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结构动力学第二章结构运动方程的建立

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结构动力学第二章 运动方程的建立

结构动力学第二章 运动方程的建立

h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞：
k
24EIc h3
ρ→0
：
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因 而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。

结构动力学

结构动力学

由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称
为该函数的变分。
从图中可看出，q 实际上代表了虚位移。
(2) 变分与微分的区别
变分：自变量不变，仅由于函数本身形式
的微小改变而得到的函数的改变；
微分：由于自变量的 q 微增量而引起 的函数的微增 量。
o
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
p dt t
miai ri
i 1
k d T j1 dt q j
T q j
q
j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Qjq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此结果代入(2)式中得：
k
j 1
d dt
T q j
T q j
Qj q j
0
(10a)
当主动力有势力时： 式中得：
——又称为达朗伯拉格朗日方程
3. Hamilton原理
(1) 变分的概念
微分：设有一连续函数q=q(t)，其中t为自变
量，q为因变量；
当t有微增量dt时，引起函数的微增量dq，称
为该函数的微分，
q
且： dq q'(t)dt
或: q' (t ) dq dt
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
式中：P(t)可以包括：(1) 弹性约束力；(2) 粘滞阻
尼力；(3) 外荷载等等, mv(t) 为惯性力。
即：质量点m在其所受的外力及惯性力
F I mv(t)
下的作用下平衡，这称为达朗贝原理。

结构动力学基础理论

结构动力学基础理论

第四章
运动方程的建立
y (t)
单自由度 体系模型
c m k
F (t)

质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
单自由度体系运动方程的建立（直由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。

代入：


单自由度无阻尼体系运动方程的解：
v(t )
0 v

sint v0 cost
（3-11）
第六章 简谐振动荷载反应
谐振荷载：
p (t )
k 1

则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。
nπ x ( x ) bn sin l n 1
广义坐标 位移函数

广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
1.3 动力荷载类型
概念：动荷载是时间的函数！
分类： 确定性荷载 动荷载 非确定性荷载
周期性荷载 非周期性荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
FP
例如： 简谐荷载
t
FP
冲击荷载
t

结构动力学第二章

结构动力学第二章

∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：

刘晶波结构动力学课件21w

刘晶波结构动力学课件21w
线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体 系。
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
15/45
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
11/45
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
4/45
2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋

【结构动力学】第1章 运动方程 2020

【结构动力学】第1章 运动方程 2020
12
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD

1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。

结构动力学课件PPT


my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。

02第二讲：运动方程的建立

2015/10/8
第二讲：运动方程的建立
一、基本动力体系 一、 基本动力体系
两个典型的单自由度体系
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
1. 牛顿（ 牛顿（Newton Newton） ）第二定律
F ma
物理元件： 质量 集中质量m 集中质量m 阻尼器 阻尼系数 阻尼系数c c 弹簧 弹簧刚度 弹簧刚度k k
t1
2 1
t2
单质点系的受力图
cu ku p(t ) mu
T —— 体系的动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj—— ——与 与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。 ）。
用Hamilton 原理推导 原理推导Lagrange Lagrange 方程
1 1 2 V ku 2 W p(t )u f D u T mu 2 2
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
u cu u kuu p (t )u dt 0 mu t u cu u kuu p (t )u dt 0 t mu
u t2 mu udt mu udt mu
t1 t1
第二讲：运动方程的建立
单质点体系的受力分析
F p(t ) f D f s
ma f D f s p (t )
au
f D cu
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 单自由度系统虽然简单，但是包含了 单自由度系统 虽然简单，但是包含了 结构动力学的全部思想和方法。 多自由度系统还可通过振型迭加法转 多自由度系统 还可通过振型迭加法转 化为单自由度系统，因此学习它非常重要。

结构动力学-2(哈工大结构动力学)


m y(t)
cy(t)
my(t) k11 y(t )
运动方程 my cy k11y 0
令 c / 2m y 2y 2 y 0
设 y(t) Aet
2 2 2 0 特征方程
根为 i 1 2 由初始条件
小阻尼情况
y(0) y0 , y(0) v0
1 (c 2m)
c1 (v0 y0 ) / D , c2 y0
k
k
k
PROBLEMS：
3.A mass m is at rest,partially supported by a spring and partially by stops.In the position shown,the spring force is mg/2. At time t=0 the stops are rotated,suddenly releasing the mass.Determine the motion of the mass.
第二章单自由度体系的振动分析
§2.1 自由振动
一. 无阻尼体系 运动方程
y(t) 11[my(t)] k11y(t) my(t) 令 2 k11 1
m m11
y(t) 2 y(t) 0
二阶线性齐次常微分方程
m
my(t)
y(t)
l EI
km
运动方程的通解 y(t) c1 cost c2 sin t
令 D 1 2
方程的通解为
y(t) Aet sin( Dt D )
A
y02
( v0
y0 D
)2
y(t) et (c1 sin Dt c2 cosDt) tan D y0D /(v0 y0 )

