几何三大变换

几何变换法在几何题或代数几何综合题的解题或证明过程中,经常会使用几何变换的观点来解决问题.从图形的特点出发,利用几何变换,可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置,构成一个新的关系,从而使问题获得解决.它们的理论依据是三种变换的定义及性质,具体如下:(一)平移变换1.定义:将图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定的距离形成图形F',则由F到F'的变换叫作平移变换.2.平移不改变图形的大小和形状.特点:(1)平移前后线段长度不变;(2)平移前后角的大小不变;(3)平移前后的对应线段保持平行或在同一直线上.3.在解决几何问题时,为了寻求解题途径,可以把题目中的某些线段平移到某一适当位置,作出辅助图形,使问题得到解决.作平行线是平移变换的一种常见形式.(二)轴对称变换1.定义:把图形G沿着直线l折过来,如果和图形G'重合,那么我们称这两个图形关于直线l“对称”.两个对称图形中的对应点叫作关于直线l的对称点,直线l叫作对称轴.轴对称图形有以下两个性质:(1)对应点的连线被对称轴垂直平分;(2)对称轴上任一点到两对应点的距离相等.运用对称思想解几何问题的基本做法是把图形的全部或一部分做轴对称变换.2.常根据下面的一些特殊情况做轴对称变换:(1)与线段中点有关的问题,常取该线段的垂直平分线为对称轴做变换;(2)与角平分线有关的问题,常取角平分线所在的直线为对称轴做变换;(3)与等腰三角形有关的问题,常取底边的中垂线为对称轴做变换;(4)与正三角形或正方形有关的问题,常利用正三角形或正方形的特性做轴对称变换,等.(三)旋转变换1.定义:将图形G绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ,得到图形G',这样由G到G'的变换叫作旋转变换,点O叫作旋转中心,θ叫作旋转角.2.旋转不改变图形的大小和形状.特点:(1)旋转前后线段长度不变;(2)旋转前后角的大小不变;(3)旋转前后对应线段的夹角等于旋转角.3.在使用旋转变换解题时需具备图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,这种方法一 般常用于等腰三角形、正方形图形中.几何变换法是数学中一种重要的方法.它的应用十分广泛,在解决几何问题时,平移、翻折、旋转是全等变换,它起到了将线段、角转移的作用,将分散的条件集中起来,从而达到完美的解题效果.（1）轴对称变换在解题中的应用【典型例题】如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边OB的中点.若E,F为边OA 上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E,F的坐标.【思路分析】由于CD 和EF 是两定长线段,因此,四边形CDEF的周长最小值其实就是DE+CF的最小值.动点E在F 左侧,且EF=2(定值),点E 确定点F 随之确定,反之亦然.通过平移点F让F,E重合,可将“双动点”转化成“单动点”,点C随之向右平移长度2,这就转化成了最基本的“将军饮马”模型.【答案解析】（2）平移变换在解题中的应用【典型例题】如图,在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连接AN,CM 交于点P,求∠APM 的度数.【思路分析】本题要求∠APM,通过猜测∠APM=45°,可联想到将其置于直角三角形中,于是将∠APM 的顶点向边上或者顶点处转移,考虑平移AN 或MC,由平行线的移角功能可以实现.连接KM,出现了直角三角形KMC.本题解法不唯一,将顶点转移到点A,C,M处均可得证.【答案解析】（3）旋转变换在解题中的应用【典型例题】如图,以△ABC的AB,AC边为边向形外作正方形ABDE与正方形CAFG,连接EF,过A作BC的垂线,分别交EF,BC于M,H.求证:EM=FM.【思路分析】本题要证EM=FM,只需使MA成为某个三角形的中位线即可,于是考虑构造这个三角形,构造后发现,由于AB,AC向外作正方形,由“等线段、共顶点”,其实构造的部分就是将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到的. 【答案解析】。

初中几何的三大变换教案教学目标：1. 理解平移、旋转、轴对称的定义和性质；2. 学会判断图形是否发生了平移、旋转或轴对称；3. 能够运用平移、旋转、轴对称进行图形的变换和解决实际问题。

