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习题5-1 用离子-电子法配平酸性介质中下列反应的离子方程式。
（1）I2 + H2S →I-+S（2）MnO4- +SO32-→Mn2+ +SO42-（3）PbO2 + Cl- →PbCl2 +Cl2（4）Ag + NO3-→Ag+ + NO（5）H2O2 + I-→I2 + H2O解：(1) 1×I2＋2e→2I―+) 1×S2―→S＋2eI2＋S2―→2I―＋S(2) 2×MnO4―＋8H＋＋5e→M n2＋＋4H2O+) 5×SO32―＋H2O →SO42―＋2H＋＋2e2MnO4―＋5SO32―＋6H＋→2M n2＋＋5SO42―＋3H2O(3) 1×PbO2＋4H＋＋2Cl―＋2e→P b C l2＋2H2O+) 1×2Cl―→Cl2＋2ePbO2＋4H＋＋4Cl―→PbCl2＋Cl2＋2H2O(4) 3×Ag →A g＋＋e+) 1×NO3―＋4 H+＋3e→NO ＋2 H2O3 Ag ＋NO3―＋4H＋→3Ag ＋NO ＋2H2O(5) 1×H2O2＋2H＋＋2e →2H2O2+) 1×2I―→I2＋2eH2O2＋2I―＋2H＋→I2＋2H2O5-2 用离子-电子法配平碱性介质中下列反应的离子方程式。
(1)H2O2 + Cr(OH)4→CrO42- + H2O(2)Zn + ClO- + OH-→Zn(OH)42- + Cl-(3)SO32- + Cl2→Cl- + SO42-(4)Br2 + OH-→BrO3- + Br-(5)Br2 + Cr(OH)3 + OH-→CrO42- + Br-解：(1) 1×H2O2＋2H2O＋2e→H2O＋2OH―+) 1×Cr(OH)4＋4OH―→CrO42-＋2H2O＋2eH2O2 + Cr(OH)4＋2OH―→CrO42- + 4H2O(2) 1×Zn + 4OH-→Zn(OH)42- + 2e+) 1×ClO- +H2O + 2e →Cl-+2OH-ClO- + Zn +2OH- +H2O→Zn(OH)42- + Cl-(3) 1×SO32- + 2OH―→SO42-+ H2O+2e+) 1×Cl2 + 2e →2Cl-SO32- + Cl2 +2OH―→2Cl- + SO42-+ H2O(4) 5×Br2 +2e→2Br-+) 1×Br2 + 12OH-→2BrO3- + 6H2O+10eBr2 + 6OH-→BrO3- + Br-+ 3H2O(5) 3×Br2 + 2e →2 Br-+) 2×Cr(OH)3 + 5OH-→CrO42- +4H2O+3e3Br2 + 2Cr(OH)3 + 10OH-→2CrO42- + 6Br-+8H2O5-3 将一未知电极电势的半电池与饱和甘汞电极组成一原电池，后者为负极。
思考与习题一、填空题1. 写出下列物质的共轭对象：①Ac ―—— ( HAc ) ⑤NH 4+——（ HCO 3 ） ②H 2CO 3——（ HCO 3 ） ⑥CO 32−——（ HCO 3 ）③H 3PO 4— （ HPO 4 ） ⑦PO 43−—— （ HPO 42— ）④H 2S —— （ HS — ） ⑧C 2O 42−——（ HC 2O 4— ）2.已知吡啶的θb K =1.7×10—9，则其共轭酸的θa K = （5.9×10―6 ） ，已知氨水的θb K =1.8×10—5，则其共轭酸的θa K =（5.6×10―10 ）。
3. 计算下列溶液的pH ：① 0.1mol/L HCl 溶液，pH 为（ 1 ）② 0.11mol/L KOH 溶液，pH 为（ 13.04 ）③ 0.4%（w /w ）NaOH 溶液（摩尔质量为40g/mol ，相对密度为1.00）的pH 为（ 13 ） ④ pH=4.0与pH=10.0的两强电解质溶液等体积混合后，pH 值为（ 7 ）⑤ 1mol/L NH 3·H 2O 与0.6mol/L HCl 等体积混合液pH 为（ 9.08 ）4. 用已知准确浓度的HCl 溶液滴定同浓度的NaOH 溶液，以甲基橙来指示化学计量点的到达，HCl 溶液称为___标准滴定_ 溶液，甲基橙称为__指示剂_ ，该滴定化学计量点的pH 等于__7__，滴定终点的pH 范围为____4.4—3.9_ ，此两者之间的差别称为___终点误差__ ，此误差为__正_ 误差（正或负）。
5. 酸碱滴定曲线是以被滴溶液的__ pH 变化为特征的，滴定时酸碱的浓度愈大(小) ，滴定突跃范围愈__大(小)_ ，酸碱的强度愈_大(小)_ ，则滴定突跃范围愈__大(小)_ 。
6. 甲基橙的变色范围是pH= pH=(3.1—4.4) _，当溶液的pH 小于这个范围的下限时溶液呈现___红 色，当溶液pH 处在这个范围内时指示剂呈现___橙 色。
第5章5-1传输线长度为1m ，当信号频率分别为975MHz 和6MHz 时，传输线分别是长线还是短线?答：1) 频率为975MHz 时，信号的波长为0.3077m<1m ，传输线是长线；2) 频率为6MHz 时，信号的波长为50m>1m ，传输线是短线；5-2已知同轴电缆的特性阻抗为75Ω，其终端接负载阻抗Z L =25+j50Ω，计算终端反射系数2Γ。
答：217550257550250L 0L 2+-=++-+=+-=Γj j j j Z Z Z Z5-3 一无耗传输线特性阻抗为Z 0=100Ω，负载阻抗Z L =75-j68Ω，试求距离终端为λ/8和λ/4处的输入阻抗。
