2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)

高三数学考试〔理科〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，那么A B =〔 〕A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-〔i 为虚数单位〕，那么z 的共轭复数所对应的点在〔 〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：D 解析：因为64i32i 1iz -=-=+-，所以2i z =-． 3．72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，那么cos 2α=〔 〕A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以3sin 5α=-，从而27cos 212sin 25αα=-=．4．如图1为某省2021年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2021年1~4月快递业务收入统计图，以下对统计图理解错误的选项是．．．．．．〔 〕 A ．2021年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B ．2021年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2021年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2021年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，假设,4,24ABC C a S π===△，那么232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- 〔 〕AB． C． D．5．答案：B解析：11,4,sin 424222ABC C a S ab C b π====⨯⨯⨯=△，得b = 2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，那么向量,a b 的夹角θ为〔 〕 A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=． 7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos2y x x =-的图象〔 〕A ．向左平移3π个单位长度 B．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos2y x x -的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，那么直线12F F 的斜率为〔 〕 A ．12- B ．14-C ．13-D ．15-8．答案：B 解析：因为134PF =，所以13224p +=，解得22121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为114014=--．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == 〕A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，那么有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影局部的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为〔 〕 ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE ===tan ACE ∠=11．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅获得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，那么12S S =〔 〕 A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a +，又点P 在线段MN上，可设()P m ，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+- 223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅获得最小值，此时P y a =，当0m =时，12PF PF ⋅获得最大值，此时3P y a =，那么213434S aS a ==． 12．函数()ln (0,1)x x f x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，那么a 的取值范围为〔 〕 A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)e e +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]e e e12．答案：B解析：因为()ln x x f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x x x x f x a a e a a a e '=+-=-+．当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0x a a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．13．答案：32 解析：44214422rr rr r rr T C xC x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14．实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 那么目的函数3z x y =-的最大值为 ．14．答案：4-解析：作可行域如下图，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 获得最大值4-．15．(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++〔b 为常数〕，那么(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-， 所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，假设四面体A BCD -的外接球的体积V =，那么CD = ．16．答案：解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，那么四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，设四面体A BCD -的外接球半径为r ，由3433V r π==，得r =设2CD x =，在Rt OAN △中，1ON ==，在Rt ADN △中，DN ，在Rt DMN △中，MN =1OM MN ON =-=，在Rt ODM △中，222OM OD DM =-，由221)2x =-，解得x =CD =三、解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 〔一〕必考题：共60分． 17．〔12分〕 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：〔1〕由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分又对任意正整数n ， 111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S Sn n+-=+，………………………………………………3分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．〔2〕由〔1〕可得2122n n n n a n b -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分 那么234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分18．〔12分〕某中学为理解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进展问卷调查．如今按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类〔不参加课外阅读〕，B 类〔参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时〕，C 类〔参加课外〔1〕求出表中x ，y 的值；〔2〕根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否〞与性别有关；〔3A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．解析：〔1〕设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，那么122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩,……1分所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分〔2〕列联表如下：5分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否〞与性别有关．