教学重点：1. 平移、旋转、轴对称的定义和性质；2. 判断图形变换的方法。

教学难点：1. 理解平移、旋转、轴对称的本质；2. 运用平移、旋转、轴对称解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示平移、旋转、轴对称的图形；2. 学生准备笔记本，记录重要知识点。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示一些生活中的实例，如滑滑梯、旋转门等，引导学生思考这些现象的本质是什么。

2. 学生回答后，教师总结：这些现象都是图形的平移和旋转。

二、新课讲解（20分钟）1. 教师讲解平移的定义和性质，如平移的距离、方向等。

2. 学生跟随教师一起做几个平移的例子，加深理解。

3. 教师讲解旋转的定义和性质，如旋转的中心、方向、角度等。

4. 学生跟随教师一起做几个旋转的例子，加深理解。

5. 教师讲解轴对称的定义和性质，如对称轴、对称点等。

6. 学生跟随教师一起做几个轴对称的例子，加深理解。

三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些图形，要求学生判断它们是否发生了平移、旋转或轴对称。

2. 学生独立完成判断，教师巡回指导。

四、巩固提高（10分钟）1. 教师提出一些实际问题，如如何用平移、旋转、轴对称将一个图形变换到另一个位置等。

2. 学生分组讨论，寻找解决问题的方法。

3. 各组汇报讨论结果，教师点评并总结。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结平移、旋转、轴对称的定义和性质。

2. 学生记录重要知识点。

六、作业布置（5分钟）1. 教师布置一些有关平移、旋转、轴对称的练习题，要求学生独立完成。

教学反思：本节课通过讲解平移、旋转、轴对称的定义和性质，让学生掌握了图形的变换方法。

在课堂练习环节，学生能够独立判断图形是否发生了平移、旋转或轴对称。

几何变换详解在三维图形学中，几何变换大致分为三种，平移变换（Translation），缩放变换（Scaling），旋转变换（Rotation）。

以下讨论皆针对DirectX，所以使用左手坐标系。

平移变换将三维空间中的一个点[x, y, z, 1]移动到另外一个点[x', y', z', 1]，三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即x' = x + Txy' = y + Tyz' = z + Tz平移变换的矩阵如下。

缩放变换将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是[x, y, z, 1]，变换后的点是[x', y', z', 1]，那么x' = x * Sxy' = y * Syz' = z * Sz缩放变换的矩阵如下。

旋转变换这是三种变换中最复杂的变换，这里只讨论最简单的情况，绕坐标轴旋转，关于绕任意轴旋转，在后续的随笔中介绍。

绕X轴旋转绕X轴旋转时，顶点的x坐标不发生变化，y坐标和z坐标绕X轴旋转θ度，旋转的正方向为顺时针方向（沿着旋转轴负方向向原点看）。

[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。

变换矩阵如下。

关于旋转的正方向，OpenGL与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向（沿着坐标轴负方向向原点看），比如ComputerGraphics C Version，p409。

绕Y轴旋转绕Y轴旋转时，顶点的y坐标不发生变化，x坐标和z坐标绕Y轴旋转θ度。

[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。

变换矩阵如下。

绕Z轴旋转绕Z轴旋转时，顶点的z坐标不发生变化，x坐标和y坐标绕Z轴旋转θ度。

2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3．原图形中一边到变换后图形中对应边的角等于旋转角；
4．对应点所连线段的中垂线过旋转中心
共有性质
变换前后的两个图形全等
二、轴对称与中心对称的比较
轴对称
中心对称
定义
将一个图形沿某一直线翻折
将一个图形绕某一点转动180度
要素
对称轴
对称中心
独有性质
对应点所连线段被对称轴垂直平分
几何变换知识总结
一、三种几何变换的比较
平移
轴对称
旋转
定义
将一个图形沿一直线方向移动
将一个图形沿某一直线翻折
将一个图形绕某一点转动一定角度
要素
平移方向、平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角
独有性质
1．对应点所连线段平行（或共线）且相等；
2．对应边平行或共线
对应点所连线段被对称轴垂直平分
1．对应点到旋转中心的距离相等；
区别
轴对称描述两个图形间的位置与数量关系，轴对称图形描述一个图形的自身特性
中心对称描述两个图形间的位置与数量关系，中心对称图形描述一个图形的自身特性
联系
将成轴对称的两个图形视作一个整体，则这一整体是轴对称图形
将成中心对称的两个图形视作一个整体，则这一整体是中心对称图形
四、常见的旋转变换图形
1．对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；
2．对应边平行或共线
共有性质
变换前后的两个图形全等
常见图形
线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、正n边形、扇形、圆
线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正2n边形、圆
三、轴对称与轴对称图形、中心对称与中心对Байду номын сангаас图形的比较