答：1006850687568257568250L 0L 2+-=++-+=+-=Γj j j j Z Z Z Z100685068)(100685068100685068822'228/++=-+-=+-=Γ=Γ--j j j j j e j j e j z j λλπβλ 100686850)1(100685068100685068422'224/+-=-+-=+-=Γ=Γ--j jj j e j j ej z j λλπβλL 02L 075681002568756810017568Z Z j jZ Z j j-----Γ===+-+-222'8/82256825682568()175681756817568j j z j j j ee j j j j πλβλλ-------Γ=Γ==-=---0256811(8)1756825682000013617568(/8)10010025681(8)175682568150117568in j j j j j Z Z j j j j λλλ-++Γ-+---====--Γ--+-- 222'4/42256825682568(1)175681756817568j j z j j j ee j j jπλβλλ------+Γ=Γ==-=---0256811(4)1756825682000017568(/4)10010025681(4)175682568150136117568in j j j j Z Z j j j j j λλλ+++Γ-++-====+-Γ------5-4设无耗线终端接负载阻抗L L j X Z Z +=0，其实部0Z 为传输线特性阻抗，试证明：负载的归一化电抗L ~X 与驻波系数ρ的关系为ρρ1~L -=X 。
微机原理第五章练习题及解一:单项选择题●80286在保护虚地址模式下,虚拟空间为( D 。
A:1MB B:2MB C:4MB D:16MB●80486DX和80386相比,内部增加的功能部件是( C 。
A:分段部件、分页部件B:预取部件、译码部件C:Cache、浮点运算部件D:执行部件、总线接口部件●虚拟存储器是为了使用户可运行比主存容量大得多的程序,它要在硬件之间进行信息动态调度,这种调度是由( D 来完成的。
A:硬件B:操作系统C:BIOS D:操作系统和硬●在各种辅存中,除去( D 外,大多是便于安装、卸载和携带的。
A:软盘B:CD-ROM C:磁带D:硬盘●硬盘是一种外设,而软盘驱动器属于( C 。
A:软盘B:CD-ROM C:磁带D:硬盘●常用的虚拟存储器寻址系统由( A 两级存储器组成。
A:主存——外存B:Cache——主存C:Cache——主存D:Cache——Cache●高速缓存Cache的存取速度( C 。
A:比主存慢、比外存快B:比主存慢、比内部寄存器快C:比主存快、比内部寄存器慢D:比主存慢、比内部寄存器慢●在PC机中,CPU访问各类存储器的频率由高到低为( A 。
A:高速缓存、主存、硬盘、磁带B:主存、硬盘、磁带、高速缓存C:硬盘、主存、磁带、高速缓存D:硬盘、高速缓存、主存、磁带●下列说法中正确的是( D 。
A:EPROM是不能改写的B:EPROM可以改写,所以也是一种读写存储器C:EPROM只能改写一次D:EPROM可以改写,但不能取代读写存储器●目标程序中将逻辑地址转换成物理地址称为( B 。
A:存储分配B:地址重定位C:地址保护D:程序移动●高速缓冲存储器Cache的作用是( D 。
A:硬盘与主存储器间的缓冲B:软盘盘与主存储器间的缓冲C:CPU与视频设备间的缓冲D:CPU与主存储器间的缓冲●若256KB的SRAM有8条数据线,则它有( B 地址线。
A:8条B:18条C:20条D:256条●Cache存储器一般采用SRAM,而内存条由( D 组成。
第五章习题与解答5-1试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。
u r R1u cR2CR2R1u r u c(a) (b)题5-1图R-C网络解（a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(RRCRRTCRRRRKsTsKsCRsCRRRsUsUrcττωωτωωωωω11121212121)1()()()(jTjKCRRjRRCRRjRjUjUjGrca++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=CRRTCRsTssCRRsCRsUsUrc)(1111)()(2122222212ττωωτωωωωω2221211)(11)()()(jTjCRRjCRjjUjUjGrcb++=+++=="5-2某系统结构图如题5-2图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(tcs和稳态误差)(tes（1）tt r2sin)(=（2）)452cos(2)30sin()(︒--︒+=ttt r题5-2图反馈控制系统结构图解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 频率特性:2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=-系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时,2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2(-=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2(+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ 4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ>)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)902cos(7.0)4.3sin(4.0--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)6.262cos(58.1)4.48sin(63.0--+=t t5-3 若系统单位阶跃响应 h t e e t tt()..