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数学分析教学课件—13-2

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数学分析讲义第五版上册课程设计

数学分析讲义第五版上册课程设计

数学分析讲义第五版上册课程设计一、课程设计背景数学分析是理工类学科中的重要基础课之一，对于学生的数学素养和综合能力有着重要的影响。

本次课程设计旨在从数学分析的基础理论出发，通过实例演算和计算练习等多种形式，提高学生的数学分析能力。

二、教学目标1.了解数学分析的基本概念和方法，掌握数学分析的常用技巧。

2.能够分析和解决数学分析的实际问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。

3.培养学生的自主学习和团队合作能力。

三、教学内容第一章函数与极限1.函数的概念与性质–函数的定义与表示方法–函数的分类与常见函数–函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）2.极限的概念与性质–极限的定义与表示方法–极限的常见性质（唯一性、保号性、夹逼准则等）–极限的计算方法（有理分式极限、无理式极限等）第二章导数与微分1.导数与微分的概念–导数的定义与表示方法–导数的几何意义与物理意义–微分的概念与计算方法2.导数的基本公式与性质–反函数的导数–复合函数的导数–隐函数的导数3.高阶导数–高阶导数的定义与计算方法–函数的泰勒公式与母函数第三章积分与应用1.积分的概念与基本定理–积分的定义与表示方法–积分的性质与计算方法2.定积分和不定积分–定积分的概念和性质–不定积分的概念和计算方法3.应用题–物理问题中的面积和体积问题–经济问题中的贡献问题–生物问题中的增长问题四、教学方法1.课堂讲授2.教师示范3.计算练习4.课后习题五、教学评价1.平时评分：考察学生对课堂知识的掌握情况和课外作业的完成情况。

2.期中考试：考察学生对前半学期内容的理解、运用和实践能力。

3.期末考试：考察学生对整个学期内容的掌握情况和数学分析能力的总体水平。

六、教材及参考书目教材：《数学分析讲义第五版上册》参考书目：1.《数学分析第一卷》张策著2.《数学分析》康纳利著3.《数学分析习题集》芮勇著七、教学计划教学时数内容6第一章函数与极限（1）6第一章函数与极限（2）6第二章导数与微分（1）6第二章导数与微分（2）6第二章导数与微分（3）6第三章积分与应用（1）6第三章积分与应用（2）6第三章积分与应用（3）6综合计算练习8复习及期中考试6第三章积分与应用（4）6第三章积分与应用（5）6第三章积分与应用（6）6第三章积分与应用（7）6第三章积分与应用（8）6第三章积分与应用（9）8综合计算练习及总复习10期末考试与总评八、总结数学分析是一门重要的基础学科，对于学生的综合能力和未来的学习和发展具有重要的影响。

第2章 正弦交流电路

第2章 正弦交流电路

创新 求实 专注 自信
2．周期与频率
频率和周期之间满足如下关系：
1 f T
（2-3）
图2-2 交流电的周期和平均值
创新 求实 专注 自信
在汽车检测技术中，频率是一个重要参数， 如图 2-3 （ a ）所示车速检测装置中，当自动 变速器输出轴转动时，安装在轴上的停止锁 止齿轮的凸齿交替靠近或离开车速传感器， 使感应线圈输出交流电压如图 2-3 （ b ）所示。
创新 求实 专注 自信
可见，纯电容电路中，电容电压和电流 是同频率的正弦量，并且电流超前电压90°， 其有效值关系： （2-18） 式中，XC —电容的容抗，单位是欧姆 （）。 显然 1 1 XC （ 2-19 ） C 2 π fC
IC UC X C IC C
创新 求实 专注 自信
图2-3 车速检测
创新 求实 专注 自信
3．相位与初相
由正弦交流电的瞬时表达式（2-1）可知， 交流电在任一时刻的瞬时值取决于电角度 （ ），这个电角度称为交流电的相位。 交流电在t=0时所具有的相位称为初相， 用表示，单位是弧度或度，规定初相的绝对 值不超过π 弧度。 两同频率交流电的初相之差称为相位差， 即 （2-5）
2.3 RLC串联电路
2.3.1 电压和电流关系 2.3.2 电路的功率和能量转换
创新 求实 专注 自信
2.3.1 电压和电流关系
RLC串联电路如图2-12所示，取电压和电 流的参考方向一致。 为便于分析，电路中各量均采用相量表 示，各元件也采用相量化模型。
图2-12 RLC串联电路
创新 求实 专注 自信
2.2.1 纯电阻电路
1．电压和电流关系
图2-9（a）所示电路中，电压和电流的 参考方向一致，设电阻电压为

