北京化工大学 高等数学 2014年硕士研究生考研真题

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x x yln（12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】（16）【答案】x y )(y 20-==或舍。

x y 2-=时，所以21-=)(y 为极小值。

（17）【答案】令u y cos e x =，则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214-+=-由,)(f ,)(f 0000='=得（18）【答案】 补{}∑=11z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，（19）【答案】（1）证}a {n 单调 由20π<<n a ，根据单调有界必有极限定理，得n n a lim ∞→存在， 设a a lim n n =∞→，由∑∞=1n n b 收敛，得0=∞→n n b lim ， 故由n n n b cos a a cos =-，两边取极限（令∞→n ），得10==-cos a a cos 。

解得0=a ，故0=∞→n n a lim 。

（20）【答案】①()1,2,3,1T - ②123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫ ⎪--+ ⎪= ⎪--+ ⎪⎝⎭()123,,k k k R ∈ （21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+（3） （A ） （B ） （C ） （D ）（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年考研数三真题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000a b abc d c d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -（D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量1232X X X -服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年数学二真题及答案解析2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.• • •1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx)—均是比X咼阶的无2(A) (2, )(B) (1,2)(C)(2,1)(D)囲)⑵下列曲线中有渐近线的是()(A) y x sin x (B) 2 .y x sin x(C) y x sin 1 x (D) y 2 . 1x sinx⑶设函数f( x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，贝y 在区间［0,1］上( )(A)当f(x)0 时，f (x) g(x) (B)当f (x) 0时，f(x) g(x)(C)当f(x) 0 时，f (x) » g(x) (D)当f (x) 0时，f(x) g(x)⑷丄 2曲线x t2 y t27上对'4t 1应于t 1的点处的曲率半径是324(D) 5.10(D )1 (6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部222具有2阶连续偏导数，且满足」0及-u -4 0，则x yx y( )(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C)u(x,y)的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得(A)10 50■ 10 100(C) 10.10(5) 设函数 f (x) arctan x ,f(x) xf (),lim 2 x 0x 2(A)1(叫 (C)1(D)u(x, y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得52 6(C) a 2d 2b 2e 2(D) b 2e 2a 2d 2(8)设1, 2,3均为3维向量，则对任意常数k,l ,向量 组1k 3, 2l 3线性无关是向量组无 关 的要条件非必要条件1、填空题：9： 14小题,每小题4分,共24分.请将 答案写在答题纸指定位置上.• • •dx2x 5(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x) 2(x 1), x [0,2]，贝V f(7)_________________.⑺行列()(A)2(ad bc)0 a b 0 式a 0 0b 0cd 0c0 0 d(A)必要非充分条件 (B)充分非必 (C)充分必要条件 (D)既非充分也((9)(B) (ad be)27(11) 设z z(x,y)是由方程e2yzx y 2 z 4确定的函数，则dz(2$ --------------------------------------------------------------.(12) 曲线r r()的极坐标方程是r ，则L 在点(r ，)(-.-)处的切线的直角坐标方程是 _______________ .(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间［0,1］上，若其 线密度 x x 22x 1 ,则该细棒的质心坐标x _________________.(14) 设二次型 f x 1,x,,x 3x ,2x,22ax ,x 4乂2冷的负惯性指数为1,则a 的取值范围为 ________ .三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过• • •程或演算步骤. (15)(本题满分10分)(16)(本题满分10分)已知函数y y x 满足微分方程x 2y 2y 1 y ，且y 2 0 ,求极限x lim1X 2 t t e ' 1 t dt1x 2ln 1丄x8求y x 的极大值与极小 值.(17) (本题满分10分) 设平面区域Dxsin 、x 2 y 2 dxdy .D x y(18) (本题满分10分)设函数f (u)具有二阶连续导数, 三乍(4z excosy)e2x，若f(0) 0'f(0) 0，(19)(本题满分10分) 设函数f(x),g(x)的区间［a,b ］上连续，且f(x)单调增加，0 g(x) 1.证明: (I) 0 ag(t)dt x a,x [a,b],(20)(本题满分11分)f 1(x) f(x), f 2(x) f(f 1(x)), L f n (x) f(f n 1(x) ),L，记 S n是由曲线 y 围成平面图形的面积，求极限x, y 1x 2 y4,x 0, y 0 ,计算z f (e x cosy)满足 f(u)的表达式.