几何形的变换几何形的变换是数学中常见的一个概念，它描述了平面上或者空间中的几何形状在不同条件下的改变情况。

通过对几何形的变换进行研究，人们可以更好地理解几何学中的各种性质和定理，也可以应用到实际生活中的建筑、设计和制造等领域。

本文将介绍常见的几何形变换，包括平移、旋转、翻转和放缩。

一、平移变换平移变换是指在平面上保持原有形状不变，只将几何形状沿着某个方向平行移动的操作。

平移变换可以用一个向量表示，向量的大小和方向确定了平移的距离和方向。

例如，将一个三角形沿着x轴正方向平移5个单位，则平移向量为(5,0)。

二、旋转变换旋转变换是指将几何形状绕着一个中心点旋转一定的角度。

旋转变换可以用旋转矩阵来表示，旋转矩阵根据旋转的角度和中心点的坐标确定。

常见的旋转变换有顺时针和逆时针旋转两种，分别用正负角度来表示。

例如，将一个正方形以原点为中心逆时针旋转90度，则旋转矩阵为：```[ 0 -1 ][ 1 0 ]```三、翻转变换翻转变换是指将几何形状沿着一条轴线进行对称翻转。

常见的翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种，分别沿着x轴和y轴进行。

水平翻转可以通过将每个点的y坐标取负实现，垂直翻转可以通过将每个点的x坐标取负实现。

例如，将一个圆形进行水平翻转，则每个点的坐标变为(x,-y)。

四、放缩变换放缩变换是指改变几何形状的大小，可以是扩大或者缩小。

放缩变换可以用一个因子来表示，该因子可以是正数也可以是负数。

当因子为正数时，几何形状会等比例地放大或者缩小；当因子为负数时，几何形状会在同时反向和等比例地放大或者缩小。

通过这些常见的几何形变换，我们可以得到各种不同形状的图形。

在实际中，这些几何形变换被广泛应用于建筑、设计和制造等领域。

例如，在建筑设计中，通过平移、旋转、翻转和放缩，可以将一个简单的建筑设计图转化为复杂多样的建筑形状。

在制造业中，通过几何形变换可以对零件的形状和尺寸进行调整，从而满足各种不同的需求。

总结起来，几何形的变换是数学中的重要概念，它描述了几何形状在不同条件下的改变情况。

小学数学七年级认识简单的几何变换几何变换是数学中的一个重要概念，它指的是在平面内对图形进行变换的操作。

小学数学七年级学生需要通过学习认识简单的几何变换，从而加深对图形的理解和空间想象力的培养。

本文将介绍小学数学七年级学生应该了解的三种简单几何变换：平移、旋转和翻转。

一、平移平移是指以某个参考点为中心，将图形沿着直线方向按给定的距离平行移动。

具体操作时，我们需要指定平移的方向和距离。

平移后的图形与原图形形状相同，但位置发生了改变。

例如，我们有一个正方形ABCDEF。

现在我们以点A为参考点进行平移，向右平移2个单位长度，得到平移后的正方形A'B'C'D'E'F'。

可以看到，经过平移后，正方形的位置发生了改变，但形状并没有发生变化。

[插入图片：正方形ABCDEF和平移后的正方形A'B'C'D'E'F']二、旋转旋转是指以某个参考点为中心，将图形按给定角度进行旋转。

具体操作时，我们需要指定旋转的角度和参考点。

旋转后的图形与原图形形状相同，但方向发生了改变。

例如，我们有一个三角形ABC。

现在我们以点A为参考点进行旋转，按逆时针方向旋转60°，得到旋转后的三角形A'B'C'。

可以看到，经过旋转后，三角形的方向发生了改变，但形状并没有发生变化。

[插入图片：三角形ABC和旋转后的三角形A'B'C']三、翻转翻转是指将图形沿着一条直线进行对称变换。

具体操作时，我们需要指定翻转的轴线。

翻转后的图形与原图形形状相同，但位置发生了改变。

例如，我们有一个长方形ABCD。

现在我们以线段AD为轴线进行翻转，得到翻转后的长方形A'B'C'D'。

可以看到，经过翻转后，长方形的位置发生了改变，但形状并没有发生变化。

[插入图片：长方形ABCD和翻转后的长方形A'B'C'D']通过学习和理解这三种简单的几何变换，小学数学七年级的学生可以更好地认识图形特点和属性，培养和提高空间想象力和几何思维能力。

几何形的变换与对称性几何形的变换与对称性是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学以及其他科学领域都有着广泛的应用。

