下载文档原格式
初中数学的归纳与解析常见的几何变换及其性质解析几何变换是数学中一个重要的概念，它可以改变图形的形状，位置或者大小。
在初中数学中，我们常见的几何变换有平移、旋转、翻转和对称。
本文将对这些几何变换进行详细的解析，并探讨它们的性质。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向上移动一定的距离。
在平移变换中，图形的形状、大小和方向保持不变。
我们可以通过向量来表示平移变换。
设向量v表示平移的距离和方向，则对于平面上的点P(x,y)，经过平移变换后的新坐标为P'(x+v1,y+v2)。
平移变换的性质如下：1. 平移变换不改变图形的面积和角度。
2. 平移变换保持图形的对称性。
如果图形是对称的，经过平移后仍然保持对称。
3. 平移变换是可逆的。
对于给定的平移向量，可以通过相反的向量将图形还原回原来的位置。
二、旋转变换旋转变换是指围绕某个点或者直线将图形旋转一定的角度。
在旋转变换中，图形的形状和大小保持不变，但方向发生改变。
我们可以通过旋转矩阵来表示旋转变换。
设原图形上一点的坐标为P(x,y)，经过旋转变换后的新坐标为P'(x',y')，则有如下公式：```x' = cosθ(x-a) - sinθ(y-b) + ay' = sinθ(x-a) + cosθ(y-b) + b```其中，(a,b)为旋转的中心点坐标，θ为旋转的角度。
旋转变换的性质如下：1. 旋转变换不改变图形的面积。
2. 旋转变换保持图形的对称性。
如果图形是对称的，经过旋转后仍然保持对称。
3. 旋转变换是可逆的。
对于给定的旋转角度，可以通过相反的角度将图形还原回原来的位置。
三、翻转变换翻转变换是指围绕某个直线将图形对称翻转。
在翻转变换中，图形的形状和大小保持不变，但方向发生改变。
我们可以通过翻转矩阵来表示翻转变换。
设原图形上一点的坐标为P(x,y)，经过翻转变换后的新坐标为P'(x',y')，则有如下公式：```x' = 2a - xy' = y```其中，a为翻转的直线的坐标。
几何中的变换和应用几何学是一门研究空间形状、大小和相对位置关系的学科。
在几何学中，变换是一项重要的概念，它可以改变图形的位置、形状或大小。
几何中的变换有许多应用，包括在艺术、设计和科学领域等等。
本文将探讨几何中的变换及其应用。
一、平移变换平移变换是指在平面或空间中将图形沿着平行于某个方向的直线移动。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了图形的位置。
在艺术和设计中，平移变换常常用于创作对称、律动和整齐的作品。
例如，在建筑设计中，建筑师可以利用平移变换来创造出对称美感，使整个建筑物在视觉上更加平衡。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕着某个中心点旋转一定角度。
旋转变换改变了图形的方向，但不改变形状和大小。
旋转变换在艺术、设计和数学中都有广泛应用。
在艺术创作中，艺术家可以通过旋转变换来展示运动、节奏和动感。
在科学研究中，旋转变换被广泛用于计算机图形学、物体识别和计算机视觉等领域。
三、镜像变换镜像变换是指将图形关于一条线对称翻转。
镜像变换不改变图形的形状和大小，只改变了图形在平面或空间中的位置。
在艺术和设计中，镜像变换经常被用来创造对称美感，增加作品的视觉吸引力。
在科学研究中，镜像变换被广泛应用于模式识别、图像处理和数据压缩等方面。
四、缩放变换缩放变换是指按比例调整图形的大小。
缩放变换改变了图形的大小，但保持了其形状和相似性。
在艺术和设计中，缩放变换被用来创造层次感、透视感和远近感。
在工程和测量学中，缩放变换被用来计算物体的尺寸、比例和面积。
五、应用举例在日常生活中，几何中的变换和应用无处不在。
以下是一些具体的应用举例：1. 地图制作：地图制作中常常用到平移、旋转和缩放等变换，以便在有限的空间内准确表示地理信息。
2. 建筑设计：建筑设计中使用各种变换来创造独特的建筑风格，例如平移变换可以用来实现对称感，旋转变换可以用来创造动感。
3. 图像处理：在计算机视觉和图像处理领域，各种变换被广泛应用于图像修复、增强和特效创作等方面。
一、选择题1. （2003年北京市4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【 】A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （2004年北京市4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【 】（A ）24πcm 2 （B ）12πcm 2 （C ）12cm 2 （D ）6πcm 23. （2006年北京市课标4分）将如图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】4. （2007年北京市4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【】5. （2008年北京市4分）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【】6. （2009年北京市4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】7. （2010年北京市4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （2012年北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】二、填空题1. （2001年北京市4分）如果圆柱的母线长为3cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是▲ cm2．2. （2002年北京市4分）如果圆锥母线长为6cm，底面直径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是▲ cm2．3. （2002年北京市4分）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为▲ cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．4. （2006年北京市大纲4分）如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于▲ cm2。
