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高三数学指数与指数函数试题答案及解析1.若，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】如图可知，“”“”，而“”“”，因此“”是“”的必要不充分条件.故选B.【考点】指对两种基本初等函数的图像和充要条件的概念.2.________.【答案】【解析】原式=【考点】1.指对数运算性质.3.已知函数f(x)＝()x，g(x)＝x，记函数h(x)＝，则不等式h(x)≥的解集为________．【答案】(0，]，【解析】记f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为x＝x而f()＝＝<1＝，f(1)＝()1＝>0＝1，∴x∈(，1)，得h(x)的图象如图所示，而h()＝f()＝，∴不等式h(x)≥的解集为(0，]．4.已知，那么的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，因为，即，所以.故B正确.【考点】1指数函数的单调性；2对数函数的单调性.5.函数y＝x2的值域是________．【答案】(0,1]【解析】∵x2≥0，∴x2≤1，即值域是(0,1]．6.如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．【答案】(1,2)【解析】设C(a,4a)，则A(a,2a)，B(2a,4a)．又O，A，B三点共线，所以＝，故4a＝2·2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A的坐标是(1,2)．7.当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．【答案】∪(1，)【解析】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0且a≠1)，当a>1时，y＝a x是一个增函数，则有a2<2，可得－<a<，故有1<a<；当0<a<1时，y＝a x是一个减函数，则有a－2<2，可得a>或a<－ (舍)，故有<a<1.综上可得，a∈∪(1，)．8.已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，，∴.【考点】利用函数图象及性质比较大小.9. (2014·嘉兴模拟)已知a=,b=0.3-2,c=lo2,则a,b,c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．b>a>c【答案】D【解析】0<a=<=1,b=0.3-2>(0.3)0=1,c=lo2<0,所以b>a>c.10. (2014·郑州模拟)已知函数f(x)=e x+ax,g(x)=ax-lnx,其中a≤0.(1)求f(x)的极值.(2)若存在区间M,使f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性,求a的取值范围.【答案】（1）f(x)的极小值为f(ln(-a))=-a+aln(-a);没有极大值（2）(-∞,-1)【解析】(1)f(x)的定义域为R,且f′(x)=e x+a.当a=0时,f(x)=e x,故f(x)在R上单调递增.从而f(x)没有极大值,也没有极小值.当a<0时,令f′(x)=0,得x=ln(-a).f(x)和f′(x)的情况如下：x(-∞,ln(-a))ln(-a)(ln(-a),+∞)故f(x)的单调递减区间为(-∞,ln(-a));单调递增区间为(ln(-a),+∞).从而f(x)的极小值为f(ln(-a))=-a+aln(-a);没有极大值.(2)g(x)的定义域为(0,+∞),且g′(x)=a-=.当a=0时,f(x)在R上单调递增,g(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意.当a<0时,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减.当-1≤a<0时,ln(-a)≤0,此时f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增,由于g(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意.当a<-1时,ln(-a)>0,此时f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,由于g(x)在(0,+∞)上单调递减,符合题意.综上,a的取值范围是(-∞,-1).x，y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是() 11.在同一坐标系中画出函数y＝loga【答案】D【解析】y＝x＋a在B，C，D三个选项中对应的a>1，只有选项D的图象正确．12.已知，，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由对数函数的性质知，，由幂函数的性质知，故有.【考点】对数、幂的比较大小13.设则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，选B.【考点】指数函数、对数函数的性质.14.已知函数,则=________.【答案】【解析】,故填.【考点】分段函数对数与指数15.已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是( )A． B．. D．【答案】B【解析】如图，在同一坐标系中分别作出与的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当时，直线与只有一个交点.故选B.【考点】分段函数图像数形结合16.某驾驶员喝了mL酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过________h后才能开车．(精确到1h)【答案】4【解析】当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由≤0.02，得x≥4.17.已知＋(0.5)－y< ＋(0.5)x，则实数x、y的关系为________．【答案】x＋y<0【解析】由＋(0.5)－y< ＋(0.5)x，得－(0.5)x< －(0.5)－y.设f(x)＝－(0.5)x，则f(x)<f(－y)，由于0< 0.5<1，所以函数f(x)是R上的增函数，所以x<－y，即x＋y<018.设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(3)求函数的值域．【答案】（1）a＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上为增函数（3）[2，＋∞)【解析】(1)因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是＝＋3a，即.因为a＞0，故a＝1.(2)设x2＞x1≥0，f(x1)－f(x2)＝(3x2－3x1)(－1)．因为3x为增函数，且x2＞x1，故3x2－3x1＞0.因为x2＞0，x1≥0，故x2＋x1＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3)因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．19.若xlog34＝1，求的值．【答案】【解析】由xlog34＝1，知4x＝3，∴＝20.设函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},N={x∈R|g(x)<2},则M∩N为() A．(1,+∞)B．(0,1)C．(-1,1)D．(-∞,1)【答案】D【解析】M:f(g(x))=(3x-2)2-4(3x-2)+3>0,令t=3x-2,则原不等式等价于t2-4t+3>0,解得t>3或t<1,∴3x-2>3或3x-2<1.∴3x>5或3x<3.∴x>log35或x<1.即M={x|x>log35或x<1}.N:3x-2<2⇒3x<4⇒x<log34,∴N={x|x<log34},∴M∩N={x|x<1},故选D.21.函数y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是()【答案】D【解析】y=e|lnx|-|x-1|=当x≥1时,y=1,排除C,当x=时,y=,排除A,B,故选D.22.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x 2，x3的大小关系是______________．【答案】x3>x2>x1【解析】x3>x2>x1[解析] 由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－＝0，h(x)＝log2x－＝0得2x＝－x，x＝，log2x＝.在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x，y＝x与y＝，y＝log2x与y＝的图像，如图所示，由图像可知－1<x1<0，0<x2<1，x3>1，所以x3>x2>x1.23.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是()【答案】B【解析】|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B.【误区警示】本题易误选A或D,出现错误的原因是误以为y=|f(x)|是偶函数.24.设函数f(x)=的最小值为2,则实数a的取值范围是.【答案】[3,+∞)【解析】当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>a-1,由题意知,a-1≥2,∴a≥3.25.函数f(x)＝的值域为________．【答案】(－∞，2)【解析】分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x≥1时，log x≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．26.设的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在其定义域上是增函数，且函数为“倍缩函数”，且在上的值域是，所以，即，所以方程必有两个不等的实数根。