数学分析ch13-1有界闭区域上的重积分

数学分析ch13-1有界闭区域上的重积分

f (i ,i ) i ， 这里 i 表示 Di 的面积。于是，原曲顶柱体的体积近似地等于
n
f (i ,i ) i 。
i 1
当所有的小区域 Di 的最大直径（记为 ）趋于零时，这个近似值趋 于原曲顶柱体的体积，即
n
V
lim 0
i 1
f (i ,i ) i
。
Hale Waihona Puke 这就是二重积分的概念。定义 13.1.1 设 D 为 R2 上的零边界闭区域，函数 z f (x, y) 在 D 上
利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是
可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 0，存在 U 的一个
划分，使得
所以有
mB mA（= mBD ） 。
定理 1.1.1 有界点集 D 是可求面积的充分必要条件是它的边界
D 的面积为 0。
同样可以考虑 D 的边界 D 的面积。记与 D 的交集非空的那些
n
i i
i 1
n
i
i 1
，
n
所以 lim 0
i i
i 1
0 ，即
f
(x, y)
在 D 上可积。
多重积分 同 R2 中定义面积一样，可以在 Rn ( n 3)中定义体积的概念。定 义 Rn 中的 n 维闭矩形[a1,b1][a2 ,b2 ][an ,bn ] 的体积为
(b1 a1) (b2 a2 ) (bn an ) ， 那么就可以将 R2 上定义面积的叙述完全平移到 Rn ( n 3)上来定义体 积，并同样称边界体积为零的的有界区域为零边界区域，而且可以证 明光滑曲面片的体积为零。
i 1
i 1
当 n 时，它的极限是零。所以 L 的面积为 0。

《高数教学课件》第二节正项级数及其审敛法

《高数教学课件》第二节正项级数及其审敛法

习题
求下列级数的和 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n}$ $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{3^n}$
习题
$sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n^3}$
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n}$
判断下列级数是否收敛， 并说明理由
答案与解析
01
02
03
04
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
THANK YOU
感谢聆听
正项级数的性质
02
01
03
性质一
正项级数的和一定是正数。
性质二
正项级数的和不会超过其中任意一项。
性质三
正项级数的和一定不会小于其中任意一项。
正项级数的分类
几何级数
是指每一项都是前一项的固定倍数的 级数，如1+2+4+8+16+...。
算术级数
是指每一项都是等差数列的级数，如 1+2+3+4+5+...。
01
03 02
答案与解析
判断下列级数是正项级数还是 交错级数
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n}$ 是正项级数。
$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n frac{n}{2^n}$ 是交错级数。
答案与解析
• 解析：正项级数是指每一项都是非负的级数，而交错级数是指每一项符号交替变化的级数。对于第一个级数，每一项都是正的，因此是正项 级数。对于第二个级数，每一项的符号都与前一项相反，因此是交错级数。

数学分析定积分课件5

数学分析定积分课件5

所以可积函数不一定有原函数。
f
(
x)
x
2
sin
1 x2
,
0,
x 0且x [1,1] x0
f
( x)
2x sin
1 x2
2 x
cos
1 x2
,
x 0且x [1,1]
上午9时15分13秒
0,
x0
上一页 下一页 主 页 返回 退出
f ( x)在[1，1]无界，从而不可积， 但f ( x)在[1，1]的原函数是f ( x), 即说明有原函数的函数不一定可积。
但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数 不属于这3类的任何一类，但它是可积的。
在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列， 则函数在[a,b]可积。
上午9时15分13秒
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8、利用不定积分计算定积分 ——牛-莱公式
（1）线性；恒等变形；换元；分部积分； 一些特殊类型函数的积分。
尼氏体 Nissl body
H-E染
镀银染
色
色 上一页 下一页 主 页 返回 退出
不同形态
小块状的尼氏体
细颗粒样的尼氏体
上一页 下一页 主 页 返回 退出
突触 粗面内质网
核蛋白体 脂褐素 微管
上一页 下一页 主 页 返回 退出
尼氏体(Nissl body)：又称为嗜染质 （chromophil substance), 是分布于 胞质或树突内的小块状或颗粒状的 嗜碱性物质。电镜下，尼氏体为发 达的粗面内质网和游离核蛋白体， 是蛋白质合成的场所。
上午9时15分13秒
上一页 下一页 主 页 返回 退出
6、可积条件
必要条件 若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。

