★2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练选修4-5 不等式选讲 课时跟踪训练62 Word版含解析

课时跟踪检测 (六十) 绝对值不等式1．已知|2x －3|≤1的解集为．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1．解：(1)不等式|2x －3|≤1可为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3．(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1．即|x |＜|a |＋1．2．(2017·合肥质检)已知函f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a ．(1)求实a 的值；(2)解不等式f (x )≤5．解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2．(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2， 当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，令2x －6≤5，得4<x ≤112， 故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤112．3．(2016·广西质检)已知函f(x)＝ax－1＋ax(a＞0)在(1，＋∞)上的最小值为15，函g(x)＝|x＋a|＋|x＋1|．(1)求实a的值；(2)求函g(x)的最小值．解：(1)∵f(x)＝ax－1＋ax＝ax－1＋a(x－1)＋a，x＞1，a＞0，∴f(x)≥3a，即有3a＝15，解得a＝5．(2)由于g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|≥|(x＋5)－(x＋1)|＝4，当且仅当－5≤x≤－1时等号成立，∴g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|的最小值为4．4．已知函f(x)＝|x－a|．(1)若f(x)≤m的解集为{}x|－1≤x≤5，求实a，m的值；(2)当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a．∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3．(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可为|x－2|＋t≥|x|．①当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t＜2，∴x∈(－∞，0)；②当x∈．7．(2016·兰州诊断)设函f(x)＝|2x－1|－|x＋2|．(1)解不等式f(x)＞0；(2)若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2＜4m，求实m的取值范围．解：(1)不等式f (x )＞0，即|2x －1|＞|x ＋2|，即4x 2－4x ＋1＞x 2＋4x ＋4，3x 2－8x －3＞0，解得x ＜－13或x ＞3， 所以不等式f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－13或x ＞3． (2)f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x ＜－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x ≥12，故f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52． 因为∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ，所以4m －2m 2＞－52， 解得－12＜m ＜52． 故实m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52． 8．已知函f (x )＝|3x ＋2|．(1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4．当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23； 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4， 解得－23≤x <12； 当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12． (2)由题意，1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立， 只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103． 所以实a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103．。

课时跟踪训练(六十二) 不等式选讲[基础巩固]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.2．(2017·甘肃兰州模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝4时，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若f (x )≥4对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝4时，|x －1|＋|x －a |≥5等价为⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－2x ＋5≥5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，3≥5，或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x －5≥5，解得x ≤0或x ≥5.所以不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，所以f (x )min ＝|a －1|.要使f (x )≥4对x ∈R 恒成立，则需|a －1|≥4.所以a ≤－3或a ≥5，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－3或a ≥5}．3．(2017·东北三省四市高三二模)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1.(1)证明：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值． [解](1)因为－a <b2，所以f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋b ，x <－a ，－x ＋a ＋b ，－a ≤x <b 2，3x ＋a －b ，x ≥b2，显然f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝a ＋b 2，所以a ＋b2＝1，即2a ＋b ＝2.(2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立，所以a ＋2bab≥t 恒成立， a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22ab ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92，所以t ≤92，即实数t 的最大值为92.4．(2017·湖南五市十校高三联考)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －3|(a <3)．(1)若不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，求a 的值； (2)若对∀x ∈R ，f (x )＋|x －3|≥1，求实数a 的取值范围． [解] (1)解法一：由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋3，x <a ，3－a ，a ≤x ≤3，2x －a －3，x >3，当x <a 时，由－2x ＋a ＋3≥4，得x ≤a －12；当x >3时，2x －a －3≥4，得x ≥7＋a2.已知f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，则显然a ＝2.解法二：由已知易得f (x )＝|x －a |＋|x －3|的图象关于直线x ＝a ＋32对称，又f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，则12＋92＝a ＋3，即a ＝2.(2)解法一：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋2|x －3|≥1恒成立． 当x ≤a 时，－3x ＋a ＋5≥0恒成立，得－3a ＋a ＋5≥0，解得a ≤52；当a <x ≤3时，－x －a ＋5≥0恒成立，得－3－a ＋5≥0，解得a ≤2； 当x ≥3时，3x －a －7≥0恒成立，得9－a －7≥0，解得a ≤2. 综上，a ≤2.解法二：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋|x －3|≥－|x －3|＋1恒成立， 由图象(图略)可知f (x )＝|x －a |＋|x －3|在x ＝3处取得最小值3－a ， 而－|x －3|＋1在x ＝3处取得最大值1，故3－a ≥1，得a ≤2. 5．(2017·湖北四地七校联盟)已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a . (1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2， 若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去； 若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4； 若x ≤3，则10－3x <2，∴83<x ≤3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪83<x <4.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －10，x ≥4，x －2，3<x <4，10－3x ，x ≤3.作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >12，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[能力提升]6．(2017·广西桂林市、百色市、崇左市一联)设函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )<2x 的解集；(2)若2f (x )＋|x －a |>8对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)由f (x )<2x 得|x ＋1|<2x ， 则－2x <x ＋1<2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<2x ，x ＋1>－2x ，解得x >1，∴不等式f (x )<2x 的解集为(1，＋∞)．(2)∵f (x )＋|x －a |＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－x ＋a |＝|a ＋1|， 又2f (x )＋|x －a |>8＝23对任意x ∈R 恒成立，即f (x )＋|x －a |>3对任意x ∈R 恒成立，∴|a ＋1|>3，解得a <－4或a >2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．7．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式：f (x )＋f (x ＋1)≤2； (2)若a <0，求证：f (ax )－af (x )≥f (2a )．[解] (1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|. 因此只要解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2； 当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52.综上，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤52.(2)由题意得f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|＝f (2a )，所以f (ax )－af (x )≥f (2a )成立．8．(2017·河北衡水中学四调)设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． [解] (1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.9．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.。

(2)f(3)＝ ＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋ ，由f(3)<5得3<a< .
