第7讲 几何三大变换问题及答案

初中几何三大变换平移、旋转、轴对称
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
【答案解析】先将ABC 绕着B C 的中点旋转180，再将所得的三角形绕着B C的中点旋转180，即可得到△ A B C；先将ABC 沿着B C 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B C的垂直平分线翻折，即可得到△ A B C；故选：D.
典型易错题5（易错指数）
【答案解析】A ．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，正确；B ．线段和角都是轴对称图形，正确；C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，正确；D ．ABC DEF ，则ABC 与DEF 不一定关于某条直线对称，错误；故选：D ．
典型易错题6（易错指数）
图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【答案解析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，通过轴对称得到的是（1）．故选：A
典型易错题7（易错指数）
【答案解析】
典型易错题8（易错指数）
【答案解析】。

几何变换课堂练习题1. 试写出二维图形几何变换矩阵，并从变换功能上将其分块。

答：二维图形几何变换矩阵可用下式表示：T2D=从变换功能上可把T分为四个子矩阵，其中是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；[c f ]是对图形进行平移变换；对图形作投影变换；[ i ]是对整体图形作伸缩变换。

2.试写出三维图形几何变换矩阵，并从变换功能上将其分块。

答：三维图形的几何变换矩阵可用T3D表示，其表示式如下：从变换功能上T3D可分为4个子矩阵，其中：产生比例、旋转、错切等几何变换；产生平移变换；产生投影变换；[a44] 产生整体比例变换。

1. 已知三角形ABC 各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线Y=4做对称变换后到达A ’、B ’、C ’。

试计算A ’、B ’、C ’的坐标值。

（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵）解：（1）将坐标系平移至P 1 (0，4)点 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=140010001A T（2） 以Y 轴对称 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001B T（3）将坐标系平移回原处 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=140010001C T（4） 变换矩阵：T=T A*T B*T C= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-180010001（5） 求变换后的三角形ABC 各顶点的坐标A ’、B ’、C ’A ’: [][][][]1611800100011211211''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=⨯=T Y X A A X A '=1， Y A '=6 B ’: [][][][]1651800100011251251'=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=⨯=T Y X B B X B '=5， Y B '=6C ’: [][][][]1331800100011531531''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=⨯=T Y X C C X A '=3， Y A '=32．将x和y放大为原来的三倍，且图形点（0.5，0.2，－0.2）保持不动；S =T2 =2 S T1 =------------------------------------------------------------------------------------------------------- 填空题1.比例变换[x y 1]=[x y 1]=[sx·x sy·y 1]⑴当_____________时，为恒等比例变换，即图形不变；⑵当_____________时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大；⑶当_____________时，图形沿两个坐标轴方向等比例缩小；⑷当_____________时，图形沿两个坐标轴方向作非均匀的比例变换。

学生做题前请先回答以下问题问题1：平移的思考层次分别是什么？问题2：旋转的思考层次分别是什么？问题3：轴对称的思考层次分别是什么？几何三大变换（作图）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，将△ABC绕点C逆时针旋转得到，当点落在直线AB上时，旋转角为（其中），那么之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素3.在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，.将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD 边上的点处，折痕DE交BC于点E，连接，则四边形的形状准确地说应为( )A.矩形B.菱形C.梯形D.平行四边形答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素4.当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF 交AD于F．则∠AFE=( )A.60°B.67.5°C.72°D.75°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠的性质5.在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB，AC边分别交于点E，点F．若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，则纸片中∠B的度数为( )A.45°B.30°或45°C.30°或22.5°D.30°，22.5°或45°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠的性质。

