指数与指数函数专题训练卷(含解析)

2.1.2指数函数的图象和性质1．下列函数是指数函数的是( )．A ．y ＝x 5B ．y ＝4x 3C ．43x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝13x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2 2．函数f (x )＝132a ⎛⎫- ⎪⎝⎭·a x 是指数函数，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )．A ．2B ．－2C ．-D ．3．函数||12x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是( )．4．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x ，y 都有( )．A ．f (xy )＝f (x )f (y )B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )5．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( )．A ．a ＞0B ． a ＞1C ．a ＜1D ．0＜a ＜16．函数y ( )．A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)7．若f (x )是指数函数，且f (2)－f (1)＝6，则f (x )＝__________.8．已知(a 2＋2a ＋5)3x ＞(a 2＋2a ＋5)1－x ，则x 的取值范围是__________．9．函数y =的定义域是__________．10．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a ，求a 的值．参考答案1. 答案： C2. 答案：D解析：∵函数f (x )是指数函数， ∴12a －3＝1，a ＝8.∴f (x )＝8x ，12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭3. 答案：B4. 答案：C解析：f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝f (x )·f (y )，故选C ．5. 答案：D 解析：由于f (x )＝a －x ＝1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而f (－2)＞f (－3)，说明f (x )是递增函数，从而11a >，0＜a ＜1，故选D ．6. 答案：C解析：∵4x ＞0，∴16－4x ＜16.∴函数y =[0,4)．7. 答案：3x解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则a 2－a ＝6，解得a ＝3，即f (x )＝3x .8. 答案：14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，解析：对于任意实数a ，a 2＋2a ＋5＝(a ＋1)2＋4≥4＞1，故y ＝(a 2＋2a ＋5)x 是递增函数，因此有3x ＞1－x ，即14x >. 9. 答案：(－∞，0] 解析：由21402x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得22－x ≥22，∴2－x ≥2，x ≤0.10. 解：当a ＞1时，y ＝a x 在[1,2]上是递增函数，∴y max ＝f (2)＝a 2，y min ＝f (1)＝a .∴f (2)－f (1)＝2a ，即a 2－a ＝2a .∴32a =. 当0＜a ＜1时， y ＝a x 在[1,2]上是递减函数， ∴y max ＝f (1)，y min ＝f (2)，即f (1)－f (2)＝2a ，即a －a 2＝2a . ∴12a =. 综上所述，12a =或32a =.。

指数和指数函数一、选择题1．（36a 9）4（63a 9）4等于（）（C）a 4（A）a 16（B）a b 8（D）a -b 22.若a>1,b<0,且a +a =22,则a -a 的值等于（）-b b （A）6（B）±2（C）-2（D）22x 3．函数f（x）=(a -1)在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）（A）a >1（B）a <2（C）a<2（D）1<a <4.下列函数式中，满足f(x+1)=(A)21f(x)的是( )211x -x(x+1) (B)x+ (C)2(D)224x 25.下列f(x)=(1+a )⋅a -x 是（）（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇且偶函数1a 1b116．已知a>b,ab ≠0下列不等式（1）a >b ,(2)2>2,(3)<,(4)a 3>b 3,(5)()<()33a b22a b 11中恒成立的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2x -17．函数y=x 是（）2+1（A）奇函数（B）偶函数（C）既奇又偶函数（D）非奇非偶函数8．函数y=1的值域是（）x 2-1（A）（-∞,1）（B）（-∞,0）⋃（0，+∞）（C）（-1，+∞）（D）（-∞，-1）⋃（0，+∞）+9．下列函数中，值域为R 的是（）（A）y=512-x（B）y=(1x 11-xx)（C）y=()-1（D）y=1-223e x -e -x10.函数y=的反函数是（）2（A）奇函数且在R 上是减函数（B）偶函数且在R 上是减函数++（C）奇函数且在R 上是增函数（D）偶函数且在R 上是增函数11．下列关系中正确的是（）++111111（A）（）3<（）3<（）3（B）（）3<（）3<（）3252225111111（C）（）3<（）3<（）3（D）（）3<（）3<（）352252221222122112212．若函数y=3+2的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（）（A）（2，5）（B）（1，3）（C）（5，2）（D）（3，1）x -113．函数f(x)=3+5,则f (x)的定义域是（）（A）（０，＋∞）（B）（５，＋∞）（C）（６，＋∞）（D）（－∞，＋∞）x 14.若方程a -x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）（0，1）（C）（0，+∞）（D）φ15．已知函数f(x)=a +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（）x x x x (A)f(x)=2+5 (B)f(x)=5+3 (C)f(x)=3+4 (D)f(x)=4+316.已知三个实数a,b=a ,c=a a x x-1a a ,其中0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是（）（A）a<c<b （B）a<b<c （C）b<a<c （D）c<a<bx 17．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a +b 的图像必定不经过（）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限二、填空题1．若a <ax 322,则a 的取值范围是。

2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册专题强化训练3指数运算与指数函数含解析专题强化训练（三)指数运算与指数函数(建议用时:40分钟)一、选择题1．若a〈错误!，则化简错误!的结果是（）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!C［∵a〈错误!，∴2a－1<0，于是，原式＝错误!＝错误!。

］2．若函数f(x)＝错误!·a x是指数函数,则f错误!的值为（) A．2B．－2 C．－2错误!D．2错误!D[∵函数f(x)是指数函数，∴错误!a－3＝1，∴a＝8.∴f（x）＝8x，f错误!＝8错误!＝错误!＝2错误!.]3．函数y＝a x＋1（a＞0且a≠1)的图象必经过点(）A．（0，1) B．（1,0）C．(2，1) D．（0,2）D[因为a0＝1,所以,当x＝0时，y＝1＋1＝2。

]4．已知函数f（x）＝3x－错误!错误!，则f（x)（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数,且在R上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数A [∵函数f (x ）的定义域为R ,f （－x )＝3－x －错误!错误!＝错误!错误!－3x ＝－f (x ），∴函数f （x )是奇函数．∵函数y ＝错误!错误!在R 上是减函数，∴函数y ＝－错误!错误!在R 上是增函数．又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x ）＝3x －错误!错误!在R 上是增函数．故选A 。

]5．函数f （x )＝(错误!)错误!的单调递减区间为( )A ．（－∞，＋∞)B ．［－3,3]C ．（－∞，3］D ．［3，＋∞)D ［令u ＝x 2－6x ＋5＝错误!错误!－4，则u 的单调递增区间为错误!，又y ＝错误!错误!是减函数，所以函数f （x ）＝（错误!）错误!的单调递减区间为［3，＋∞）]二、填空题6．方程3x －1＝19的解为________．－1 ［∵3x －1＝错误!＝3－2,∴x －1＝－2，∴x ＝－1.］7．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为_____________．y ＝13×（1＋1%）x ，x ∈N * ［经过1年后人口数为13×(1＋1％)＝13（1＋1%）；经过2年后人口数为13×（1＋1%)2;…经过x年后人口数为13×（1＋1%）x。