……………………………………………7分〔3〕X 的可能取值为0，1，2，3，那么311132333819(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 3121122133322323383(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 21212333383(2)14C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分 33381(3)56C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分所以193131510123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………12分 19．〔12分〕如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．〔1〕证明：//PQ 平面ABCD ；〔2〕假设,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小． 19．〔1〕证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 〔2〕解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CDFD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如下图空间直角坐标系C xyz -，设1EF CE ==，那么(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，那么0n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n = (9)分易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，那么2cos 2n m n mθ⋅==⋅，……………………………11分 所以4πθ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π． 20．〔12分〕F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．〔1〕求C 的方程；〔2〕过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．断定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：〔1〕因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 〔2〕由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分 设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．〔12分〕设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕假设函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．21．〔1〕解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分因为()(1)1x x f x xe a e =+-+，所以()(1)xf x x a e '=+-．…………………………………………2分所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分 〔2〕证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，即1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分 令1()1x x g x x e +=+-，那么221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分设函数()2,()10x x h x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，那么(1,2)k ∈．………………………………9分 当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分 又由()0g k '=，可得2ke k =+，所以1()1(2,3)1kk g k k k e +=+=+∈-，…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分 解法2：〔2〕证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由〔1〕可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 获得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，设1()1(1)x g x x ex -=-+>，那么1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．〔二〕选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．假如多做，那么按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩〔α为参数〕．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求曲线12,C C 的极坐标方程；〔2〕在〔1〕的条件下，假设射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点〔除极点外〕，且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积． 22．解：〔1〕由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，那么由得,2M πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分 〔2〕将3πθ=代入12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕 函数()22(0)f x x m x m m =+-->．〔1〕当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； 〔2〕对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，务实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x m f x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分〔1〕当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分 所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分〔2〕因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤， 令()43g t t t =+--，那么由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分 因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。

2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--<，{}2B x x =>，则A B =（ ）A ．()5,+∞B ．()1,2C ．()2,5-D ．()2,5【答案】D【解析】本题先求出()1,5A =-，再求出()(),22,B =-∞-⋃+∞，最后求A B 即可. 【详解】解：因为{}2450A x x x =--<，所以()1,5A =-因为{}2B x x =>，所以()(),22,B =-∞-⋃+∞所以()2,5A B ⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，是基础题.2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数112z z z +的虚部为（ ）A ．1B ．3C ．1-D ．2【答案】B【解析】由图可得对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应点的象限即可． 【详解】由图可得，112z i =+，22z i =-，则()()()()112122+1251212+=12+13222+5i i z ii z i i i i z i i i +++=++=++=+--，所以复数112z z z +的虚部为3. 故选：B 【点睛】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义，属于基础题． 3．“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布匹，一百八尺曾量.两家分布要明彰，莫使些儿偏向.”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两.共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布.共织成布匹一百零八尺长，则（ ）（注：古代一斤是十六两） A ．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了 B ．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了 C ．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了 D ．