人教高二数学选修-24正态分布

100个产品尺寸的频率分布直方图 产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象：
式总中体的 的实平数均μ数、与σ标(σ准>0差)频是，参率这数个，总分体别是表有示无限 落在区间(a,b）的概率组为:距
总体的平均数与标准差，这个总体是有无限 标准正态总体的函数表示式 总体的平均数与标准差，这个总体是有无限 高二数学选修正态分布推荐 总体的平均数与标准差，这个总体是有无限 标准正态总体的函数表示式 总体的平均数与标准差，这个总体是有无限 产品尺寸的总体密度曲线 容量的抽象总体，其分布叫做正态分布. 标准正态总体的函数表示式 就是或近似地是以下函数的图象： 高二数学选修正态分布推荐 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 容量的抽象总体，其分布叫做正态分布. 产品尺寸的总体密度曲线 100个产品尺寸的频率分布直方图 1 正态分布密度函数： 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 就是或近似地是以下函数的图象： 容量的抽象总体，其分布叫做正态分布.
总体密度曲线
产品 尺寸 (mm)
总体密度函数 总体密度曲线
产品 尺寸 (mm)
产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象：
f (x)
1
e
(x)2 22
2
1
正态分布密度数：
函数 f(x) 1
e
(x)2 22
2
x(,)
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，这个总体是有无限 容量的抽象总体，其分布叫做正态分布.
高二数学选修正态分 布推荐
1.连续型随机变量
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm)
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距

2 e 2( x 1)2 , x ( ,
)
2
2.若随机变量 : N ( 2,4) ,则 在区间 ( 4,2] 上的取值的概率等于 在下列哪个区间上取值的概率 （ ）
A.(2,4]
B.(0,2]
C .( 2,0]
D .( 4,4]
3．若随机变量 服从正态分布 : N (0,1) ，则 在区间 ( 3,3] 上取值的概率等于（
P( a<X
a
a） a , ( x)dx
对于固定的 和 a 而言，给面积随着
即 X 集中在 特别有
周围概率越大 .
的减少。这说明
越小， X 落在区间（ a,
a] 的概率越小，
P(
X
P( 2 X
P( 3 X
) 0.6826, 2 ) 0.9544, 3 ) 0.9774.
可以看到，正态总体几乎总取值于区间
一、选择题
1.下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是 ()A. f (源自)1( x 1) 2
e2
2
C. f ( x)
(x )2
1 e 22 2
B. f ( x)
1 2g
( x 2) 2
e 22
D. f (x)
1
x2
e4
2
2．函数 f ( x)
1
x2
e 4 ，(x
R) 的奇偶性为（
）
2
A.奇函数 B.偶函数
(3 X
3 ) 之内。而在此区间以外取值的概率只有
0.0026 ,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
在实际应用中，通常认为服从于正态分布
N（ ， 2）的随机变量 X 只取 ( 3 , 3 ) 之间的值，简

期望、方差、正态分布 期望、方差知识回顾：1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 特别提醒：1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: ()E a b ξ+=aE b ξ+ 3.若ξ～B （p n ,），则ξE =np4.方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…．5.标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．6.方差的性质： ξξD a b a D 2)(=+； 若ξ～B （p n ,），则=ξD )1(p np - 特别提醒：1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 正态分布知识回顾：1.若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(222)(∈=--x ex f x σμσπ的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线．三条正态曲线：①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质： ①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 时位于最高点．③当μ<x 时，曲线上升；当μ>x 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．注意: 当1,0==σμ时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是R ,21)(22∈=-x e x f x π．相应的曲线称为标准正态曲线．2. 正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； 当0μ=时得到标准正态分布密度函数：()()22,,26xf x e x π-=∈-∞+∞.3.正态曲线的性质：① 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③ 曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21；④ 曲线与x 轴之间的面积为1；4. σμ,是参数σμ,是参数的意义:① 当σ一定时，曲线随μ质的变化沿x 轴平移；② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。

1 2 2 f x e , x , 的图象， 2 2 则其分布叫正态分布，常记作： N , 。
x 2
f x 的图象称为正态曲线。


画出三条正态曲线：
(1) 1, 0.5; (2) 0, 1; (3) 1, 2;
0.9772 0.8413 1 0.8185 .
变形
（5）正态总体N , 2 ，在任一区间取值概率。
对于一般的正态总体N , ，在任一区 间 a, b 内的取值概率如何进行计算呢？可否 通过查正态分布表来求出它呢？
2
一般的正态总体N , ，均可以化为标 准正态总体N 0,1 来研究。 2 对任一正态总体N , 来说， 取值小 于 x 的概率：
F F 1 1 21 1 2 0.8413 1 0.683 ;
例3:分别求正态总体N , 2 在区间:
, 、 2 , 2 、 3 , 3 、
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
（3）正态曲线的性质
观察：
性质：
曲线在x轴的上方，与x轴不相交； 曲线关于直线x 对称，且在x 时位于最高点；
当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并 向它无限靠近。
0.25在4 3× 0.5, 4 3× 0.5之外取值的 正态分布N 4， 概率只有0.003，
由正态分布的性质知，
而5.7 2.5, 5.5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件. 据此可认为该批零件是不合格的。