4.1 指数与指数函数 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设0a >且1a ≠，若函数()()43x x xf x a =-是R 上的奇函数，则=a （ ）．A B C D 2．已知1122,0,()22,0x x x x m n x f x x -+-⎧⋅+⋅≥=⎨-<⎩是定义在R 上的偶函数，则m n -=（ ）A ．－4B ．0C ．2D ．43．若函数()f x 对任意1x ，2R x ∈都满足()()()12123f x x f x f x +=，则()f x 可以是（ ）A ．()23f x x=B ．()13x f x +=C ．()129x f x -=D ．()33f x x=4．已知函数()()e 11x x f x x +=-，则()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）．A ．()e 1e 1x xf x +=-B ．()e 1e 1x xf x -=+C ．()f x =D ．()f x =6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(1)2f =，且对任意120x x ≤<，都有()()12121f x f x x x ->--，则不等式()2142x x f <--的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(0,1)7．若函数()2442()x x f x x a -=-的图象关于点()1,0对称，则=a （ ）A ．0B ．1-C ．1D ．28．已知a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式中不一定成立的是（ ）A ．22a b +>+B ．22a b>C ．22a b >D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题9．已知225552log (1)log (1)log ,log (1)log (1)log x x x y y y +=-++=-+，则（ ）A ．7x y +>B ．7x y +<C ．25x y<D ．25x y>10．对于实数,,a b c ，下列命题中正确的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a >，则12a a+≥C ．若a bc c>，则a b >D ．若a b >，1c >，则a bc c >11．已知函数()22x x f x -=-，若1120,0x x x <+>，则（ ）A ．()()0f x f x -->₁₂B ．()()0f x f x --<₁₂C ．()()0f x f x +>₁₂D ．()()0f x f x +<₁₂12．如图，已知直线l ：y x =与曲线C ：1e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设1P 为曲线C 上横坐标为1的点，过1P 作x 轴的平行线交直线l 于2Q ，过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于2P ；再过2P 作x 轴的平行线交直线l 于3Q ，过3Q 作x 轴的垂线交曲线C 于3P ……，设点123,,,,,n P P P P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的纵坐标分别为123,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则下列说法正确的是（ ）A ．11ea =B ．1ena n a -+=C ．20232024a a >D ．11n n n na a a a -+->-三、填空题13．已知函数()33x x f x -=+，若()()21f a f a =-，则=a．14．若实数a ，b 满足20a b -≥，则124ab+的最小值为 .15．已知()2xf x x =+，则不等式()233f x -<的解集为.16．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]2.12=，[]3.14-=-.已知函数123()12x x f x ++=+，则()1f ⎡⎤-=⎣⎦，函数[]()y f x =的值域为.四、解答题17．设R a ∈，函数2()21x x af x +=-.(1)求a 的值，使得()y f x =为奇函数；(2)若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()426(0)x xf x m m --=-+⋅+<.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若[)1,x ∃∈+∞，使得()0f x <成立，求实数m 的取值范围.19．已知函数()423x xg x m =-⋅-(1)若函数()g x 在区间[]0,1上的最小值为1-，求实数m 的值；(2)若函数()f x 在其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”，若函数()g x 是定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．20．已知函数()2m f x x x=-，且()742f =-.(1)求m 的值；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义证明.(3)求不等式()()2243x xf f +>+的解集.21．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“Ω函数”．(1)已知函数3(2)x f x =-，试判断()f x 是否为“Ω函数”，并说明理由；(2)若()423x x f x m =-⋅-为定义域在R 上的“Ω函数”，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据(1)(1)f f -=-求出a ，然后代入验证即可.【详解】由于函数()()43x x xf x a =-是R 上的奇函数，故(1)(1)f f -=-，则112a a -=-，即2112a =．因为0a >，所以a =当a =()()43xx x f x =-，则()()()()4343xxx x x xf x f x ---+-=--+()(()(34434343431xx x xxx x x x xx x x x ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-=+⎣⋅-⎦=⋅(222434343304342233xx xx x x x x x x x x x x x x x x x -+-⎡⎤⎛⎫--⎢⎥==⋅-⋅-⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⋅⎣⎦⋅符合函数()f x 是R 上的奇函数故选：D ．2．A【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(1)(1)f f =-，即232nm +=-，又1010(0)220f +-=-=，所以(0)0f m n =+=，联立2320n m m n ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，解得2m =-，2n =，经检验，2m =-，2n =满足要求，故4m n -=-.故选：A.3．C【分析】根据已知条件，结合选项中的函数解析式，令121x x ==，可排除A 、B 、D 三个选项，利用指数运算判断C 对于任何1x ，2R x ∈都满足()()()12123f x x f x f x +=.【详解】A ：若()23f x x =，则将121x x ==分别代入()12f x x +，()()123f x f x 中，得()223212f =⨯=，()()31233327f f =⨯⨯=，1227≠，故A 不符合题意；B ：若()13x f x +=，则将121x x ==分别代入()12f x x +，()()123f x f x 中，得()212327f +==，()()22311333243f f =⨯⨯=，27243≠，故B 不符合题意；C ：若()129x f x -=，则()1212129x x f x x +-+=()()12111222129993x x f x f x --=⨯⨯=，故C 符合题意；D ：若()33f x x =，则将121x x ==分别代入()12f x x +，()()123f x f x 中，得()323224f =⨯=，()()31133327f f =⨯⨯=，2427≠，故D 不符合题意．故选：C ．4．C【分析】根据(0)1f =-与()0(1)f x x >>，结合排除法即可求解.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为{}1x x ≠，由(0)1f =-，排除选项A 、D ；当1x >时，e 0,10,10x x x >+>->，所以()0f x >，故排除选项B.故选：C 5．D【分析】根据()00f =排除A ，根据定义域排除B ，根据奇偶性排除C ，进而可得答案.【详解】对于A ， ()e 1e 1x xf x +=-在0x =处无意义，故A 错误；对于B ：()e 1e 1x x f x -=+的定义域为R ，故B 错误；对于C ：()f x =的定义域为{}|1x x ≠±，且()()2f x f x -==，则()f x 为偶函数，故C 错误；对于D ，()f x =满足图中要求，故D 正确.故选：D.6．C【分析】首先由()()12121f x f x x x ->--得出1122()()f x x f x x +<+，设()()g x f x x =+，得出()g x 在[0,)+∞上单调递增，根据()g x 的奇偶性得出()g x 为R 上的增函数，由不等式()2142x x f <--得)()21(1x g g -<，求解即可．【详解】由对任意120x x ≤<，都有()()12121f x f x x x ->--，可得1122()()f x x f x x +<+，令()()g x f x x =+，则函数()()g x f x x =+在[0,)+∞上单调递增，又x ∈R ，()()g x g x -=-，所以()g x 为R 上的奇函数，所以()g x 在R 上是增函数．不等式()2142x x f <--，且(1)2f =，得3()(2121(1)1)x x f f <=-++-，所以)()21(1x g g -<，所以211x -<，即1x <，故选：C ．7．C【分析】特殊值法：由图象关于点()1,0对称可得()()02f f =-代入计算求解，然后检验即可.【详解】解：()f x 的图象关于点()1,0对称，()()020f f ∴+=，即2231204(2)a a -+=-，解得()2441,2(1)x x a f x x -=∴=-，经检验知()f x 的图象关于点()1,0对称，故选：C.8．C【分析】根据不等式的性质即可求解ABC ，根据指数函数的单调性即可求解D.【详解】对于A ，由于a b >，所以22a b +>+，A 正确，对于B ，由a b >，则22a b >，故B 正确，对于C ，1,3a b ==-，满足a b >，但22a b <，故C 不一定成立，对于D ，由于12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，所以a b >，则1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：C 9．BC【分析】本题通过设元，将对数转化为指数，进而化成同底的对数，然后又将对数相等转化为指数相等，再利用指数函数的单调性，得到方程有两个相等的根，再根据零点存在定理，得出方程根的取值范围，进而得到,x y 的取值范围【详解】由已知，得1,1x y >>．令5log m x =，则5m x =，所以()()22log 51log 51m mm +=-+，所以()2log 51m+=()()222log 51log 2log 512m m m m ⎡⎤-+=-⎣⎦，所以51102m m m +=-．等式两边同时除以10m ，得21015m m m ---+=-，即251010m m m ---++-=．同理，令2log n y =，有25n n --++1010n --=．所以,m n 是方程251010x x x ---++-=的两个根．设()25101x x xf x ---=++-，则易知()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减，所以m n =．又因为()()020,10.20f f =>=-<，所以(),0,1m n ∈．故52log log x y =，且15,12x y <<<<，所以7x y +<．又11122555155222m m m n n x y ---⨯⎛⎫===< ⎪⨯⎝⎭，所以25x y <．故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查了指数与对数的运算、函数的单调性，考查了转化与化归的思想，其关键在于指数与对数的相互转化，先将对数转化为指数，再换成同底对数，又利用对数相等转化为指数相等，从而可以利用指数函数的单调性求根，进而得到范围.10．BD【分析】根据不等式的性质即可求解AC ，根据基本不等式即可判断B ，由指数函数的单调性即可求解D.【详解】对于A 选项，若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；对于B 选项，由0a >，利用基本不等式可得12a a+≥，当且仅当1a =等号成立，故B 正确；对于C 选项，若0a bc c c><,，则a b <，故C 错误；对于D 选项，因为a b >，1c >，由指数函数的单调性可知a b c c >，故D 正确；故选：BD 11．AC【分析】根据奇偶函数的定义和函数的单调性可知()f x 是奇函数且为增函数，结合()()1212,x x f x f x >->-即可判断选项.【详解】因为()()22x xf x f x --=-=-且定义域为R ，所以()f x 是奇函数.因为函数2x y =和2x y -=-都是增函数，所以()f x 是增函数.因为1120,0x x x <+>，所以()()1212,x x f x f x >->-，即()()120f x f x -->.故A 正确，B 错误；因为()()22f x f x =--，所以()()120f x f x +>，故C 正确，D 错误.故选：AC 12．ABD【分析】如图，将11P x =代入1()ex y =可得11e a =，即可判断A ；由1,nn nnP Q P Q y y x x +==推导可得11()en n a a +=，即可判断B ；由选项B 的分析，结合图形可得221n n a a ->、11n n n na a a a -+->-即可判断CD.【详解】如图，A ：11P x =，点1P 在函数1(ex y =图象上，所以11e P y =，即11e a =，故A 正确；B ：又21Q P y y =，所以21eQ y =，因为点2Q 在直线y x =上，所以21eQ x =，而22P Q x x =，所以21e P x =，又点2P 在函数1()ex y =图象上，所以21e 1()e P y =，即121()e a a =；所以321e 1()e Q P y y ==，得331e 1()e Q Q x y ==，所以331e 1()e P Q x x ==，得1e31()e 1()eP y =，即231(e a a =，以此类推，341(e aa =， ，11(en n a a +=，故B 正确；C ：由选项B 的分析知，11()en n aa +=，且2143,a a a a >>，以此类推， ，221n n a a ->，所以20242023a a >，故C 错误；D ：由图可知，2132431n n a a a a a a a a -->->->>- ，所以11n n n n a a a a -+->-，故D 正确.故选：ABD 13．1-或13【分析】由奇偶性定义可判断()f x 是偶函数，且结合()f x 在[)0,∞+上单调递增，即可求解.【详解】由题可知x ∈R ，()()33x x f x f x --=+=，所以()f x 是偶函数．由于函数y =[)0,∞+上单调递增，而0,=31x x t >> 且=3x t 单调递增，1y t t =+在[)1,t ∈+∞上单调递增，故33x x y -=+在[)0,∞+上单调递增，进而可得()f x 在[)0,∞+上单调递增，又()()21f a f a =-，所以21a a =-或21a a =-，解得13a =或1-．故答案为：1-或1314．2【分析】由已知20a >，104b>，20a b -≥，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为20a >，104b>，20a b -≥，所以21122242a a b b +=+≥=≥=，当且仅当2122ab =，即0a b ==时等号成立，所以124ab+的最小值为2.故答案为：2.15．(1,2)【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得.【详解】函数2,x y y x ==都是R 上的增函数，则函数()2x f x x =+是R 上的增函数，不等式()()23323(1)231f x f x f x -⇔-⇔-<，则1231x -<-<，解得12x <<，所以不等式()233f x -<的解集为(1,2).故答案为：(1,2)16． 1 {}0,1,2【分析】利用分离参数法可得115()1212x f x +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，根据题意直接代入求解即可得()1f ⎡⎤-⎣⎦；根据指数函数性质可得()f x 的值域，进而可得[]()y f x =的值域.【详解】因为112315()112212x x x f x +++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，所以()7114f ⎡⎤⎡⎤-==⎣⎦⎢⎥⎣⎦；又因为120x +>，则1121x ++>，可得110112x +<<+，所以()1,32f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()1,12f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x ⎡⎤=⎣⎦；若()[)1,2f x ∈，()1f x ⎡⎤=⎣⎦；若()[)2,3f x ∈，()2f x ⎡⎤=⎣⎦；综上所述：函数[]()y f x =的值域为{}0,1,2.故答案为：1；{}0,1,2.17．(1)1a =(2)(0,2)【分析】（1）由奇函数的性质可得(1)(1)f f -=-，代入解方程即可得出答案；（2）由(2)f a =，可得2a =，则22221x x +>-，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.【详解】（1）由()f x 为奇函数，可知(1)(1)f f -=-，即(12)(2)a a -+=-+，解得1a =，当1a =时，212112(),()()212112x x xx x x f x f x f x --+++=-===----对一切非零实数x 恒成立，故1a =时，()y f x =为奇函数.（2）由(2)f a =，可得43a a +=，解得2a =，所以2224()201242121x x x x x f x a +->⇔>⇔<⇔<<--解得：02x <<，所以满足()f x a >的实数x 的取值范围是(0,2).18．(1)()426,00,0426,0x x x x m x f x x m x --⎧-⋅->⎪==⎨⎪-+⋅+<⎩(2)()1,0-【分析】（1）由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x >，则0x -<，代入当0x <时，()426(0)x x f x m m --=-+⋅+<，则得到()f x 的解析式；（2）用换元法将()426x x f x m =-⋅-化为()26,2g t t mt t =--≥，再由[)“1,x ∞∃∈+，使得()0f x <成立”转化为[)“2,t ∞∃∈+，使得()0g t <成立”，通过分离参数，得到6m t t >-，由函数6y t t =-的单调性，从而得到实数m 的取值范围.【详解】（1）设0x >，则0x -<，因为()f x 是奇函数，所以()()()426426x x x x f x f x m m =--=--+⋅+=-⋅-.因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =.综上，()426,00,0426,0x x x x m x f x x m x --⎧-⋅->⎪==⎨⎪-+⋅+<⎩.（2）当0x >时，()426x x f x m =-⋅-.设2x t =，易知当1x ≥时，22x t =≥，令()26,2g t t mt t =--≥.[)“1,x ∞∃∈+，使得()0f x <成立”即为[)“2,t ∞∃∈+，使得()0g t <成立”，所以[)2,t ∞∃∈+，使得6m t t >-，又6y t t =-在[)2,+∞上单调递增，故1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,0-.19．(1)1m =-(2){|2}m m ≥-【分析】（1）令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上的最值问题，讨论对称轴和区间的位置关系列方程求解；（2）问题即为x ∃∈R 满足423423x x x x m m ---⋅-=-+⋅+，令2x t =，将问题转化为函数值域问题，通过参变分离求函数值域即可.【详解】（1）令2x t =，由01x ≤≤可得，12t ≤≤，原函数可化为()23h t t mt =--，为开口向上，对称轴2m t =，当22m ≥，即4m ≥时，()h t 在[]1,2上单调递减，则2t =时，函数取得最小值121m -=-，即1(m =舍)，当12m ≤，即2m ≤时，()h t 在[]1,2上单调递增，则1t =时，函数取得最小值21m --=-，即1m =-，当122m <<，即24m <<时，()h t 在[]1,2上先减后增，则2m t =时，函数取得最小值2314m --=-，此时m 不存在，故1m =-；（2）由题意得，x ∃∈R 满足423423x x x x m m ---⋅-=-+⋅+，即()22446x x x x m --+=+-，令()20,x t ∞=∈+，则存在()0,t ∞∈+满足2221116()8m t t t t t t ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭，令12p t t =+≥=，当且仅当1t =时等号成立，则[)2,p ∞∃∈+满足28mp p =-，即8m p p=-，因为函数8y p p=-在[)2,+∞上单调递增，当2p =时，min 2y =-，所以2m ≥-，故m 的范围为{|2}m m ≥-．20．(1)1m =(2)()f x 在()0,∞+上的单调递减，证明见解析(3)()()2,0log 3,-∞+∞ 【分析】（1）由()742f =-可求得m 的值；（2）任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，然后计算变形()()12f x f x -，再判断符号，可得结论；（3）由()f x 的单调性，将问题转化为2243x x +<+，再令2(0)x t t =>，可得243t t <+，求出t 的范围，从而可求得x 的范围.【详解】（1）由()174422m f =-=-，得44m =，则1m =.（2）()f x 在()0,∞+上的单调递减．证明如下：任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121222f x f x x x x x -=--+()()2121122x x x x x x -=+-()211221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，211220,10x x x x ∴->+>，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x \在()0,∞+上单调递减.（3）由（2）可得，()f x 在()0,∞+上单调递减，而220,430x x +>+>，则由()()2243x x f f +>+可得2243x x +<+，令2(0)x t t =>，可得243t t <+.解得：01t <<或3t >.所以0x <或2log 3x >.不等式的解集为()()2,0log 3,-∞+∞ 21．(1)3(2)x f x =-是“Ω函数”，理由见解析(2)[2,)-+∞【分析】（1）根据“Ω函数”的定义，对于函数3(2)x f x =-求解方程()()0f x f x +-=即得；（2）由()423x x f x m =-⋅-为定义域在R 上的“Ω函数”可得4234230x x x x m m ---⋅-+-⋅-=，利用22x x t -=+换元，将其化成280t mt --=在[2,)+∞上有解，利用参变分离法即可求得m 的取值范围.【详解】（1）当3(2)x f x =-时，()()0f x f x +-=，即2260x x -+-=，令20x t =>，则得2610t t -+=，解得30t =±>．从而2260x x -+-=有解，函数3(2)x f x =-是“Ω函数”．（2）()423x x f x m =-⋅-为定义域在R 上的“Ω函数”，由()()0f x f x +-=，可得4234230x x x x m m ---⋅-+-⋅-=，化简得()442260x x x x m --+-⋅+-=（*）．令22x x t -=+，又222-+≥=x x ，当且仅当22-=x x ，即0x =时取等号，所以2t ≥，又2442x x t -+=-，从而方程（*）可化为：280t mt --=在[2,)+∞上有解，即8m t t=-在[2,)+∞上有解，令8()g t t t=-，[)2,t ∈+∞，则()g t 为[2,)+∞上的增函数，所以()(2)2g t g ≥=-，从而2m ≥-，即[2,)m ∈-+∞.。