当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋ ，由f(3)<5得 <a≤3.
综上，a的取值范围是 .
5．(2018·贵州省适应性考试)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝ .
(1)求f(x)的最小值；
(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m.
证明：因为a4＋6aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb2＋b2－4ab(a2＋b2)
＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2
＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.
又a≠b，所以(a－b)4>0，
所以a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．
3．(2018·武汉调研)(1)求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集；
(2)证明：要证 ＋ ≤1，只需证a＋b＋2 ≤1，
即证2 ≤ ，即证 ≤ .
而a＋b＝ ≥2 ，∴ ≤ 成立．
∴原不等式成立．
4．(2018·河北质检)设函数f(x)＝
＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
解析：(1)证明：由a>0，有f(x)＝ ＋|x－a|≥ ＝ ＋a≥2.所以f(x)≥2.
令g(x)＝－ 2＋ ，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，
∴g(x)≤g(0)＝0.
故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
解析：(1)∵f(x)＝|x－1|＋|x－5|，
∴f(x)＝|x－1|＋|x－5|＝ ，

选修4-5　不等式选讲题组1　不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A .(-∞,4)B .(-∞,1)C .(1,4)D .(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f (x )=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a 2+a+2对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值12范围是 .4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f (x )的图象;(Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(Ⅱ)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f (x )=|x+|+|x-a|(a>0).1a(Ⅰ)证明:f (x )≥2;(Ⅱ)若f (3)<5,求a 的取值范围.题组2　不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x-|+|x+|,M为不等式f (x )<2的解集.1212(Ⅰ)求M ;(Ⅱ)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明:(Ⅰ)若ab>cd ,则+>+;a b c d (Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.a b c d 10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac ≤;13(Ⅱ)++≥1.a 2b b 2c c 2aA 组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f (x )=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f (x )+3≥0的解集;(2)当x ∈[1,3]时,f (x )≤3恒成立,求a 的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m ,n ).(1)求m ,n 的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y ≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f (x )=|ax-1|,不等式f (x )≤3的解集是{x|-1≤x ≤2}.(1)求a 的值;(2)若<k 存在实数解,求实数k 的取值范围.f (x )+f (-x )34.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f (x )=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x ∈R,使得f (x )≤m 成立,求m 的取值范围;(2)求不等式x 2-8x+15+f (x )≤0的解集.B 组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f (x )=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f (x )>2的解集;(2)若二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f (x )的图象恒有公共点,求实数m 的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f (x )=|x-m|+|x+2|(m ∈R),g (x )=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f (x )≤5的解集;(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,求实数m 的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f (x )=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},求a 的值;(2)已知a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=m ,求证:++≥.1a +b 1b +c 1c +a 92m 8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f (x )=(x+1)2.14(1)证明: f (x )+|f (x )-2|≥2;(2)当x ≠-1时,求y=+[f (x )]2的最小值.14f (x )答案1.A 当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x ≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x ≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A .2.-6或4　当a=-1时,f (x )=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f (x )=f (x ){-3x -1+2a ,x ≤a ,x -1-2a ,a <x ≤-1,3x +1-2a ,x >-1,min =f (a )=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f (x )=f (x )min =f (a )=-{-3x -1+2a ,x ≤-1,-x +1+2a ,-1<x ≤a ,3x +1-2a ,x >a ,a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1,]　|2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数121212125212y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a 2+a+2≤,即2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤,即实数a 的取值范围52125212是[-1,].124.(1)当a=1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0　①.当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1;当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x ≤.-1+172所以f (x )≥g (x )的解集为{x|-1≤x ≤}.-1+172(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一,所以f (-1)≥2且 f (1)≥2,得-1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f (x )={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,y=f (x )的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象知,当f (x )=1时,可得x=1或x=3;当f (x )=-1时,可得x=或x=5.13故f (x )>1的解集为{x|1<x<3};f (x )<-1的解集为{x|x<或x>5}.13所以|f (x )|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.136.