几何变换1一．知识要点基本几何变换：平移、轴对称、旋转、中心对称、位似1．平移的定义：把一个图形沿一定的方向移动一定的距离叫平移，平移的性质：平移前后的图形是全等的，并且对应点的连线段相等且平行（或在同一条直线上）。
2．旋转的定义：把一个平面图形某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做，转动的角叫做 .旋转的性质：对应点到旋转中心的；对应点与旋转中心等于旋转角；旋转前后的图形。
3.中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过_________，而且被__________所平分.中心对称的两个图形是 .4．轴对称的定义：①把一个图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线对称（或成轴对称）。
②把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。
轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分。
成轴对称的两个图形是全等形。
5.位似的定义：若两个多边形不仅相似，且对应点的连线交于一点，对应边平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形。
在直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k二.基本训练1．点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是，关于原点的对称点为P′（）.2.点P（x，y）向右平移3个单位所得点的坐标是_______,向左平移2个单位所得点的坐标是_________,向下平移4个单位所得点的坐标是_______3.点p(3,-2)绕原点顺时针旋转90度所得点的坐标是________,点p(-3,4)绕原点逆时针旋转90度所得点的坐标是________4.若△ABC的三个点的坐标是A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原点为位似中心,将△ABC放大为原来的两倍,那么A、B、C对应的点坐标分别是___________、____________、____________.三.例题精讲:例1．（2010年）(1) 在平面直角坐标系中，将点A(-3，4)向右平移5个单位到点A1，再将点A1绕坐标原点顺时针旋转90︒到点A2。
直接写出点A1，A2的坐标；(2) 在平面直角坐标系中，将第二象限内的点B(a，b)向右平移m个单位到第一象限点B1，再将点B1绕坐标原点顺时针旋转90︒到点B2，直接写出点B1，B2的坐标；(3) 在平面直角坐标系中。
将点P(c，d)沿水平方向平移n个单位到点P1，再将点P1绕坐标原点顺时针旋转90︒到点P 2，直接写出点P 2的坐标。
例2．（2011年）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标是A （-7，1），B （1，1），C （1，7）.线段DE 的端点坐标是D （7，-1），E （-1，-7）. （1）试说明如何平移线段AC ，使其与线段ED 重合；（2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转，使AC 的对应边为DE ，请直接写出点B 的对应点F 的坐标；（3）画出（2）中的△DEF ，并和△ABC 同时绕坐标原点O 逆时针旋转90°，画出旋转后的图形.例3．（2009年）如图，已知ABC △的三个顶点的坐标分别为(23)A -，、(60)B -，、(10)C -，．（1）请直接写出点A 关于y 轴对称的点的坐标；（2）将ABC △绕坐标原点O 逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点B 的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A B C 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．例4．（2008年）（1）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是 ，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是 ；（2）直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式是 ；（3）如图，已知点C 为直线y x =上在第一象限内的一点，直线21y x =+交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，将直线AB 沿射线OC方向平移个单位，求平移后的直线解析式.例5．（2007年）如图①是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图②中，先画线段OA ，将线段OA 平移至CB 处，得到风车的第一个叶片F 1，然后将第一个叶片OABC 绕点O 逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2，再将F 1、F 2同时绕点O 逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4。
根据以上过程，解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4，0)，点C 的坐标为(2，1)，写出此时点B 的坐标； (2)请你在图②中画出第二个叶片．．．．．F 2；(3)在(1)的条件下，连接OB ，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB 扫过的图形面积是多少？练习一：1．已知直线y =2x －1分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点, 将直线AB 沿x 轴向右平移2 个单位得直线CD 交x 轴于C , 交y 轴于D ⑴写出直线CD 的解析式(2) 写出直线CD 关于x 轴对称的直线的解析式 (3)将直线CD 绕点C 逆时针旋转90得直线MN,求直线MN 的解析式.2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A （2，2），B （1，0），C （3，1）. (1)将△ABC 关于x 轴作轴对称变换得△A 1B 1C 1，则点C 1的坐标为 .(2)将△ABC 绕原点O 按逆时针方向旋转90°得△A 2B 2C 2，则点C 2的坐标为 . (3)△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2(第5题图)图①3．（1）点（1，1）向右平移3个单位所得点的坐标是＿＿＿＿(2)直线y=x 向右平移3个单位所得直线的解析式是＿＿＿＿（3）将直线1112y x =--向右平移3个单位得到直线2y ，求直线2y 关于x 轴对称的直线解析式4．如图，已知网格中每个小正方形的边长都是1，图中瓜子脸景图案是由三段以格点为圆心，半径为1的圆弧围成。