专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．25.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞）B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜B ．a cb ＜＜ C ．b ac ＜＜D ．b c a ＜＜8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（ ） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef xe e，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值；(2)求()f x 的值域.19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x x f x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性化简集合N ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】函数2x y =是增函数，则不等式11242x +<<，即112222x -+<< ∴112,x -<+<即21x -<<，所以{}{}|21,Z 1,0N x x x =-<<∈=-，又{}1,1M =-， ∴{}1.M N ⋂=- 故选：B.2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误； 故选：C ．3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案. 【详解】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误； 又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确； 故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】先求出(1)f -的值，再求((1))f f -的值，然后列方程可求得答案【详解】解：由题意得(1)(1)22f ---==，所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==，解得a =14.故选：A5.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞） B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）【答案】D 【解析】由题意知，存在正数x ，使12xa x >-，所以，而函数12xy x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜【答案】C 【解析】 【详解】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3xf x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（ ） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 【答案】BC 【解析】对A ，D 可取反例；对B ，C 可利用函数的单调性判断； 【详解】对A ，取1,2a b ==-，则||||a b >不成立，故A 错误； 对B ，11a b a b >⇒->-，∴1133a b -->，故B 成立；对C ，33a b a b >⇒>，故C 成立； 对D ，取1,1a b ==-，11a b<不成立； 故选：BC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】依题意可得a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef x e e，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】求解0x x e e --≠，可判断A ；利用函数奇偶性的定义可判断B ；比较(1),(1)f f -可判断C ；分离常数得到2211x f x e ，分析单调性及函数值域可判断D【详解】选项A ，0x x e e --≠，解得0x ≠，故()f x 的定义域为{|0}x x ≠，选项A 错误；选项B ，函数定义域关于原点对称，且()()x x x x e ef x f x e e --+-==--，故()f x 是奇函数，选项B 正确；选项C ，()121212121110,(1)011e e e e e ef f e e e e e e ----++++-==<==>----，故(1)(1)f f -<，即()f x 在定义域上不是减函数，选项C 不正确；选项D ，()22212111x x x x x x x e e e f x e e e e --++===+---，令20x t e =>，211y t =+-，由于2x t e =在R 上单调递增，211y t =+-在(0,1),(1,)+∞分别单调递减，故函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞分别单调递减，且x →-∞时，()1f x →-，0x -→时，()f x →-∞，0x +→时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，故函数()f x 的值域为(,1)(1,-∞-⋃+∞），无最小值，无最大值，选项D 正确故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 【答案】ABD 【解析】 【分析】分段函数奇偶性判断需要分段判断，分段函数的单调性需要列两段分别单调，衔接处单调即可. 【详解】当0x <时，0x ->，()2,()2(2)()x x x f x a f x a a f x ---=-+-=-=--+=-；当0x >时，0x -<，()2,()2()x x f x a f x a f x =--=-+=-．则函数()f x 为奇函数，故A 正确；若()f x 在定义域上是增函数，则0022a a --+≤-，即1a ≤，故B 正确；当0x <时，()2xf x a -=-+在区间(,0)-∞上单调递增，此时值域为(,1)a -∞-；当0x >时，()2x f x a =-在区间()0,∞+上单调递增，此时值域为(1,)a -+∞．要使得()f x 的值域为R ，则11a a ->-，即1a >，故C 错误；当1a ≤时，由于0022a a --+≤-，则函数()f x 在定义域上是增函数，由()(34)0f x f x ++>，得()(34)f x f x >--，则034034x x x x ≠⎧⎪--≠⎨⎪>--⎩解得(1,0)(0,)x ∈-+∞，故D 正确．故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.【答案】[)()0,11,+∞【解析】【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解. 【详解】由题知，021********x xx x x x x ⎧⎧≥-≥≥⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎪⎩⎩⎩且，所以()f x 的定义域为[)()0,11,+∞，故答案为：[)()0,11,+∞.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】 【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x = 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________. 【答案】32-【解析】 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解； 若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】[1,2]【解析】 【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2 四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】[4,8). 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数(1)()42(1)2xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则满足114024122a a a a⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<， 所以实数a 的取值范围[4,8).18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值； (2)求()f x 的值域. 【答案】(1)-2 (2)11-（，） 【解析】【分析】（1）因为()f x 为奇函数，且在0x =处有意义，所以()00f =，便可求出m 的值；（2）在（1）的前提下，对于复合函数分解成若干基本初等函数，然后逐个求其值域，从而求出()f x 的值域. (1)因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即2022m +=，解得2m =-. 经检验：当2m =-时，()f x 为奇函数； (2)由（1）知()2121xf x -=-+，因为211x -+∈+∞（，）， 所以20221x -∈+（，），于是()11f x ∈-（，），因此()f x 的值域为11-（，）. 19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；【答案】(1)()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()1,1- 【解析】 【分析】（1）将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，解之即可得出答案；（2）根据指数函数的单调性即可得出答案. (1)解：将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，得：219a =，解得13a =，所以()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)因为1013<<，所以函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，由()()1f x f >，得1x <，解得11x -<<， 所以()()1f x f >的解为()1,1-.20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 【答案】(1)2k =-，3b = (2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. (1)解：因为()()33x f x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数， 所以31k +=，30b -=， 所以2k =-，3b =； (2)解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x ->-，解得2x <-；②当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-； 当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x xf x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断证明即可；（2）根据指数函数单调性以及函数单调性的性质判断()y f x =的单调性，再由单调性去掉f 转化为解一元二次不等式即可求解. (1)()e e x x f x -=-是R 上的奇函数，证明如下：()e e x x f x -=-的定义域为R 关于原点对称，()()()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()e e x xf x -=-是R 上的奇函数.(2)因为e x y =为R 上的增函数，1ee xxy -==为R 上的减函数， 所以()e e x xf x -=-为R 上的增函数，若()()22f x f x -≤，则22x x -≤即220x x --≤，可得()()210x x -+≤，解得：12x -≤≤，所以不等式()()22f x f x -≤的解集为：[]1,2-.22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)[]4,4- 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-． 当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．。

