四川省达州市普通高中2020届高三第一次诊断性测试数学(理)试题答案(pdf版)

数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =≤≤，{}1B x x =>，则A B =I （ ） A.(]1,2 B.[]2,4C.()4,+∞D.()2,42.复数21iz i+=-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，5a 是2a ，14a 的等比中项，则7a =（ ） A.13B.49C.62D.721-4.函数()21ln f x x x x=-+的图象大致是（ ） A.B. C. D.5.101⎫-⎪⎭的展开式中3x -的系数是（ ） A.252B.252-C.210-D.2106.已知双曲线的两条渐近线的方程是0x +=和0x -=，则双曲线离心率是（ ）或5或27.已知[]8,2a ∈-，则命题20000,10x x ax ∃>++<为假命题的概率（ ）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.18.已知22log aa =，1212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n 1si c c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.a c b <<9.甲烷，化学式4CH ，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为a ，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（ ）10.在ABC △中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，BE 与CD 交于点P ，设BE a =u u u r ，CD b =u u u r ，则AP =u u u r（ ）A.2233a b -- B.4433a b -- C.3344a b -- D.5544a b -- 11.已知方程()2sin 2002xx ωωω--=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（ ） A.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.713,66⎛⎤⎥⎝⎦ C.410,33⎛⎤⎥⎝⎦ D.113,66⎛⎤⎥⎝⎦12.己知a>0，函数f （x ）=|12.已知0a >，函数()2,032,0x x f x a x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，()2a g x x =-和点()()(),0P m f m m <，将y 轴左半平面沿y 轴翻折至与y 轴右半平面垂直.若()0,1n ∃∈，直线x n =分别与曲线()y f x =，()y g x =相交于点A B ，，PA PB =，PAB △面积为2，则实数a 的取值范围为（ ）A.,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.0,9⎛⎝⎦C.(]0,1D.0,9⎛ ⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y 满足约束条件200360x y x y x y +-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值是 .14.函数()112122xx f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t = . 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13n n S m -=+，则实数m 的值是 .16.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点.O 是坐标原点，A 是C 上一点，OFA △外接圆B e （B 为圆心）与C 的准线相切，则过点B 与C 相切的直线的斜率 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC △的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求B ；（2）若2,c B =的角平分线1BD =，求ABC △的面积ABC S △.18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： 线下培训茎叶图在线培训直方图线下培训茎叶图 在线培训直方图（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式有关？（2）成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是ξ，求ξ分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC CB ===，AB =D 是BC 中点，E 是PD 中点，F 是线段AB 上一动点.（1）当F 为AB 中点时，求证：平面CEF ⊥平面PAB ； （2）当EF ∥平面PAC 时，求二面角E FD C --的余弦值.20.已知动点P 到两点()，)的距离之和为4，点P 在x 轴上的射影是C ，2CQ CP =u u u r u u u r.（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）过点()的直线交点P 的轨迹于点,A B ，交点Q 的轨迹于点,M N ，求214MN AB -的最大值.21.函数()()ln 1cos f x x x ax =++-. （1）若0x =为()f x 的极值点，求实数a ；（2）若()1f x ≤在(]1,0-上恒成立，求实数a 的范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :1sin x t C y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中[)0,απ∈.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4sin C ρθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 相交于点,A B 两点，点()3,1P ，求PA PB ⋅. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设()124f x x x =-+-. （1）解不等式()5f x ≤；（2）若,,a b c 均为正实数，()f x 最小值为m ，a b c m ++=，求111111a b c +++++. 达州市普通高中2020届第二次诊断性测试理科数学参考答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分.3.解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题：1.B2.D3.B4.C5.D6.D7.A8.B9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.[]2,6 14.0.8 15.13- 16.2±三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）()2cos cos 0a c B b C ++=Q ，∴在ABC △中，由正弦定理得，()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ∴++=，()2sin cos sin 0A B B C ∴++=.A B C π++=Q ，2sin cos sin 0A B A ∴+=.A Q 为三角形内角，sin 0A ∴≠，12cos 23B B π=-=. （2）在ABC △中，BD 为角B 的角平分线，23B π=Q ，3ABD π∴∠=，Q 在ABD △中，,2,13A ABDB BD π=∠==，由余弦定理可得AD =222AB BD AD ∴=+，ABD △为直角三角形.