（1）填空：图中阴影部分的面积是 ；（2）请你在网格中以阴影图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的图案（要求至少两种图形变换）5．△ABC 在方格纸中的位置如图所示.(1) 请在方格纸上建立直角坐标系，使得A 、B 两点 的坐标分别为A (2,-1)、B (1,-4),并求出C 点的坐标；(2) 作出△ABC 关于横轴对称的△A 1B 1C 1，再作出△ABC以坐标原点为旋转中心、旋转180°后的△A 2B 2C 2， 并写出C 1、C 2两点的坐标；(3) 观察△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，其中的一个三角形能否由 另一个三角形经过某种变化而得到？若能，请指出 是什么变换？6．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）画出ABC △向平移4个单位后的111A B C △； （2）画出ABC △绕点O 顺时针旋转90后的222A B C △，并求点A 旋转到2A 所经过的路线长．ABC几何变换2例1．如图，平面直角坐标系中，Rt △ABC ，∠C = 90°，∠CAB = 45°，点C （-4，2），先将△ABC 向右平移m 个单位到△A 1 B 1 C 1，使△A 1 B 1 C 1与△ABC 关于y 轴对称；绕点B 1顺时针旋转90°， 得到△A 2B 1C 2．（1）请在图中画出△A 1B 1C 1和△A 2B 1C 2．（2分） （2）填空：m = ．（3分） 点C 1（ ， ） 点C 2（ ， ）（3）经过这两次图形变换，请你求出点C 经过的路径长．（用π表示）（2分）2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC 是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为（1-，1-）．（1）把△ABC 向左平移8格后得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1的图形并写出点B 1的坐标； （2）把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得到△A 2B 2C ，画出△A 2B 2C 的图形并写出点B 2的坐标；（3）把△ABC 以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1︰2，画出△AB 3C 3的图形．3．如图，△MNQ 在直角坐标系中，(3,8)M -,(2,3)N -,(5,2)Q -． (1)将△MNQ 向右平移6个单位，得到△ABC,写出A,B,C 各点的坐标；(2)将△ABC 绕(0,1)P -顺时针旋转180,求BCx4．△ACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示：⑴ △ACB 关于直线AB 作轴对称变换得△DAB ，则D 点的坐标为 。
⑵ △DAB 绕AD 的中点P 逆时针旋转90°，得△D 1A 1B 1，则D 的对应点D 1的坐标为 ⑶ 在图中画出△DAB 、△D 1A 1B 1并直接写出它们重叠部分的面积为 平方单位。
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点坐标分别为A （－3,0），B （0,4），O （0，0）。
⑴ 把△ABO 向右平移4个单位得到△A 1B 1O 1，则B 的对应点B 1的坐标为 。
⑵ 把△AOB 绕B 点逆时针旋转90°，得△A 2O 2B ，则A 的对应点A 2的坐标为 。
⑶ 在图中画出△A 1B 1O 1和△A 2O 2B 2，直接写出它们重叠的部分的面积为 平方单位。
6．在平面直角坐标系中，A （-4，-2），B （（1）将△ABC 绕C 点顺时针旋转（2）将△A 1B 1C 向右平移6个单位得△A 2B 2C （3）从△ABC 到△A 2B 2C 2_______，在旋转变换中AB 所扫过的面积为_________7．如图，△ABC 中，(23)A -，，(31)B -，，(12)C -，． （1）将△ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △；（2）画出△ABC 关于x 轴对称的222A B C △；（3）将△ABC 绕原点O 旋转180，画出旋转后的333A B C △； （4）在111A B C △，222A B C △，333A B C △中， △_____与△_____成轴对称，对称轴是______；△_____与△_____成中心对称，对称中心的坐标是______．8．如图，△ABC 中，(23)A -，，(31)B -，，(12)C -，． （1）将△ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △；（2）画出△ABC 关于x 轴对称的222A B C △；（3）将△ABC 绕原点O 旋转180，画出旋转后的333A B C △； （4）在111A B C △，222A B C △，333A B C △中， △_____与△_____成轴对称，对称轴是______；△_____与△_____成中心对称，对称中心的坐标是______．9．如图，以O为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位,圆心为A（3，0）的⊙A 被y轴截得的弦长BC=8，如图所示，解答下列下列问题：⑴⊙A的直径为 ;⑵请在图中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到⊙D，观察你所画的图形，则⊙D的圆心D的坐标为；⊙D与x轴的位置关系是，⊙D与y轴的位置关系是，⊙D与⊙A的位置关系是；⑶画出以点E（－8，0）为位似中心，将⊙D缩小为原来的一半的⊙F。