2 62 指数和指数函数一、选择题 1．（3 6 a 9）4（ 6 3 a 9）4 等于（ ）（A ）a 16（B ）a 8（C ）a 4（D ）a 22. 若 a>1,b<0,且 a b+a -b=2,则 a b -a -b 的值等于（ ）（A ） （B ） ± 2（C ）-2（D ）23. 函数 f （x ）=(a 2-1)x在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是（）（A ） a > 1 （B ） a < 2 （C ）a< （D ）1< a < 14. 下列函数式中，满足 f(x+1)= f(x)的是() 21 1 (A)(x+1)(B)x+(C)2x(D)2-x245.下列 f(x)=(1+a x )2⋅ a-x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既奇且偶函数1 1 11 1 16．已知 a>b,ab ≠ 0 下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3) < ,(4)a 3 >b 3 ,(5)( )a <( )ba b 3 3中恒成立的有（ ） （A ）1 个（B ）2 个 （C ）3 个 （D ）4 个2 x - 17. 函数 y=是（ ）2 x+ 1 （A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既奇又偶函数（D ）非奇非偶函数18. 函数 y=的值域是（ ）2 x- 1（A ）（- ∞,1）（B ）（- ∞, 0） ⋃ （0，+ ∞ ）（C ）（-1，+ ∞ ） （D ）（- ∞ ，-1） ⋃ （0，+ ∞ ）9. 下列函数中，值域为 R +的是（ ）1（A ）y=5 2-xe x - e - x1（B ）y=( )1-x（C ）y= 3（D ）y= 10. 函数 y= 的反函数是（）2（A ）奇函数且在 R +上是减函数（B ）偶函数且在 R +上是减函数（C ）奇函数且在 R +上是增函数 （D ）偶函数且在 R +上是增函数11．下列关系中正确的是（ ）1 2 1 2 1 11 1 12 1 2（A ）（ ） 3 <（ ） 3 <（ ） 3（B ）（ ） 3 <（ ） 3 <（ ） 32 5 21 2 1 1 1 22 2 51 2 1 2 1 1（C ）（ ） 3 <（ ） 3 <（ ）3 （D ）（ ） 3 <（ ） 3 <（ ） 3 5 2 25 2 22 ( 1 ) x - 1 21 -2 xx 12. 若函数 y=3+2x-1的反函数的图像经过 P 点，则 P 点坐标是（）（A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）13. 函数 f(x)=3x +5,则 f -1(x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋ ∞ ） （B ）（５，＋ ∞ ） （C ）（６，＋ ∞ ） （D ）（－ ∞ ，＋ ∞ ）14. 若方程 a x-x-a=0 有两个根，则 a 的取值范围是（ ） （A ）（1，+ ∞ ） （B ）（0，1） （C ）（0，+ ∞ ） （D ）15. 已知函数 f(x)=a x+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数 f(x)的表达式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x+4(D)f(x)=4x+316. 已知三个实数 a,b=a a,c=a aa,其中 0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是（）（A ）a<c<b （B ）a<b<c （C ）b<a<c （D ）c<a<b17．已知 0<a<1,b<-1,则函数 y=a x+b 的图像必定不经过（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题31.若 a2 <a 2 ,则 a 的取值范围是 。

指数与指数函数练习题（1）1. 化简的结果是（）A.−2B.−2C.−2D.−22. 下列各函数中，值域为(0, +∞)的是（）A.y=2−x2 B.y=√1−2x C.y=x2+x+1 D.y=31x+13. 函数y=1sin x−x的一段大致图象是（）A. B.C. D.4. 函数f(x)=(12)x的值域是（）A.(0, +∞)B.(−∞, +∞)C.(0, 1)D.(1, +∞)5. 若函数f(x)＝a|2x−4|(a>0, a≠1)，满足f(1)=19，则f(x)的单调递减区间是（）A.(−∞, 2] B.[2, +∞) C.[−2, +∞) D.(−∞, −2]6. 如图是二次函数f(x)=x 2−bx +a 的部分图象，则函数g(x)=ln x +f′(x)的零点所在的区间是( )A.(14，12) B.(1, 2)C.(12，1)D.(2, 3)7. 奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，且f(2)=0，则不等式f(x)>0的解集是( ) A.(−∞, −2)∪(0, 2) B.(−∞, 0)∪(2, +∞) C.(−2, 0)∪(0, 2)D.(−2, 0)∪(2, +∞)8. 若2x ＝7，2y ＝6，则4x−y 等于（ ）A. B. C. D.9. 已知a >0，则2√a⋅√a 23=( )A.a 65B.a 56C.a −56D.a 5310. 下列运算结果中，一定正确的是（ ） A.a 3⋅a 4＝a 7 B.(−a 2)3＝a 6C.√a 88=aD.√(−π)55=−π11. 若函数(a >0，且a ≠1)是指数函数，则下列说法正确的是（ ）A.a ＝8B.f(0)＝−3C.D.a ＝4E.f(2)＝1612. 若a ＝log 20.5，b ＝20.5，c ＝0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是（ ）A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.c <a <b13. 若函数f(x)=(a −1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．14. 函数f(x)=a x +3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．15. ＝________；＝________．16. 函数y =−a x−2+1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________；17. 已知函数f(x)=a⋅2x −12x +1的图象经过点(1,13)．（1）求a 的值；（2）求函数f(x)的定义域和值域．18. 求值：（1）；（2）已知2a ＝5b ＝m ，且，求实数m 的值．19. （1）计算：0.064−13−(−57)0+[(−2)3]−43+16−0.75； 19.（2）化简：•(a 23−1−12−12⋅b13√a⋅b 5620. 请根据给出的函数图象指出函数的极值点和最大（小）值点．21. 已知(a>0，且a≠1)．（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性．（2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？22. 已知函数y＝a（）|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交．（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性．参考答案与试题解析 指数与指数函数练习题（1）一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ） 1.【答案】 B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2.【答案】 A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：对于A ，y =2−x 2=(√22)x的值域为(0, +∞)；对于B ，因为1−2x ≥0， 所以2x ≤1，x ≤0，y =√1−2x 的定义域是(−∞,0]， 所以0<2x ≤1， 所以0≤1−2x <1，所以y =√1−2x 的值域是[0,1)．对于C ，y =x 2+x +1=(x +12)2+34的值域是[34,+∞)； 对于D ， 因为1x+1∈(−∞,0)∪(0,+∞)，所以y =31x+1 的值域是(0,1)∪(1,+∞)． 故选A ． 3.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断． 【解答】f(−x)=−1sin x−x=−f(x)，∴y＝f(x)为奇函数，∴图象关于原点对称，∴当x＝π时，y=−1π<0，4.【答案】A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】根据指数函数的图象与性质，即可得出f(x)的值域是什么．【解答】解：∵函数f(x)=(12)x是指数函数，定义域是R，∴f(x)的值域是(0, +∞)．故选：A．5.【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】由f(1)=19，解出a，求出g(x)＝|2x−4|的单调增区间，利用复合函数的单调性，求出f(x)的单调递减区间．【解答】由f(1)=19，得a2=19，于是a=13，因此f(x)＝(13)|2x−4|．因为g(x)＝|2x−4|在[2, +∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2, +∞)．故选：B．6.【答案】C【考点】二次函数的性质函数零点的判定定理【解析】由二次函数图象的对称轴确定b的范围，据g(x)的表达式计算g(12)和g(1)的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：∵f(x)=x2−bx+a，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴，12<x =b2<1 ∴ 1<b <2∴ f ’(x)=2x −b∴ g(x)=ln x +f′(x)=ln x +2x −b 在(0, +∞)上单调递增且连续 ∵ g(12)=ln 12+1−b <0， g(1)=ln 1+2−b =2−b >0，∴ 函数g(x)=ln x +f′(x)的零点所在的区间是(12,1).故选C . 7.【答案】 A【考点】其他不等式的解法 函数单调性的性质【解析】根据奇函数的性质求出f(−2)=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象即可求出不等式的解集． 【解答】解：∵ f(x)为奇函数，且f(2)=0，在(−∞, 0)是减函数， ∴ f(−2)=−f(2)=0，f(x)在(0, +∞)内是减函数， ∴ 在(−∞,0)上，f(x)>0的解为(−∞,2), 在(0,+∞)上，f(x)>0的解为(0,2).∴ 不等式f(x)>0的解集为(−∞, −2)∪(0, 2). 故选A ． 8. 【答案】 D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】2√a⋅√a23=a 2a 12⋅a 23=a 2a 76=a 56，二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 10.【答案】 A,D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】根据有理数指数幂的运算法则计算． 【解答】A 选项a 3⋅a 4＝a 3+4＝a 7，正确；B 选项(−a 2)3＝−a 6，错误；C 选项当a ≥0时，√a 88=a ，当a <0时，√a 88=−a ，错误； D 选项√(−π)55=−π，正确． 11.【答案】 A,C【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 12.【答案】a ＝log 20.5＜0，b ＝20.5＞1，0＜c ＝0.52＜1，则a ＜c ＜b ，则选：C 【考点】指数函数的图象与性质 【解析】根据对数函数以及指数函数的性质求出a ，b ，c 的大小即可． 【解答】a ＝log 20.5<0，b ＝20.5>1，0<c ＝0.52<1， 则a <c <b ， 则选：C ．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【答案】(1, 2)∪(2, +∞) 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【解析】根据指数函数的定义，底数大于0且不等于1，求出实数a 的取值范围． 【解答】解：∵ 函数f(x)=(a −1)x 是指数函数， ∴ {a −1>0a −1≠1，解得a>1且a≠2；∴实数a的取值范围是(1, 2)∪(2, +∞)．故答案为：(1, 2)∪(2, +∞)．14.【答案】(0, 4)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=a x+3的图象可以看作把f(x)=a x的图象向上平移3个单位而得到，且f(x)=a x一定过点(0, 1)，则f(x)=a x+3应过点(0, 4).故答案为：(0, 4).15.【答案】6,【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】(2, 0)【考点】指数函数的图象与性质【解析】结合指数函数过(0,1)点，结合题目条件，即可得出答案．【解答】令x−2=0，解得x=2当x=2时，y=−a2−2+1=0∴函数y=−a x−2+1(a>0且a≠1）图象过的定点为(2,0)答案：（20）四、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】 此题暂无解答 18. 【答案】原式＝＝＝99；因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以，所以．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】（1）直接利用有理数指数幂及根式的运算性质求解即可；（2）先利用指数式和对数式的互化，表示出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质求解即可． 【解答】原式＝＝＝99；因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以，所以．19. 【答案】原式＝0.4−1−1+2−4+2−3=52−1+116+18=2716． 原式=a−13b 12⋅a −12⋅b 13a 16⋅b 56=a−13−12−16⋅b12+13−56=a −1=1a ．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）利用指数幂的运算性质即可得出．【解答】原式＝0.4−1−1+2−4+2−3=52−1+116+18=2716．原式=a −13b 12⋅a −12⋅b 13a 16⋅b 56=a −13−12−16⋅b 12+13−56=a −1=1a ． 20.【答案】A ．函数的极大值点为x 2，极小值点为x 1，x 3，最大值点为a ，x 2，最小值点为x 3，B ．函数的极大值点为x 1，x 3极小值点为x 2，最大值点为x 1，最小值点为b ，C ．函数的极大值点为x 1，极小值点为x 2，最大值点为b ，最小值点为a【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数极值，最值与图象的关系进行判断即可．【解答】A ．函数的极大值点为x 2，极小值点为x 1，x 3，最大值点为a ，x 2，最小值点为x 3，B ．函数的极大值点为x 1，x 3极小值点为x 2，最大值点为x 1，最小值点为b ，C ．函数的极大值点为x 1，极小值点为x 2，最大值点为b ，最小值点为a 21.【答案】 当0<a <1时，>1，则f(x)＝a x 在R 上单调递减，g(x)＝．当a >2时，0<，则f(x)＝a x 在R 上单调递增，g(x)＝．因为f(x)<g(x)，即a x <，即a x <a −x ，当0<a <7时，不等式即为x >−x ；当a >1时，不等式即为x <−x ，综上，当0<a <3时，+∞)，当a >1时，不等式的解集为(−∞．【考点】函数单调性的性质与判断利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】根据题意，函数y＝a（）|x|+b的图象过原点，则有7＝a+b，则a＝−b，又由f(x)的图象无限接近直线y＝−2但又不与该直线相交，则b＝2，又由a+b＝6，则a＝−2，则f(x)＝−2×（）|x|+2，其图象如图：根据题意，f(x)＝−7×（）|x|+3，其定义域为R，有f(−x)＝−2×（）|x|+2＝f(x)，则f(x)是偶函数，又由f(x)＝，f(x)在(0, +∞)上为增函数，0)上为减函数．【考点】函数的图象与图象的变换函数奇偶性的性质与判断分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