即BD AC ⊥，故ABC △为等腰三角形，2AC AD ==，11122ABC A S BD C ∴==⨯⨯⋅=△ 18.解：（1）根据题意得列联表：()21405703035144.66735105100403k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.4.667 3.841>有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关.（2）在抽出的样本中，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，在这8个中抽取3个含在线培训个数为ξ.0ξ=，1，2，3()33381056C P C ξ===，()21353815156C C P C ξ===， ()123538301525628C C P C ξ====，()353810535628C P C ξ====. ξ的分布列为：()150123 1.875565656568E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯==.19.（1）证明：222AC BC AB +=Q ，ABC ∴△为等腰直角三角形，当F 为AB 中点时，CF AB ∴⊥.PA ⊥Q 平面,ABC CF ⊆平面,ABC PA CF ∴⊥.PA AB A =Q I 且都在平面PAB 中，CF ∴⊥平面PAB .CF ⊆Q 平面CEF ，∴平面CEF ⊥平面PAB .（2）解：过点C 作z 轴垂直于平面ABC ，建立如图的空间直角坐标系，()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2P ，()0,1,0D 。

秘密★启用前遂宁市高中2017级第一次诊断性考试数学(理工类)(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，B ＝{x|x ＝2n ，n ∈N}，则A ∩B ＝ A.{－1，1，2} B.{1，2} C.{1，2，4} D.{0，1，2，4}2.已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋i)(2＋i)，则其共扼复数z = A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3i D.－1－3i3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(44sin,cos33ππ)，则cos(π＋α)＝ 3 B.12 C.12- D.3- 4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且|OA|3|OB|(O 为坐标原点)，则该椭圆的离心率为 23 6 2 35.函数2()1x x f x e =-的图象大致是6.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值分别为－2，19，输出y 的值分别为a ，b ，则a ＋b ＝A.－4B.－2C.74-D.147.如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，13AE AC =u u u r u u u r，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ＋µ＝A.56-B.16-C.16D.568.圆x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0上到直线l ：x ＋y 2＝0的距离为l 的点共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。

A.4 B.5 C.10 D.15 【答案】 B
由题意得： a3 a1 2d 2, S3 3a1 3d 3,
a1
0 , 所以 a6
a1 5d
5
d1
【方法总结】 此题考查数列， 涉及到等差数列的基本性质。 需要我们熟练记忆等差数列的基
本性质。属于基础题目。
5．已知函数 f (x)
2x
2x
, 若 f ( m) 1
）
1
A. f (x) x2 B. f ( x) x C. f ( x) ln | x | D. f ( x) e2 x
【答案】 D
B. 的定义域为 0， ， C的定义域 x 0 ，排除。 A 在 - ，0 单调递减，在 0， 单调递
增，排除。故此正确答案为 D
4．等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn ，若 a3 2, S3 3 ，则 a6 ( )
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1．已知 A { x N | x 3} ， B {x | x 2 - 4x 0} ，则 A B （ ）
下与集合中的元素有关问题的求解策略。 (1) 确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集
还是其他类型的集合． (2) 看这些元素满足什么限制条件． (3) 根据限制条件求参数的值或确
定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．若 b a 0 , 则下列结论不正确的是（
）
11

2015年四川省达州市高考数学一模试卷（理科）一.选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•达州一模）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U （M∪N）=（）A． {1，2，3} B． {5} C． {1，3，4} D． {2}【考点】：并集及其运算．【专题】：计算题．【分析】：由M与N求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可．【解析】：解：∵M={1，2，4}，N={2，3，6}，∴M∪N={1，2，3，4，6}，∵U={1，2，3，4，5，6}，∴∁U（M∪N）={5}．故选B【点评】：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：计算题．【分析】：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解析】：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．3．（5分）（2015•达州一模）以下说法错误的是（）A．“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】： A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，即可判断出；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；C．∃m=1∈R，使f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增；D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，即可判断出．【解析】：解：A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，因此“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件，正确；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，正确C．∃m=1∈R，使f（x）=m是幂函数，且f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增，正确；D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，因此不正确．故选：D．【点评】：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．4．