实变函数试题库及参考答案 本科
一、题
1．设,A B 为集合，则()
\A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写）
2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）
6．设n
E ⊂
是可数集，则*
m E =0
7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是可测集，则称()f x 在E 上可测
8．可测函数列的上极限也是可测函数
9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A ⊃A （用描述集合间关系的符号填写）
12．设{}211,2,A k k =-=，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数）
13．设n
E ⊂
，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集
14．任意个开集的并是开集
15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ⊂，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则*
m E =0
17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是可测，则称()f x 在E 上可测
18．可测函数列的下极限也是可测函数
19．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒()()f x g x 20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()E
f x dx =⎰()lim n
E
n x dx ϕ→∞⎰
21．设,A B 为集合，则()
\A B B ⊃B
22．设A 为有理数集，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 23．设n
E ⊂
，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是开集
24．有限个闭集的交是闭集 25．设n
E ⊂
，则*
m E ≥0
26．设E 是
n
中的区间，则*
m E =E 的体积
27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是可测集，则称()f x 在E 上可测
28．可测函数列的极限也是可测函数
29．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()n f x ⇒()g x
30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有
()E
f x dx =⎰()lim n E
n f x dx →∞⎰
31．设,A B 为集合，则()
\B A B A =A B
32．设A 为无理数集，则A =c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 33．设n
E ⊂
，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是开集
34．任意个闭集的交是闭集 35．设n
E ⊂
，称E 是可测集，如果n
T ∀⊂
，()**m T m T
E =+()*c m T E
36．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*
m F =0 37．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ∀∈，()E x a f x
b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测，
（a b ≤）则称()f x 在E 上可测
38．可测函数列的上确界也是可测函数
39．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒()()f x g x
40．设()()n f x f x ⇒，那么由黎斯定理，(){}
n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于E 41.设,A B 为两个集合,则__c A B A
B -.（等于）
42.设n
E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是闭.
43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ⊆ (ii),a G b G ∉∉ 44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 答案：≥ 45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案：≥ 46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >是可测集E 上的可测函数.
47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*
__0m E . 答案>
48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由____黎斯__定理可知得,存在{}()n f x 的子列
{}
()k
n f
x ,使得.()()
()k a e
n f x f x x E →∈.
49.设()f x 为可测集E (n
R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上不一定L 可积. 50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数. 51．设,A B 为集合，则___(\)A
B B A A 答案=
52．设n E R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是开集
53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的构成区间 54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数=a (其中a 表示自然数集N 的基数) 55．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 答案 =
56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是可测集 57．若()E R ⊆是可数集，则__0mE 答案=
58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()
()a e
n f x f x x E →∈，则
()()n f x f x ⇒ x E ∈不一定成立
59． 设()f x 为可测集()n
E R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值一定存在
60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差） 多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =
中无理数，则（ ACD ）
A E 是不可数集
B E 是闭集
C E 中没有内点
D 1m
E =
2．设n
E ⊂
是无限集，则（ AB ）
A E 可以和自身的某个真子集对等
B E a ≥（a 为自然数集的基数）
C E '≠∅
D *0m
E >
3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ABD ）
A 函数()f x 在E 上可测
B ()f x 在E 的可测子集上可测