指数函数试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x)=2^{x}的值域是（）A. (0, +∞)B. (-∞, +∞)C. [0, +∞)D. [1, +∞)答案：A解析：指数函数f(x)=2^{x}，底数2大于1，因此函数是单调递增的，当x趋向负无穷时，函数值趋向0，但永远不会等于0，所以值域是(0, +∞)。

2. 函数y=a^{x}（a>0且a≠1）的图像恒过定点（）A. (0,1)B. (1,1)C. (0,0)D. (1,0)答案：B解析：指数函数y=a^{x}（a>0且a≠1）的图像恒过定点(1,1)，因为当x=1时，y=a^1=a，所以点(1,a)在图像上，而a>0且a≠1，所以a=1，因此定点为(1,1)。

3. 函数f(x)=a^{x}（a>0且a≠1）在区间（-∞，+∞）上是（）A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：A解析：指数函数f(x)=a^{x}（a>0且a≠1）在区间（-∞，+∞）上是增函数，因为底数a大于1，所以函数随着x的增加而增加。

二、填空题4. 函数f(x)=3^{x}的反函数是______。

答案：f^(-1)(x)=log3(x)解析：指数函数f(x)=3^{x}的反函数是f^(-1)(x)=log3(x)，因为3^{x}和log3(x)互为反函数。

5. 函数y=2^{x}的图象向左平移1个单位后，对应的函数解析式为______。

答案：y=2^{x+1}解析：函数y=2^{x}的图象向左平移1个单位，相当于将x替换为x+1，因此对应的函数解析式为y=2^{x+1}。

三、解答题6. 已知函数f(x)=2^{x}，求f(-1)的值。

答案：f(-1)=1/2解析：将x=-1代入函数f(x)=2^{x}中，得到f(-1)=2^{-1}=1/2。

7. 已知函数f(x)=a^{x}（a>0且a≠1），求证：当a>1时，f(x)是增函数。

教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。

指数与指数函数一、选择题1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )解析 y ＝a |x |＝⎩⎨⎧a x x ≥0，a －xx ＜0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图像相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确． 答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x >02xx ≤0，则f (9)＋f (0)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1， ∴f (9)＋f (0)＝3. 答案 D3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a－1)2x－a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x 的值域为 ( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，2－x ，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1. 答案 C5．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值为( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2解析 (a b ＋a －b )2＝8⇒a 2b ＋a －2b ＝6， ∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4. 又a b >a －b (a >1，b >0)，∴a b －a －b ＝2. 答案 D6．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的( )．解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)． 答案 A 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，148．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________． 解析 函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ，∵函数的图象不经过第一象限， ∴(12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 答案 (－∞，－2]9．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点； 若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞)10．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析 x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞三、解答题11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有 f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得 ⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x .(2)要使(12)x ＋(13)x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝(12)x ＋(13)x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．∴m 的取值范围(－∞，56]13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12， ∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．季节中的花开花落，都有自己的命运与节奏，岁月如歌的谱曲与纳词，一定是你。