本文将介绍几何形的变换和对称性的基本概念，以及它们在实际中的应用。

一、几何形的变换几何形的变换是指对图形进行改变的操作，主要包括平移、旋转和镜像三种基本变换。

1. 平移: 平移是指图形在平面上沿着某个方向保持大小和形状不变地移动。

平移可以由向量表示，将图形上的每个点都按照相同的向量进行平移。

2. 旋转: 旋转是指图形按照某个中心点进行旋转，使得图形在平面上绕中心点进行旋转。

旋转可以由角度表示，将图形上的每个点都按照相同的角度进行旋转。

3. 镜像: 镜像是指图形关于一条直线或一个点对称。

图形通过镜像变换后，与原来的图形完全重合，但是对称于镜像中心。

这三种基本变换可以组合使用，实现更复杂的变换效果，例如平移结合旋转可以实现圆周运动，平移结合镜像可以实现图形在平面上的滑移等。

二、对称性对称性是指一个图形相对于某条直线、某个平面或一个点而言能够完全或部分重合。

对称性可以分为以下几种类型：1. 线对称: 图形相对于一条直线对称，即左右对称。

直线可以是任意位置的，图形中的每个点关于直线都有对称点。

2. 面对称: 图形相对于一个平面对称，即上下对称或前后对称。

平面可以是任意位置的，图形中的每个点关于平面都有对称点。

3. 点对称: 图形相对于一个点对称，即中心对称。

点可以是图形中的任意一个点，图形中的每个点关于对称中心都有对称点。

对称性具有重要的几何性质，它可以帮助我们研究图形的性质和相似性质，简化计算和分析的过程。

三、应用案例几何形的变换与对称性在实际中有着广泛的应用。

以下是几个应用案例的介绍：1. 制造业: 在制造业中，使用几何形的变换和对称性可以帮助工程师设计、分析和生产产品。

例如，通过对产品进行平移、旋转和镜像变换，可以评估产品的装配性能、运动轨迹和外观质量。

2. 计算机图形学: 在计算机图形学中，几何形的变换和对称性是实现计算机动画和图形处理的基础。

几何形的变换几何形的变换是指通过平移、旋转、翻转和放缩等操作，使得原有的几何形状发生变化。

这些变换可以用来探索几何美学、解决几何问题以及创造出各种奇妙的图案。

一、平移变换平移变换是指将几何形状沿着一个方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变。

在平面几何中，平移只有一个参数，即平移向量的大小和方向。

平移变换可以用于构造对称图形，移动点的位置以及改变空间内的物体位置。

例如，我们可以通过平移变换在平面上构造一个正方形。

首先，选择一个点作为正方形的顶点，将这个点平移到正方形的另一个顶点位置，然后将这个新位置的点再次平移，如此重复直到构成正方形的四个顶点。

二、旋转变换旋转变换是指绕一个固定点按照一定的角度将几何形状旋转。

旋转变换可以是顺时针或逆时针方向，可以是一个完整的圆周旋转，也可以是一个部分角度的旋转。

旋转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及在计算机图形学中进行三维模型的旋转操作。

例如，在制作花纹图案时，可以通过旋转一个花朵的形状重复堆叠得到整个图案。

三、翻转变换翻转变换是指将几何形状绕一个固定的线对称翻转，使得形状按照对称轴左右对称。

翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种形式。

翻转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及进行三维模型的对称操作。

例如，在制作字母、数字或者其他具有对称特点的图形时，可以通过水平或垂直翻转得到完整的图形。

四、放缩变换放缩变换是指按照一定的比例因子调整几何形状的大小。