（5分）（2015•达州一模）阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A． i＜6？ B． i＜8？ C． i＜5？ D． i＜7？【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解析】：解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．【点评】：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于基础题．5．（5分）（2015•达州一模）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B． 1 C．﹣2 D． 2【考点】：函数的周期性；函数奇偶性的性质．【专题】：计算题．【分析】：因为f（x）是R上周期为5的奇函数，可得f（x）=﹣f（﹣x），由题意满足f（1）=1，f（2）=3，求出f（﹣1）和f（﹣2），再根据函数的周期性求出f（8）和f（4），从而求解；【解析】：解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；【点评】：此题主要考查奇函数的性质及其应用，以及函数的周期性问题，是一道基础题；6．（5分）（2015•达州一模）达州市举行汉字书写决赛，共有来自不同县的5位选手参赛，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不许连续出场，且女生甲不能第一个出场，则不同的出场顺序有（）A． 120种 B． 90种 C． 60种 D． 36种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；排列组合．【分析】：若第一个出场的是男生，方法有=36种．若第一个出场的是女生（不是女生甲），用插空法求得方法有=24种，把这两种情况的方法数相加，即得所求．【解析】：解：①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有=36种．②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有=24种．故所有的出场顺序的排法种数为36+24=60，故选C．【点评】：本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意特殊位置优先排，不相邻问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．7．（5分）（2015•达州一模）函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】：函数的图象．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：利用排除法确定函数的图象的大致形状．【解析】：解：易知函数y=为偶函数，故排除B，D；又因为当x=1时，y=没有意义，故排除C；故选A．【点评】：本题考查了函数的图象的判断与应用，属于基础题．8．（5分）（2015•达州一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果x1，x2∈（﹣，），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A． B． C． 1 D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．【解析】：解：由图知，T=2×（+）=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+φ）∵|φ|＜，所以φ=，∴f（x）=sin（2x+），x1+x2=2×=，所以f（x1+x2）=sin=．故选：D．【点评】：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力，属于中档题．9．（5分）（2015•达州一模）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C． D．【考点】：基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：根据a 7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解析】：解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴a1q m+n﹣2=16a1，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=•（）（m+n）=≥=上式等号成立时，n2=9m2，即n=3m，而m+n=6，∴m=，不成立，∴m=1、n=5时，∴=；∴m=2、n=4时，∴=；∴最小值为故选B．【点评】：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．10．（5分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=|e x﹣1|，g（x）=，则F（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【考点】：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：首先，在同一坐标系中画出函数y=f（x），y=g（x）的图象，然后，判断交点的个数即可．【解析】：解：根据已知，当x≤0时，g（x）=1﹣|x+1|，当0＜x＜2时，g（x）=2[1﹣|x ﹣2+1|]=2（1﹣|x﹣1|），然后去掉绝对值，得到函数g（x）=的部分图象，令F（x）=f（x）﹣g（x）=0，得f（x）=g（x），故函数y=f（x）与函数y=g（x）的交点个数就是该方程的根，如图所示：F（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数为3个．故选：B．【点评】：本题重点考查了函数的零点等知识，属于中档题．二、填空题11．（5分）（2015•达州一模）一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知乙层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为180 ．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．由乙层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，根据三者之间的关系得到结果．【解析】：解：∵用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．∵乙层中每个个体被抽到的概率都为，∴根据抽样的性质可知在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，∴总体中的个体数为20÷=180．故答案为：180．【点评】：本题主要考查分层抽样的定义和性质是应用，比较基础．12．（5分）（2015•达州一模）二项式（2x3+）7的展开式中常数项为14 ．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：根据二项式（2x3+）7的展开式通项公式，求出常数项对应的r值，计算出常数项即可．【解析】：解：∵二项式（2x3+）7的展开式中，T r+1=•（2x3）7﹣r•=•27﹣r•；令21﹣3r﹣=0，解得r=6；∴展开式中常数项为T6+1=•27﹣6=14．故答案为：14．【点评】：本题考查了二项式定理的展开式的应用问题，是基础题目．13．（5分）（2015•达州一模）设函数f（x）=，若区间（0，4]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤1的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．