专题三 导数及其应用 第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式1ni =∑f (ξi )Δx ＝1ni =∑b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛abf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝limn →∞1ni =∑b －anf (ξi ). 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x ) ⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.(3)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________. [答案] (1) π (2) 8 (3) 1＋π4[解析] (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8.(3)⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.又∵⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1， ∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x＝1＋π4.【类题通法】1. 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算. 2．运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 【对点训练】1．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.[答案] 23[解析] ⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23.2．⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2[答案] C[解析] ⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x ＝－e －x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e＋e －1＝2e －2，故选C.3．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.[答案] 9π4[解析] 由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.考点二、运用定积分求平面图形的面积【例2】(1)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________. (2)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.(3)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] (1) 23－2π3(2) 18 (3) 2[解析] (1)令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝ (2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )＝23－2π3.(2)如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k 0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.【类题通法】1. 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2．注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正. 【对点训练】1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32D ． 3[答案] D[解析] 由题意知封闭图形的面积S ＝-⎰33ππcos x d x ＝sin x33ππ-　＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 2．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2[答案] D[解析] 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1(舍去)，x ＝2，作出曲线y ＝2x与直线y ＝x －1的图象如图所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x⎪⎪⎪42＝4－2ln 2.3．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. [答案] 49[解析] 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a2，解得a ＝49.考点三、定积分在物理中的应用【例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A ． 3 JB ．233 JC ．433J D ．2 3 J[答案] (1) C (2) C [解析] (1)令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t dt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). (2)⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×32⎪⎪⎪21＝433， ∴F (x )做的功为43 3 J.【类题通法】定积分在物理中的两个应用：1．变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；2．变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛abF (x )d x .【对点训练】1．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .[答案] 132[解析] s ＝⎠⎛12 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21 ＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m )．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦.[答案] 36[解析] 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦).。

§3.4 定积分与微积分基本定理考纲展示► 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．考点1 定积分的计算1.定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个________，这个________叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .答案：常数 常数 2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，________与________分别叫做积分下限与积分上限，区间________叫做积分区间，函数________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．答案：ab [a ，b ] f (x ) xf (x )d x 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝________(k 为常数)；(2)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________；(3)________＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．答案：k ⎠⎛a b f (x )d x ⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x⎠⎛abf (x )d x 4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝________； (3)S ＝____________；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .答案：(2)－⎠⎛a b f (x )d x (3)⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝________.其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )ba ＝________.答案：F (b )－F (a ) F (b )－F (a )奇函数、偶函数的定积分．(1)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝________.(2)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝________. 答案：(1)2⎠⎛0a f (x )d x (2)0[典题1] 求下列定积分： (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ；(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .[解](1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 310＋x 210＝－13＋1＝23.(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )π0－sin x π0＝2. (3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π4|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[题点发散1] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”换为“|2x －1|”，如何求解？解：⎠⎛01|2x －1|d x ＝⎠⎜⎛012 (1－2x )d x ＋⎠⎜⎛121(2x －1)d x ＝(x －x 2)⎪⎪⎪⎪12＋(x 2－x )⎪⎪⎪⎪112＝14＋14＝12. [题点发散2] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.[点石成金] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B ．45 C.56 D ．不存在答案：C 解析：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.2．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．答案：9π4解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.3．[2017·湖北重点中学高三阶段性统一考试]若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案：－4解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x44－x 320＝－4.考点2 运用定积分求平面图形的面积[典题2] (1)已知曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为S ，则S ＝________.[答案]136[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 ＋16x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] 2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ，y ＝k 2， 则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. [点石成金] 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1B ．π4C.223D ．22－2答案：D解析：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得x ＝π4，故图中阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－cos 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2－sin π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4 ＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)2．[2017·山东日照模拟]如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为________．答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1， 得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3410＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 31221＝43. 