指数和指数函数一、选择题1．（36a 9）4（63a 9）4等于（）（C）a 4（A）a 16（B）a b 8（D）a -b 22.若a>1,b<0,且a +a =22,则a -a 的值等于（）-b b （A）6（B）±2（C）-2（D）22x 3．函数f（x）=(a -1)在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）（A）a >1（B）a <2（C）a<2（D）1<a <4.下列函数式中，满足f(x+1)=(A)21f(x)的是( )211x -x(x+1) (B)x+ (C)2(D)224x 25.下列f(x)=(1+a )⋅a -x 是（）（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇且偶函数1a 1b116．已知a>b,ab ≠0下列不等式（1）a >b ,(2)2>2,(3)<,(4)a 3>b 3,(5)()<()33a b22a b 11中恒成立的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2x -17．函数y=x 是（）2+1（A）奇函数（B）偶函数（C）既奇又偶函数（D）非奇非偶函数8．函数y=1的值域是（）x 2-1（A）（-∞,1）（B）（-∞,0）⋃（0，+∞）（C）（-1，+∞）（D）（-∞，-1）⋃（0，+∞）+9．下列函数中，值域为R 的是（）（A）y=512-x（B）y=(1x 11-xx)（C）y=()-1（D）y=1-223e x -e -x10.函数y=的反函数是（）2（A）奇函数且在R 上是减函数（B）偶函数且在R 上是减函数++（C）奇函数且在R 上是增函数（D）偶函数且在R 上是增函数11．下列关系中正确的是（）++111111（A）（）3<（）3<（）3（B）（）3<（）3<（）3252225111111（C）（）3<（）3<（）3（D）（）3<（）3<（）352252221222122112212．若函数y=3+2的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（）（A）（2，5）（B）（1，3）（C）（5，2）（D）（3，1）x -113．函数f(x)=3+5,则f (x)的定义域是（）（A）（０，＋∞）（B）（５，＋∞）（C）（６，＋∞）（D）（－∞，＋∞）x 14.若方程a -x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）（0，1）（C）（0，+∞）（D）φ15．已知函数f(x)=a +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（）x x x x (A)f(x)=2+5 (B)f(x)=5+3 (C)f(x)=3+4 (D)f(x)=4+316.已知三个实数a,b=a ,c=a a x x-1a a ,其中0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是（）（A）a<c<b （B）a<b<c （C）b<a<c （D）c<a<bx 17．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a +b 的图像必定不经过（）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限二、填空题1．若a <ax 322,则a 的取值范围是。
08 指数与指数函数1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.2.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a【答案】A由0.2<0.6,0<0.4<1,可知0.40.2>0.40.6,即b>c.又因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.3．函数y＝2x－2－x是()A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减【答案】Af(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.又函数y＝－2－x，y＝2x均是在R上的增函数，故y＝2x－2－x在R上为增函数．4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于()A.5B.7C.9D.11【答案】B由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得+2-2a+2=9,即+2-2a=7,故f(2a)=7.5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为()A．[9，81] B．[3，9]C．[1，9] D．[1，＋∞)【答案】C由f(x)过点(2，1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝32－2＝1， f (x )max ＝f (4)＝34－2＝9.故选C.6.已知x ,y ∈R,且2x +3y >2-y +3-x ,则下列各式正确的是 ( )A.x-y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x+y>0【答案】B由f (a )=3得2a +2-a =3,两边平方得+2-2a +2=9,即+2-2a =7,故f (2a )=7.7．已知函数f (x )＝a x ，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A ．1 B ．a C ．2 D ．a 2【答案】A∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.8.若偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x|f (x-3)> 0}=( ) A.{x|x<-3或x>5} B.{x|x<1或x>5} C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3} 【答案】B∵f (2)=0,∴f (x-3)>0等价于f (|x-3|)>0=f (2). ∵f (x )=2x -4在[0,+∞)内是增加的, ∴|x-3|>2,解得x<1或x>5.9．若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－1 D ．0【答案】A∵x log 52≥－1，∴2x ≥15，则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2－4.当2x ＝1时，f (x )取得最小值，为－4.故选A.10．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．1＜2a ＋2c ＜2【答案】D由题设可知：a ，b ，c 既有正值又有负值，否则与已知f (a )＞f (c )＞f (b )相矛盾，a ＜0＜c ，则f (a )＝1－2a ，f (c )＝2c －1，所以有1－2a ＞2c －1，∴2a ＋2c ＜2，又2a ＞0，2c ＞1，∴2a ＋2c ＞1，即1＜2a ＋2c ＜2. 11．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B作出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．故选B.12．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．[1，＋∞)【答案】B.由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．13.已知函数f (x ),若在其定义域内存在实数x 满足f (-x )=-f (x ),则称函数f (x )为“局部奇函数”,若函数f (x )=4x -m ·2x -3是定义在R 上的“局部奇函数”,则实数m 的取值范围是( ) A.[-) B.[-2,+∞) C.(-∞,2) D.[-2)【答案】B根据“局部奇函数”的定义可知,方程f (-x )=-f (x )有解即可, 即4-x -m·2-x -3=-(4x -m·2x -3),∴4-x +4x -m (2-x +2x )-6=0,化为(2-x +2x )2-m (2-x +2x )-8=0有解,令2-x +2x =t (t ≥2),则有t 2-mt-8=0在[2,+∞)上有解, 设g (t )=t 2-mt-8,则抛物线的对称轴为t=,若m ≥4,则Δ=m 2+32>0,满足方程有解;若m<4,要使t 2-mt-8=0在[2,+∞)上有解, 则需解得-2≤m<4.综上可得实数m 的取值范围为[-2,+∞). 14．设a ＞0，b ＞0( ) A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞b B ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＜b C ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＞b D ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＜b 【答案】A因为函数y ＝2x ＋2x 为单调递增函数，若2a ＋2a ＝2b ＋2b ，则a ＝b ，若2a ＋2a ＝2b ＋3b ， 则a ＞b .故选A.15．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，1) B ．(－4，3) C ．(－3，4) D ．(－1，2)【答案】D因为(m 2－m )·4x－2x＜0在x ∈(－∞，－1]时恒成立，所以m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x在x ∈(－∞，－1]时恒成立，由于f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在x ∈(－∞，－1]时单调递减，且x ≤－1，所以f (x )≥2，所以m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 16.当x ∈(-∞,-1]时,不等式(m 2-m )·4x -2x <0恒成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】(-1,2)原不等式变形为m 2-m<.∵函数y=在(-∞,-1]上是减少的,∴≥=2, 当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m<恒成立等价于m 2-m<2,解得-1<m<2.17．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________． 