数学建模——太阳影子定位的模型建立

太阳影子定位的模型建立摘要太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

为了准确地确定视频拍摄的地点和日期，从而为视屏数据的分析作铺垫，本文基于太阳影子定位技术，运用天体物理学理论和数学几何知识，建立了影子长度变化的数学模型，及其参数的变化规律，并应用此模型画出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线是二次函数；利用遗传算法、三次样条插值和图像调整坐标系，建立了任一固定直杆位置的数学模型，并得到了直杆所处的地点；投影角度与太阳角速度之间的关系，以及参数估计算法，建立了任一固定直杆位置的数学模型，并得到了直杆所处的地点与日期；利用Matlab r2014b，确定了视频拍摄地点的数学模型和可能的拍摄地点。

问题一，基于天体物理学理论和数学几何知识，利用太阳高度角公式、时角公式和赤纬角公式，计算得到了影子长度变化的数学模型及其参数的变化规律，通过Matlab软件模拟仿真得到了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线图。

从图中可以看到，太阳影长随时间的变化先缩短后伸长，呈现出一个较为对称的图像，并可清晰看出在中午12点左右，图像有一个最低点，此时影长大致为3.8米左右。

问题二，基于遗传算法，利用三次样条插值和图像调整坐标系，建立了直杆所处地点轨迹的数学模型。

再利用二次多项式拟合影子轨迹求出当地正午时间，即可根据北京时间求出大致经度。

最后建立太阳影子定位的优化模型，从而得出若干可能的地点。

问题三，基于某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，利用投影角度和太阳角速度之间的关系，参数估计算法，建立模型直杆所处的观测日期和经纬度，从而求出直杆所处地点的参数方程。

运用Matlab软件编程数据拟合了附件1的影子顶点的坐标数据，得到了直杆影子的轨迹图和其长度的变化图。

问题四，利用Matlab r2014b工具箱中的视频查看器播放视频获得截图，使用图片查看器中的测距工具测量视频中的直杆长度为680，从而得到视频中尺度和实际尺度的比例尺为340：1。

从北京时间8:54:20每间隔3051帧（2分钟）截取图片，测量出对应时刻的视频影长l，利用Excel记录数据并计算出实际影长L。

建立模型时采用最小二乘法拟合出方程，最终得出视频拍摄点的若干可能位置。

关键词：太阳影子定位遗传算法三次样条插值法图像调整坐标系最小二乘法Matlab软件一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。

将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。

将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。

请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、符号与变量说明符号说明L 表示直杆影子长度d 表示直杆高度h 表示太阳高度角x 表示直杆所在纬度O 表示赤纬角t 表示时角S 表示北京时间Y0表示太阳直射点时的经度A 表示太阳方位角X 表示所求的纬度Y 表示所求的经度δ表示当时的太阳赤纬角φ表示当地纬度三、模型假设对于问题一：1.以直杆为主要参考对象，视太阳为东边升起，西边落下；2.忽略地球绕太阳的公转；3.地球为一个体积均匀的球体；4.假设10月22日当天9时至15时，太阳直射点的纬度是一个固定值。

对于问题二：假定太阳光束为平行光。

对于问题三：假定地球不动，以地球为中心，以任意长为半径作一假想球面。

对于问题四：视频拍摄视角对影子长短的影响忽略不计。

四、模型的建立与求解4.1 问题一的求解4.1.1 影子长度变化数学模型的建立根据天体物理学理论和数学几何关系可知，任一物体的影子长度与物体所处的纬度、经度、太阳直射点纬度以及太阳的位置等有关。

通过分析物体影子长度变化随太阳位置变化来建立影子长度变化模型，并对其和各参数进行分析。

将一直杆垂直立于某水平地面上，其杆的太阳影子随太阳位置的变化而变化，得到影子长度变化的模型演示图，如图1所示。

太阳光线通过直杆顶点Q，在地面上形成一个影点Q’，设影子的长度QQ’为L，太阳光线与地面的夹角为∠QQ’O=h。

图1 影子长度变化模型演示图由图1可得tan d L h=, (1.1) sin sin sin cos cos cos h X O X O t =+⋅⋅. (1.2) 联立公式（1.1）（1.2），并运用三角函数得影子长度的变化规律：L =. (1.3)其中，L 为直杆影子长度，d 为直杆高度，h 为太阳高度角，X 为直杆所在纬度，O 为赤纬角。

4.1.2 影子长度变化的数学模型参数（1）赤纬角O赤纬角指的是太阳赤纬，是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。