几何三大变换（讲义及答案）几何三大变换课前预习平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换，它们都是变换，只改变图形的，不改变图形的和．请回忆几何三大变换的相关性质，并解决下列问题：1.在坐标系中，我们可以利用平移的性质来求解点的坐标．横坐标加减管左右平移，纵坐标加减管上下平移．如：将点A(2，3) 先向左平移3 个单位，再向上平移2 个单位，则平移后点坐标为A' (-1，5)．如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 平行且相等，若A(-1，-1)，B(3，-1)，C(2，1)，则点D 的坐标为．2.当题目中出现等线段共端点时，我们往往考虑利用旋转思想解决问题．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数．（提示：等边三角形有等线段共端点，考虑旋转．将△APC 绕点A 顺时针旋转60°．）1知识点睛1、、统称为几何三大变换．几何三大变换都是，只改变图形的，不改变图形的．2三大变换思考层次平移的思考层次：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：．③新关系：平移会产生．④应用：常应用在、等．旋转的思考层次（旋转结构）：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：；；．③新关系：旋转会产生．④应用：当题目中出现的时候考虑旋转结构．轴对称的思考层次（折叠结构）：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：；．③新关系：折叠会产生．④应用：常应用在、等．精讲精练1.如图，将周长为8 的△ABC 沿BC 方向平移1 个单位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为（）A．6 B．8C．10 D．1222.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A1B1，若点A1，B1 的坐标分别为(2，a)，(b，3)，则a +b = ?．第2 题图第3 题图3.如图，AB=CD，AB 与CD 相交于点O，且∠AOC=60°，则AC+BD与AB 的大小关系是（）A．AC +BD >AB B．AC+BD=ABC．AC +BD ≥AB D．无法确定4.如图，在4 ? 4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D第4 题图第5 题图5.如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴正半轴上，且∠B=120°，OA=2．将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为．339 346.如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板 ABC 和A ′B ′C ′ 重合在一起，将三角板A ′B ′C ′绕其直角顶点C ′按逆时针方向旋转角α（0 < α≤ 90? ），则下列结论：①当α= 30? 时，A ′C 与 AB 的交点恰好为 AB 的中点；②当α= 60? 时，A ′B ′恰好经过点 B ；③在旋转过程中，始终存在AA ′⊥BB ′．其中正确的是．（填写序号）第 6 题图第 7 题图7.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA =3，OB =4，OC =5．将线段 OB 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段O′B ，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点 B 逆时针旋转60°得到；②∠AOB =150°；③ S 四边形AOBO' = 6 + 3 ；④ S △ AOB + S △AOC = 6 +．其中正确的是．（填写序号）8.如图，将长为 4cm ，宽为 2cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的中点 E 处，压平后得到折痕 MN ，则线段 AM 的长为459.如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F 分别在AD，BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 边上的一点H 处，点D 落在点G 处，则下列结论：①四边形CFHE 是菱形；②CE 平分∠DCH；③当点H 与点A 重合时，EF= 2 ．其中正确的是．（填写序号）第9 题图第10 题图10.如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D 分别落在点A′，D′处，且A′D′经过点B，EF 为折痕．当D′F⊥CD 时，CF的值为（）DF3 -12B．36C．2 3 -16D．3 +18 11. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．D 是BC 边上一动点（不与点B，C 重合），过点D 作DE⊥BC，交AB 于点E，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为．52 【参考答案】 ? 课前预习全等位置形状大小 1．(-2，1) 2．150°知识点睛1. 平移、旋转、轴对称全等变换，位置，形状和大小2. 平移的思考层次：①平行（或在同一直线上）且相等，相等②对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等③平行四边形④天桥问题、存在性问题旋转的思考层次（旋转结构）：①相等，相等②对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心③等腰三角形④等线段共点轴对称的思考层次（折叠结构）：①相等，相等②对应点所连线段被对称轴垂直平分对称轴上的点到对应点的距离相等③垂直平分、等腰三角形④折叠问题、最值问题精讲精练1．C 2．2 3．C 4．B5．( ， ) 6．①②③ 7．①②④628．13cm 89．①③10．A11．1 或27。

中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力.1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。

专题：压轴题。

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．解答：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E 是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。

学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。

中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1.下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3.下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

【中考攻略】专题：几何三大变换之旋转探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。

旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。

经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n (n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。

一、中心对称和中心对称图形：典型例题：例1. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【】【答案】B 。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能（D ） （C ） （B ） （A ）够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D都不符合中心对称的定义。