【答案】43设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，∴f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.∴f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝1＋13＝43.18．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________． 【答案】14当a ＞1时，由f (x )的单调性知，a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意；当0＜a ＜1时，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意．19．已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫0，23 ①当0＜a ＜1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图1.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0＜a ＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，所以0＜a ＜23.②当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图2.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a ＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，此时无解． 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 20.已知函数f (x )=是奇函数. (1)求m 的值;(2)设g (x )=2x+1-a ,若函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)-1 (2) [2,+∞)(1)由函数f (x )是奇函数,可知f (0)=1+m=0,解得m=-1. (2)函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点, 即方程=2x+1-a 至少有一个实根, 即方程4x -a·2x +1=0至少有一个实根. 令t=2x >0,则方程t 2-at+1=0至少有一个正根. 方法一:∵a=t+≥2,∴a 的取值范围为[2,+∞).方法二:令h (t )=t 2-at+1,由于h (0)=1>0,∴只需解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2,+∞).21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1，若a ＞b ≥0，且f (a )＝f (b )，则bf (a )的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎭⎫34，2如图，f (x )在[0，1)，[1，＋∞)上均单调递增，由a ＞b ≥0及f (a )＝f (b )知a ≥1＞b ≥12.bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ， ∵12≤b ＜1，∴34≤bf (a )＜2. 22.已知函数f (x )=3x -. (1)若f (x )=2,求x 的值; (2)判断x>0时,f (x )的单调性;(3)若3t f (2t )+mf (t )≥0对于t ∈恒成立,求m 的取值范围.【答案】(1) =log 3(1+) (2) f (x )=3x -在(0,+∞)上递增 (3) [-4,+∞) (1)当x ≤0时,f (x )=3x -3x =0,∴f (x )=2无解.当x>0时,f (x )=3x -,令3x -=2.∴(3x )2-2×3x -1=0,解得3x =1±. ∵3x >0,∴3x =1+.∴x=log 3(1+).(2)∵y=3x 在(0,+∞)上递增,y=在(0,+∞)上递减,∴f (x )=3x -在(0,+∞)上递增.(3)∵t ∈,∴f (t )=3t ->0.∴3t f (2t )+mf (t )≥0化为3t +m ≥0,即3t +m ≥0,即m ≥-32t -1.令g (t )=-32t -1,则g (t )在上递减,∴g (x )max =-4.∴所求实数m 的取值范围是[-4,+∞).23．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则( )①2是函数f (x )的一个周期；②函数f (x )在(1，2)上递减，在(2，3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3，4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 【答案】①②④由已知条件得：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确， 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1， f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3＜x ＜4时，－1＜x －4＜0， f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．。
指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 2函数164x y =-的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4]（C ）[0,4) （D ）(0,4)3设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是( )（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a4下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 ( )（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a6已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ）A.124 B.112C.18D.387. 不等式4x －3·2x ＋2<0的解集是( )A ．{x |x <0}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1<x <9}D ．{x |x >9}8．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C ．(1，＋∞) D．(0，12)9(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，1)C ．(－1,1) D ．(0,2)10(理)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤111．函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x ax x a x f x 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3) D ．(1,3)13．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．414．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x，则f (x )≤12的解集为________．15．若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________． 16．函数y ＝a x ＋2012＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．17．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．18．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．19．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．22．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解读式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[]的值，求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性； (3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解读] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. 2解读：[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解读】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。