考点3 定积分在物理中的应用[典题3] [2017·湖北武汉调研]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[答案] C[解析] 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋＋t 4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． [点石成金] 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案：36解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦)．[方法技巧] 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分． 2．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．[易错防范] 1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．真题演练集训1．[2014·陕西卷]定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案：C解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．[2014·山东卷]直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4答案：D解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4.3．[2015·天津卷]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 答案：16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16. 4．[2015·湖南卷]⎠⎛02(x －1)d x ＝________. 答案：0解析：⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝(2－2)－0＝0. 5．[2015·陕西卷]如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案：1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛5－5⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝＋2＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.课外拓展阅读探究定积分与不等式交汇问题[典例][2016·湖南长沙模拟]如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ；x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6[审题视角] 先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计算公式求出概率．[解析] 由已知S 矩形OABC ＝a ×6a＝6， 而阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )a0＝1－cos a ， 依题意有SS 矩形OABC ＝14，即1－cos a 6＝14， 解得cos a ＝－12，又a ∈(0，π)， 所以a ＝2π3.故选B.[答案] B定积分还可与其他知识交汇，如与二项式定理、数列等知识交汇．方法点睛提醒完成课时跟踪检测(十六)。

1．πcos d x x =⎰A ．1B ．2-C ．0D ．π【答案】C 【解析】ππ00cos d sin |sin π00x x x ==-=⎰． 2．若12()2()d f x x f x x =+⎰，则1()d f x x ⎰=A ．−1B ．13- C ．13D ．1【答案】B 【解析】令1()d =f x x m ⎰，则2()=+2f x x m ，所以1123100011()d =(+2)d (2)|233f x x x m x x mx m =+=+⎰⎰m =，解得13m =-，所以101()d =3f x x -⎰， 故选B. 3．若()π402sin cos d 2x a x x -=-⎰，则实数等于 A ． B ．2 C ．1-D ．3-【答案】B【解析】由题意可知：()πππ4440022sin cos d sin d cos d 122x a x x x x a x x a -=-=---⎰⎰⎰， 专题07 定积分与微积分基本定理第一章 导数及其应用结合题意有：222 1a--=-，解得：2a=.本题选择B.4．直线34xyxy==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A．22B．24C． 3 D．4【答案】D【解析】由已知得，232421(4)d(2)|44S x x x x x=-=-=⎰，故选D.5．设实数2log3a=，131log2b=，π1sin dcx x=⎰，则A．b a c>>B．b c a>>C．a b c>>D．a c b>>【答案】C【解析】221331log3log21,0log log212a b=>=<==<,而()()ππsin d cos|cosπx x x=-=--⎰()cos02-=,所以12c=,331log2log32>=,所以a b c>>,选C.6．两曲线siny x=，cosy x=与两直线0x=，π2x=所围成的平面区域的面积为A．π2(sin cos)dx x x-⎰B．π402(sin cos)dx x x-⎰C．π2(cos sin)dx x x-⎰D．π402(cos sin)dx x x-⎰【答案】D7．在平面直角坐标系中，记抛物线y =x −x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y =kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为 A ．13 B ．23 C ．12D ．34【答案】A【解析】∵M 的面积为122301111()d ()0236x x x x x -=-=⎰，A 的面积为12232301111()d ()(1)02326kk kx x kx x x x x k ----=--=-⎰，∴31(1)86,1276k -=∴1=3k ，故选A.8．若函数)(x f 、)(x g 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==.其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C有2组，故选C.9．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数的估计值为A ．5000B ．6667C ．7500D ．7854【解析】1230101d |133S x x x ===⎰空白，则121133S S -=-=空白阴影＝，因此点落入阴影部分的概率为2313P ==，从而所求点的个数估计为21000066673⨯≈，故选B ．10．自由落体的运动速度v gt =(g 为常数)，则当[]1,2t ∈时，物体下落的距离为__________． 【答案】32g 【解析】由定积分的物理意义可得，2221113d |22gt t gt g ==⎰． 11．已知()[](]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21d f x x -=⎰__________． 【答案】23+【解析】由题意可得()21222211131ππ4d 1d (1)d |2323x f x x x x x x x --⎛⎫=-+-=+-=+⎪⎝⎭⎰⎰⎰， 答案为π423+.。

定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式1ni =∑f (ξi )Δx ＝1ni =∑b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛abf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝limn →∞1ni =∑b －anf (ξi ). 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x ) ⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.(3)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________. [答案] (1) π (2) 8 (3) 1＋π4[解析] (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8. (3)⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.又∵⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x＝1＋π4.【类题通法】1. 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算. 2．运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 【对点训练】1．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.[答案] 23[解析] ⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23.2．⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2[答案] C[解析] ⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x ＝－e －x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e＋e －1＝2e －2，故选C.3．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.[答案] 9π4[解析] 由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.考点二、运用定积分求平面图形的面积【例2】(1)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________. (2)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.(3)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] (1) 23－2π3(2) 18 (3) 2[解析] (1)令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝ (2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )＝23－2π3.(2)如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k 0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.【类题通法】1. 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2．注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正. 【对点训练】1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12 B ．1 C ．32D ． 3[答案] D[解析] 由题意知封闭图形的面积S ＝-⎰33ππcos x d x ＝sin x33ππ-　＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 2．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2[答案] D[解析] 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1(舍去)，x ＝2，作出曲线y ＝2x与直线y ＝x －1的图象如图所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x ⎪⎪⎪42＝4－2ln 2.3．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[答案] 49[解析] 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.考点三、定积分在物理中的应用【例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A ． 3 JB ．233 JC ．433J D ．2 3 J[答案] (1) C (2) C [解析] (1)令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t dt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). (2)⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×32⎪⎪⎪21＝433，∴F (x )做的功为43 3 J.【类题通法】定积分在物理中的两个应用：1．变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；2．变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【对点训练】1．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .[答案] 132[解析] s ＝⎠⎛12 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21 ＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m )．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦.[答案] 36[解析] 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦).。