2.5 指数与指数函数1．根式的性质 ：(1)(n a )n ＝___; (2)当n 为奇数时n a n ＝___；当n 为偶数时na n ＝____ 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：m na ＝_____(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：m na-＝1m na＝______(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于_____,0的负分数指数幂______． (2)有理数指数幂的性质：①a r a s ＝_____ ②(a r )s ＝_____ ③(ab )r ＝____(a >0，b >0，r ，s ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质y＝a xa >1 0<a <1图像定义域 R 值域性质过定点_________当x >0时，____；x <0时，____ 当x >0时，____；x <0时,_____ 在(－∞，＋∞)上是______在(－∞，＋∞)上是______1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. [试一试] 1．化简()162-2⎡⎤⎣⎦－(－1)0的结果为________．2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．3.设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝________.4.y ＝3|x |的单调递减区间是________．5.函数y ＝11()2x -的定义域为________．6.若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 考点一 指数幂的化简与求值 例1、求值与化简：(1)()1020.523122.20.0154--⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2）112122133325.346a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；变式1、(1)12112133265a b a bab ---⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）84416x y （x<0,y<0)考点二 指数函数的图像及应用例2(1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．(2)已知f (x )＝|2x －1|，①求f (x )的单调区间；②函数g (x )＝f (x )－x 零点的个数为_______．（3）比较0.30.2,30.3，()350.3-，0.20.3,20.5，()570.3-的大小．变式2、(1)若直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个公共点，求实数k 的取值范围________．(2)比较()12432255533122,,,,2233--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小．考点三 指数函数的性质与应用例3已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．变式3 在例3的条件下，当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围考点四和指数函数相关的复合函数单调性例4 已知函数2431()3ax xf x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．变式4求下列函数的单调区间．(1)y＝23213x x-+⎛⎫⎪⎝⎭；(2)y＝22x－2·2x.2.5指数指数函数（作业）1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________．2．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________．5．已知实数a ，b 满足等式2 015a ＝2 016b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．6．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．9．设f (x )＝|3x －1|，c <b <a ，且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是________． ①3c >3b; ②3b >3a ； ③3c ＋3a >2; ④3c ＋3a <2.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________．11．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．14．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；（2)不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．15．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.2.5指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ； 当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质 y＝a xa >10<a <1图像定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[试一试]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为________．答案：72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)3．(2014·山东高考)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝________.[解析] A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |1≤y ≤4} 4．y ＝3|x |的单调递减区间是________．[解析]y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x <0，∴单调递减区间为(－∞，0)．[答案] (－∞，0)5．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．答案：[0，＋∞)6．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数 又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案：3对应学生用书P20考点一指数幂的化简与求值例一、求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12； 变式(1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5（2）84416x y （x<0,y<0)解：(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫ ⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a 16－b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a 16－b －3÷(a 13b 32－)＝－54a －12－·b 23－.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a －111326---·b115236-＋.[备课札记] [类题通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二指数函数的图像及应用例2(1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．(2)已知f (x )＝|2x －1|， ①求f (x )的单调区间；②试确定函数g (x )＝f (x )－x 2零点的个数．(3)比较0.30.2,30.3，(－0.3)35，0.20.3,20.5，(－0.3)57的大小．[解] (1)①由f (x )＝|2x －1|＝⎩⎨⎧ 2x －1，x ≥0，1－2x ，x ＜0.可作出函数的图象如图．因此函数f (x )在(－∞，0)上递减；函数f (x )在(0，＋∞)上递增．②将g (x )＝f (x )－x2的零点转化为函数f (x )与y＝x 2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象如图所示，有四个交点，故g (x )有四个零点．(2)①首先与0比较，找出负数为(－0.3)35，(－0.3)57.因为0.335>0.357，所以－0.335<－0.357，即(－0.3)35<(－0.3)57.②再与1相比较，找出大于1的数为30.3,20.5.因为30.3÷20.5＝3310÷2510＝27110÷32110＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2732110<1，所以30.3<20.5. ③再比较大于0小于1的数0.30.2,0.20.3.找出一个中间数0.30.3.因为y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以0.30.2>0.30.3， 又因为y ＝a x 的图象在y 轴右侧底大图象高，所以0.30.3>0.20.3. 由以上可知，0.30.2>0.20.3.由①，②，③得(－0.3)35<(－0.3)57<0.20.3<0.30.2<30.3<20.5.【规律方法】1．指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数函数图象数形结合求解．3．比较指数幂的大小，可以按如下步骤进行．(1)与0比较区分正负数．(2)与1比较区分比1大的数和比1小的数．(3)利用指数函数的单调性比较．(4)寻找中间数，利用单调性比较大小．(5)用作差法或作商法比较大小．【变式训练2】 (1)若直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个公共点，求实数k 的取值范围________．(2)比较(－2)25，⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25，⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345的大小． [解析] (1)令f (x )＝|3x －1|≥0，其图象如图所示：由图象知，当k <0时，图象无交点当0<k <1时，两图象有两个交点．当k ＝0或k ≥1时，图象有一个交点．所以k 的取值范围是(0,1)．[答案] (0,1)(2)①(－2)25＝225>1，②⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312∈(0,1)，③⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2325∈(0,1)，④⎝ ⎛⎭⎪⎫－133＝－127<0，⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2345∈(0,1)． 由于②③⑤的底数相同，由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，所以③>②>⑤. 所以(－2)25>⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－25>⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－2345>⎝ ⎛⎭⎪⎫－133. 考点三 指数函数的性质及应用例3 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性．[解] (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数．所以f (x )为增函数．故当a >0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．在本例条件下，当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围.解：由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a ) ＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1. 所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]．[备课札记][类题通法]利用指数函数的性质解决问题的方法例4、已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.变式4求下列函数的单调区间．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－3x ＋2；(2)y ＝22x －2·2x . 【思路点拨】 因为给定函数(1)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 与u ＝x 2－3x ＋2复合而成，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是定义域上的单调减函数，所以只需求出函数u ＝x 2－3x ＋2的单调区间．(2)把2x 看作整体，函数变为y ＝(2x )2－2·2x .[解] (1)令u ＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14. 所以u ＝x 2－3x ＋2的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－3x ＋2的单调增区间是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. (2)令t ＝2x ，则函数t ＝2x 在区间(－∞，＋∞)上是增函数，且t >0， y ＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，当t ≤1时，y ＝t 2－2t 是减函数．t ≤1即2x ≤1，所以x ≤0.所以当x ∈(－∞，0]时，y ＝22x －2·2x 是减函数，当t >1时，即x >0时，y ＝t 2－2t 是增函数，即y ＝22x －2·2x 是增函数．所以函数y ＝22x －2·2x 的减区间为(－∞，0]，增区间为(0，＋∞)．对应学生用书P22[课堂练通考点]1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9，即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7.答案：72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________． 解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9.答案：[1,9]3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 解析：∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3，∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .答案：m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0. ∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32. 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0， ∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32. 答案：12或322.5指数与指数函数（作业）1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________． 答案 (2,2)解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)．2．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 由0.71.3<0.70＝1＝1.30<1.30.7，得0.71.3<1.30.7.又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0.3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 [2，＋∞)解析 由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (13，611] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，∴13<a ≤611. 5．已知实数a ，b 满足等式2 015a ＝2 016b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．答案 2解析 设2 015a ＝2 016b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得(1)若t >1，则有a >b >0；(2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0；(3)若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．6．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________. 答案 5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)． 综上所述a ＝5±12. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点．9．设f (x )＝|3x －1|，c <b <a ，且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是________． ①3c >3b; ②3b >3a ；③3c ＋3a >2; ④3c ＋3a <2.答案 ④解析 画出函数f (x )的图象，易知c <0，a >0.又f (c )>f (a )，∴|3c －1|>|3a －1|，∴1－3c >3a －1，∴3c ＋3a <2.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x (x >0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 当x >0时，F (x )＝1x ＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是增函数，F (x )≤F (0)＝1， 所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．11．函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x 的图象大致为________．答案 ①解析 y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有①正确．12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x <1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34.13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (12x －22x )＋b (13x －23x)．∵12x <22x ，a >0⇒a (12x －22x )<0， 13x <23x ，b >0⇒b (13x －23x )<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 14．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(13)x ， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]． B 组 专项能力提升15．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得{t |t >1或t <－13}．。

课时过关检测(九)指数与指数函数【原卷版】1．已知a＞0，则a2a3a2＝()A．a 65B．a56C．a 56 D．a532．已知函数f(x)＝2e xe x＋1＋x(其中e为自然对数的底数，e＝2．71828…)，若实数m满足f(m)＝－1，则f(－m)＝()A．4B．3C．2D．13．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A．3．6小时B．3．8小时C．4小时D．4．2小时6．(多选)已知f(x)＝1－2x1＋2x，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)在R上单调递增D．f(x)在R上单调递减7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．8．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．9．已知函数f(x)＝b·a x(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．10．已知f(x)＝a－23x＋1(a为常数)为奇函数，则满足f(ax)＞f(1)的实数x的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)11．(多选)关于函数f(x)＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形12．当x∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x＋4x a≥0恒成立，则a的取值范围是________．13．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|．(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．14．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x．若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为()A．35B．－35C．1D．－115．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f (x )为理想函数，假定∃x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]，且f [f (x 0)]＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0．课时过关检测(九)指数与指数函数【解析版】1．已知a ＞0，则a 2a 3a 2＝()A ．a 65B ．a 56C ．a56-D ．a53解析：Ba 2a 3a 2＝a 2a 12·a23＝a 1-2223＝a 56．故选B ．2．已知函数f (x )＝2e xe x ＋1＋x (其中e 为自然对数的底数，e ＝2．71828…)，若实数m 满足f (m )＝－1，则f (－m )＝()A ．4B ．3C ．2D ．1解析：B由题意，函数f (x )＝2e x e x ＋1＋x ，可得f (－x )＝2e －xe －x ＋1－x ＝2e x 1e x＋1－x ＝2e x ＋1－x ，可得f (x )＋f (－x )＝2e x e x ＋1＋x ＋2e x ＋1－x ＝2，即f (m )＋f (－m )＝2，因为f (m )＝－1，所以f (－m )＝3．故选B ．3．函数y ＝16－4x 的值域是()A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：C要使函数有意义，须满足16－4x ≥0，则x ∈(－∞，2]，所以4x ∈(0,16]，则0≤16－4x ＜16，即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．故选C ．4．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是()解析：Af 0)＜0，f 1)＞0，f －1)＜0ab ＜0，①(－a )(1－b )＞0，②(1－a )(－1－b )＜0，③因为a ＞b ，所以由①可得：a ＞0＞b ，由③可得：－1－b ＞0⇒b ＜－1，由②可得：1－a ＞0⇒a ＜1，因此有1＞a ＞0＞－1＞b ，所以函数g (x )＝a x ＋b 是减函数，g (0)＝1＋b ＜0，所以选项A 符合，故选A ．5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N (mg/L)与时间t 的关系为N ＝N 0e －kt (N 0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A ．3．6小时B ．3．8小时C ．4小时D ．4．2小时解析：C由题意可得N 0e－4k＝45N 0，可得e －4k ＝45，设N 0e －kt＝0．64N 045N 0，可得e －kt＝(e －4k )2＝e －8k ，解得t ＝8．因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选C ．6．(多选)已知f (x )＝1－2x1＋2x ，则()A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )在R 上单调递增D ．f (x )在R 上单调递减解析：ADf (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x1＋2x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除B ；因为f (x )＝1－2x 1＋2x ＝21＋2x －1，且y ＝2x在R 上单调递增，所以y ＝1＋2x 在R 上单调递增，所以y ＝21＋2x－1在R 上单调递减，即f (x )在R 上单调递减，排除C ．故选A 、D ．7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x 1x 2≥0时，f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x )为偶函数．解析：若满足①对任意的x 1x 2≥0有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，则对应的函数为指数函数y ＝a x 的形式；若满足②f (x )为偶函数，只需要将x 加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足f (x )＝a |x |(a ＞0，a ≠1)即可．答案：f (x )＝2|x |(答案不唯一)8．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1．由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．答案：(1，＋∞)f (－4)＞f (1)9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )的图象经过点A (1,6)，B (3,24)·a ＝6，·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3．所以f (x )＝3·2x ．(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]－m ≥0恒成立，即m ＋在x ∈(－∞，1]上恒成立．又因为y 与y 均为减函数，所以y 也是减函数，所以当x ＝1时，y 有最小值56．则m ≤56，故m ∞，56．10．已知f (x )＝a －23x ＋1(a 为常数)为奇函数，则满足f (ax )＞f (1)的实数x 的取值范围是()A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：A因为函数f (x )＝a －23x ＋1为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝2a －23x ＋1－23－x ＋1＝2a －23x ＋1－2·3x 3x (3－x ＋1)＝2a －2(1＋3x )3x ＋1＝2a －2＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝1－23x ＋1，任取x 1＞x 2，则3x 1＞3x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1－3x 2)(3x 1＋1)(3x 2＋1)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，则函数f (x )为R 上的增函数，由f (x )＞f (1)，解得x ＞1．故选A ．11．(多选)关于函数f (x )＝14x ＋2的性质，下列说法中正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形解析：ACD函数f (x )＝14x ＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )D 正确．12．当x ∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x ＋4x a ≥0恒成立，则a 的取值范围是________．解析：不等式1＋2x ＋4x a ≥0恒成立，转化为－a ≤1＋2x4x ＝，易知函数y是R 上的减函数，因此x ∈(－∞，－1]时，y min 11＝6，所以－a ≤6，即a ≥－6．答案：[－6，＋∞)13．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |．(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对任意t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1．(2)当t ∈[1,2]时，22t t0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)，又y ＝－22t －1，t ∈[1,2]为减函数，所以y max ＝－22－1＝－5，故m ≥－5．即m 的取值范围是[－5，＋∞)．14．已知g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且满足g (x )－h (x )＝2x ．若存在x ∈[－1,1]，使得不等式m ·g (x )＋h (x )≤0有解，则实数m 的最大值为()A ．35B ．－35C ．1D ．－1解析：A∵g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且g (x )－h (x )＝2x ①，∴g (－x )－h (－x )＝g (x )＋h (x )＝2－x②，①②两式联立可得g (x )＝2x ＋2－x 2，h (x )＝2－x －2x2．由m ·g (x )＋h (x )≤0得m ≤2x －2－x 2x ＋2－x ＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1，∵y ＝1－24x ＋1在x ∈[－1,1]上为增函数，＝35，故选A ．15．对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f (x )为理想函数，假定∃x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]，且f [f (x 0)]＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0．解：(1)若函数f (x )为理想函数，取x 1＝x 2＝0，由条件③可得f (0)≥f (0)＋f (0)，即f (0)≤0．由条件①对任意的x ∈[0,1]，总有f (0)≥0．综上所述，f (0)＝0．(2)函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])为理想函数，证明如下：函数g (x )＝2x －1在[0,1]上满足g (x )≥0，即满足条件①．∵g (1)＝21－1＝1，∴g (x )满足条件②．若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③．综上所述，g(x)同时满足理想函数的三个条件，故g(x)为理想函数．(3)证明：由条件③知，任给m，n∈[0,1]，当m＜n时，n－m∈[0,1]，∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾；若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾．综上所述，x0＝f(x0)．。