放缩变换可以是增大或缩小形状的尺寸，比例因子可以是一个常数或者一个向量。

放缩变换常用于调整图像的大小、制作图形的透视效果以及在几何问题中进行比例关系的推导。

例如，在绘制地图时，可以通过放缩变换将地球的三维形状映射到平面上，从而得到精确的地理信息。

综上所述，几何形的变换是通过平移、旋转、翻转和放缩等操作使得形状发生变化的过程。

这些变换可以应用于各个领域，包括几何美学、几何问题的解决以及计算机图形学等。

通过灵活运用几何形的变换，我们能够创造出丰富多样的图案和形状，带来视觉上的享受和数学上的挑战。

几何变换平移旋转翻转几何变换：平移、旋转、翻转几何变换是几何学中常用的一种操作，能够改变图形的位置、形状或方向。

其中，平移、旋转和翻转是最基本的几何变换方法。

本文将就这三种几何变换进行详细讨论，探讨它们的定义、特点以及在实际问题中的应用。

第一部分：平移平移是指将一个图形在平面上沿着直线方向保持形状和大小不变地移动一段距离。

平移变换的性质如下：1. 平移变换是保形变换，即平移后的图形与原图形相似。

2. 平移变换不改变图形的方向。

3. 平移变换的向量表示为 t(x,y)，其中 t 表示平移向量，(x,y) 表示原图形上的一个点，t(x,y) 表示平移后的对应点。

平移变换的应用十分广泛，常见于计算机图形学、建筑设计和机械工程等领域。

在计算机图形学中，平移操作常用于图像处理和图形动画制作，在建筑设计中，平移操作用于确定建筑物的位置和布局，在机械工程中，平移操作用于确定机器零件的位置和运动轨迹。

第二部分：旋转旋转是指将一个图形绕着一个固定点进行转动，使图形在平面上发生方向和角度的改变。

旋转变换的性质如下：1. 旋转变换是保形变换，即旋转后的图形与原图形相似。

2. 旋转变换改变了图形的方向和角度。

3. 旋转变换的中心点称为旋转中心，旋转角度表示图形绕旋转中心逆时针旋转的角度。

旋转变换在许多领域被广泛应用。

在航空航天领域，飞机和卫星的轨道计算需要使用旋转变换，在地图制作中，经纬度的转换也离不开旋转变换，在计算机图形学中，旋转操作是实现3D图像旋转和3D模型建模的重要手段。

第三部分：翻转翻转是指将一个图形沿着某条轴线进行对称，使得图形在平面上发生左右或上下的镜像变化。

翻转变换的性质如下：1. 翻转变换是保形变换，即翻转后的图形与原图形相似。

2. 翻转变换改变了图形的方向，使得左右或上下位置互换。

翻转变换在日常生活中也十分常见，如镜子中的人脸照片即为左右翻转的图像。

在计算机视觉和图像处理领域，翻转操作常用于图像增强、图像识别和人脸匹配等应用中。

初三数学几何三大变换（旋转、平移、翻折）知识点汇总初三数学——几何变换平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。

所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

旋转一、旋转的定义二、常见的几种模型三、旋转类型题目1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

平移1、平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离。

3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4、平移方向和距离的确定（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？A. 若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。