2 62 指数和指数函数一、选择题 1．（3 6 a 9）4（ 6 3 a 9）4 等于（ ）（A ）a 16（B ）a 8（C ）a 4（D ）a 22. 若 a>1,b<0,且 a b+a -b=2,则 a b -a -b 的值等于（ ）（A ） （B ） ± 2（C ）-2（D ）23. 函数 f （x ）=(a 2-1)x在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是（）（A ） a > 1 （B ） a < 2 （C ）a< （D ）1< a < 14. 下列函数式中，满足 f(x+1)= f(x)的是() 21 1 (A)(x+1)(B)x+(C)2x(D)2-x245.下列 f(x)=(1+a x )2⋅ a-x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既奇且偶函数1 1 11 1 16．已知 a>b,ab ≠ 0 下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3) < ,(4)a 3 >b 3 ,(5)( )a <( )ba b 3 3中恒成立的有（ ） （A ）1 个（B ）2 个 （C ）3 个 （D ）4 个2 x - 17. 函数 y=是（ ）2 x+ 1 （A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既奇又偶函数（D ）非奇非偶函数18. 函数 y=的值域是（ ）2 x- 1（A ）（- ∞,1）（B ）（- ∞, 0） ⋃ （0，+ ∞ ）（C ）（-1，+ ∞ ） （D ）（- ∞ ，-1） ⋃ （0，+ ∞ ）9. 下列函数中，值域为 R +的是（ ）1（A ）y=5 2-xe x - e - x1（B ）y=( )1-x（C ）y= 3（D ）y= 10. 函数 y= 的反函数是（）2（A ）奇函数且在 R +上是减函数（B ）偶函数且在 R +上是减函数（C ）奇函数且在 R +上是增函数 （D ）偶函数且在 R +上是增函数11．下列关系中正确的是（ ）1 2 1 2 1 11 1 12 1 2（A ）（ ） 3 <（ ） 3 <（ ） 3（B ）（ ） 3 <（ ） 3 <（ ） 32 5 21 2 1 1 1 22 2 51 2 1 2 1 1（C ）（ ） 3 <（ ） 3 <（ ）3 （D ）（ ） 3 <（ ） 3 <（ ） 3 5 2 25 2 22 ( 1 ) x - 1 21 -2 xx 12. 若函数 y=3+2x-1的反函数的图像经过 P 点，则 P 点坐标是（）（A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）13. 函数 f(x)=3x +5,则 f -1(x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋ ∞ ） （B ）（５，＋ ∞ ） （C ）（６，＋ ∞ ） （D ）（－ ∞ ，＋ ∞ ）14. 若方程 a x-x-a=0 有两个根，则 a 的取值范围是（ ） （A ）（1，+ ∞ ） （B ）（0，1） （C ）（0，+ ∞ ） （D ）15. 已知函数 f(x)=a x+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数 f(x)的表达式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x+4(D)f(x)=4x+316. 已知三个实数 a,b=a a,c=a aa,其中 0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是（）（A ）a<c<b （B ）a<b<c （C ）b<a<c （D ）c<a<b17．已知 0<a<1,b<-1,则函数 y=a x+b 的图像必定不经过（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题31.若 a2 <a 2 ,则 a 的取值范围是 。
高中数学-指数与指数函数练习题1、已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( ) A.c b a <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a <<2、不论a 为何值时，函数(1)22x a y a =--恒过定点，则这个定点的坐标是( ) A.1(1,)2-B.1(1,)2C.1(1,)2--D.1(1,)2-3、已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.44、若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是下图中的( )5、已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是________．6、若函数2,0()2,0xx x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数[()]y f f x =的值域是________．7、已知2()f x x =，1()()2x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是________．8、已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．(1)求,a b 的值； (2)解关于t的不等式22(2)(21)0f t t f t -+-<．9、定义在[1,0)(0,1]-⋃上的奇函数()f x ，已知当[1,0)x ∈-时，1()()42x xaf x a R =-∈．(1)求()f x 在(0,1]上的最大值；(2)若()f x 是(0,1)上的增函数，求实数a 的取值范围．10、已知定义在R 上的函数||1()22x x f x =-．(1)若3()2f x =，求x 的值；(2)若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．答案——指数与指数函数1、已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( ) A.c b a <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a <<解：a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a .答案 A2、不论a 为何值时，函数(1)22x a y a =--恒过定点，则这个定点的坐标是( ) A.1(1,)2-B.1(1,)2C.1(1,)2--D.1(1,)2-解：y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.答案 C3、已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4解：由题意知f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，即a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 答案 C4、若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是下图中的( )解：函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)． 答案 A5、已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是________． 解：对任意x 1≠x 2，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，146、若函数2,0()2,0x x x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数[()]y f f x =的值域是________．解：当x >0时，有f (x )<0；当x <0时，有f (x )>0.故f (f (x ))＝⎩⎨⎧ 2f x ，f x <0，－2－f x ，f x >0＝⎩⎨⎧2－2－x ，x >0，－2－2x，x <0. 而当x >0时，－1<－2－x<0，则12<2－2－x <1.而当x <0时，－1<－2x <0，则－1<－2－2x <－12. 则函数y ＝f (f (x ))的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，17、已知2()f x x =，1()()2x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是________．解：x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞8、已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．(1)求,a b 的值；(2)解关于t 的不等式22(2)(21)0f t t f t -+-<．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a .解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪t >1或t <－13. 9、定义在[1,0)(0,1]-⋃上的奇函数()f x ，已知当[1,0)x ∈-时，1()()42x xaf x a R =-∈． (1)求()f x 在(0,1]上的最大值；(2)若()f x 是(0,1)上的增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x－a ·2x ， ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]．令t ＝2x，t ∈(1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a24，当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max 不存在；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4.综上，当a ≤2时，f (x )的最大值不存在；当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4. (2)∵函数f (x )在(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝a ln 2×2x －ln 4×4x ＝2x ln 2·(a －2×2x )≥0， ∴a －2×2x ≥0恒成立， ∴a ≥2×2x .∵2x ∈(1,2)，∴a ≥4. 10、已知定义在R 上的函数||1()22x x f x =-． (1)若3()2f x =，求x 的值；(2)若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x <0时， f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12， ∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