(II)g(t)dtaf(x)dx f (x)g(x)dx . 设函数 f(x) —,x 0,11 x定义函数列 f n (x)，直线x 1及x 轴所lim nS nn(21)(本题满分11分)已知函数f(x,y)满足—2(y 1),且f(y,y) (y 1)2 (2 y)ln y, y求曲线f(x,y) 0所围成的图形绕直线y 1旋转所成的旋转体的体积•(22)(本题满分11分)1 2 3 4设矩阵A 0 1 1 1 ，E为三阶单位矩阵.1 2 0 3⑴求方程组Ax 0的一个基础解系; (II)求满足AB E的所有矩阵.(23)(本题满分11分)1 1 L 1 0 L 1 1 L 1 与0 LM M M M 円M M1 1 L 1 0 L 0 10 2相似•M M0 n证明n阶矩阵92014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.• • •1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx「均是比X咼阶的无10(A) (2, )(B)(1,2) (C)右)(D)(0，|)【答案】B所以1 0，故1.21 —当X 0时，(1 cosx) ~ t 是比X 的咼阶无穷小，2-所以Z 1 0，即2.故选B【解析】由定义In (1 2x)xX m(2x) X戈叫2X 1 0下列曲线中有渐近线的是(A) y x sin x(B) y x 2sin x(C)y x1 sin — x(D) yx 2 sin -x【答案】 C【解析】 关于 C 选项： .1 . 1 x sin sinlim xlim1 lim x1 0 1xx xxxlimsin - 0，所以y x sin-存在斜渐近线 Xx x故选CF (x)f(0)f(1) f (x), F则F (x) 0 , F(x)在［0,1］上为凸的.⑶设函数f(x)具有 2阶导数， g(x) f (0)(1 在区间［0,1］上()(A)当 f(x) 0 时， f (x)g(x)(B) 当 f(x) g(x)(C)当 f (x) 0时，f (x) g(x)(D) 当 f(x) g(x)【答案】D【解析】令F(x)g(x)f(x)f (0)(1 x)f(1)xf(x),F(0)F(1) 0x) f(1)x，贝yf (x) 0 时,f (x) 0 时,1sin — x ］x(x) f (x). 若 f (x) 0，又 F(0)故选D. ⑷曲线F(1) 0，所以当 x [0,1]时，F(x) 0，从而 g(x) f(x).74t 上对应于t 1的点处的曲率半径是1(A)) 50(B)卫100(D) 5.10 【答案】 【解析】 dy dxd 2y dx 2 2t 42t dx2石2t10.10故选C(5) 设函数f(x) arcta n x,若 f(x) xf (),(A)1(B)3(C )2(D)i( )(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C)u(x, y)的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D)u(x,y)的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A222【解析】记A0,代C 相反数xx yy则=AC-B 20,所以u(x, y)在D 内无极值，则极值在边界处 取得•故选A【答案】D 【解析】因为凹f '( ) 7^-2，所以x11 lim2 lim -x 0x arctanxx 0x f(x) f(x)1 1 X2 3x 22lim 2 lim x 0 x X故选D.(6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续, 具有2阶连续偏导数，且满足 x f (x) .. x arctanx 0 x 2f(x)在D 的内部 丄0及厶j 0，贝Vx y x y()(A) (ad be)2(C) a 2d 2b 2e 2(D) b 2e 2a 2d 2【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列ad (ad be) be(ad be)2(ad be).(8)设a i,a 2,a 3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组a ika 3, a ?玄线性无关是向量组 印包舄线性无关的 ()(A)必要非充分条件 要条件 (C)充分必要条件 也非必要条件a b 0a b 0 a ed0 e 0 0 b0 de d 0 0 a b 0 a 0 0 b 0 e d 0行列0 a b 0 a 0 0 b 0 e d 0 e0 0 d(B) (ad be)2(B)充分非必(D)既非充分【答案】A1 0【解析】1k3 213 1 230 1.k 1性无关.）举反例.令 3，^ V 1‘ 2线性无关，但此时却线性相关.综上所述，对任意常数k,1 ,向量 1k 3, 2 1 3线性无关是向量1, 2,3线性无关的必要非充分条件故选A1、填空题：9： 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. • • •11 dxx 2x 5【答案】I 【解析】)!己A 1k 3213, B1 01 2 3, C 0 1 .若k 11, 2,3线性无关，则 r(A) r(BC) r(C) 2，故 1k 3, 21 3线(9)(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且 f (x) 2(x 1), x [0,2]，贝V f(7)________________.【答案】1【解析】f 'X 2 x 1 , x 0,2且为偶函数贝y f 'x 2 x 1 , x 2,0又f x x 22x c 且为奇函数，故c=02f x x 2x , x 2,0又Q f x 的周期为4, f 7 f 1 1 (11)设z z(x,y)是由方程e2yzx y 2 z 4确定的函数，则【答案】冷呦2yzz ze 2y 1一xe 2yz (2z 2^z ) 2yy=dxx 2x 5-dx 4larctan x 1 2 2dz(2,2)【解析】对e2yzx彳方程两边同时对x,y 求偏导4x181当 x2，y(舅)， 112y (2,2)12(dx dy)(12)曲线艸n&的极坐标方程是r ，则L 在点故dz(1,1)11 dx ( )dy2 2(r, )(2,2)处的切线的直角坐标方程是【答案】 【解析】 由直角坐标和极坐标的关系x r cos cos y rsi nsin于是r,2,2,对应于x,ydy 切线斜率乎先 dx dx d所以切线方程为 cos sin cos sindy dx即『=2x -2(13) 一根长为 线密度x 轴的区间［0,1］上，若其 ,则该细棒的质心坐标1的细棒位于 2x x 2x 12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二i19【答案】101112 = 11 5 =20 3(13)设二次型 f X 1,X 2,X 3xj X； 2aX j X 3 4X 2X 3的负惯性指数是1 ,则a 的取值范围 _________ . 