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“金太阳”江苏省2010年百校大联考数学试题

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 第 1 页 共 7 页 “金太阳”江苏省2010年百校大联考 数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1. 若{2,3,4},{|,,,}ABxxnmmnAmn，则集合B的元素个数为 ▲ ． 2. 已知命题：“[1,2]x，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是 ▲ ． 3. 复数z=12i,则|z|= ▲ ． 4. 若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在第 ▲ 象限. 5. 已知函数在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是 ▲ ． 6. 等比数列}{na的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则}{na的公比为 ▲ ． 7. 按右图所示的程序框图运算，若输入8x，则输出k= ▲ ．

8. 已知函数0021,1)(,0,log0,3)(xxfxxxxfx则若的取值范围为 ▲ ．

9. 在ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则C的大小应为 ▲ ．

10. 关于直线m，n与平面,，有以下四个命题： ①若////,//且nm，则nm// ②若nmnm则且,,； ③若;,////,nmnm则且 ④若nmnm//,,//则且； 其中真命题的序号是 ▲ ．

11. 若Zk，则椭圆131222kykx的离心率是 ▲ ． 安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 第 2 页 共 7 页 12. 设x、y满足约束条件021xxyxy若目标函数为32zxy，则z的最大值为 ▲ ． 13. 已知向量)1,5(),7,1(),1,2(OBOAOP，设M是直线OP上任意一点（O为坐标原点），则MBMA的最小值为 ▲ ．

14. 在实数数列}{na中，已知|1|||,|,1||||,1|||,0123121nnaaaaaaa则4321aaaa的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.15. （本小题满分14分） 已知函数)(,cossin)(xfxxxf是)(xf的导函数。

（Ⅰ）求函数)()()()(2xfxfxfxF的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）若xxxxxffcossincossin1),(2)2(22求的值。 16. （本小题满分14分） 已知直三棱柱111ABCABC中，ABC为等腰直角三角形，090BAC，且12ABAA，,,DEF分别为11,,BACCBC的中点，

（1）求证：DE//平面ABC； （2）求证：1BF平面AEF； （3）求三棱锥E-AB1F的体积。

17. （本小题满分14分） 已知数列}{na是一个公差大于0的等差数列，且满足1,557263aaaa

（1）求数列}{na的通项公式； （2）数列}{na和数列}{nb满足等式

*)(222233221Nnbbbbannn，求数列}{nb 的前n项和Sn。

A1C1B1

ABC

DEF安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com

第 3 页 共 7 页 18. （本小题满分16分） 某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在

以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人,抢修完成共用n天. （Ⅰ）写出n关于x的函数关系式; （Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).

19. （本小题满分16分） 已知圆O：822yx交x轴于BA,两点，曲线C是以AB为长轴，直线：4x为准线的椭圆． （1）求椭圆的标准方程； （2）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交

于QP,两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；

（3）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于HG,两点，且HEEG3，试求此时弦PQ的长．

20. （本小题满分16分） 已知函数21()2,()log2afxxxgxx－（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果()()()hxfxgx 是增函数，且()hx存在零点（()hx为()hx的导函数）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1()gx

的导函数），证明：102xxx． “金太阳”江苏省2010年百校大联考 数学试题参考答案 1.3 2. a≥-8 3. 55 4. 二 5. (1,2) 6. 31 7.4 8. ),2[]0,1[ 9. 6 10. ②③

11. 36 12.5 13.-8 14.6

OxyABGHQ

MP安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com

第 4 页 共 7 页 15. 解（1）xxxfsincos)(，„„„„„„„„„„2分 )()()()(2xfxfxfxF xxxxcossin21sincos22 )42sin(212cos2sin1xxx„„„„„„„„4分

)(82242Zkkxkx当时，

21)(maxxF„„„„„„„„6分

最小正周期为22T„„„„„„„„7分 （2）xxxxxfxfsin2cos2cossin)(2)(

31tansin3cosxxx„„„„„„„„11分

xxxxxxxxxcossincoscossin2cossincossin122222

=.61132911tan11tan22xx„„„„„„„„14分 16.解：（1）取BB1 中点G，连DG,EG ∵B1D=AD， B1G=GB，∴DG//AB，同理GE//BC, ∵DGGE=G，ABBC=B，∴平面DGE//平面ABC , ∵DE平面DGE，∴DE//平面ABC . „„„„„„5分

（2） ∵AB=AC=2 BAC=90 , ∴BC=22 在1BFE中EC=1 ∴1BE=3 1BF=6 ∴1BFFE 又∵1.AFBCAFBB , ∴AF平面1BC,∴AF1BF ∵1BFFE，AF1BF , ∴1BF平面AFE „„„„„„10分 （3）EF=361FB. 31EB，1EFBAV=1 „14分 17.解（1）设等差数列}{na的公差为d，则依题设0d 由1672aa，得16721da„„„„„„① 由,5563aa得55)5)(2(11dada„„„„② 安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 第 5 页 共 7 页 由①得da71621将其代入②得220)316)(316(dd 即22092562d „„„„„„„„4分 ,42d又0d，

