、，写出回归直线方程，由此判断是正相关还是负相关；（3）由回归方程计算x=2016时y的值即可．19、【答案】（1）证明：∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴PA=AB，AN=AN，∠PAN=∠BAN，∴△PNA≌△BNA，则BN⊥AD，∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB，又AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PNB（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴PN=NB= ，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥BN，∴S△PNB= ××= ，∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，∵PM=2MC，∴V P﹣NBM=V M﹣PNB= V C﹣PNB= ×××2= ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）由题意证明△PNA≌△BNA，得到BN⊥AD，再由线面垂直的判定证得AD⊥平面PNB，最后由面面垂直的判定得答案；（2）由面面垂直的性质得到PN⊥平面ABCD，进一步得到PN⊥BN，再由等积法把三棱锥P﹣NBM的体积转化为棱锥C﹣PNB的体积求解．20、【答案】（1）解：由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（2）解：由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．因为，所以= ，所以．将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，解得x= ．又因为=（1﹣x1，﹣y1），=（x2﹣1，y2），，，解得【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由，可知A，B，F三点共线，设A （x1，y1），B（x2，y2），直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．21、【答案】（1）解：函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）f′（x）= +2x﹣2a= ，x＞0，①当a≤０时，f′（x）＞0成立，若f′（x）≥０，则2x2﹣2ax+10≥０，△=4a2﹣8，当﹣时，f′（x）≥０恒成立，所以当 a 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a 时，∵2x2﹣2ax+10≥０，x 或02x2﹣2ax+10＜0，，∴f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减（2）∵a∈（1，），+2x﹣2a＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，f（x）max=f（1）=2﹣2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），∵任意的a∈（1，），∴a﹣a2＜0，即m＞恒成立，令g（a）= ，∵m＞恒成立最后化简为g′（a）= =∵任意的a∈（1，），＞0，∴g（a）= ，a∈（1，）是增函数．∴g（x）＜g（）= + =∴实数m的取值范围m≥　【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）求解f′（x）= +2x﹣2a= ，x＞0，判断2x2﹣2ax+10的符号，分类得出①当a≤０时，f′（x）＞0成立，当﹣时，f′（x）≥０恒成立，即可得出当 a 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a 时，求解不等式2x2﹣2ax+10≥０，2x2﹣2ax+10＜0，得出f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）f（x）max=f（1）=2﹣2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），m＞恒成立，构造函数g（a）= ，利用导数求解即可转化为最值即可判断．22、【答案】（1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，设圆半径为r，则r+ r=2+ ，得r=2，外接圆的面积为4π．【考点】与圆有关的比例线段【解析】【分析】（1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+ r=2+ ，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．23、【答案】（1）解：把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（﹣2，2）因为点P的直角坐标（﹣2，2）满足直线l的方程x﹣y+4=0，所以点P在直线l上．）（2）解：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线l的距离为== ，由此得，当时，d取得最小值【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程11 / 12【解析】【分析】（1）首先把点的极坐标转化成直角坐标，进一步利用点和方程的关系求出结果．（2）进一步利用点到直线的距离，利用三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成余弦型函数，进一步求出最值．24、【答案】（1）解：当a=﹣2时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|= ，∴f（x）＜g（x）等价于或或，解得0＜x＜1或1≤x≤２或2＜x＜4，即0＜x＜4．∴不等式f（x）＜g（x）的解集为{x|0＜x＜4}（2）解：∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1﹣x+x+a=a+1，不等式f（x）=a+1≤ｇ（x）max=（）max，∴﹣1＜a≤　，∴实数a的取值范围是（﹣1，]【考点】其他不等式的解法【解析】【分析】（1）当a=﹣2时，f（x）＜g（x）等价于或或，由此能求出不等式f（x）＜g（x）的解集．（2）推导出f（x）=a+1，不等式f（x）≤a+1≤（）max，由此能求出实数a的取值范围．第23页共24页◎第24页共24页。