高中数学 北师大必修五 112余弦定理第一课时

a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，

2．(2019·郑州高一检测)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2＋c2 －b2＝ 3ac，则角 B 为( )
A.π6
B.π3
C.π6或56π
D.π3或23π
解析：本题主要考查余弦定理．
cos
B＝a2＋2ca2c－b2＝
3ac＝ 2ac
3，则 2
B＝π6.故本题正确答案为
[阅读教材 P50 例 4 及解答]如图所示，有两条直线 AB 和 CD 相交成 80°角，交点是 O，甲、乙两人同时从点 O 分别沿 OA、 OC 方向出发，速度分别是 4 km/h，4.5 km/h，3 小时后两人 相距多远(结果精确到 0.1 km)? 题型：已知两边及一角解三角形 方法步骤：①计算△OPQ 两边长，OP＝12，OQ＝13.5. ②利用余弦定理求 PQ 的长．
第二章 解三角形 §1 正弦定理与余弦定理
1.2 余弦定理
内容标准 1.掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形. 2.理解用向量法证明余弦定理的过程，逐步学会用向量 法解决具体问题. 3.通过发现和证明余弦定理的过程，培养观察、分析、 归纳、猜想、抽象概括等逻辑思维能力.
学科素养
提升数学运算 灵活公式变形 严密逻辑推理
[自我检测]
1．三角形的两边 AB、AC 的长分别为 5 和 3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形 的第三边长为( )
A．可知 cos A＝－35， 则 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝52＋32－2×5×3×－35＝52， ∴BC＝2 13. 答案：B
01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
[基础认识] 知识点一 余弦定理 预习教材 P49－51，思考并完成以下问题 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c. (1)如果 C＝90°，如何求 AB 边的长？ 提示：利用勾股定理求 AB 的长，即 c2＝a2＋b2. (2)设C→B＝a，C→A＝b，A→B＝c.怎样用向量的线性运算表示A→B？ 提示：A→B＝C→B－C→A＝a－b.

1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得

sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形

2 2 2 c b ＋c －a 所以 ＝ ， 2b 2bc
即 c2＝b2＋c2－a2，所以 a2＝b2，所以 a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以 4b2－c2＝3b2， 即 b2＝c2. 所以 b＝c，所以 a＝b＝c. 所以△ABC 为等边三角形．
a2＝
余弦 定理
b2＋c2－a2 ； 2bc cos A＝ a2＋c2－b2 推论 ； 2ac cos B＝ a2＋b2－c2 . 2 ab cos C＝
；；Biblioteka .作用 实现三角形边与角的互化.
利用余弦定理解三角形
(1)在△ABC 中，若 a＝1，b＝1，C＝120° 求 c； (2)已知△ABC 中， a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 求△ABC 各内角的度数．
《1.2 余弦定理》课件2
●三维目标 1．知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法； 并会用余弦定理解决基本的解三角形问题． 2．过程与方法 利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用 余弦定理解决解三角形问题．
3．情感、态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能 力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关 系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一． ●重点难点 重点：余弦定理的发现和证明过程及应用． 难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合 问题．
∴A ＝45° . cos a2＋c2－b2 4＋（ 3＋1）2－6 1 B＝ ＝ ＝ ， 2ac 2×2×（ 3＋1） 2
∴B ＝60° . ∴C＝180° －A －B ＝180° －45° －60° ＝75° .
1． 本题(2)关键是根据已知条件设出三边， 为使用余弦定 理的推论求角创造条件． 2． 余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边 关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的 量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三 个量，便可求得第四个量．