第7讲 定积分与微积分基本定理1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x)dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e.2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3|a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时F (x )所做的功等于( ) A ．e 10＋25 B ．e 10－25 C ．－e 10＋25D ．－e 10－25解析：选D.由题意知W ＝－⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋x dx＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25.4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，则⎠⎛01f (x )dx ＝( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，所以⎠⎛01f (x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）dx |10 ＝13＋2⎠⎛01f (x )dx ，所以⎠⎛01f (x )dx ＝－13. 5．直线y ＝x ＋4与曲线y ＝x 2－x ＋1所围成的封闭图形的面积为( ) A.223 B.283 C.323D.343解析：选C.因为x ＋4＝x 2－x ＋1的解为x ＝－1或x ＝3， 所以封闭图形的面积为S ＝⎠⎛－13[x ＋4－(x 2－x ＋1)]dx＝⎠⎛－13(－x 2＋2x ＋3)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x |3－1＝323.6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx＝⎠⎛－11x 2dx ＋⎠⎛－11sin xdx＝2⎠⎛01x 2dx ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝⎠⎛－111dx ＝x |1－1＝2.答案：28．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a x 3＋c x ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ，所以x 20＝13，x 0＝±33.又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：339．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x dx ；(2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)dx .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x dx ＝⎠⎛12xdx －⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛121xdx＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )dx ＝⎠⎛－π0cos xdx ＋⎠⎛－π0e xdx＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1，2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )A.92B.423＋76C.76D.2＋1解析：选B.把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积． 易得S ＝⎠⎛－2(2－x 2)dx ＋⎠⎛01(2－x 2－x )dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 33|0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 33－x 22|10 ＝22－（2）33＋2－13－12＝423＋76.2．(2019·湖南省湘中名校高三联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1）x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )dx 的值为( ) A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选 A.⎠⎛－12f (x )dx ＝⎠⎛－111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |21＝π2＋43，故选A.3．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m. 解析：先求从刹车到停车所用的时间t ， 当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t . 令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：⎠⎛05(20－4t )dt ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)．即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m.答案：504．函数y ＝⎠⎛0t (sin x ＋cos x sin x )dx 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎛0t (sin x ＋cos x sin x )dx＝⎠⎛0t ⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋12sin 2x dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －14cos 2x |t＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2，当cos t ＝－1时，y ma x ＝2. 答案：25．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )dx ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， 所以f (x )＝ax 2＋2－a . 又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )dx＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a x 3＋（2－a ）x |10 ＝2－23a ＝－2.所以a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]． 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )ma x ＝2.6．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1. 结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3|t 0＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1.S 2＝⎠⎛t1(x 2－t 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－t 3 ＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33. 所以当t ＝33时，S 1＝S 2.。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax ．若()f x 为奇函数，则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为A ．2=-y xB ．y x =-C ．2=y xD ．=y x 2．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3xf x -= D ．()cos f x x =3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是A ．sin y x =B ．ln y x =C ．e x y =D ．3y x =4．（2016年四川）设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩，图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ． (0,+∞)D ．(1,+ ∞)5．（2013浙江）已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如右图所示，则该函数的图像是6．（2014新课标）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =A ．0B ．1C ．2D ．37．(2011重庆)曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为A ．31y x =-B ．33y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =8．（2011江西）曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ）A ．1B ．2C ．eD ．1e 9．（2011山东）曲线211y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是A ．-9B ．-3C ．9D ．1510．（2011湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．D 11．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+12．（2010辽宁）已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ 二、填空题13．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln =y x 在点(1,0)处的切线方程为__________．14．(2018天津)已知函数()ln x f x e x =，()f x '为()f x 的导函数，则(1)f '的值为__．15．（2017新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为____________． 16．（2017天津）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l在y 轴上的截距为 ．17．（2016年全国III 卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________．18．（2015新课标1）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 的处的切线过点(2,7)，则a = ．19．（2015陕西）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________．20．（2015天津）已知函数()ln f x ax x =，()0,x ∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为 ．21．（2015新课标2）已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a ．22．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xb ax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ．23．（2014江西）若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______．24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ．26．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．三、解答题27．（2017山东）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ． (Ⅰ)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(Ⅱ)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．28．（2017北京）已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 29．（2016年北京）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 30．（2015山东）设函数()()ln f x x a x =+，2()x x g x e=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使的方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{}min ,p q 表示,p q 中的较小值），求)(x m 的最大值．31．(2014新课标1)设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1a f x a <-，求a 的取值范围． 32．（2013北京）已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值．（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围．。