赤纬角以年为周期，在+23°26′与-23°26′的范围内移动，成为季节的标志。

每年6月21日或22日赤纬达到最大值+23°26′称为夏至，该日中午太阳位于地球北回归线正上空，是北半球日照时间最长、南半球日照时间最短的一天。

随后赤纬角逐渐减少至9月21日或22日等于零时全球的昼夜时间均相等为秋分。

至12月21日或22日赤纬减至最小值-23°26′为冬至，此时阳光斜射北半球，昼短夜长而南半球则相反。

当赤纬角又回到零度时为春分即3月21日或22日，如此周而复始形成四季。

因赤纬值日变化很小，一年内任何一天的赤纬角O 可用下式计算：2(284)23.45sin 365N O π+=⋅, (1.4) 或sin 0.39795[0.998563(173)]N δ=⋅-. (1.5) 其中N 表示自1月1日起到观测当天为第N 天，t 为时角，s 为北京时间，则可以得到：[(120116.3914)4/1612]15t s =--⨯-⨯. (1.6) 由上式可以得到当地时间正午12：00时的时角为0，以小时来计量（1HA = 150）。

（2）太阳高度角对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。

太阳高度角简称高度角。

当太阳高度角为90°时，此时太阳辐射强度最大；当太阳斜射地面时，太阳辐射强度就小。

sin sin sin cos cos cos h t ϕδϕδ=+. (1.7)（3）时角时角指的是某天体的赤经（RA ）与当地的恒星时（LST ）的差值，即HA LST RA =-. (1.8)一个天体的时角表示该天体是否通过了当地的子午圈（中天）。

其数值表示了该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位，以小时来计量（1HA = 150）。

当地时间12点时的时角为零，前后每隔一小时，增加360/24=150。

从正午算起, 按顺时针方向为正，逆时针方向为负，也就是上午为负，下午为正。

它的数值等于离正午的时间（小时）乘以15，故日出、日落时的时角最大，正午时为零（指地平线以上）[1]。

（4）年积日年积日是仅在一年中使用的连续计算日期的方法，是从当年1月1日起开始计算的天数。

例如：每年的1月1日为第1日，2月1日为第32日，以此类推。

平年的12月31日为第365日，闰年的12月31日为第366日。

4.1.3 模型分析处理假设北京时间就是天安门当地时间。

同时，由于六个小时的时间，太阳直射点的纬度变化不大，因此可以假设10月22日当天9时至15时，太阳直射点的纬度是一个固定值。

由于10月22日基本上位于区间第三部分的左起1/3处，因此由函数关系可以得到： 002sin t h h t π=（007sin 0.56h h h π==-）， (1.9) 即该时段太阳直射点的纬度。

同时，在北京时间中午12时之前n 小时这一时刻，太阳直射点的经度比天安门所在经度靠东15n 0，即3601524x n ︒︒=. (1.10) 在北京时间中午12时之后n 小时这一时刻，太阳直射点的经度比天安门所在经度靠西15n 0，即3601524x n ︒︒=. (1.11) 知道了直射点，就可以知道直射点与天安门的距离，继而知道直射点与地球球心的连线和天安门与地球球心的连线的夹角来了。

4.1.4 直杆的太阳影长的变化曲线利用上述建立的影子长度变化的数学模型，结合MATLAB 软件编程，得到了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39054’26’’,东经116023’29’’）3米高直杆的太阳影子长度的变化曲线。

根据题设条件可知，观测时间为2015年10月22日，为一年中的第295天，即N=295，观测点经度为116023’29’’，且观察点得当地时间就是北京时间，故北京时间12：00时对应时角为0，9:00-15:00对应的时角范围为-450-450。

利用太阳高度角公式、时角公式、赤纬角公式以及三角函数关系，通过Matlab 软件运行，得到了直杆的太阳影长的变化曲线，如图2所示。

由图2可知，太阳影长随时间的变化先缩短后增大，呈现出一个较为对称的图像，并可清晰看出在中午12点左右，图像有一个最低点，此时影长大致为3.8米左右。

4.2 问题二的求解4.2.1 问题分析问题二要求根据顶点数据确定影子顶点坐标，打算基于三次样条插值做出影子轨迹，根据图像调整坐标系，再利用二次多项式拟合影子轨迹求出当地正午时间，即可根据北京时间求出大致经度。

考虑到题中仅给出影长的坐标，相对于问题一缺少杆长条件，于是本文打算利用拟合求出的经度作为初始经度，并对地图网格化，以杆影和实际影长的相似度作为适应度，基于遗传算法对网格中的经纬度进行搜索，建立太阳影子定位的优化模型，从而得出若干可能的地点。

4.2.2 模型建立本文通过对影子轨迹拟合估计出当地正午时间，再根据北京时间求出初始经度，以此作为初值解，建立基于遗传算法的太阳影子定位模型。