【答案】2,222 2 22x 1 ax 3 a x 3 x 2 2x 3 4x 3由于二次型负惯性指数为1，所以4 a 20，故2 a 2. 三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过• • •程或演算步骤. (15)(本题满分10分)X 21t 2 e t 1 t dt【解析】质心横坐标x1x x dx 0x dx1 x dx=2x 2x 1 dx1 x dx= x2x 1 dx4X 2 3 2X 1 11 — -X — 0— 4 3212【解析】配方法:f X 1,X 2,X 33 x21§ X X 02014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二求极限讪------- 1—X x2ln 1 丄2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二i21x 1 【解析】lim 亠*:X21x 2 ln(1 -)x2 —lim[ x (e x 1) x]xtt t..e 1 t . e 1 lim 2 lim t o t t o 2t(16)(本题满分10分)已知函数y y X 满足微分方程x 2y 2y 1 y ，且y 2 0， 求y x 的极大值与极小 值.【解由 x 2y 2y 1 y ，得(y 2 1)y 1 x 2 ................................................................................................................. ①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为由y(2) 0得c彳当y (x) 0时，x 1，且有:limxx 1it 2(& 1) t dtlim 丄丄又由①可得y(x)1 x 2y 2 1x 1,y (x) 0 1 x 1,y (x) 0x 1,y (x) 0所以y(x)在x1处取得极小值，在x 1处取得极大y( 1) 0, y(1) 1即：y(x)的极大值为1,极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域D x,y|1/ 2 2xsin - x y dxdy.D x y 【解析】D 关于y x 对称，满足轮换对称性，则:xsin( x 2 y 2) yI xsi n( x 2 y 2)D2 2亠dxdyX 2 y 2 4,x 0, y 0 ,计算ysin( .x 2 y 2),,dxdy x y」」1 xsin( Jx 2y 2) dxdyx y2 D x yysin(x ysin(1 2 4(14 14 sin r rdr rd cos r2.2r r 1cos rdr11 .■2sin r 1dcos2 1 244233 4（18）（本题满分10分）设函数f （u ）具有二阶连续导数,f (e x cosy) e x cosy^z f (e x cosy)y2z ~2 y(4z e x cosy)e 2x ， 若 f(0) 0, f '(0) 0，求 f(u) 的表达式.2z~2xf (e xcos y) xe cosy xe cos yf (e x cosy) e x cosy，2z ~2y2 2z z~~2 + 2 x yf (e x cos y)xe sin yxe sin yf (e x cosy)e x cosy4z x e cosy 2xexf e cosy，代入得，2xe[4 f e xcosyx 2xe cosy]exe cosy4f xe cosyxe cosy，y=t ，得f 特征方程xe cos 4f t t0, 2得齐次方程通解2tGe2tc 2e设特解y*at b， 代入方程得a-J ，b 0，特解4则原方程通解为 y=f t&e 2t c 2e 2tz f (e x cosy)满足z e cosy ,xxe sin y由 f 0 0, f '0 0，得 C i— ,C2丄，贝y16 16 11 2u 1 2u 1y=f u —e —e-u 16 164 '(19)(本题满分10分)设函数f (x), g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增 加，0g(x) 1，证明:(I ) 0ag(t)dt x a ,x [a,b],ba g(t)dtb(II ) af (x)d x f(x)g(x)dx .aa【解析】(I )由积分中值定理：g t dt g x a , [a,x]Q 0 g x 1，0 g x a x axa g t dt X a(II )直接由g x 1,得到xx 0 g t dt 1dt= x aa au(II ) 令 F u :fxgxdxI ag t dtf x dx'uF u f u g u f a g t dt g u au g u f u f a g t dta由(I )矢口 0 ag t dt u a a a a g t dt u又由于 f x单增，所以f U f a： g t dt 0F ' u 0, F u单调不减， F u F a 0取u b，得Fb 0，即(II )成立.(20)(本题满分11分)设函数f(x)亠,x 0,1，定义函数列1 xf 1(x) f(x), f 2(x) f(f 1(x))丄，f n(x) f(fn1(X )),L ， 记 S n 是 由曲线 y f n (x)，直线x 1及x 轴所围成平面图形的面积，求极 限 lim nS n.nf(y, y) (y 1)2(2 y)ln y,求曲线f(x,y) 0所围成的图形绕直 线y 1旋转所成的旋转体的体积. 【解析】因为—2(y 1),所以f (x,y) y 22y (x),其中(x)为 y待定函数. 又因为 f(y,y) (y 1)22 y l ny,则(y) 1 2 y l ny ，从而【解析】f 1(x) xr?f 2(x)S n1 n 1 n 10 f n (x)dx1 1dx -n 1P ln(1 n 10 I 1 01 n)..ln(1 n) lim n nx1x—dx — 1 nx1 1 dx2ln(1 nx)nx n nx x ,f3(X )1 2x1 3x1 nx 1 0丄，f n (X )x 1 nxlim nS n 1n(21)(本题满分已知函1 lim也山Xx11分)数 f(x,y)1 lim —十2(y 1)，2 In xd1(22)(本题满分11分)341 13(I) 求方程组Ax 0的一个基础解系; (II) 求满足AB E 的所有矩阵B . 