高考数学函数专题训练 指数函数一、选择题1．设0n >，且1n n b a <<，则（ ） A ．01b a <<< B ．01a b <<< C ．1b a << D ．1a b <<【答案】C【解析】因为100n n>⇒>，所以当1n n a b >>时，11()()1n n n n a b >>，即 1a b >>，故选C.2.函数(21)xy x e =-的图象是（ ）【答案】A【解析】因为函数只有1个零点,所以排除C,D 两项,由()21e xy x '=+,可知函数在12x =-处取得极小值,所以不是定义域上的单调增函数,所以B 不对,只能选A ．3.已知函数()2x xe ef x --=， 1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>， 230x x +>， 310x x +>，则()()()123f x f x f x ++的值（______）A.一定等于零．B.一定大于零．C.一定小于零．D.正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得()f x 为奇函数，且()f x 在R 上是增函数，由12120x x x x +>⇒>-⇒()()()122f x f x f x >-=-，同理可得()()23f x f x >-， ()()()()3112f x f x f x f x >-⇒+()()()()()()()()32311230f x f x f x f x f x f x f x +>-++⇒++>.4.已知函数()93xxf x m =⋅-,若存在非零实数0x ,使得()()00f x f x -=成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m ≥B ．2m ≥C ．02m <<D ．102m << 【答案】D【解析】函数()93xxf x m =⋅-关于y 轴的对称函数为()()()93xx g x m g x f x --=-∴=g 有解,即33119393332099332x x xxxxx xx x x x m m m m --------=⋅-∴==+≥∴<<-+g Q5.已知点n A （n ,n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上,则46a a +与52a 的大小关系是（ ） A ．46a a +＞52a B ．46a a +＜52aC ．46a a +＝52aD ．46a a +与52a 的大小与a 有关 【答案】A【解析】点代入函数式得nn a a =,数列{}n a 为等比数列2464655222a a a a a a ∴+>==6.已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】依题意， 23log 31,0log 21a b =><=<，令()0f x =， x a x b =-+， xy a =为增函数，y x b =-+为减函数，故有1个零点.7.已知则之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法比较【答案】A 【解析】设，则，.∴，，∵，∴，即.故选A.8.设平行于x 轴的直线l 分别与函数和的图象相交于点A ，B ，若在函数的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l （ ）A ．至少一条B ．至多一条C ．有且只有一条D ．无数条 【答案】C【解析】设直线l 的方程为，由，得，所以点．由，得，所以点，从而|AB|＝1.如图，取AB 的中点D ，连接CD ，因为△ABC 为等边三角形，则CD ⊥AB ， 且|AD|＝，|CD|＝，所以点.因为点C 在函数的图象上，则，解得，所以直线l 有且只有一条，故选C.9．已知函数()2x f x m =-的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称，若函数()y f x =与函数()y g x =在区间[]1,2上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是A ．[)1,4,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ B ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,4D ．[)4,+∞ 【答案】B【解析】因为函数()y g x =与()2x f x m =-的图象关于y 轴对称，所以()2x g x m -=-，函数()y f x =与函数()y g x =在区间[]1,2上同时单调递增或同时单调递减，所以函数()2x f x m =-和函数()2x g x m -=-在[]1,2上单调性相同，因为2x y m =-和函数2x y m -=-的单调性相反，所以()()220xx m m ---≤在[]1,2上恒成立，即()21220x x m m --++≤在[]1,2上恒成立，即22x x m -≤≤在[]1,2上恒成立，得122m ≤≤，即实数m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B.10.已知0a b >>，b a a b =，有如下四个结论：①e b <；②b e >；③a b ∃，满足2a b e ⋅<；④2a b e ⋅>． 则正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C 【解析】0,,b a a b a b >>=Q 则ln ln ln ln a bb a a b a b=⇒=，设函数ln ,0xy x x =>， 1ln ,0x y x x ='->，可知函数ln ,0x y x x=>在()0,e 单调递增，在(),e +∞上单调递减，如图所示，可知0b e << ，显然2ln ln 1ln ln 22a ba b a b e +>⇒+>⇒⋅> ，故选C 11．设0,0a b >>,则下列不等式成立的是（ ）A. 若2223a b a b +=+,则a b >B. 若2223a b a b +=+,则a b <C. 若2223a b a b -=-,则a b >D. 若2223a b a b -=-,则a b < 【答案】A【解析】设()22x f x x =+,则()f x 在R 上单调递增,且()()222322a b b f a a b b f b =+=+>+=则a＞b,因此A正确.12.已知函数，，则下列四个结论中正确的是（）①图象可由图象平移得到；②函数的图象关于直线对称；③函数的图象关于点对称；④不等式的解集是.A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【答案】C【解析】对于①，若的图象向左平移个单位后得到的图象，若的图象向右平移个单位后得到的图象，所以①正确；对于②，设，则，，，关于对称，所以②正确；对于③，设，，，，关于对称，所以③正确；对于④，由得，化为，，若，若，所以④错误，故选C.二、填空题13.若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_____． 【答案】1(0,)2【解析】（1）当01a <<时，作出函数1xy a =-的图象，如图所示， 若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点， 由图象可知021a <<，解得102a <<； （2）当1a >时，作出函数1xy a =-的图象，如图所示，若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点， 由图象可知021a <<，此时无解， 综上所述，实数a 的取值范围是1(0,)2．14.若111,52=+==ba mb a 且,则m = ． 【答案】10．【解析】m b a ==52Θ,m b m a 52log ,log ==∴,即5log 1,2log 1m m b a ==,则110log 11==+m ba ,即10=m ．15. 已知函数()()01x f x a b a a =+>≠，的定义域和值域都是[]10-，,则a b += . 【答案】32-【解析】 分情况讨论：①当1a >时,()=+xf x a b 在[]1,0-上递增．又()[]1,0∈-f x ,所以()()1100f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩,无解；②当01a <<时,()=+xf x a b 在[]1,0-上递减．又()[]1,0∈-f x ,所以()()1001f f -=⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,所以32a b +=-． 16.已知，又（），若满足的有三个，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】 由题意得， ，当时，当时，设，则要使得有三个不同的零点，则方程有两个不同的根， 其中一个根在之间，一个根在之前，即且设，则，即实数的取值范围是.。

第讲指数函数时间：年月日刘老师学生签名：一、兴趣导入二、学前测试1．在区间上为增函数的是（ B ）A ． B． C． D．2．函数是单调函数时，的取值范围( A ）A． B ． C ． D．3．如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有（ A ）A．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D．没有最小值4．函数，是（ B ）A．偶函数 B ．奇函数 C．不具有奇偶函数 D ．与有关5．函数在和都是增函数，若，且那么（ D )A． B． C． D ．无法确定6．函数在区间是增函数，则的递增区间是（ B ）A． B． C． D．12三、方法培养☆专题1：指数函数的定义一般地，函数x y a =(a ＞0且a ≠1）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R 。

例1指出下列函数那些是指数函数:（１）4x y =(２）x y 4=(３)4xy -= (４))4(-=xy (５）π=y x（6）x y 24=（7）xxy =（８）)1,21(()12≠>=-a a y a x解析：利用指数函数的定义解决这类问题。

解：(１），（５），（８）为指数函数变式练习11函数2(33)x y a a a =-+⋅是指数函数，则有（）Ａ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且1≠a 答案：C 2. 计算:105432)(0625.0833416--+++π; 解：（1）105432)(0625.0833416--+++π =（425)21+（827)31+（0。

062 5）41+1-21=（25）2×21+（23）313⨯+（0。

5）414⨯+21=25+23+0。

5+21 =5;☆专题2：指数函数的图像与性质一般地，指数函数y=a x在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a ＞1 0＜a ＜1 图象3性质 ①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1),即x=0时y=1④在R 上是增函数，当x ＜0时,0＜y ＜1;当x ＞0时，y ＞1 ④在R 上是减函数，当x ＜0时，y＞1；当x ＞0时,0＜y ＜1在同一坐标系中作出y=2x和y=（21）x 两个函数的图象，如图2—1-2-3。

指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 2函数164x y =-的值域是 ( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)3设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是( )（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a4下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 ( )（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a6已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ）A.124 B.112 C.18 D.387. 不等式4x －3·2x ＋2<0的解集是( )A ．{x |x <0}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1<x <9}D ．{x |x >9}8．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，12)9(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)10(理)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤111．函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x ax x a x f x 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3) C ．(2,3) D ．(1,3)13．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．414．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x，则f (x )≤12的解集为________．15．若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________． 16．函数y ＝a x ＋2012＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．17．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．18．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．19．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．22．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[]的值，求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性； (3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. 2解析：[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

