高三数学复习专题指数与指数函数

指数与指数函数

一、知识梳理

1.指数

⑴ n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“n”是方根的记号.

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.

⑵

n次方根的性质

①当n为奇数时，nna ； ②当n为偶数时，aann=).0(),0(aaaa

⑶ 分数指数幂的意义

①anm=nma； ②anm=nma1=nma1（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.

2. 指数幂的运算性质

nmaa ；nmaa ；nma ；nab ；nba ；

3. 指数函数

⑴ 指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数.

⑵ 指数函数的图象及性质

a>1 0

图

象

性

质 定义域 R

值域 (0，+∞)

过定点 过定点 (0,1) ，即x=0时，y=1

函数值的变化 当x>0时， y>1 ；

当x<0时， 00时， 0

当x<0时， y>1 ；

单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 二、点击双基

1.63aa等于( )

A.-a B.-a C.-a D.a

2. 函数y=32x的图象与直线y=x的位置关系是( )

[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.

3. 函数y=－ex的图象

A.与y=ex的图象关于y轴对称 B.与y=ex的图象关于坐标原点对称

C.与xey的图象关于y轴对称 D.与xey的图象关于坐标原点对称

4、已知函数f(x)＝ax＋a－x(a>0，a≠1)，若f(－1)＝3，则f(0)＋f(2)的值为________．

解：由f(－1)＝3得a＋1a＝3，于是f(2)＝a2＋1a2＝(a＋1a)2－2＝32－2＝7.

又∵f(0)＝1＋1＝2，∴f(0)＋f(2)＝9.

5．函数y＝ax－2009＋2010(a>0且a≠1)的图像恒过定点________．(2009,2011)

6、化简：43111aa＝________；3xy2·xy－1·xy＝________；25.0315.062527125.0＝_______.

(1)－4a－1 (2)xy (3)0

三、典例精析

题型一：指数式的运算

1、化简:

⑴549132510 ⑵213131025.031027.0)833(330256.02717434

2、化简:

⑴ 3327aa÷31638aa÷313aa; ⑵ .11111333233aaaaaaaa ⑶

3421413223)(abbaabba（a＞0，b＞0） ⑷ 333323211)()(bbaabbbaa

3、已知32121xx，求23222323xxxx的值；

题型二：解指数方程

4、解方程 ⑴ 4x+2x-2=0 ⑵ 4x+|1－2x|=11.

5.（2011北京）若函数1,0()1(),03xxxfxx 则不等式1|()|3fx的解集为____________.

解：本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

（1）由01|()|301133xfxxx.

（2）由001|()|01111133333xxxxfxx.

∴不等式1|()|3fx的解集为|31xx，∴应填3,1.

题型三：指数函数的图像与应用 6、比较332与2343的大小．

解：在同一直角坐标系中作出函数y＝49x与y＝34x的图象，考察x＝32时y值大小，

∵49<34， ∴49 32 <34 32 ， ∴233<34 32 .

7、函数f(x)＝ax－b的图象如下图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( )

A．a＞1，b＞0

B．a＞1，b＜0

C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0

解：由图象知0＜a＜1，又a0－b＝a－b＜1 ∴－b＞0 ∴b＜0，故选D.

8、函数y＝a|x|(a>1)的图象是( ) B

9、右图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是( )

A.a

10.（2012四川）函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是（ ）

解：当1a时单调递增，10a，故A不正确；1xyaa恒不过点(1,1)，所以B不正确；

当01a时单调递减，10a，故C不正确 ；D正确.

11. 若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过二、三、四象限，则一定有( )

A.00 B.a>1且b>0 C.01且b<0

函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，大致图象如图．所以函数必为减函数．

故0

12、若函数myx|1|)21(的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ ）

A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0

13、函数y＝xax|x| (0

解：函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝ ax，x>0－ax，x<0.当x>0时，函数是一个指数函数，因为0

14、函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为________(填序号)．

解：y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y＝1＋2e2x－1>1

且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故①正确．

15．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( )

A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]

由f(1)＝19得a2＝19， ∴a＝13(a＝－13舍去)，即f(x)＝13|2x－4|.

由于y＝|2x－4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.

16、若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )

A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(0，12)

解：若a>1，如图(1)为y＝|ax－1|的图象，

与y＝2a显然无交点；当0

如图(2)，要使y＝2a与y＝|ax－1|的图象

有两个交点，应有2a<1，∴0

17、方程2x=2－x的解的个数为______________.

18、k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x

的图象向下平移一个单位后，再把位于x

轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到

的，函数图象如图所示．

当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有惟一的交点，所以方程有一解；

当0

题型四：指数函数单调性的运用

19、设函数f(x)＝|2x－1|的定义域和值域都是[a，b](b>a)，则a＋b等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4

解：因为f(x)＝|2x－1|的值域为[a，b]，所以b>a≥0，而函数f(x)＝|2x－1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，

因此应有 |2a－1|＝a|2b－1|＝b，解得 a＝0b＝1，所以有a＋b＝1，选A.

20.（2012上海）已知函数||)(axexf（a为常数）。若)(xf在区间),1[上是增函数，则a的取值范围是 。

解:令axt，则axt在区间),[a上单调递增，而tey为增函数，所以要是函数axexf)(

在),1[单调递增，则有1a，所以a的取值范围是]1,(。

21、已知 22xx≤2)41(x， 求函数y=22XX的值域。

22、要使函数y=1+2x+4xa在x∈(－∞,1]上y＞0恒成立，求a的取值范围.