【解析】1 2 34 1 0 0 1 2 3 4 10 0 A E0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 01 2 0 3 0 0 1 0 43 1 1 0 11 234 10 0 1 0 0 1 2 6 10 11 1 0 1 0 0 1 02 13 10 0 1 314 10 0 13141(I)Ax的 基础解系为1,2,3,1 T(II) e1,0,0 T,e 2 0,1,0T ,e s 0,0,1Tf(x,y) y 2 2y 12 x 令 f(x,y) 0,可得(y 而所求的体积为In x 1)2(y 1)2 2In xx In x.当y1时，x 1或x2dxIn xdxIn x(2x2ln 222(2x£)2ln 2dx2In21E为三阶单位矩阵.设矩阵Ax e i 的通解为x kiAx e的通解为x k 2Ax e 3的通解为xk32 k 1 6 k 2 1 k 3B 1 2k 1 3 2k 2 1 2k 3B1 3k 14 3k 21 3k 3k1k2k3(23)( 本题满分 11 分)1 1 L 11 1 L 1 M M M M1 1 L 11 M1 L L 1， M1， 0( n 1重).n的特征向量为(1,1L ,1)T； r(A) 1,故Ax 0基T2 k 1, 1 2k 1, 1 3k 1,k 1 T6 k 2, 3 2k 2, 4 3k 2,k 2 T1 k 3,1 2k 3,1 3k 3, k 3 T2, 1, 1,0 6, 3, 4,0 T1,1,1,0 T0L与0 LMM 0L01 0 2相似 .MM0n1 2 B= 0 0 L 1， Mnk 1,k 2,k 3为任意常数）证明n 阶矩阵0有A 相似于对角阵解析】已知A则 A 的特征值为A属于础解系有n 1个线性无关的解向量，即A属于n 1个线性无关的特征向量；故n 0.■ OB的特征值为n，0（n 1重），同理B属于0有n 12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角阵由相似关系的传递性， A 相似于B.30。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（）（A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++，当0x →时，若(x)tanx P -是比x 3高阶的无穷小， 则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000ab a bcd cd= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(2)下列曲线有渐近线的是(=x +sin xa (B)a n ＜一2(C)an> a — (D)an <a +a> 一2an1 n1n的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设 lim a n =a,且 a H 0,则当 n 充分大时有((B)=x 2+sin x(C )(D)+ - 1 =x +s in —x2 . . 1 y =x + si n— x3m 设PCX)«fl + fa; + ex- +如，则当时，若卩O)-亦盖是比玄，高阶的无穷小沪则下列选项中错误的是＜ ＞(B) b = i(C) "Q(4)设函数 f(x)具有二阶导数，g(x) = f(0)(1-x) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上()f '(X)二0时，f(X)>g(x) f '(X)二0 时， f(x)<g(x) f '(X)兰0 时， f(x)>g(x) f'(X)兰 0时，f(x)>g(x)当 (A) 当(B)当当 (D)(12)精品文档2(5)行列式a 2d 2-b 2c 2二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上.设某商品的需求函数为 Q=40-2P (P 为商品价格)，则该商品的边际收益为 设D 是由曲线xy +1=0与直线y +x=0及y=2围成的有界区域，则 D 的面积为(A)(ad -be)2(B) -(ad -be)2(D)b 2c 2-a 2d 2(6)设a 1,a,a 均为3维向量，则对任意常数k,l ,向量组a <^^3«^^3线性无关是向量组 口1,口2,口3线性无关的(A ) (B )(C )(D )必要非充分条件充分非必要条件 充分必要条件 既非充分也非必要条件 (7)设随机事件 A 与B 相互独立，且 P ( B ) =0.5 , P(A-B)=0.3，求P ( B-A )=( )(A ) (B ) (C ) (D )0.1 0.2 0.4(8)设X I , X 2,X 3为来自正态总体 N(0,b 2)的简单随机样本，则统计量~,Q x 』X F —X 2服从的分布为 (A ) (B ) (C )(D )F F t(1) t(2(1,1)(2,1) (9) (10) (11)、几 f a2X 设［Xedx^1，贝y a =4二次积分J1dy/(e^-e y 2)dX =0 yX(13)设二次型_ 2 2f (X 1, X 2,X 3)=X 1 -X 2 +23X 1X 3 + 4X 2X 3的负惯性指数为1,则a 的取值范围是n总体X 的简单样本，若C 送X i 2是e 2的无偏估计,7三、解答题：15— 23小题，共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限limX 一急21X 2l n(1 +—)X(16)(本题满分10分) 设平面区域 D ={(x,y)|1 <x 2+y 2<4,x >0, y >0}，计算 jjXSin^V X ^y )D(17)(本题满分10分)f(0卜0 ,咒0,)求f (u)的表达式。