2电能质量分析与控制

2电能质量分析与控制
对于一些非平稳信号，例如电能质量领域中的电压暂降等问题，不 适合用傅里叶变换来进行分析（可采用小波变换）。
2021/12/19
18
2电能质量的数学分析方法
2、快速傅里叶变换的应用
FFT在谐波分析仪、电能质量分析仪（离线）、电能质量在线监 测装置中的应用： 同时采集u、I信号，通过FFT分析给出各次谐波幅值、相角、功率 等。
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76点：3.4315E-12 + 192i 77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，
附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
2021/12/19
14
2电能质量的数学分析方法
如果要提高频率分辨率，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分 辨率和采样时间是倒数关系。
2021/12/19
12
2电能质量的数学分析方法
信号的时长的截取
截取信号的时长（N数值)决定了所需分开的两个频率之间的最小的频 率间隔。
如：相邻的最小频率间隔是10.2-10=0.2Hz，也就是说你需要把10 和10.2Hz这两个成分分开即可（如果分辨率太高则数据量太长， 浪费计算时间，如果分辨率太低，则无法把这两个频率分开）， 所以可以选择截取的最小时长为t=1/（10.2-10）=5秒。
X (k ) F[x(n)] x(n)e N
n0
利用欧拉公式可以证明：
(k = 0,1, ,N-1)
可见：利用matlab中的函数FFT计算出X（K）乘以2/N，再求模即可 得到上述基于连续信号傅立叶级数的各次谐波幅值计算公式，即 得到各次谐波的真正幅值。

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--13章


F (x, y) = f (x) ， (x, y) ∈ D 。
证明 F (x, y) 在 D 上可积。
证 将[a,b] 、[c, d ] 分别作划分：
a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b
和
m c = y0 < y1 < y2 < < ym−1 < ym = d ， o 则 D 分成了 nm 个小矩形 ∆Dij (i = 1,2, , n, j = 1,2, , m) 。
2π 3
≤
∫∫∫
Ω
1
+
dxdxdz x2 + y2 +
z
2
≤
4π 3
。
m 4．计算下列重积分：
co (1) ∫∫(x3 + 3x2 y + y3 )dxdy ，其中 D 为闭矩形[0,1] × [0,1] ；
. D
aw (2) ∫∫ xy ex2+y2 dxdy ，其中 D 为闭矩形[a,b] × [c,d ]；
课 证明
H ( x, y) = max{ f ( x, y), g( x, y)}
和
h( x, y) = min{ f ( x, y), g( x, y)}
也在 D 上可积。
证 首先我们有
H (x, y) = 1 ( f (x, y) + g(x, y) + f (x, y) − g(x, y) )， 2
D
khd (3)
∫∫∫ Ω
dxdydz (x + y + z)3
，其中
Ω
为长方体 [1,2]
×
[1,2]

