高等流体力学 零方程模型解析

第三节 零方程模型及一方程模型任一变量φ的时间平均值定义为；()dt t ttt t⎰∆+∆=φφ1对φ变量作平均处理，可得：()()S u x x x u t j jj j j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂φρφφρφρ对于动量方程，附加项为：()V div x u xu p u u ij i jj i t ij t t ij j i δμδτρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-==''- ()K w v u p t ρρ3231222='+'+'=对其他变量附加项：jtj x u ∂∂Γ=''-φφρ 紊流粘性系数与紊流扩散系数：ttΓ=μσ1零方程模型所谓零方程模型是指不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系数与时均值联系起来的模型。

它只用湍流的时均连续方程(4.12)和Reynolds 方程（4.13)组成方程组，把方程组中的Reynolds 应力用平均速度场的局部速度梯度米表示。

零方程模型方案有多种，最著名的是Prandtl 提出的混合长度模型（mixing length model ）。

Prandtl 假定湍动粘度t μ正比于时均速度i u 的梯度和混合长度m l 的()()φφφφρρφS grad V div t=Γ-+∂∂()()φφφφρρφS x x u x t jj j j +∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂)(乘积。

例如，在二维问题中，有：yul mi ∂∂=2μ （4.18） 湍流切应力表示成为：yuy u l v u m∂∂∂∂=''-2ρρ (4.19)其中，混合长度m l 由经验公式或实验确定。

混合长度理论的优点是直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流动中才比较容易给定混合长度m l ，对于复杂流动则很难确定m l ，而且不能用于模拟带有分离回流的流动，因此，零方程模型在复杂的实际工程中很少使用。

4.3.2一方程模型零方程模型实质上是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响。

为了弥补混合长度假定的局限性，人们建议在湍流时均控制方程和Reynolds 方程的基础上，再建立一个湍动能k 的输运方程，而将t μ表示成k 的函数，从而使方程组封闭。

这里，湍动能k 的输运方程表示为：l k C x u x u x u x k x x ku t k D j i i j ji t j k tji i 23)()(ρμσμμρρ-∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂ (4.20)上式从左至右，方程中各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。

由Kolmogorov-Prandtl 表达式，有：kl C t μρμ= (4.21)其中k σ，D C ，μC 为经验常数，多数文献建议：k σ＝1，μC ＝0.09，而D C 的取值在不同的文献中结果不同，从0.08到0.38不等。

但这个问题在后面要介绍的双方程模型中不存在。

l 为湍流脉动的长度比尺，依据经验公式或实验而定。

以上两式联合构成一方程模型。

一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因而比零方程模型更为合理。

但是，一方程模型中如何确定长度比尺l 仍是不易决定的问题，因此很少在实际工程计算中应用。

4.4标准ε-k 两方程模型标准ε-k 模型是典型的两方程模型，是在 4.3节介绍的一方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率ε的方程后形成的。

该模型是目前使用最广泛的湍流模型。

本节介绍标准ε-k 模型的定义及其相应的控制方程组，下一节介绍改进的ε-k 模型。

4.4.1标准ε-k 两方程模型的定义标准ε-k 模型（standard ε-k model ）由Launder 和Spalding 于1972年提出。

在模型中，k 为湍动能（turbulent kinetic energy ），其定义为,即：()222212w v u u u k i i '+'+'=''= ε表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate ），定义为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂'∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂'∂=k i k i x u x u ρμε （4.22）湍动粘度t μ则表示成k 和ε的函数，即：ερμμ2k C t = （4.23）其中，μC 为经验常数。

在标准ε-k 模型中，k 和ε是两个基本的未知量，与之相对应的输运方程为：()()k M b k j ki j i i S Y G G x k x x ku t k +--++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂ρεσμμρρ (4.24) ()()εεεεεερεεσμμρρεS k C G C G k C x x x ku t b k j iji i +-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂2231)((4.25)其中，k G 是由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项，b G 是由于浮力引起的湍动能k 的产生项，M Y 代表可压湍流中脉动扩张的贡献，ε1C 、ε2C 和ε3C 为经验常数，k σ和εσ分别是与湍动能k 和耗散率ε对应当Prandtl 数，k S 和εS 是用户根据计算工况定义的源项。