2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）５．行列式dc d c ba b a00000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c bd a - （D ）2222c bd a +- 【详解】20000000000000000)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad dc b a bcd c b a ad dc c ba b d c d b a a dcd c ba b a--=-+--=+-=+-=应该选（B ）．6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）． 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-． 所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）． 8．设321X X X ,,为来自正态总体),(20σN 的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布是（A ）),(11F （B ）),(12F （C ） )(1t （D ）)(2t 【详解】232132122XX X X X X S -=-=，显然),(~10221N X X σ-，)(~12223χσX ，且),(~10221N X X σ-与)(~12223χσX 相互独立，从而)(~1222223212321321t X X X XX X X X X S σσ-=-=-=故应该选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为 ． 【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ． 【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022． 【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e e dy y e dy x e x d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x 13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,,),(02322θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=ni iXC12是2θ的无偏估计，则常数C = ．【详解】22222532θθθθ==⎰2dx x x X E )(，所以21225θCn X C E n i i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=，由于∑=ni i X C 12是2θ的无偏估计，故125=Cn，nC 52=． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D DD dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分） 求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】 由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-． 令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+ba dtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 21．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 22．（本题满分11分）设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ．（1） 求Y 的分布函数； （2） 求期望).(Y E 【详解】（1）分布函数())/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121=≤+=≤===≤+==≤==≤+=≤=≤=X y Y P X y Y P X P X y Y P X P X y Y P X y Y P X y Y P y Y P y F当0<y 时，0=)(y F ；当10<≤y 时，y y y y F 4322121=+=)(； 当21<≤y 时，214122121+=+=y y y F )(； 当2≥y 时，1=)(y F ． 所以分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤<=2121421104300y y y y y y y F ,,,,)( （2）概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<==其它,,,)(')(021411043y y y F y f ，434432110=+=⎰⎰dy y ydy Y E )(．23．（本题满分11分）设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为321310====)(,)(X P X P ，且X ，Y 的相关系数21=XY ρ． （1） 求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布； （2） 求概率)(1≤+Y X P ．[详解]由于X ，Y 的概率分布相同，故321310====)(,)(X P X P ，321310====)(,)(Y P Y P ， 显然32==EY EX ，92==DY DX 相关系数()929421-=-===XY E DYDX EXEY XY E DY DX Y X COV XY )(),(ρ，所以95=)(XY E ． 而),()(1111==⨯⨯=Y X P XY E ，所以9511===),(Y X P ，从而得到),(Y X 的联合概率分布：11 9511===),(Y X P ，9110===),(Y X P ，9101===),(Y X P ，9200===),(Y X P （2）.),()()(94111111===-=>+-=≤+Y X P Y X P Y X P。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数图形的渐近线【解析】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlim x x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1lim sin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C. （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数图形的凹凸性 【解析】令()()()()(0)(1)(1)F x f x g x f x f x f x =-=---有(0)(1)0F F ==，()()(0)(1)F x f x f f ''=+-，()()F x f x ''''=当()0f x ''≥时，()F x 在[0,1]上是凹的，所以()0F x ≤，从而()()f x g x ≤.