高三数学指数与指数函数试题答案及解析1.若，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】如图可知，“”“”，而“”“”，因此“”是“”的必要不充分条件.故选B.【考点】指对两种基本初等函数的图像和充要条件的概念.2.已知，，，，则下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】相除得，又，所以.选B.【考点】指数运算与对数运算.3.设a＝40.8，b＝80.46，c＝()－1.2，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】A【解析】∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝()－1.2＝21.2，又∵1.6>1.38>1.2，∴21.6>21.38>21.2.即a>b>c.故选A.4. [2014·太原模拟]函数y＝()x2＋2x－1的值域是()A．(－∞，4)B．(0，＋∞)C．(0,4]D．[4，＋∞)【答案】C【解析】设t＝x2＋2x－1，则y＝()t.因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝()t为关于t的减函数，所以0＜y＝()t≤()－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．5.已知且，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则a>1,b>0或0<a<1,b<0,所以；若，则a>1,b>0或0<a<1,b<0,所以，故选C．【考点】1．指数函数的性质；2．充要条件6.已知，则下列关系中正确的是（）A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】A【解析】由已知得，，，，故a>b>c．【考点】指数函数的图象和性质.7.在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()【答案】D【解析】y＝x＋a在B，C，D三个选项中对应的a>1，只有选项D的图象正确．8.设a＝log0.32，b＝log0.33，c＝20.3，d＝0.32，则这四个数的大小关系是( )A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．d＜c＜a＜b【答案】B【解析】由函数y＝log0.3x是减函数知，log0.33＜log0.32＜0.又20.3＞1,0＜0.32＜1，所以b＜a＜d＜c.9.若为正实数，则．【答案】1【解析】设所以因此【考点】指对数运算10.已知，，则A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】D【解析】因为，所以因此c>a>b.比较指对数大小，首先将底数化为一样.【考点】指对数比较大小11.函数的反函数为________.【答案】【解析】由题意可得令，所以，即函数的反函数为.【考点】1.反函数的概念.2.对数运算与指数运算.12.方程的解【答案】【解析】由已知得，即，，所以，．【考点】解对数方程．13.若函数y=f(x)图象上的任意一点p的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S的是( )A．－1B．f(x)=lnxC．f(x)=sinx D．f(x)=tanx【答案】C【解析】不等式表示的平面区域如图所示，函数具有性质，则函数图像必须完全分布在阴影区域①和②部分，分布在区域①和③内，分布在区域②和④内，图像分布在区域①和②内，在每个区域都有图像，故选.【考点】指数、对数、三角函数的性质和图像、可行域.14.设，，，则（）．【答案】【解析】由函数的性质得到，，所以，，故选.【考点】幂函数、指数函数、对数函数的性质.15.若，则有（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，选A.【考点】指数对数单调性16.函数y＝的定义域是________．【答案】【解析】由8－16x≥0，所以24x≤23，即4x≤3，定义域是17.画出函数y＝的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程＝k无解？有一个解？有两个解？【答案】当k＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．【解析】由图知，当k<0时，方程无解；当k＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．18.设a>0,b>0,e是自然对数的底数()A．若e a+2a=e b+3b,则a>bB．若e a+2a=e b+3b,则a<bC．若e a-2a=e b-3b,则a>bD．若e a-2a=e b-3b,则a<b【答案】A【解析】设函数f(x)=e x+2x,易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又因为a>0,b>0,则当e a+2a=e b+3b 时,一定有e a+2a>e b+2b,此时a>b.故选A.19.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，0)∪(0,1)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】若a＝0，当x≤0时，f(x)＝0，故f(f(x))＝f(0)＝0有无数解，不符合题意，故a≠0.显然当x≤0时，a·2x≠0，故f(x)＝0的根为1，从而f(f(x))＝0有唯一根，即为f(x)＝1有唯一根．而x>0时，f(x)＝1有唯一根，故a·2x＝1在(－∞，0]上无根，当a·2x＝1在(－∞，0]上有根可得a ＝≥1，故由a·2x＝1在(－∞，0]上无根可知a<0或0<a<1.20.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤前的废气的污染指数量为Pmg/L，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L与时间t h间的关系为P＝Pe－kt.如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________%的污染物．【答案】81【解析】P0e－k×5＝P×(1－10%)，e－5k＝0.9，所以Pe－k×10＝P×0.81，即10小时后还剩81%的污染物．21.已知，，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】，，【考点】指数函数和对数函数的性质.22.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)＝f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与的图象的交点个数为( )A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】由函数满足f(x+1)＝f(x-1)可得函数是周期函数周期为2.当x∈[-1,1]时，f(x)=x2.当.所以y=f(x)与的图象在x>1范围有4个交点.在0<x<1范围有一个交点.所以共有5个交点.故选C.【考点】1.函数的周期性.2.分段函数的知识.3.含绝对值的函数图像.23.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的图象恒过点（－1，2），所以直线恒过点（－1，2），所以即.又该定点始终落在圆的内部或圆上，所以,得或.结合图形可知，表示直线的斜率，其范围为.【考点】1、指数函数的性质；2、直线与圆和方程；3、不等关系.24.已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．【解析】因为，，，所以，的大小关系为，选A.【考点】指数函数、对数函数的性质25.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】因为，所以，故选A．【考点】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性比较数式的大小．26.方程的实数解为__________________【答案】【解析】令，则原方程可化为：，∴，，即可满足条件，即方程的实数解为．【考点】解指数方程．27.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，所以.【考点】比较大小.28. .已知且，函数在同一坐标系中的图象可能是（）A. Ｂ.Ｃ.Ｄ.【答案】C【解析】假设a>1,则 A,B,C,D四个选项都不满足条件，所以0<a<1,由于A，B中指数函数的图象中a>1，所以排除A，B选项，D选项中直线的截距a>1，所以排除D，故选C.【考点】指数函数、对数函数的图象和性质.29.若函数是定义域R上的减函数，则函数的图象是（）A． B． C． D．【解析】由已知条件可得，而已知，所以，所以函数在定义域（-1，+）上是减函数，所以排除A,C选项；又因为，所以D正确，故选D.【考点】1.指数函数的性质和图像；2.对数函数的的性质和图像；3.复合函数的性质.30.不等式的解集为【答案】【解析】因为，所以，，解得，故答案为.【考点】指数函数的性质，一元二次不等式的解法.31.已知，，，则的大小关系是（）。
教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。
高三数学指数与指数函数试题答案及解析1.已知为正实数,则（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】根据指数的运算性质：，以及对数的运算性质：，可知，∴D正确.【考点】指对数的运算性质2.已知函数，则不等式的解集为 .【答案】.【解析】若，则，若：则，故不等式的解集是.【考点】1.分段函数；2.指对数的性质.3.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9，则f(x)的单调递减区间是________．【答案】(－∞，2]【解析】由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.因此f(x)＝3|2x－4|，又∵g(x)＝|2x－4|的递减区间为(－∞，2]，∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．4.已知函数f(x)＝3x－.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)判断x>0时，f(x)的单调性；(3)若3t f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．(1＋)【答案】（1）log3（2）f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增（3）[－4，＋∞)【解析】解：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，∴f(x)＝2无解．