(Ⅰ)当a=1时, f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;23当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为{x|<x<2}.23(Ⅱ)由题设可得f (x )=所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三{x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .个顶点分别为A (,0),B (2a+1,0),C (a ,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.2a -1323由题设得(a+1)2>6,故a>2.23所以a 的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f (x )=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a )|=+a ≥2.所以f (x )≥2.1a 1a 1a(Ⅱ)f (3)=|3+|+|3-a|.1a 当a>3时,f (3)=a+,由f (3)<5得3<a<.1a 5+212当0<a ≤3时,f (3)=6-a+,由f (3)<5得<a ≤3.1a 1+52综上,a 的取值范围是().1+525+2128.(Ⅰ)由题意可得f (x )={-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x ≤-时,由f (x )<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x ≤-;1212当-<x<时,f (x )<2恒成立;1212当x ≥时,由f (x )<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.1212所以f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,a b ab c d cd 由题设a+b=c+d ,ab>cd 得(+)2>(+)2.a b c d 因此+>+.a b c d (Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b )2<(c-d )2,即(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd.因为a+b=c+d ,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.a b c d ②若+>+,则(+)2>(+)2,即a b c d a b c d a+b+2>c+d+2.ab cd 因为a+b=c+d ,所以ab>cd.于是(a-b )2=(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd=(c-d )2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.a b c d 10.(Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca )≤1,即ab+bc+ca ≤.13(Ⅱ)因为+b ≥2a ,+c ≥2b ,+a ≥2c ,a 2b b 2c c 2a 故+++(a+b+c )≥2(a+b+c ),即++≥a+b+c.a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a 所以++≥1.a 2b b 2c c 2a A 组基础题1.(1)当a=2时,由f (x )≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴或或{x <12,2-x +2x -1≥-3{12≤x <2,2-x -2x +1≥-3{x ≥2,x -2-2x +1≥-3,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.1212综上,当a=2时,不等式f (x )+3≥0的解集为{x|-4≤x ≤2}.(2)当x ∈[1,3]时,f (x )≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2. 故-2x-2≤x-a ≤2x+2,即-3x-2≤-a ≤x+2,∴-x-2≤a ≤3x+2对x ∈[1,3]恒成立.∴a ∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得或或{x ≥3,x +x -3<x +6{0<x <3,3<x +6{x ≤0,-x +3-x <x +6,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y )=10++≥10+2=16,1x 1y y x 9xy y x×9xy 当且仅当=,即x=,y=时取等号,y x 9xy 11214所以+≥16,即x+y ≥16xy.1x 1y .3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax ≤4,当a>0时,-≤x ≤,所以解得a=2;2a 4a {-2a =-1,4a=2,当a<0时,≤x ≤-,所以无解.所以a=2.4a 2a {-2a =2,4a=-1(2)因为=≥=,所以要使 <k 存在实数解,只需k>,f (x )+f (-x )3|2x -1|+|2x +1|3|2x -1-(2x +1)|323f (x )+f (-x )323所以实数k的取值范围是(,+∞).234.(1)f (x )=|x-5|-|x-2|={3,x ≤2,7-2x ,2<x <5,-3,x ≥5.当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f (x )≥x 2-8x+15,由(1)可知,当x ≤2时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为空集;当2<x<5时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5};3当x ≥5时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为{x|5≤x ≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x ≤6}.3B 组提升题5.(1)当m=5时,f (x )={5+2x (x <-1),3(-1≤x ≤1),5-2x (x >1),由f (x )>2得不等式的解集为{x|-<x<}.3232(2)因为二次函数y=x 2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f (x )=在x=-1处取得最大值m-2,{m +2x (x <-1),m -2(-1≤x ≤1),m -2x (x >1)所以要使二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f (x )的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m ≥4,所以实数m 的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f (x )=|x-1|+|x+2|,①当x ≤-2时,f (x )=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x ≥-3,所以-3≤x ≤-2;②当-2<x<1时,f (x )=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x ≥1时,f (x )=2x+1,由2x+1≤5,解得x ≤2,所以1≤x ≤2.综上所述,不等式f (x )≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,设A={y|y=f (x )},B={y|y=g (x )},则A ⊆B ,因为f (x )=|x-m|+|x+2|≥|(x-m )-(x+2)|=|m+2|,g (x )=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m ≥1或m ≤-5,因此,实数m 的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f (x )=|x+1|+|x-a|={-2x +a -1,x <-1,a +1,-1≤x <a ,2x -a +1,x ≥a .又不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},解得a=2.(2)++1a +b 1b +c 1c +a=(1a +b +1b +c +1c +a )(a +b +b +c +c +a )2m=1+b +ca +b +c +aa +b +1+a +bb +c +c +ab +c +1+a +bc +a +b +cc +a2m=3+b +c a +b +a +b b +c +c +a b +c +b +c c +a +a +b c +a +c +aa +b2m≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).92m m38.(1)∵f (x )=(x+1)2≥0,14∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2.(2)当x ≠-1时,f (x )=(x+1)2>0,14∴y=+[f (x )]2=++[f (x )]2≥3·=,当且仅当==[f (x )]2时取等14f (x )18f (x )18f (x )318f (x )·18f (x )·[f (x )]23418f (x )18f (x )号,即x=-1±时取等号.2∴y=+[f (x )]2的最小值为.14f (x )34。