数学分析中的一致收敛及其应用-初稿

《数学分析中的一致收敛及其应用-初稿》摘要：由（ⅰ），任给，存在某正整数，使得当及任何正整数，对一切，有又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到 . 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论. 例16 证明函数项级数在上一致收敛，由（ⅰ），存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时， . 对任何一个，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到 . 再由（ⅲ），对任给的，存在正数，当时，对一切，有，所以， . 于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在上一致收敛. 例18 试判别的一致收敛性，因为，，所以 =，．例25 求的值. 解因为，，所以 . 4.4 一致收敛在求导中的应用例26 求在处的阶导数. 解:因为函数在处的泰勒级数为，所以可先将用间接方法展成的幂级数，然后从的系数中解出，进行两次积分：则，即 . 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用定理：设是一个数列，若存在一个函数，使得成立，则称为数列的生成函数. 例27 将一枚硬币不间断扔10次，求出现20的概率是多少目录 1.函数列级数和函数项级数及其一致性 3 1.1函数列级数及其一致收敛性 3 1.2函数项级数一致收敛性 4 2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法 6 2.1 定义判别法 6 2.2 M判别法 6 2.3 莱布尼兹判别法 6 2.4 余项判别法 7 2.5 柯西准则 8 2.6 类数项级数判别法的函数项级数判别法 10 2.6.1 比式判别法 10 2.6.2 根式判别法 12 2.6.3 对数判别法 13 2.9 导数判别法 13 2.10 连续性判别法 14 2.11 迫敛性判别法 15 2.12 M判别法的推论 15 3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法 16 3.1 阿贝尔判别法 16 3.2 狄利克雷判别法 17 3.3 积分判别法 19 4. 一致收敛的应用 20 4.1 一致收敛在证明等式中的应用 20 4.2 一致收敛在证明不等式中的应用 20 4.3 一致收敛在计算极限中的应用 22 4.4 一致收敛在求导中的应用 22 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用 23 4.6 一致收敛在近似计算中的应用 24 4.7 一致收敛在计算积分中的应用 24 总结 26 参考文献 27 致谢 28 数学分析中的一致收敛及其应用摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。

数学分析ch13-5微分形式


仿照向量的外积，规定
dxi dx j dx j dxi , dxi dxi 0 , i, j 1,2,, n 。
因此共有
C
2 n
个有序元
dxi dx j ,
1i j n。
同 1 的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个 C1(U ) 上的向量
空间 2 。 2 的元素称为二次微分形式，简称 2-形式。于是 2 的元素
这显然满足交换律、结合律以及对 C1(U ) 的乘法分配律。若定义 1 中 的“零元”为
0 0dx1 0dx2 0dxn ， 而且定义 为
(a1 (x))dx1 (a2 (x))dx2 (an (x))dxn ,
那么 1 成为 C1(U ) 上的向量空间。
进一步，在{ dx1, dx2 ,, dxn }中任取 2 个组成二元有序元，记为 dxi dx j (i, j 1,2,,n) ，称为 dxi 与 dx j 的外积。
=( a11a22 - a12a21 ) e1
e2
a11 a21
a12 a22
e1 e2 。
上式两端的 a1 a2 和 e1 e2 分别表示由 a1 ， a2 和 e1 ， e2 所张成的平
行四边形的有向面积，而行列式 a11 a12 就是这两个有向面积之间的
a21 a22
比例系数。若行列式大于零，说明这两个有向面积的符号相同，即从 e1 到 e2 的旋转方向与从 a1 到a2 的旋转方向相同；若行列式小于零，说 明这两个有向面积的符号相反，即从 e1 到 e2 的旋转方向与从 a1 到a2 的 旋转方向相反。
§5 微分形式
有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式
f (x, y) d x d y f (x(u,v), y(u,v)) (x, y) d u d v

数学分析教学课件—15-3


2 k1
2sint
(9)
2
这就得到
Sn(x)=π1
π π
f(xt)sin2snint12tdt.
2
(8)式也称为 f 的傅里叶级数部分和的积分表达式.
前页 后页 返回
现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下: 定理15.3 若以2 π 为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段 光滑, 则在每一点 x [π,π],f的傅里叶级数收敛 于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
它对任何正整数m成立.
而
1 π
π [ f(x)]2dx为有限值,
π
所以正项级数
a02
2
(an2
n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn2)
的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立.
前页 后页 返回
推论1 若 f 为可积函数, 则
lni m ππf(x)cosnxdx0,
π
(5)
lim f(x)sinnxdx0,
式.
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证令
S m (x)a 2 0n m 1(anco sn xb nsin n x)
考察积分
ππ[f(x)Sm(x)]2dx
π π f 2 ( x ) d x 2 π π f ( x ) S m ( x ) d x π π S m 2 ( x ) d x .( 2 )
由于
π πf(x )S m (x )d xa 2 0 π πf(x )d x
前页 后页 返回
m π
π
(a n π f(x )c o s n x d x b n π f(x )s in n x d x ),
n 1
根据傅里叶系数公式(§1(10))可得
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