选D. （3）设(,)f x y 是连续函数，则21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）（A ）21110010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰（B ）211011(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【答案】D【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换 【解析】画出积分区域.21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰21111(,)+(,)x xdx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰⎰⎰或112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰.故选D.（4）若{}2211,(cos sin )min (cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π 【答案】A【考点】定积分的基本性质 【解析】222(cos sin )[2(cos sin )(cos sin )]x a x b x dx x x a x b x a x b x dx ππππ----=-+++⎰⎰22222[2cos 2sin cos 2sin cos sin ]x ax x bx x a x ab x x b x dx ππ-=--+++⎰22222[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx ππ-=-++⎰2222202[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx π=-++⎰333222222222(2)(4)[(2)4]32233b a b a b b a b ππππππππ=-++=+-+=+--+故当0,2a b ==时，积分最小.故选A.（5）行列式0000000a b abc d c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】行列式展开定理 【解析】2141000000(1)0(1)000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d++=⨯-+⨯- 3323(1)(1)a b a b a d c b c d c d ++=-⨯⨯--⨯⨯-a b a bad bcc d c d=-+ 2()()a bbc ad ad bc c d=-=--.故选B. （6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性无关的充要条件【解析】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===⇒++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.如：123100=0=1=0000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性相关.故选A.（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B【考点】概率的基本公式 【解析】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==⇒=.()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=.故选B.（8）设连续型随机变量21,X X 相互独立，且方差均存在，21,X X 的概率密度分别为)(),(21x f x f ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （D ）2121,DY DY EY EY >= 【答案】D【考点】统计量的数学期望【解析】2121()2Y X X =+，2121211[()]()22EY E X X EX EX =+=+， 2121211[()]()24DY D X X DX DX =+=+.1121()[()()]2Y f y f y f y =+，1121221[()()]()22y EY f y f y dy EX EX EY +∞-∞=+=+=⎰.2222112121[()()]()22y EY f y f y dy EX EX +∞-∞=+=+⎰， 22222111121211()()()24DY EY EY EX EX EX EX =-=+-+ 2222121212122()()24EX EX EX EX EX EX ⎡⎤=+---⋅⎣⎦ 22121212124DX DX EX EX EX EX ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦ 221212121()()24DX DX EX EX EX EX ⎡⎤≥+++-⋅⎣⎦ 2121221()4DX DX EX EX DY ⎡⎤=++-≥⎣⎦ 1212,EY EY DY DY ∴=>二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为【答案】210x y z ---= 【考点】曲面的切平面【解析】22(,,)(1sin )(1sin )F x y z x y y x z =-+--22(1sin )cos x F x y x y '=--⋅，2cos 2(1sin )y F y x y x '=-⋅+-，1z F '=-∴(1,0,1)2x F '=，(1,0,1)1y F '=-，(1,0,1)1z F '=-曲面在点)1,0,1(处的切平面方程为2(1)(1)(0)(1)(1)0x y z -+--+--=，即210x y z ---=（10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】函数的周期性 【解析】由于]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，所以2()(1),[0,2]f x x C x =-+∈ 又)(x f 是奇函数，(0)0f =，解得1C =-2()(1)1,[0,2]f x x x ∴=--∈)(x f 是以4为周期的奇函数，故2(7)(3)(1)(1)[(11)1]1f f f f ==-=-=---=（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为=y【答案】21x y xe +=【考点】变量可分离的微分方程 【解析】(ln ln )0ln 0y xxy y x y y x y''+-=⇒+= ① 令yu x=，则y ux =，y u u x ''=+ 代入①，得ln 0u u x u u '+-=即(ln 1)u u u x-'=分离变量，得(ln 1)(ln 1)ln 1du d u dxu u u x-==--两边积分得1ln ln 1ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=即ln1yCx x-= 代入初值条件3)1(e y =，可得2C =，即ln12yx x-= 整理可得21x y xe+=.