,2d代入①得11a„„„„„„„„6分

122)1(1nnan„„„„„„„„7分

（2）令nnnbc2，则有,21nnccca 1211nnccca两式相减得

,11nnncaa由（1）得2,111nnaaa

,21nc)2(2ncn，即当2n时，

12nnb又当n=1时，2211ab„„„„„„10分

)2(2)1(,21nn

bnn

于是1433212222nnnbbbbS 4222221432n

,62412)12(221nn

即622nnS„„„„„„„„14分

18.解：（Ⅰ）由题意得所以.„„„„„ 4分 （Ⅱ）设总损失为 „„„ 8分

当且仅当时,即时,等号成立. „„„„„„„„„ 11分 安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com

第 6 页 共 7 页 所以应派52名工人去抢修,总损失最小. „„„„„„„„„ 16分 19.解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为222210xyabab，则：

2224aac

，从而：222ac，故2b,所以椭圆的标准方程为22184xy。………4分

（Ⅱ）设(4,)Mm，则圆K方程为2222424mmxy 与圆22:8Oxy联立消去22,xy得PQ的方程为480xmy，

过定点2,0E。 ……………10分

（Ⅲ）解法一：设1122,,,GxyHxy，则221122222828xyxy,„„„①

3EGHE，



11222,32,xyxy，即：1212833xxyy

代入①解得：228323xy（舍去正值）， 1PQk，所以:20PQxy， 从而圆心0,0O到直线PQ的距离122d， 从而2226PQRd。 ………16分 解法二：过点,GH分别作直线l的垂线，垂足分别为,GH，设PQ的倾斜角为，则： 22,22GEEHeeGGHH，从而2,2GGGEHHHE，

由3EGHE得：3EGHE，2cos2GGHHGEEH，故4， 由此直线PQ的方程为20xy，以下同解法一。 解法三：将:PQ480xmy与椭圆方程22184xy联立成方程组消去x得：223216640mymy,设1122,,,GxyHxy，则1212221664,3232myyyymm。

3FGHF，



11222,32,xyxy，所以123yy代入韦达定理得：

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2010年高考试题--数学文(江苏版)解析版

2010年高考试题--数学文(江苏版)解析版

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I试题参考公式:1锥体的体积公式：V锥体=Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。

3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上.21、设集合A={-1,1,3}, B={a+2,a+4},A n B={3}，则实数a= _▲ _ .［解析］考查集合的运算推理。

3 B, a+2=3, a=1.2、设复数z满足z（2-3i）=6+4i （其中i为虚数单位），则z的模为.［解析］考查复数运算、模的性质。

z（2-3i）=2（3+2 i）, 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是▲.［解析］考查古典概型知识。

24、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间［5,40］中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有▲ 根在棉花纤维的长度小于20mm。

［解析］考查频率分布直方图的知识。

100X( 0.001+0.001+0.004)X 5=305、设函数f(x)=x(e x+ae-x)(x€ R)是偶函数，则实数a= _________ ▲ _________［解析］考查函数的奇偶性的知识。

g(x)=e x+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=—1。

6、在平面直角坐标系2 2xOy中，双曲线—-1上一点M，点M的横坐标是3,则M到双4 12曲线右焦点的距离是_____ ▲ ______［解析］考查双曲线的定义。

理匚必=：4=：2 , d为点M到右准线X=：1的距离，d =2, MF=4od 27、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是▲［解析］考查流程图理解。

1 • 2 • 22• ||1 • 24=31 ：：： 33,输出^1 2 2^1 2^63。

2010年全国高中数学联赛江苏赛区(试卷、参考答案、评分细则)

2010年全国高中数学联赛江苏赛区(试卷、参考答案、评分细则)

2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135x x +-=的实数解为 ．提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=- ，则AB ＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB ⋅-⋅== ，得4AB = ．4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ．提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ．提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数 ()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的 一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．（第7题）提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13． 9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos θ=．已知棱AB的长为 ． 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=， 则a 的值是 ． 提示与答案：由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以122a i =-±．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若 3455OM OA OB =+ ，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1． 由3455OM OA OB =+ ，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)． 因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分 即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1， 得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故 x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， 所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1， 从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分 12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数.又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5． …………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ．证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆；(2) 四边形BFCG 是矩形．证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ，又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ，∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BF A ，∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ， ∴ B 、G 、C 、F 共圆.∴ ∠BGC =∠AFB=900, ∴ BG ⊥GC ，∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数.∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2.∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且(2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2，∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………15分若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分 A B C D EF H G。

2010年数学试题分类汇编江苏卷

2010年数学试题分类汇编江苏卷

实用文档2010年数学试题分类汇编江苏卷一、填空题1、设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。

下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）2、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =___________.3、（本小题满分12分）设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R 。

(Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+。

4、（本小题满分16分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。

如果存在实数a 和函数)(x h ，其中实用文档)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P 。

(1)设函数)(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数。

(i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。

(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。

给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。

5、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是________。

2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

高一数学竞赛训练试题（5）一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135x x +-=的实数解为 ．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ .4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ．5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点， 其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ．6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数 ()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．四个不同的小球放入编号1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有____种。

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗相同的小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ． 9．方程xy =的实数解为：___________．10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=， 则a 的值是 ．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11.求使方程a ＋a ＋sin x ＝sin x 有实数解的实数a 的取值范围．12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．13．如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BE AD，垂足H.过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G．证明：(1) 点A、B、F、H共圆；(2) 四边形BFCG是矩形．AB CDEFHG14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135x x +-=的实数解为 ．提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得4AB =．4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ．提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ．提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数 ()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的 一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点.7．四个不同的小球放入编号1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有____种。