3(运动方程的建立)

f S 1 k11 f k S 2 = 21 f SN kN1 k12 k22 kN 2 k1 j k2 j k Nj fS = ku k1N u1 k2 N u2 k NN u N
20/78
第2章 运动方程的建立
2.5.2 Lagrange方程法
21/78
例 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量 分别为 m1 和 m2 ，忽略杆的分布质量，建立体系无阻尼 自由运动方程，并讨论。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。
为方便计算体系的动 能，也给出了直角坐 标系，在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。
V j= c j ∆ j
阻尼力
1 + c2 ( u 1 − u 2 ) f D1 = c1u
f D1 fD2
2 − u 1 ) fD2 = c2 ( u
1 u c1 + c2 −c2 = or f D cu −c 2 c2 2 u
m1 0
u
1 0 u f D1 f S1 p1 ( t ) + + = 2 m2 u fD2 fS 2 p2 ( t )
m1 u1 = m 0 u2 0 fD = m2 f D1 = fS fD2 f S1 = p fS 2 p1 p2 Biblioteka （例子见后）8/78
第2章 运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
9/78
地基运动问题： 结构的动力反应不是由直接作用到结构 上的动力引起的，而是由于结构基础的运动引起的。
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第2章 结构运动方程的建立
结构动力分析的目的,是求出动荷载作用下结构的动位移和动内力,并研究它们随时间的响应历程。

在大多数情况下，应用包含有限个自由度的近似分析方法，计算结果就足够精确了。

通常情况下，独立的几何参数取的是位移，为了求出各种动力响应，应先列出结构动力位移方程，描述结构动力位移的数学方程，称为结构的运动方程。

运动方程的解，提供了位移过程，从而可求出其他各种所需的结构动力响应。

运动方程的建立，是结构动力学的核心问题，只有运动方程建立正确，整个求解过程才可能正确。

建立振动体系的运动方程有多种方法,一般常用的方法有直接平衡法（达朗贝尔原理）、虚位移原理（拉格朗日法）、变分原理（哈密尔顿原理）3种，但不管采用何种方法建立运动方程,其结果都是一致的，本章将综述建立方程的原理和基本概念。

§2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理
根据牛顿第二定律：任何质量m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力()F t ，力()F t 包括恢复力()R t 、阻尼力()D t 、外力()P t ，即：
()()d F t my t dt =⎡⎤⎣⎦ （2.1） 当质量m 不随时间变化时，上式变成：
即：
()0F t my -= （2.2）
式()0F t my -=（2.2）表示，作用在质量m 上的力()F t ，与加速度方向相反的惯性力my -平衡。

换句话说，如果我们把my -加到原来受力的质量上，则动力问题就可作为静力平衡问题来处理，这就是达朗贝尔原理。

按达朗贝尔原理，如果我们将惯性力my -沿自由度方向加到质量上，则动力问题可按静力问题来处理，当然在振动问题中，尚需考虑阻尼的存在。

按达朗贝尔原理建立质点系运动方程的一般步骤为：
1.确定体系振动分析的自由度的数目，建立计算模型；
2.建立坐标系，给出各自由度的位移参数；
3.按达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论，沿质量各自由度方向加上惯性力和阻尼力；
4.通过分析质量平衡条件或考虑变形协调条件，建立体系运动方程。

利用达朗贝尔原理建立体系运动方程的具体方法又分为刚度法和柔度法两种：
取每个质量为隔离体，分析质量所受的全部外力，既有动力荷载()P t 、惯性力my -和阻尼力()D t ，还有体系变形所产生的阻止质量沿自由度方向运动的恢复力()R t 。

建立质量各自由度的瞬时“动平衡”方程，即可得到体系的运动方程。

以整个结构为研究对象，假想加上全部惯性力my -和阻尼力()D t ，与动荷载()P t 一起在任意时刻作为静力荷载，用结构静力分析中计算位移的方法，求出自由度方向单位广义力（1j X =）作用下，第i （1,2,3i =…）自由度方向的位移系数ij δ和荷载引起的第i 自由度方向的位移ip ∆，然后根据叠加原理，列出该时刻，第i 自由度方向的位移协调条件，即可得到体系的运动方程。