（12）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx【答案】π【考点】斯托克斯公式 【解析】由斯托克斯公式，得0xyLD dydz dzdx dxdy zdx ydz dydz dzdx dydz dzdx x y z z yπ∑∑∂∂∂+==+=+=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中{}22(,)1xy D x y x y =+≤（13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是【答案】]2,2[-【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 故二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a a a，即]2,2[-∈a【解法二】2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-若负惯性指数为1，则240[2,2]a a -≥⇒∈-（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni i X c 12是2θ的无偏估计，则=c【答案】n52 【考点】统计量的数字特征 【解析】根据题意，有322222112()()()3n ni i i i x E c X c E X ncE X nc dx θθθ=====∑∑⎰4222221523425nc nc x c nθθθθθ=⋅==∴= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】11221122((1))((1))limlim11ln(1)xxttx x t e t dt t e t dtx x xx→+∞→+∞----=+⋅⎰⎰1122(1)1lim lim (1)1xx x x x e x x e x→+∞→+∞--==-- 2001111lim lim 22t t t t e t e t x t t ++→→---===令 （16）（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程322+60y xy x y ++=确定，求)(x f 的极值【考点】极值的必要条件【解析】对方程两边直接求导：2223220y y x y xy y xyy '''++++= ① 令0y '=，得2y x =-，或0y =（舍去）将2y x =-代入原方程得 3660x -+= 解得1x =，此时2y =-. 对①式两端再求导，得222(32)2(3)()4()20y xy x y y x y y x y y ''''+++++++=将1x =，2y =-，0y '=代入上式，得 409y ''=>，即4(1)09f ''=> ()y f x ∴=在1x =处取极小值，极小值为(1)2f =-.（17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x =满足22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【解析】由)cos (y e f z x=，知(cos )cos x x z f e y e y x ∂'=⋅∂，(cos )(sin )x x zf e y e y y∂'=⋅-∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， 22(cos )(sin )(sin )(cos )(cos )x x x x x zf e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由22222(4cos )x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂，代入得 22(cos )[4(cos )cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即(cos )4(cos )cos x x x f e y f e y e y ''-= 令cos x u e y =，则()4()f u f u u ''-= 特征方程212402,2r r r -=⇒==- 齐次方程通解为2212uu y C eC e -=+设特解*y au b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y u =-原方程的通解为221214uu y C eC e u -=+-由(0)0,(0)0f f '==，得 1211,1616C C ==- 22111()16164u u y f u e e u -∴==--（18）（本题满分10分）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑【考点】高斯公式【解析】因∑不封闭，添加辅助面2211:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，方向向上．133(x 1)(y 1)(z 1)dydz dzdx dxdy ∑+∑-+-+-⎰⎰22(3(1)3(1)1)x y dxdydz Ω=-+-+⎰⎰⎰22(3633631)x x y y dxdydz Ω=++++++⎰⎰⎰22(337)x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰1220(z)(337)D dz x y dxdy =++⎰⎰⎰1220(37)4zdz d r rdr πθπ=+=⎰⎰⎰（其中(66)0x y dxdydz Ω+=⎰⎰⎰，因为积分区域关于,xoz yoz对称，积分函数(,)66f x y x y =+分别是,y x 的奇函数．）在曲面1∑上，133(1)(1)(1)0x dydz y dzdx z dxdy ∑-+-+-=⎰⎰ 故33(1)(1)(1)4x dydz y dzdx z dxdy π∑-+-+-=-⎰⎰． （19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（I ）证明：;0lim =∞→n n a（II ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛. 【考点】级数敛散性的判别【解析】证明：（I ）cos cos cos cos n n n n n n a a b a a b -=⇒=-0,022n n a b ππ<<<<，cos cos 00n n n n a b a b ∴->⇒<<级数1nn b∞=∑收敛，∴级数1nn a∞=∑收敛，lim 0n n a →∞=.