2023届高考数学---指数与指数函数综合练习题（含答案解析）1、已知a ，b ∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜bC [∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1.∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，(ab )x ＞1. ∴ab ＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.]2、设f (x )＝e x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝f （a ）f （b ），则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qC [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f (a ＋b2)＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f （a ）f （b ）＝e a e b ＝e a ＋b2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.]3、已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．12或32 [当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2， ∴a ＝12或a ＝0(舍去)． 当a ＞1时，a 2－a ＝a2， ∴a ＝32或a ＝0(舍去)． 综上所述，a ＝12或32.]4、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． [解] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0， 从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为(－∞，－13)．5、设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1D [根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.]6、已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解] (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)． 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)．所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3 ＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞14，不符合，舍去； ②当14＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)；③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32＜2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为 2.一、选择题1．设a＞0，将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是()A．a 12B．a 5 6C．a 76D．a32C[a2a·3a2＝a2a·a23＝a2a53＝a2a56＝a2－56＝a76.故选C.]2．已知函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1，6) B．(1，5)C．(0，5) D．(5，0)A[由于函数y＝a x的图像过定点(0，1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P(1，6)．]3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜aC[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，∴0.60.6＞0.61.5.又y＝x0.6为R上的增函数，∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b.]4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎨⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数y ＝a x ，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数y ＝－a x 的图像与指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图像关于x 轴对称，所以函数递增，所以应选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减C [易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时，－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.]二、填空题1、若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 2、不等式2－x 2＋2x＞(12)x ＋4的解集为________．(－1，4) [原不等式等价为2－x 2＋2x＞2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]3、若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．(0，12) [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图像，由图像可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12；同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜12，与a ＞1矛盾． 综上，a 的取值范围是(0，12)．] 三、解答题4、已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)u 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，函数y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 5、已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)因为f (x )的图像过A (1，6)，B (3，24)， 所以⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24. 所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，(12)x ＋(13)x －m ≥0恒成立，即m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝(12)x 与y ＝(13)x 均为减函数，所以y ＝(12)x ＋(13)x也是减函数，所以当x＝1时，y＝(12)x＋(13)x有最小值56.所以m≤56.即m的取值范围是(－∞，56]．本课结束。

专题4.2指数与指数函数（专题训练卷）一、 单选题 A ．()nm m n a a += B ．()nnmm a a = C ．()nmm n a a -= D ．()nmmn a a =【答案】D 【解析】根据指数的运算性质()nm mn a a =排除ABC.故选:DA ．(],2-∞B ．(]0,2C ．(]03,D ．[]1,2【答案】B 【解析】当120x -≥，即0x ≤时，()()112122xxx f x +=+--=，则()02f x <≤，当120x -<，即0x >时，()()12122xxf x =++-=，∴()f x 的值域是(]0,2， 故选：B ． A ．1a > B ．0.2a < C ．(1)0a a -< D ．(1)0a a ->【答案】C 【解析】由于指数函数xy a =是减函数，所以01a <<，所以10a -<，()10a a -<，所以ABD 选项错误，C 选项正确. 故选：CA ．1a b <<B ．1b a <<C ．1a b >>D ．1b a >>【答案】C 【解析】很显然a ，b 均大于1；x y a =与1x =的交点在x y b =与1x =的交点上方，故b a <，综上所述:1a b >>. 故选:C.A ．（1，1）B ．（1，3）C ．（2，0）D ．（4，0）【答案】B 【解析】由x ﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3， 即函数的图象过定点（1，3）， 故选BA ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】1.1 1.1 1.110.5()22b --===，0.420.40.84(2)2c ===.因为2xy =在R 上为增函数，所以0.8 1.1 1.2222<<. 即c b a <<. 故选：AA ．a b b b <B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a a b a <【答案】B 【解析】取14a =，12b =，则a a =12ba =，b b =，a b = a b b b <，故排除A ；a b a a >，故排除C ；a a b a >，故排除D ；由幂函数的性质得：b b a b <. 故选：B.A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【答案】D 【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2xy m =+过点()0,1m +,若图像不经过第二象限,则10m +≤, 即1m ≤-, 故选：DA ．x ＜z ＜yB ．y ＜x ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x【答案】A 【解析】因为01a b <<<， 故()x f x b =单调递减； 故a b y b z b =>=，幂函数()bg x x =单调递增；故b b x a z b =<=，则x 、y 、z 的大小关系为：x z y <<； 故选：A A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B 【解析】函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 二、多选题A ．347a a a ⋅=B ．()326a a -=Ca =Dπ=-【答案】AD 【解析】34347a a a a +==，故A 正确；当1a =时，显然不成立，故B 不正确；a =，故Cπ=-，D 正确，故选AD.A ．蓝藻面积每个月的增长率为100 %B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则一定有123t t t += 【答案】ACD 【解析】由图可知，函数ty a =图象经过()1,2，即12a =，则2a =，∴2ty =；∴1222t t t +-=不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100 %，A 对、B 错； 当6t =时，626460y ==>，C 对；若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则122t =，22 3 t =，326t =，则122223t t ⋅=⨯，即1226t t +=，则123t t t +=，D 对；故选：ACD ．A ．()g x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{1,0,1}-E.()g x 的值域是{1,0}- 【答案】BCE 【解析】根据题意知，e 111()1e 221ex x xf x =-=-++. ∵e1(1)[(1)]01e 2g f ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦， 11(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦，(1)(1),(1)(1)g g g g ∴≠-≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；e 111()()1e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++， ∴()f x 是奇函数，B 正确； 由复合函数的单调性知11()21x f x e =-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x >，1e 1x ∴+>，1101,10,11x xe e <<-<-<++ 11()22f x ∴-<<，()[()]{1,0}g x f x ∴==-，D 错误，E 正确.故选:BCE .A ．()f x 的值域为 [)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 【答案】AC 【解析】由函数()12xf x -=⊕，有1(12)()2(12)x xxf x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞， 若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有 当210x x <+≤即1x ≤-时成立，当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立.所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <. 故选：AC. 三、单空题【答案】()0,∞+ 【解析】令223u x =-，则3u y =，u 在(),0x ∈-∞上递增，在()0,x ∈+∞上递减，而3uy =是增函数，∴原函数的递减区间为()0,∞+，故答案为()0,∞+.【方法点睛】判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.【答案】21487n -⨯ 【解析】21*718(,)n m m n N -+=∈，21781n m -∴=- 21212217747=79n n n +--⨯=⨯，217149811=49(88)4n m m +∴+=⨯-+⨯- =8+48848=8+48(81)m m m m ⨯-⨯-21=8+487n m -⨯故答案为：21487n -⨯【答案】[－1,1] 【解析】画出曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示由图象可得|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]． 四、双空题【答案】③. ①. 【解析】①1122-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②122222-==；③11221222-⎛⎫== ⎪⎝⎭1122-=. 所以最大的是③，最小的是①. 故答案为：(1). ③. (2). ①.【答案】y 轴 ()0,1 【解析】函数2x y =的图象与函数2xy -=的图象如下：由指数函数的性质可知，函数2xy =的图象与函数2xy -=的图象关于y 轴对称，它们的交点坐标是()0,1.故答案为：y 轴；()0,1.【答案】2 18【解析】函数()()22211g x x x x =-+=--+在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，且()()0=033g g =-，，()11g =()[3,1]g x ∴∈-，函数2xy =单调递增，()1228g x ∴≤≤，即函数()f x 的最大值为2，最小值为18. 故答案为：2；18【答案】9 [3，+∞） 【解析】若a ＝1，则f (f (2))＝f (3）＝23+1＝9， 当x ＞2时，f （x ）＝2x +a ＞4+a ，当x ≤2时，由函数的值域为R 可知，a ＞0，此时f (x )≤2a +1， 结合分段函数的性质可知，2a +1≥a +4即a ≥3． 故答案为：9；[3，+∞）． 五、解答题（1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a -【答案】（1）3（2）4（3）4）42【解析】（1）11a a --=，1222()21a a a a --∴-=+-=， 223a a -∴+=．（2）33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=⨯+=． （3）1222()2325a a a a --+=++=+=，1a a -∴+=（4）33122()(1)(32)a a a a a a ---+=++-=-=即33a a -+=2）得：334a a --=，3a -∴=【答案】(0,1))⋃+∞ 【解析】函数()2()2x xa f x a a a -=--（其中0a >且1a ≠）在R 上是增函数，当1a >时，x y a =和xy a -=-单调递增，故只需满足202a a >-，故a > 当01a <<时，x y a =和xy a -=-单调递减，故只需满足202a a <-，故01a <<； 综上所述：(0,1)(2,)a ∈+∞.【答案】最小值34；最大值57 【解析】()221113142122124224x x x x x x x f x -----⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭, ∵[]3,2x ∈-, ∴1284x -≤≤. 则当122x -=,即1x =时,()f x 有最小值34；当28x -=,即3x =-时，()f x 有最大值（1）求a 值；（2）求函数2()(0)x f x ax -=≥的值域； 【答案】（1）12a =（2）0,4]（ 【解析】（1）函数()2x f x a -=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=12a ∴= （2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭ 1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ 又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值. （2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()x xg x aa mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .【答案】（1）7；（2）2；（3【解析】（1）由题意知11223a a -+=，可得112122()29a a a a --+=++=，可得17a a -+=，又由1222(249a a a a--+=++=），可得2247a a -+=. （2）由函数()x x f x a a -=-，且3(1)2f =，可得132a a -=， 整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以函数()f x 的解析式为()22x x f x -=-.（3）由（2）知()22x x f x -=-，可得()2222()2()22222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+， 令()22x x t f x -==-，可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-，又由函数()22x x f x -=-为增函数，因为1x ≥，所以3(1)2t f ≥=， 当32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，即3m =±，解得3m =， 当32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去. 综上可知3m =.（1）求()F x 的解析式；（2）比较b a 与a b 的大小；（3）已知(4)(32)b b m m --+<-，求m 的取值范围．【答案】（1）x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩；（2）b a a b <；（3）12(,)33-. 【解析】（1）将11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入()x f x a =，()b g x x =，求得11612a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩； （2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b a a b <； （3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，根据定义域和单调性，有40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<. 试题解析：（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b a a b <． （3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<， 所以m 的取值范围是12(,)33-．。