当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2.∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±.∵3x>0，∴3x＝1＋.∴x＝log(1＋)．3(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0.∴3t f(2t)＋mf(t)≥0化为3t＋m≥0，即3t＋m≥0，即m≥－32t－1.＝－4.令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减，∴g(x)max∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．5.（2011•山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．0B．C．1D．【答案】D【解析】将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2．∴=．故选D．6.化简的结果为（）A．5B．C．﹣D．﹣5【答案】B【解析】===故选B7.若满足，满足，则（）A．B．3C．D．4【答案】C【解析】由题意知，∴，．而与互为反函数，∴或，即．8.若函数是函数的反函数，其图象经过点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数是函数的反函数，∴．∵函数y=f(x)的图象经过点∴．∴．9.已知，，，则、、的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，即，由于函数在上单调递增，且，，所以，即，因此，故选B.【考点】1.指数函数与对数函数的单调性；2.利用中间值法比较大小10.方程的解【答案】【解析】由已知得，即，，所以，．【考点】解对数方程．11.已知函数，则．【答案】【解析】．【考点】分段函数.12.若，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，而对数函数要求真数为正数，所以不成立；因为是减函数，又，则，故错；因为在是增函数，又，则，故错；在是增函数，又，则即成立，选.【考点】指数函数、对数函数、幂函数的性质.13.已知函数f(x)＝则满足不等式f(f(x))>1的x的取值范围是________．【答案】(4，＋∞)【解析】当x≤0时，2x∈(0，1]，f(f(x))＝log22x＝x>1，不符合；当0<x≤1时，log2x≤0，f(f(x))＝2log2x＝x>1，不符合；当x>1时，log2x>0，f(f(x))＝log2(log2x)>1，解得x>4.14.函数f ＝2x－1的零点个数是________．【答案】2【解析】令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)、h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此，函数f(x)有2个零点．15.画出函数y＝的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程＝k无解？有一个解？有两个解？【答案】当k＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．【解析】由图知，当k<0时，方程无解；当k＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．16.以下函数中满足f(x＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)①f(x)＝lnx；②f(x)＝e x；③f(x)＝e x－x；④f(x)＝e x＋x.【答案】④【解析】若f(x)＝e x＋x，则f(x＋1)＝e x＋1＋x＋1＝e·e x＋x＋1>e x＋x＋1＝f(x)＋1.17.设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a、b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．【答案】g(a)<0<f(b)【解析】易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．18.已知函数f(x)＝a－是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．【答案】∪【解析】因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a＝－，所以f(x)＝－－，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x∈[1，＋∞)时，f(x)∈.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是∪19.函数f(x)＝的值域为________．【答案】(－∞，2)【解析】函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y＝的值域为(－∞，0]；函数y＝2x在R上是增函数，当x<1时，函数y＝2x的值域为(0，2)．故函数f(x)的值域为(－∞，2)．20.函数f(x)=1+log2x,f(x)与g(x)=21-x在同一直角坐标系下的图象大致是()【答案】C【解析】f(x)的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位得到的,g(x)=21-x=()x-1的图象是由y=()x 的图象向右平移一个单位得到,且过点(0,2),故C满足上述条件.21.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是()【答案】B【解析】|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B.【误区警示】本题易误选A或D,出现错误的原因是误以为y=|f(x)|是偶函数.22.已知函数f(x)=则f(1)的值为.【答案】【解析】因为1<2,所以f(1)=f(1+2)=f(3).因为3>2,所以f(3)=()3=,故f(1)=.23.若0<a<b<1<c，m＝loga c，n＝logbc，r＝a c,则m，n，r的大小关系是________．【答案】r＞m＞n【解析】因为m＝loga c<loga1＝0，同理n<0，作商＝loga b<logaa＝1，即 <1，又m，n<0, 从而有0>m>n，即r＝a c>0，故r>m>n.24.已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.【答案】(1，＋∞)【解析】由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N＝(1，＋∞)．25.当0<x≤时，4x<logax，则实数a的取值范围是________．【答案】＜a＜1【解析】显然logax＞0，因此0＜a＜1.在同一坐标系内作出y＝4x与y＝logax的图象(略)依据图象特征，只需满足loga＞＝2，∴＜a2，因此＜a＜1.26.已知函数f(x)＝则f＝ ()．A．4B．C．－4D．－【答案】B＝－2.又f(－2)＝2－2＝，∴f＝f(－2)＝【解析】由＞0，得f＝log327.若,则的取值范围是__________.A．B．C．D．【答案】D【解析】由基本不等式的性质可得，所以，故选D.【考点】1. 基本不等式的性质；2.指数函数的性质.28.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)＝f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与的图象的交点个数为( )A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】由函数满足f(x+1)＝f(x-1)可得函数是周期函数周期为2.当x∈[-1,1]时，f(x)=x2.当.所以y=f(x)与的图象在x>1范围有4个交点.在0<x<1范围有一个交点.所以共有5个交点.故选C.【考点】1.函数的周期性.2.分段函数的知识.3.含绝对值的函数图像.29.已知，若对任意的，存在，使，则实数m的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由，.所以.当时要使成立即要存在上成立. 存在使得成立.即.故选A.本题难点是即有恒成立问题又有存在成立问题.认真区分好这两个含义是关键.将不等式的问题转化为函数的最值问题也是解题的关键.【考点】1.不等式的问题转化为函数的最值问题.2.关于恒成立的及存在成立的问题.3.关于指数函数的不等式.30.函数的反函数 .【答案】【解析】由，所以.【考点】指数与对数31.已知函数，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】函数的图像如下：则由可知，或，解得或.【考点】1.对数函数的图像与性质；2.指数函数的图像与性质；3.数形结合32.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，所以.【考点】比较大小.33.若函数是定义域R上的减函数，则函数的图象是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知条件可得，而已知，所以，所以函数在定义域（-1，+）上是减函数，所以排除A,C选项；又因为，所以D正确，故选D.【考点】1.指数函数的性质和图像；2.对数函数的的性质和图像；3.复合函数的性质.34.分段函数则满足的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，满足的满足或解得，值为，故选D.【考点】分段函数，指数函数、对数函数的性质.35.不等式的解集为【答案】【解析】因为，所以，，解得，故答案为.【考点】指数函数的性质，一元二次不等式的解法.36.设．【答案】3【解析】，.【考点】分段函数，指数与对数的运算.37.设，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由分数指数幂与根式的关系知：，从而易知，故选A.【考点】1.分数指数幂与根式的互换；2.比较大小.38.若,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】注意到指数函数、对数函数在底数大于1时，函数为增函数；底数小于1时，函数为减函数。