【解析】：解：由题意区间（0，4]内随机选取一个实数x0，所选取的实数x0满足的区域长度为4，所选取的实数x0满足f（x0）≤1的范围是和的解集的并集，解得{x|≤1}和{x|1＜x≤2}，所以所选取的实数x0满足f（x0）≤1的x0的范围是[，2]，区域长度为，所以所选取的实数x0满足f（x0）≤1的概率为；故答案为：【点评】：本题主要考查了几何概型，以及分段函数对应的不等式的解法，关键是明确事件对应的区域长度．14．（5分）（2015•达州一模）设△ABC重心为G，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则∠C= ．【考点】：平面向量的基本定理及其意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：△ABC重心为G，可得，代入a+b+c=，整理为=．由G为△ABC重心，可知：与不可能共线．可得=0，再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵△ABC重心为G，∴，∴，∵a+b+c=，∴﹣+b+c=，化为=，∵G为△ABC重心，∴与不可能共线．∴=0，∴c，b=c．由余弦定理可得：cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故答案为：．【点评】：本题考查了三角形重心性质、余弦定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2015•达州一模）设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[﹣3.7]=﹣4．给出以下命题：①若x1≤x2，则[x1]≤[x2]；②[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2015]=4938；③若x≥0，则可由[2sinx]=[]解得x的范围为[，1）∪（，π]；④函数f（x）=，则函数[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为{0，﹣1}；你认为以上正确的是①②④．【考点】：函数的值．【专题】：新定义；函数的性质及应用．【分析】：①由[x]表示不超过x的最大整数，得出x1≤x2时，[x1]≤[x2]成立；②计算出[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]的值即可；③举例说明x的取值范围不是[，1）∪（，π]；④求出函数f（x）与f（﹣x）的值域，计算y=[f（x）]+[f（﹣x）]的值即可．【解析】：解：对于①，∵[x]表示不超过x的最大整数，∴对任意的实数x1≤x2，有[x1]≤[x2]，∴①正确；对于②，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3，∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=9×0+90×1+900×2+1016×3=4938，∴②正确；对于③，当x=时，[2sinx]=1，[]=0，∴x的取值范围不是[，1）∪（，π]，∴③错误；对于④，函数f（x）=﹣=﹣∈（﹣，），同理，f（﹣x）∈（﹣，），当f（x）∈（﹣，0）时，f（﹣x）∈（0，），∴[f（x）]=﹣1，[f（﹣x）]=0，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，同理当f（﹣x）∈（﹣，0）时，f（x）∈（0，），∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=﹣1，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，当f（x）=0时，f（﹣x）=0，∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=0，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=0，综上，y=[f（x）]+[f（﹣x）]={﹣1，0}，∴④正确．故答案为：①②④．【点评】：本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了对数的计算问题与三角函数的计算问题，是综合性题目．三、解答题16．（12分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=•，其中=（sinx，﹣1），=（2cosx，cos2x+）．（Ⅰ）若x∈[，]，求函数f（x）的最大值和最小值，并定出相应x的值．（Ⅱ）△ABC的内角为A，B，C，设对边分别为a，b，c，满足c=，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．【考点】：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过x∈[，]，求函数f（x）的最大值和最小值，并定出相应x的值．（Ⅱ）△ABC的内角为A，B，C，设对边分别为a，b，c，满足c=，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．【解析】：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=•，其中=（sinx，﹣1），=（2cosx，cos2x+）．∴f（x）=•=sinxcosx﹣cos2x﹣=﹣1=sin（2x﹣）﹣1；x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈；∴sin（2x﹣）﹣1∈，2x﹣=2k时，函数球的最小值，此时x=kπ+．k∈Z．2x﹣=2k时，函数球的最大值，此时x=kπ+．k∈Z．（Ⅱ）由c=，f（C）=0，可得sin（2C﹣）=1，解得：C=，且sinB=2sinA，得：b=2a，c2=3=b2+a2﹣2bacosC，，可得a=1，b=2，【点评】：本题考查两角和与差的三角函数，余弦定理的应用，考查奇数项的解法，考查计算能力．17．（12分）（2015•达州一模）随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数 35 25 a 10 b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）【考点】：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题意得a=15，b=15，由此能求出“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率．（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得ξ=1，2，3，4，5，P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．P（X=4）=1﹣0.35﹣0.25=0.4，由此能求出X的分布列和数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）由=0.15，得a=15，因为35+25+a+10+b=100，所以b=15，“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率：P（A）=．（6分）（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得ξ=1，2，3，4，5，P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，…（8分）并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．P（X=4）=1﹣0.35﹣0.25=0.4，…（10分）所以X的分布列为X 1 1.5 2P 0.35 0.4 0.25所以X的数学期望为E（X）=1×0.35+1.5×0.4+2×0.25=1.45（千元）．…（12分）【点评】：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．18．（12分）（2015•达州一模）如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR（如图所示），设∠PAB=θ．