（II ）解法1：2sinsin cos cos 22n n n nn n nn nna b a ba ab b b b +---==02n a π<<，02n b π<<，sin ,sin 2222n n n n n n n n a b a b a b a b ++--∴≤≤222222n n n nn nn nn n a b a b a b a b b b +--⋅-∴≤=222n n n b b b ≤=02n a π<<，02n b π<<，且级数1nn b∞=∑收敛，∴级数∑∞=1n nnb a 收敛. 解法2：cos cos 1cos n n n nn n na ab b b b b --=≤21cos 1cos 1lim lim 2n n n n n n n b b b b b →∞→∞--== ∵同阶无穷小有相同的敛散性，∴由1n n b ∞=∑⇒ 11cos n n n b b ∞=-∑收敛⇒∑∞=1n n n b a收敛（20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B .【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解 【详解】对矩阵()A E 施以初等行变换1234100()0111010*******A E --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1205412301021310013141--⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭ 100126101021310013141-⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭ （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数（21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因为()1r A =，()1r B =所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλ 关于A 的0特征值，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00 同理，关于B 的0特征值，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00 由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望） 【详解】（I ）()()y F y P Y y =≤(1)(1)(2)(2)P X P Y y X P X P Y y X ==≤=+=≤=11(1)(2)22P Y y X P Y y X =≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =② 当01y ≤<时，1113(y)2224Y F y y y =+⨯= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y yF y =+⨯=+④ 当2y ≥时，11(y)122Y F =+=综上：003y 014(y)1122412Y y y F y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩（II ）随机变量Y 的概率密度为'30141(y)(y)1240Y Y y f F y ⎧<<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他12-013131133()4442424Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞==+=⨯+⨯=⎰⎰⎰ （23）（本题满分11分）设总体X 的分布函数21,0(;)00x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，，其中θ是未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）求EX 与2EX ；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量ˆnθ；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0nn P a θε→∞-≥=？ 【考点】统计量的数字特征、最大似然估计、估计量的评选标准（无偏性） 【解析】（Ⅰ）X 的概率密度为22,0(;)(;)0,0xx e x f x F x x θθθθ-⎧⎪≥'==⎨⎪<⎩222()(;)()x x xE X xf x dx x edx xd eθθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰22200012222x x x xeedx edx θθθθπθπ+∞---+∞+∞=-+==⋅=⎰⎰ 22222202()(;)()x x x E X x f x dx x edx x d eθθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰222220222x x x x xx ex edx x edx edx θθθθθθθ+∞----+∞+∞+∞=-+⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰（Ⅱ）设12,,,n x x x 为样本的观测值，似然函数为2112(),0(1,2,,),()(;)0,0ix n n ni i i i i x e x i n L f x x θθθθ-==⎧≥=⎪==⎨⎪<⎩∏∏当0(1,2,,)i x i n ≥=时，22111122()()()ni i i x nn x nni i i i L x ex eθθθθθ=--==∑==∏∏两边取对数，得2211112121ln ()lnln lnln nnnni ii ii i i i L n x x n x x θθθθθ=====+-=+-∑∑∑∏两边求导，得221ln ()1nii d L n xd θθθθ==-+∑令ln ()0d L d θθ=，得211n i i x n θ==∑ 所以，θ的最大似然估计量为211ˆn i i X n θ==∑.（Ⅲ）存在a θ=.因为{}2n X 是独立同分布的随机变量序列，且21EX θ=<+∞，所以根据辛钦大数定律，当n →∞时，211ˆnn i i X n θ==∑依概率收敛于21EX ，即θ. 所以对于任何0ε>都有{}ˆlim 0nn Pθθε→∞-≥=.。