注意：在动力学中所考虑的力系中包括惯性力的影响，且所考虑的平衡是瞬时平衡，荷载及其引起的内力等量值均为时间的函数。

注意：一般情况下，对于静定结构，结构弯矩图比较容易画出，因此利用图乘法可以很容易求出柔度系数，常用柔度法求解；对于超静定结构，则常用刚度法进行求解。

对于静定结构一般计算柔度系数方便。

另外，如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便
§2.2虚功原理
如果结构体系比较复杂，平衡规律不清楚或很复杂时，运用虚功原理建立结构动力方程比较方便。

利用虚功原理解题的优点是，虚功为标量，可按照标量规则进行计算。

而作用于结构上的力为矢量，它只能按矢量叠加。

因此对于不便于列出平衡方程的复杂体系，虚功方法较达朗贝尔原理方法简便。

动力学的虚功原理：具有理想约束的质点系运动时（即在任意虚位移下，约束反力所作的虚功恒等于零，约束反力不做功），在任意瞬间，主动力和惯性力在任意虚位移上所作的虚功总和等于零。

虚功原理描述的是一个体系的平衡状态，然而只要简单的应用达朗贝尔原理，即在建立动力平衡方程时引入体系的惯性力，就可以很好的将虚功原理应用到动力体系中。

设，体系的第i 个质点所受合力为i F ，惯性力i i m y -，虚位移为yi δ，由虚功原理写出如下虚功方程：
()1
0n i i i yi i F m y δ=-=∑ （2.3）
由于虚位移yi δ的任意性，上式得以满足的充要条件是：
0i i i F m y -= （2.4） 上式表明虚功原理与达朗贝尔原理是等价的。

用虚功原理建立动力学方程的具体步骤为：
1.确定各质点所受的力，包括惯性力；
2.给体系约束所允许的微小的可能虚位移，再令体系上各个力，经相应虚位移所作的总虚功等于零，便得出运动方程。

§2.3 Hamilton 原理
Hamilton 原理：在任何时间区间1t 到2t 内，动能和势能的变分加上所考虑的非保守力所作的功的变分必须等于零。

应用这个原理可要直接导出任何给定体系的运动方程。

采用Hamilton 原理建立运动方程，可避免矢量计算，Hamilton 原理可以表达为： 式中：
T ——体系动能；
V ——体系势能，包括应变能及任何保守外力（作功与路径无关的力，如重力）势能；
W ——作用于体系上的非保守力（作功与路径有关的力）
，包括阻尼力及任何外荷载所作的功；
δ——指定时间内所取的变分。

Hamilton 原理与虚功原理的不同点是，在该方法中没有直接使用惯性力和弹性力，而分别被动能和势能的变分项所代替。

因此，这种建立运动方程的方法的优点是，它只和纯粹的标量有关，而在虚功法中，被用来计算功的力和位移都是矢量。

应用Hamilton 原理建立运动方程的步骤为：
1.明确研究对象，分析约束，确定体系的自由度，选取合适的坐标系；
2.计算动能、势能；
3.计算非保守力所作的虚功之和W δ；
4.带入Hamilton 方程，得运动微分方程。

以上介绍了3种用于建立运动方程的基本力学原理，达朗贝尔原理是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用，更重要的是达朗贝尔原理建立了动平衡的概念，使得结构静力分析中的一些建立方程的方法（如建立位移法方程的刚度法，建立力法方程的柔度法）可以直接推广到动力问题。

当结构体系具有分布质量和弹簧支撑时，采用虚位移原理建立运动方程更为方便。

而Hamilton 原理是利用能量原理建立运动方程的另一种方法，如果不考虑非保守力（主要是阻尼力），它就是完全的标量计算，但实际直接采用Hamilton 原理建立运动方程的情况并不多。

Hamilton 原理的特点在于它以一个极为简洁的表达式概括了建立运动方程的方法。

§2.4 例题
达朗贝尔原理：把惯性力（my -）沿自由度方向加到质量上，则动力问题可转化为静
力平
力平衡问题来处理。

当然在振动过程中，尚有阻尼力存在于体系之中。

1.刚度法
图2.1所示为一个简支梁，梁跨内有一个集中质量m ，求其运动方程。

（a ） (b)
图2.1 刚度法求解运动方程。