=-+≥--11808049试求系统频率特性。
第五章 晶格振动习题和答案1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？[解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。
在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。
每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。
原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。
2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？[解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。
3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为11)(/-=T k B e n ωω因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-Tk B eω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。
4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？[解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-HB T k eω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。
5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？[解答] 温度很高时，T k eB Tk B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为ωωω Tk e n B T k B ≈-=11)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。
第五章习题一、单项选择题1、第二次世界大战后，发达资本主义国家的发展进入国家垄断资本主义的新阶段，这意味着( )A、发达资本主义国家的政府担当调控国家宏观经济的重要职能B、国家垄断资本掌控经济生活C、所有重要的经济部门实行国有化D、国家垄断重于私人垄断2、国家垄断资本主义的产生和发展，从根本上说是( )A、国内市场竞争的结果B、国际竞争激烈化的结果C、垄断统治加强的结果D、生产社会化和资本主义私人占有制之间矛盾发展的结果3、当代资本主义国际垄断组织的主要形式是( )A、国际卡特尔B、混合联合企业级C、跨国公司D、国际康采恩4、金融资本是由( )A、产业资本和商业资本融合或混合生长而成的B、银行资本的工业资本融合或混合生长而成的C、垄断的银行资本和垄断的工业资本融合或混合生长而成的D、垄断银行资本和银行资本融合或混合生长而成的5、在垄断资本主义阶段占统治地位的资本是( )A、工业资本B、农业资本C、银行资本D、金融资本6、在垄断资本主义的各个基本经济特征中最根本的特征是( )A、国家垄断同盟的形成B、资本输出具有重要的意义C、垄断在经济生活中占统治地位D、瓜分世界领土，形成殖民体系7、资本主义由自由竞争阶段进入垄断阶段，最根本的标志在于( )A、垄断代替自由竞争在经济生活中占统治地位B、资本输出代替商品输出在经济生活中占统治地位C、银行资本代替工业资本在经济生活中占统治地位D、国家垄断代替私人垄断在经济生活中占统治地位8、国家垄断资本主义发展的基础是( )A、国有垄断资本B、资产阶级国家C、私人垄断资本D、资本输出9、国家垄断资本主义的发展( )A、改变了经济的资本主义性质B、符合垄断资本家的整体利益C、代表了个别资本家的利益D、消灭了私人垄断资本主义的基础10、金融寡头实现经济上统治的“参与制”是指金融寡头( )A、直接参与工业企业的生产经营和管理B、直接参与银行的经营和管理C、通过购买一定数量的股票层层控制许多大企业和大银行的经济统治方式D、通过购买所属公司全部股票直接掌握许多大企业和大银行的经济统治方式11、国家垄断资本主义是( )A、消除生产无政府状态的垄断资本主义B、资产阶级国家同垄断资本相互分离的垄断资本主义C、资产阶级国家同垄断资本融合在一起的垄断资本主义D、带有社会主义因素的垄断资本主义12、国家垄断资本主义的局限性在于( )A、使垄断资本主义存在着时而迅速发展时而停滞的趋势B、使垄断资本主义经