2.5 指数与指数函数1．根式的性质 ：(1)(n a )n ＝___; (2)当n 为奇数时n a n ＝___；当n 为偶数时na n ＝____ 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：m na ＝_____(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：m na-＝1m na＝______(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于_____,0的负分数指数幂______． (2)有理数指数幂的性质：①a r a s ＝_____ ②(a r )s ＝_____ ③(ab )r ＝____(a >0，b >0，r ，s ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质y＝a xa >1 0<a <1图像定义域 R 值域性质过定点_________当x >0时，____；x <0时，____ 当x >0时，____；x <0时,_____ 在(－∞，＋∞)上是______在(－∞，＋∞)上是______1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. [试一试] 1．化简()162-2⎡⎤⎣⎦－(－1)0的结果为________．2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．3.设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝________.4.y ＝3|x |的单调递减区间是________．5.函数y ＝11()2x -的定义域为________．6.若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 考点一 指数幂的化简与求值 例1、求值与化简：(1)()1020.523122.20.0154--⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2）112122133325.346a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；变式1、(1)12112133265a b a bab ---⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）84416x y （x<0,y<0)考点二 指数函数的图像及应用例2(1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．(2)已知f (x )＝|2x －1|，①求f (x )的单调区间；②函数g (x )＝f (x )－x 零点的个数为_______．（3）比较0.30.2,30.3，()350.3-，0.20.3,20.5，()570.3-的大小．变式2、(1)若直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个公共点，求实数k 的取值范围________．(2)比较()12432255533122,,,,2233--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小．考点三 指数函数的性质与应用例3已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．变式3 在例3的条件下，当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围考点四和指数函数相关的复合函数单调性例4 已知函数2431()3ax xf x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．变式4求下列函数的单调区间．(1)y＝23213x x-+⎛⎫⎪⎝⎭；(2)y＝22x－2·2x.2.5指数指数函数（作业）1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________．2．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________．5．已知实数a ，b 满足等式2 015a ＝2 016b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．6．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．9．设f (x )＝|3x －1|，c <b <a ，且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是________． ①3c >3b; ②3b >3a ； ③3c ＋3a >2; ④3c ＋3a <2.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________．11．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．14．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；（2)不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．15．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.2.5指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ； 当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质 y＝a xa >10<a <1图像定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[试一试]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为________．答案：72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)3．(2014·山东高考)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝________.[解析] A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |1≤y ≤4} 4．y ＝3|x |的单调递减区间是________．[解析]y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x <0，∴单调递减区间为(－∞，0)．[答案] (－∞，0)5．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．答案：[0，＋∞)6．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数 又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案：3对应学生用书P20考点一指数幂的化简与求值例一、求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12； 变式(1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5（2）84416x y （x<0,y<0)解：(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫ ⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a 16－b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a 16－b －3÷(a 13b 32－)＝－54a －12－·b 23－.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a －111326---·b115236-＋.[备课札记] [类题通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二指数函数的图像及应用例2(1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．(2)已知f (x )＝|2x －1|， ①求f (x )的单调区间；②试确定函数g (x )＝f (x )－x 2零点的个数．(3)比较0.30.2,30.3，(－0.3)35，0.20.3,20.5，(－0.3)57的大小．[解] (1)①由f (x )＝|2x －1|＝⎩⎨⎧ 2x －1，x ≥0，1－2x ，x ＜0.可作出函数的图象如图．因此函数f (x )在(－∞，0)上递减；函数f (x )在(0，＋∞)上递增．②将g (x )＝f (x )－x2的零点转化为函数f (x )与y＝x 2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象如图所示，有四个交点，故g (x )有四个零点．(2)①首先与0比较，找出负数为(－0.3)35，(－0.3)57.因为0.335>0.357，所以－0.335<－0.357，即(－0.3)35<(－0.3)57.②再与1相比较，找出大于1的数为30.3,20.5.因为30.3÷20.5＝3310÷2510＝27110÷32110＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2732110<1，所以30.3<20.5. ③再比较大于0小于1的数0.30.2,0.20.3.找出一个中间数0.30.3.因为y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以0.30.2>0.30.3， 又因为y ＝a x 的图象在y 轴右侧底大图象高，所以0.30.3>0.20.3. 由以上可知，0.30.2>0.20.3.由①，②，③得(－0.3)35<(－0.3)57<0.20.3<0.30.2<30.3<20.5.【规律方法】1．指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数函数图象数形结合求解．3．比较指数幂的大小，可以按如下步骤进行．(1)与0比较区分正负数．(2)与1比较区分比1大的数和比1小的数．(3)利用指数函数的单调性比较．(4)寻找中间数，利用单调性比较大小．(5)用作差法或作商法比较大小．【变式训练2】 (1)若直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个公共点，求实数k 的取值范围________．