（Ⅰ）用含有θ的式子表示矩形PQCR的面积S；（Ⅱ）求长方形停车场PQCR面积S的最大值和最小值．【考点】：在实际问题中建立三角函数模型．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）先求出AM和PM的值，进而可得PQ，PR 的值，由此求得S=PQ•PR 的值．（Ⅱ）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，代入S化简得 S=，利用二次函数性质求出S的最大值和最小值．【解析】：解：（Ⅰ）由于∠PAB=θ，0°≤θ≤90°，知AM=90cosθ，PM=90sinθ，RP=RM﹣PM=100﹣90sinθ，PQ=MB=100﹣90cosθ，S=PQ•PR=（100﹣90sinθ）（100﹣90cosθ）=10000﹣9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ．∴S=10000﹣9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ；（Ⅱ）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=．即t=sin（θ+），0≤θ≤，1≤t≤，代入S化简得 S=．故当t=时，S min=950（m2）；当t=时，S max=14050﹣9000（m2）．【点评】：本题考查解三角形的实际应用，三角函数的恒等变换，以及二次函数性质的应用，属中档题．19．（12分）（2015•达州一模）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【考点】：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由题意可得数列{a n}的公差，进而得通项，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，可解b1=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，由错位相减法可求和．【解析】：解：（I）由题意可得数列{a n}的公差d=（a5﹣a3）=2，故a1=a3﹣2d=1，故a n=a1+2（n﹣1）=2n﹣1，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，S1=2﹣b1=b1，∴b1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2﹣b n﹣（2﹣b n﹣1），∴，∴{b n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴b n=1•=；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，∴T n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣3）•2n﹣2+（2n﹣1）•2n﹣1，故2T n=1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，两式相减可得﹣T n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=1+2﹣（2n﹣1）•2n=1﹣4+（3﹣2n）•2n，∴T n=3+（2n﹣3）•2n【点评】：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．20．（13分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）（Ⅰ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若∃λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a ﹣2ln3成立，求m的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出f′（x），根据a的值得情况分类讨论，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分别求出函数的增区间和减区间；（Ⅱ）∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3成立，等价于|f （λ1）﹣f（λ2）|max＞（m+ln3）a﹣2ln3，而|f（λ1）﹣f（λ2）|max=f（x）max﹣f（x）min，由（Ⅰ）利用单调性可求得f（x）的最大值、最小值，再根据a的范围即可求得m的范围【解析】：解：（Ⅰ）依题意，f′（x）=﹣+2a==，（x＞0），当﹣2＜a＜0时，﹣＞，令f′（x）＜0，得0＜x或x＞，令f′（x）＞0，得＜x ＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0．当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0，得x＜﹣或a＞，令f′（x）＞0，得﹣＜x＜；综上所述：当﹣2＜a＜0时时，f（x）的单调递减区间是（0，），（﹣，+∞），单调递增区间是（，﹣）；当a＜﹣2时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣），（，+∞），单调递增区间是（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞））（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当﹣3＜a＜﹣2时时，f（x）在x∈[1，3]单调递减．f（x）max=f（1）=﹣1；，，∴，得．【点评】：本题考查了利用导数研切线方程，利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的增减，同时要注意单调区间是定义域的子集，即先要求出函数的定义域．同时考查了函数的恒成立问题，对于恒成立，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法解决．属于难题21．（14分）（2015•达州一模）已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域；（Ⅱ）若∀x∈[，1]，使得对∀t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=f（x）﹣ax﹣（a∈R）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．【考点】：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域；（Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞0，得到g（x1）=g（x2）=0，根据相加和相减得到，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【解析】：解：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得，由条件可得，把x=﹣1代入x+y=2可得，y=1，∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞），（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，令m（t）=，易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0，∴g（x1）=g（x2）=0，∴，，相加可得，相减可得，由两式易得：；要证，即证明lnx1+lnx2＞2，即证：，需证明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，∴，故ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，∴，故原不等式成立．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题。