图形三大变换的定义和概念图形的三大变换分别是平移变换、旋转变换和缩放变换。

在数学中，图形变换是指将一个图形转变为另一个图形的一种操作。

通过这些变换，我们可以改变图形的位置、大小和方向，从而获得新的图形。

1. 平移变换：平移变换是指沿着给定的方向和距离将图形移动到新的位置上。

在平移变换中，所有的点都按照相同的方向和距离进行移动，因此图形的形状和大小不会改变，只是位置发生了改变。

平移变换可以用向量表示，向量的方向和长度表示了平移的方向和距离。

平移变换的定义：对于平面上的一个点P(x, y)，通过平移变换，该点将移动到P'(x', y')。

平移变换的规则可以表示为：x' = x + ay' = y + b其中，a和b是平移向量的坐标。

这意味着，原始点P移动到了新的位置P'，横坐标和纵坐标都分别增加了a和b。

2. 旋转变换：旋转变换是指围绕一个中心点旋转图形，使其绕中心点旋转一定角度。

在旋转变换中，图形的形状和大小不会改变，只是方向发生了改变。

旋转变换可以用一个旋转角度来描述。

旋转变换的定义：对于平面上的一个点P(x, y)，通过旋转变换，该点将绕原点(0, 0)旋转到P'(x', y')。

旋转变换的规则可以表示为：x' = xcosθ- ysinθy' = xsinθ+ ycosθ其中，θ是旋转角度，cosθ和sinθ分别代表cosine和sine函数的值。

这意味着，原始点P绕着原点旋转到了新的位置P'，新的点的坐标可以通过旋转角度和原始坐标计算得到。

3. 缩放变换：缩放变换是指通过改变图形的比例因子，使得图形在一个方向上变大或变小。

在缩放变换中，图形的形状和方向都保持不变，只有图形的大小发生了改变。

缩放变换的定义：对于平面上的一个点P(x, y)，通过缩放变换，该点将缩放到P'(x', y')。

几何形的变换几何形的变换涉及对几何图形进行旋转、平移、缩放等操作，使图形在平面上发生变化。

这些变换不仅在数学中有重要意义，也广泛应用于计算机图形学、建筑设计、艺术创作等领域。

本文将介绍几何形的三种基本变换及其应用。

一、旋转变换旋转变换是指将一个几何图形绕着某个中心点进行转动，使图形相对于原来的位置发生一定角度的变化。

常见的旋转变换有顺时针旋转和逆时针旋转两种。

旋转变换的数学表示可以使用矩阵来描述。

对于一个二维图形，其坐标点(x, y)经过逆时针旋转θ角度后的新坐标点可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ旋转变换在计算机图形学中有广泛应用，如三维建模中的物体旋转、游戏中的角色旋转等。

二、平移变换平移变换是指将一个几何图形沿着水平方向或垂直方向移动一定距离。

平移变换可以改变图形在平面上的位置，但不改变图形的形状和大小。

平移变换的数学表示可以使用平移向量来描述。

对于一个二维图形，其坐标点(x, y)经过平移向量(dx, dy)的平移变换后的新坐标点可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy平移变换在计算机图形学中常用于图像处理、游戏开发等领域。

比如，在平面地图中移动游戏角色的位置就是通过平移变换实现的。

三、缩放变换缩放变换是指将一个几何图形按照一定比例进行放大或缩小。

缩放变换可以改变图形的大小，但不改变图形的位置和形状。

缩放变换的数学表示可以使用缩放因子来描述。

对于一个二维图形，其坐标点(x, y)经过缩放因子(sx, sy)的缩放变换后的新坐标点可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy缩放变换在计算机图形学中常用于图像处理、动画效果等方面。

比如，在电影中实现特技效果或改变角色的形象时，常常使用缩放变换。

综上所述，几何形的变换涵盖了旋转、平移和缩放三种基本变换。

专题 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角. 旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.△PCA中的任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1） 如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2） 如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.图2图1MA B BA能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题） （第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题）4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（ ）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDADD A'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A B C D''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '1. 其中正确的结论有（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（ ）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（ ）.A.x y < B. x y = C. x y > D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）B10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）A B C A'B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B。