4.4.2标准ε-k 模型的有关计算公式首先，G k 是由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项，由下式计算:ji i jj i t k x u x u xu G ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=μ (4.26) b G 是由于浮力引起的湍动能k 的产生项，对于不可压流体，b G ＝0。

对于可压流体，有：it t ib x Tg G ∂∂=Pr μβ (4.27)其中t Pr 是湍动Prandtl 数，在该模型中可取t Pr ＝0.85，i g 是重力加速度在第i 方向的分量，β是热膨胀系数，可结合可压流体的状态方程求出，其定义为：T∂∂-=ρρβ1 (4.28)M Y 代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，0=M Y 。

对于可压流体，有：22t M M Y ρε= (4.29)其中，t M 是湍动Mach 数，2a k M t =；a 是声速，RT a γ=。

在标准ε-k 模型中，根据Launder 等推荐值及后来的实验验证，模型常数ε1C 、ε2C 、ε3C 、k σ、εσ的取值为：ε1C ＝1.44，ε2C ＝1.92，ε3C ＝0.09，k σ＝1.0，εσ＝1.3 (4.30)对于可压流体的流动计算中与浮力相关的系数ε3C ，当主流方向与重力方向平行时，有ε3C ＝1，当主流方向与重力方向垂直时，有ε3C ＝0。

根据以上分析，当流动为不可压，且不考虑用户自定义的源项时,` b G =0，M Y ＝0, k S ＝0，εS ＝0.，这时，标准ε-k 模型变为：()()ρεσμμρρ-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂k j k tj i i G x k x x ku t k (4.31) ()()k C G k C x x x u t k j tji i 221ερεεσμμρερεεεε-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=∂∂+∂∂ (4.32) 这种简化后的形式，出现在多篇文献中，这可使我们更便于分析不同湍流模型的特点，后续要介绍的改进的ε-k 模型也将采用这种简化形式。

方程(4.31)及((4.32)中的Gt ，按式(4.26)计算，其展开式为:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2222222y w z v x w z u x v y u z w y v x u G t k μ (4.33)4.4.3标准ε-k 模型的控制方程组采用标准ε-k 模型求解流动及传热问题时，控制方程包括连续性方程、运动方程、能量方程、k 方程、ε方程与式（4.23）。

若不考虑热交换的单纯流场计算问题，则不需要包含能量方程。

若考虑传质或有化学变化的情况，则应再加入组分方程。

这些方程仍可以表示成如下通用形式：()()()()S z z yy x x z w y v x u t +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂φφφφρφρφρρφ(4.35)使用散度符号，上式记为：()()()S grad div div t+Γ=+∂∂φφρρφu (4.36) 为了方便查阅，下表给出了在三维直角坐标系下，与通用形式（4.35）所对应的ε-k 模型的控制方程。

与式（4.35）对应的ε-k 模型的控制方程方程 φ 扩散系数Γ 源项S 连续性方程1X 向运动方程 ut eff μμμ+=u eff eff eff S x w z x v y x u x x p +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-μμμ y 向运动方程 vt eff μμμ+= v eff eff eff S y w z y v y y u x y p +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-μμμ z 向运动方程 wt eff μμμ+= w eff eff eff S z w z z v y z u x z p +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-μμμ 湍动能方程 kktσμμ+ρε+k G耗散率方程 ε εσμμt+()ρεεεε21C G C kk -能量方程TT tσμμ+PrS 按实际问题而定4.4.4标准ε-k 模型方程的解法及适用性在将各类变量的控制方程都写成式（4.35）所示的统一形式后，控制方程的离散化及求解方法可以求得统一，这为发展大型通用计算程序提供了条件。

以式（4.35）为出发点所编制的程序可以适用于各种变量，不同变量间的区别仅在于广义扩散系数、广义源项及初值、边界条件这三方面。

实际上，目前世界上研究计算流体动力学的主要机构所编制程序多是针对式（4.35）写出的。

对于标准ε-k 模型的适用性，有如下几点需要注意：（1）模型中的有关系数，如式（4.30）中的值，主要是根据一些特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有所不同，但总体来讲，本节所给出的结果在近年发表的文献中是比较一致的。

除了式（4.30）中给出的5个常数外，对于能量方程中的系数T σ，有文献建议取为T σ＝0.9～1.0。