济长期处于停滞状态C、使垄断资本主义经济长期处于滞胀状态D、它只能暂时使某些矛盾缓和，但却使这些矛盾进一步加深和复杂化13、垄断资本主义国家的金融寡头在经济上的统治主要借助于( )A、“代理制”B、“个人联合”C、“企业联合”D、“参与制”14、各国垄断组织从经济上瓜分世界产生了( )A、国家垄断资本主义B、国际垄断同盟C、金融资本和金融寡头D、殖民地和宗主国15、经济全球化发展趋势的现实基础是( )A、新科技革命B、生产国际化C、国际贸易的高度发展D、国际金融的迅速发展16、经济全球化的实质决定了它的发展必然是( )A、有利于所有国家B、有利于发达资本主义国家C、有利于发展中国家D、有利于社会主义国家17、资本主义发展的历史趋势是( )A、计划经济取代市场经济B、市场经济取代计划经济C、计划经济取代商品经济D、社会主义公有制取代资本主义私有制18、资本主义的历史地位是( )A、寄生的资本主义B、腐朽的资本主义C、不断发展的资本主义D、过渡的资本主义19、国家垄断资本主义为向社会主义过渡准备了物质条件是指( )A、全面的社会化B、全面的商品化C、全面的市场化D、市场的计划化20、资本社会化的最高形式是( )A、垄断资本主义B、国家垄断资本主义C、生产社会化D、经营管理社会化[单项选择题答案]1、A2、D3、C4、C5、D6、C7、A8、C 9、B 10、C 11、C 12、D 13、D 14、B 15、C 16、B 17、D 18、D 19、A 20、B二、多项选择题1、私人垄断资本主义向国家垄断资本主义过渡( )A、是资本主义生产社会化的客观要求B、是资本主义基本矛盾发展的必然结果C、在一定程度上促进了资本主义生产的发展D、能够从根本上解决资本主义的基本矛盾2、垄断资本要求国家干预经济生活的原因是( )A、社会化大生产要求国民经济协调发展，需要国家参与经济调节B、国内垄断资本需要国家支持以加强竞争的能力C、社会化大生产需要巨额投资，要求国家直接经营或资助D、生产过剩问题日趋严重，需要借助国家力量以扩大国内外市场3、国家垄断资本主义产生的具体原因是( )A、市场问题日益严重，要求利用国家力量来扩大B、社会化大生产所需巨额投资需要国家资助C、社会化大生产要求经济协调发展，需要国家直接干预D、对于不能直接获利的基础理论研究只能由国家来承担4、国家垄断资本主义的基本形式有( )A、国营企业B、国私合营企业C、国家与私人垄断资本在国际范围内的结合D、国家调节经济5、国家垄断资本主义对资本主义经济发展的作用( )A、在一定程度上促进了社会生产力的发展B、解决了垄断资本主义内在矛盾的深化与尖锐C、从根本上解决了失业问题D、消除了经济危机频繁的出现6、垄断与竞争并存的原因是( )A、垄断不能消除商品经济的竞争基础B、科技进步和创新不断激发新的竞争C、中小企业仍然大量存在D、垄断组织不能囊括一切商品生产7、垄断统治下竞争的特点( )A、竞争的目的是为了获得高额垄断利润B、竞争的手段有政治上的力量C、竞争更为激烈、破坏性更大D、竞争的范围除经济领域外还包括政治、军事、文化领域8、垄断价格是( )A、垄断资本家取得垄断利润的主要手段B、垄断资本家凭借垄断地位规定的商品价格C、成本价格加平均利润D、成本价格加垄断利润9、垄断形成的原因( )A、生产高度集中的必然产物B、资本高度集中必然引起垄断C、少数大企业为避免两败俱伤D、规模经济效益促使少数大资本走向垄断10、垄断高价和垄断低价并不否定价值规律，因为( )A、垄断价格的形成只是使价值规律改变了表现形式B、从整个社会看，商品的价格总额和价值总额是一致的C、垄断高价是把其他商品生产者的一部分利润转移到垄断高价的商品上D、垄断高价和垄断低价不能完全离开商品的价值11、资本主义在全世界范围被社会主义代替是一个很长的历史过程，在这个过程中两种社会制度的国家( )A、可能相互交往B、可以和平共处，但也存在斗争C、不存在和平共处的可能性D、可以平等互利地发生经济联系12、垄断利润的主要来源( )A、垄断企业内部工人创造的剩余价值B、非垄断企业工人创造的一部分剩余价值C、小生产者创造的一部分价值D、落后国家劳动人民创造的一部分价值、国内劳动人民必要劳动创造的一部分价值13、垄断资本主义的发展为向社会主义过渡准备了物质条件，主要表现在( )A、生产全面社会化B、生产管理日益社会化C、工会组织日益社会化D、资本日益社会化14、发达资本主义国家主导之下的国际经济协调机制包括( )A、国际货币基金组织B、世界银行C、七十七国集团D、世界贸易组织15、资本主义无法根除的主要矛盾是( )A、垄断资本与中小资本的矛盾B、社会化生产与资本主义私人占有的矛盾C、无产阶级与资产阶级的矛盾D、生产和消费的矛盾16、资本主义制度的历史进步性主要表现在( )A、促使科学技术转变为生产力B、追求剩余价值的动力和竞争的压力推动了生产力发展C、资本主义政治制度促进和完善了资本主义生产方式D、资本主义意识形态促进和完善了资本主义生产方式17、资本主义为社会主义所代替的历史必然性表现在( )A、资本主义的内在矛盾决定了资本主义必然被社会主义所代替B、资本积累推动资本主义最终否定资本主义自身C、国家垄断资本主义为向社会主义过渡准备了条件D、资本主义生产关系的调整促进了生产力的发展18、社会主义代替资本主义是一个( )A、长期的历史过程B、隐蔽的历史过程C、曲折的历史过程D、复杂的历史过程[多项选择题答案]1、ABC2、ABCD3、ABCD4、ABD5、AD6、ABCD7、ABCD 8、ABD 9、ABCD 10、ABCD 11、ABD 12、ABCD 13、ABD 14、ABD 15、BCD 16、ABCD 17、ABCD 18、ACD三、名词解释题1、垄断2、金融资本3、垄断利润4、国家垄断资本主义5、经济全球化四、简答题1、垄断是怎样产生的？为什么说垄断并没有消除竞争？答：所谓垄断，是指少数资本主义大企业，为了获得高额利润，通过相互协议或联合，对一个或几个部门商品的生产、销售和价格，进行操纵和控制。
习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得 即得证A 又A 故 ，则A 或 但，因此无论那一种情形都有 此即，但 所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明 ）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ） 故A B)AC ）AB C ） 于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证 若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解 当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明： 是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得 是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射 即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。
第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H AA dtd -=（H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H Ai dtA d=（１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H Ai的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dtA d -==（２） 此式遍乘2 即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd A A ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）⎰⎰⎰-≡=ττψψd AH HA iH A i dtA d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1（１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd A Hd A H⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A idtA d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd AiE d A iE ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtA d［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅ μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rd t d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ )],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p pp z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２）分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p zp p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ（３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x pp x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ （５）将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ}ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ2ˆ)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dtdτμτψψ （７）但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22pd p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n 2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=i j kkj ii j kz y x Cz y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