几何三大变换（讲义）_______、______、_________统称为几何三大变换，它们都是_________，只改变图形的________，不改变图形的_________． 一、平移1. （1）把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 2. 平移思考层次（1）全等变换：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等． （2）对应点：对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等．（3）常见组合搭配：平移会出现平行四边形；平移在平面直角坐标系下，常转化为点的坐标变化．（4）应用，作图：涉及到平移的作图时，往往要先画出平移通道，通过确定点的位置再确定图形位置． 二、轴对称（折叠）1. （1）如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴．如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （2）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 2. 轴对称（折叠）思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等） （3）常见组合搭配①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等．（4）应用，作图（构造） 核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形．特征举例：B A 1FED (B )CAG FE D CB AONMFE CB AD BOA C P Q B'C'知识点睛①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线．三、旋转1.（1）在平面内，将一个图形绕某个点按某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角度．旋转不改变图形的形状和大小．（2）____________、__________和___________称为旋转三要素．2.旋转思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与旋转中心：对应点到旋转中心的距离相等（旋转会出现等腰三角形、圆）；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心．（3）组合搭配：旋转特殊角度会出现特殊三角形（60°→等边三角形，90°→等腰直角三角形）；旋转会出现相似的等腰三角形．（4）应用、作图（构造）：题目背景中出现等线段共端点时，考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形）．1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB平移至A1B1，若点A1，B1的坐标分别为(2，a)，(b，3)，则a+b=________．2.（2020河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．(32，2) B．(2，2) C．(114，2) D．(4，2)精讲精练3.（2020赤峰）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）AB CD4.（2020安徽）如图△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF 在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数关系为_________．5.（2020潍坊）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE=3，CG=4，则AB=__________．6.（2019济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于______________．22B C(E)FAB CDEFGPFE DCBA MN7. （2020呼和浩特）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，点A 的对称点为A ′，点D 的对称点为D ′，若∠FPG =90°，S △A ′EP =8，S △D ′PH =2，则矩形ABCD 的长为（ ） A．10B．C．10D．8. （2020淄博）如图，矩形纸片ABCD ，AB =6 cm ，BC =8 cm ，E 为边CD 上一点．将△BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM ⊥BE ，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN =_______cm ，FMBE的值为_______，CE =_______cm ．9. （2020镇江）如图1，AB =5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM ，BN 上，PQ ∥AB ．设AP =x ，QD =y ．若y 关于x 的函数图象（如图2）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（ ） A ．25B ．12C ．35D ．71010. （2020杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，AE =2，则DF =_________，BE =_________．A′D′GFEDA PH FE D C BA MN图1NMQPABCD图2FE DCBA11. （2020滨州）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A ′处，得到折痕BM ，BM 与EF 相交于点N ．若直线BA ′交直线CD 于点O ，BC =5，EN =1，则OD 的长为（ ） ABCD第11题图 第12题图12. （2020舟山）如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB =5 cm ，BC =2 cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN =1 cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C ′上．当点B ′恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为_________cm ．13. 如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠C ，点P 在边AB 上．（1）判断四边形ABCD 的形状并加以证明．（2）若AB =AD ，以过点P 的直线为对称轴，将四边形ABCD 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C ′处，且线段B ′C ′经过点D ，折痕与四边形的另一交点为Q ． ①在图2中作出四边形PB ′C ′Q （保留作图痕迹，不必说明作法和理由）． ②如果∠C =60°，那么APPB为何值时，B ′P ⊥AB ．图1 图214. （2020菏泽）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（ ） A ．2αB ．23αC ．αD ．180°-αOA′A BCD EFMN B′C′EDCBA MNEDCBA15. （2015福州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BCABC 绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长度为_________．第15题图 第16题图16. （2020鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且AM ＜AB ，△CBE 由△DAM 平移得到，若过点E 作EH ⊥AC ，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得∠DHC =60°时，2BE =DM ； ②无论点M 运动到何处，都有DM；③在点M 的运动过程中，四边形CEMD 可能成为菱形； ④无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135°．以上结论正确的有__________（把所有正确结论的序号都填上）．17. （2020天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF =45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．若DF =3，则BE 的长为__________．第17题图 第18题图18. （2020通辽）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，∠PCQ =90°，则P A 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系是______________．19. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE=．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，EF 与AC 交于点G ，连接CE ，N 为CE 的中点，连接NG ，则线段NG 的长为_________．ABCMNHA B CDEMGFED CBAABCPQABCD EFG N【参考答案】平移；旋转；轴对称；全等变换；位置；形状和大小三、1.（2）旋转中心；旋转方向；旋转角1. 22. B3. A4.2202)24xyx x=-<≤≤≤（）（）5.16 36.20 37. D8.5；3 89. D10.2111. B12.13.（1）四边形ABCD是平行四边形，证明略；（2）①图略；②12APPB=．14. D15.116.①②④17. 218.P A2+PB2=2PC219.知识点睛精讲精练。