(2)比较(－2)25，⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25，⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345的大小． [解析] (1)令f (x )＝|3x －1|≥0，其图象如图所示：由图象知，当k <0时，图象无交点当0<k <1时，两图象有两个交点．当k ＝0或k ≥1时，图象有一个交点．所以k 的取值范围是(0,1)．[答案] (0,1)(2)①(－2)25＝225>1，②⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312∈(0,1)，③⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2325∈(0,1)，④⎝ ⎛⎭⎪⎫－133＝－127<0，⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2345∈(0,1)． 由于②③⑤的底数相同，由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，所以③>②>⑤. 所以(－2)25>⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25>⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345>⎝ ⎛⎭⎪⎫－133. 考点三 指数函数的性质及应用例3 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性．[解] (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数．所以f (x )为增函数．故当a >0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．在本例条件下，当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围.解：由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a ) ＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1. 所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]．[备课札记][类题通法]利用指数函数的性质解决问题的方法例4、已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.变式4求下列函数的单调区间．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－3x ＋2；(2)y ＝22x －2·2x . 【思路点拨】 因为给定函数(1)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 与u ＝x 2－3x ＋2复合而成，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是定义域上的单调减函数，所以只需求出函数u ＝x 2－3x ＋2的单调区间．(2)把2x 看作整体，函数变为y ＝(2x )2－2·2x .[解] (1)令u ＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14. 所以u ＝x 2－3x ＋2的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－3x ＋2的单调增区间是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. (2)令t ＝2x ，则函数t ＝2x 在区间(－∞，＋∞)上是增函数，且t >0， y ＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，当t ≤1时，y ＝t 2－2t 是减函数．t ≤1即2x ≤1，所以x ≤0.所以当x ∈(－∞，0]时，y ＝22x －2·2x 是减函数，当t >1时，即x >0时，y ＝t 2－2t 是增函数，即y ＝22x －2·2x 是增函数．所以函数y ＝22x －2·2x 的减区间为(－∞，0]，增区间为(0，＋∞)．对应学生用书P22[课堂练通考点]1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9，即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7.答案：72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________． 解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9.答案：[1,9]3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 解析：∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3，∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .答案：m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0. ∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32. 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0， ∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32. 答案：12或322.5指数与指数函数（作业）1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________． 答案 (2,2)解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)．2．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 由0.71.3<0.70＝1＝1.30<1.30.7，得0.71.3<1.30.7.又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0.3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 [2，＋∞)解析 由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (13，611] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，∴13<a ≤611. 5．已知实数a ，b 满足等式2 015a ＝2 016b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．答案 2解析 设2 015a ＝2 016b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得(1)若t >1，则有a >b >0；(2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0；(3)若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．6．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________. 答案 5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)． 综上所述a ＝5±12. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点．9．设f (x )＝|3x －1|，c <b <a ，且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是________． ①3c >3b; ②3b >3a ；③3c ＋3a >2; ④3c ＋3a <2.答案 ④解析 画出函数f (x )的图象，易知c <0，a >0.又f (c )>f (a )，∴|3c －1|>|3a －1|，∴1－3c >3a －1，∴3c ＋3a <2.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x (x >0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 当x >0时，F (x )＝1x ＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是增函数，F (x )≤F (0)＝1， 所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．11．函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x 的图象大致为________．答案 ①解析 y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有①正确．12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x <1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34.13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (12x －22x )＋b (13x －23x)．∵12x <22x ，a >0⇒a (12x －22x )<0， 13x <23x ，b >0⇒b (13x －23x )<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 14．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(13)x ， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]． B 组 专项能力提升15．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得{t |t >1或t <－13}．。