几何三大变换——平移、旋转、轴对称【理论点拨】1.平移、旋转、轴对称，统称为几何三大变换．几何三大变换都是____________，只改变图形的________，不改变图形的_________________．2.三大变换思考层次平移的思考层次：①全等变换：对应边_____________、对应角__________．②对应点：_________________________________________．③新关系：平移会产生_______________．④应用：常应用在_____________、___________________等．旋转的思考层次（旋转结构）：①全等变换：对应边__________、对应角__________．②对应点：__________________________________________；____________________________________________________；____________________________________________________．③新关系：旋转会产生______________．④应用：当题目中出现_____________的时候考虑旋转结构．轴对称的思考层次（折叠结构）：①全等变换：对应边__________、对应角__________．②对应点：__________________________________________；____________________________________________________．③新关系：折叠会产生_____________________________．④应用：常应用在______________、_______________等．【例题示范】如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B ′处，点A 的对应点为A ′，折痕为MN ．若B ′C =3，则AM 的长为__________．【思路分析】要求AM 的长，设AM=x ，则MD =9-x ．思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM =A′M =x ， A ′B ′=AB=9．观察图形，∠A ′=∠D =90°，△MA ′B ′和△MDB′都是直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程．思路一 思路二思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB =MB′．观察图形，∠A =∠D =90°，MB ，MB′可分别放到Rt △ABM 和Rt △DB′M 中借助勾股定理表达，列方程．【过关自测】1、如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12A'B'A D BCM NM CBDA B'A'FCE DBA A'B'ADBCM2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A 1B 1，若点A 1，B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a b +=___________．DOC BA第2题图 第3题图3、如图，AB =CD ，AB 与CD 相交于点O ，且∠AOC =60°，则AC +BD 与 AB 的大小关系是（ ） A ．AC BD +>AB B ．AC +BD =AB C ． AC BD +≥ABD ．无法确定4、如图，在44⨯的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得 到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点AB ．点BC ．点CD ．点DN 1M 1第4题图 第5题图5、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴正半轴上，且 ∠B =120°，OA =2．将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为___________．6、如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC 和A ′B ′C ′重合在一起，将三角板A ′B ′C ′绕其直角顶点C ′按逆时针方向旋转角α（090α<︒≤），则 下列结论：①当30α=︒时，A ′C 与AB 的交点恰好为AB 的中点； ②当60α=︒时，A ′B ′恰好经过点B ； ③在旋转过程中，始终存在AA ′⊥BB ′． 其中正确的是____________．（填写序号）(C' ) CB'BA'AO'O CBA第6题图第7题图7、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA =3，OB =4，OC =5．将线 段OB 绕点B 逆时针旋转60°得到线段O ′B ，则下列结论：①△A O′B 可 以由△COB 绕点B 逆时针旋转60°得到； ②∠AOB =150°；③6AOBO'S =+四边形 ④64AOB AOC S S +=+△△． 其中正确的是____________．（填写序号）8、如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在 CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．BCFAENMD【拓展训练】1、如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，点E ，F 分别在AD ， BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 边上的一点H 处， 点D 落在点G 处，则下列结论： ①四边形CFHE 是菱形； ②CE 平分∠DCH ；③当点H 与点A 重合时，EF= 其中正确的是____________．（填写序号）GHF EDC BAEFD'A'CDA第9题图 第10题图 2、如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，将纸片折叠，点A ，D分别落 在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B，EF 为折痕．当A ．12B．6C ．16D ．183、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3．D 是BC 边上一 动点（不与点B ，C 重合），过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于点E ，将∠B 沿 直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为________．D EF CB AAB C【参考答案】【理论点拨】1.平移、旋转、轴对称全等变换，位置，形状和大小2.平移的思考层次：①平行（或在同一直线上）且相等，相等②对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等③平行四边形④天桥问题、存在性问题旋转的思考层次（旋转结构）：①相等，相等②对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心③等腰三角形④等线段共点轴对称的思考层次（折叠结构）：①相等，相等②对应点所连线段被对称轴垂直平分对称轴上的点到对应点的距离相等③垂直平分、等腰三角形④折叠问题、最值问题【过关自测】1. C2. 23. C4. B5.，6.①②③7.①②④8.13cm 8【拓展训练】1、①③2、A3、1或2。