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了 【答案】B【解析】先求出张昌和李德拣了多少斤棉花，再按比例求出张昌和李德各有多少尺即可. 【详解】九斤十二两等于9.75斤， 五斤四两等于5.25斤， 所以按张昌9.7510870.29.75 5.25⨯=+尺，李德5.2510837.89.75 5.25⨯=+尺，分配就合理了. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了合情推理，考查数据处理与运算求解能力.属于较易题. 4．已知直线l ⊂平面α，则“直线m ⊥平面α”是“m l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】利用线面垂直的性质和判定定理，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】 充分性：直线m ⊥平面α，m ∴垂直于平面α内所有直线，又直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，充分性成立；必要性：若m l ⊥且直线m ⊂平面α，则直线m ⊥平面α不成立，必要性不成立. 故选：A. 【点睛】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力，属于基础题.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且cos cos b a C ac A =+，则ABC 外接圆的面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 【答案】A【解析】本题先求出3A π=，再求出1a =，接着求ABC 外接圆的半径，最后求ABC外接圆的面积即可. 【详解】因为B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+，则3A π=，由正弦定理可知，sin sin cos sin cos B A C a C A =+， 解得：1a =.所以ABC 外接圆的半径为sin 2a A =，从而ABC 外接圆的面积为233ππ⎛= ⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题. 6．若函数()2x mf x e -=，且()()2112f x f x -=-，则()()ln3ln3f f +-=（ ）A ．0B ．99e e+C ．12D ．18【解析】由()()2112f x f x -=-可知()f x 关于y 轴对称，可求出m ，即可求出函数值. 【详解】由()()2112f x f x -=-，可知函数()2x mf x e -=的图象关于y 轴对称，则02m=，得0m =，故()2x f x e =， ()()()2ln3ln3ln32ln3218f f f e +-===.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想. 7．曲线1x y e x +=+在1x =-处的切线与曲线2y x m =+相切，则m =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】先求出切线方程是22y x =+，再求切线22y x =+在曲线2y x m =+的切点为(1,4) ，最后求出3m =即可. 【详解】解：因为曲线1x y e x +=+，所以11x y e +'=+，1'1+12x y =-==，所以曲线1x y ex +=+在1x =-处的切线方程是22y x =+，因为曲线2y x m =+，所以2y x '=，令22y x '==，解得：1x =，将1x =代入22y x =+得：4y =，所以切线22y x =+在曲线2y x m =+的切点为(1,4) 将(1,4)代入2y x m =+得3m =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.8．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为19，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比A ．49B ．19C ．925D ．125【答案】C【解析】先证明PO ⊥平面ABC ，接着求出219cos 19PAO =∠，再得到214r PO =和114R PO =，从而得到35r R =，最后求出球2O 与球1O 的表面积之比即可. 【详解】如图，取ABC 的外心O ，连接PO ，AO ， 则PO 必过1O ，2O ，且PO ⊥平面ABC ， 可知PAO ∠为侧棱与底面所成的角，即219cos 19PAO =∠. 取AB 的中点M ，连接PM ，MC .设圆1O ，2O 的半径分别为R ，r ， 令2OA =，则19PA =，23AB =，3AM =，1OM =，所以214r OM PO PM ==，即24PO r =，从而145PO r r R r R =++=+， 所以1154R R PO r R ==+，则35r R =， 所以球2O 与球1O 的表面积之比为925.故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.二、多选题9．下图为某城市2017年~2019年劳动力市场供求变化统计图.倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率=需求人数÷求职人数.它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定.根据统计图可知，该城市在2017年~2019年中（）A．该市求职人数最多的时期为2019年第三季度B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善【答案】AD【解析】通过图示，根据曲线的实际意义逐一判断可得选项.【详解】通过图明显可以看出2019年第三季度求职人数最多，故A正确；2017年第二季度求职人数远高于岗位需求量，故B错误；2019年第一季度供需人数高于2019年第二季度，故C错误；通过求职倍率曲线可以看出，劳动力供需比例从0.65上升到最高0.90，并且自2018年第四季度至2019年第四季度求职倍率非常稳定，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力，属于基础题.10．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =-B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN =D ．三角形ONF 的面积为162（O 为坐标原点） 【答案】ACD【解析】先求C 的准线方程4x =-，再求焦点F 的坐标为()4,0，接着求出4AN =，8FF '=，中位线62AN FF BM '+==，最后求出12FN =，162QNF S =△即可得到答案. 【详解】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，在直角梯形ANFF '中，中位线62AN FF BM '+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==， 故6612FN FM NM =+=+=，2212482ON =-=，18241622QNF S =⨯⨯=△.故选：ACD. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.11．设x ，y 为实数，满足12x -≤≤，01y <≤，则（ ） A ．x y +的取值范围是(]1,3- B ．x y -的取值范围是[)2,2-C ．xy 的取值范围是[]1,2-D ．2x y的取值范围是[)1,+∞【答案】ABC【解析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项. 【详解】对于D 选项，当0x =时，20x y=，所以D 选项错误. 由于12x -≤≤，01y <≤，所以13x y -<+≤，所以A 选项正确. 由于12x -≤≤，10y -≤-<，所以22x y -≤-<，所以B 选项正确.当10x -≤<、01y <≤时，10y -≤-<，则01xy <-≤，则10xy -≤<，所以xy 的取值范围是[)1,0-； 当0x =时，0xy =；当02x <≤、01y <≤时，xy 的取值范围是(]0,2. 综上，xy 的取值范围是[]1,2-，所以C 选项正确. 故选：ABC 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.12．定义：1M 表示函数()y f x =在I 上的最大值，已知奇函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()f x x =，正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则（ ） A ．[]0,2a M =B ．[]0,4a M =C ．a 的取值范围为[]4,9D ．a 的取值范围为[]6,9【答案】BD【解析】先结合题中条件得出()f x 的最小正周期，然后再画出函数()f x 的图象，然后结合图象进行分析即可得解 【详解】因为()()44f x f x +=-，所以有()()8f x f x +=-， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()8f x f x +=-，所以有()()()168f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期为16， 画出函数()f x 的图象，如图所示：当4a <时，[]0,a M a =，显然正数a 不满足[][]0,,22a a a M M ≥， 所以4a ≥，故[]0,4a M =，因为[][]0,,22a a a M M ≥，所以[],22a a M ≥， 即()y f x =在[],2a a 上的最大值不大于2，故6218a a ≥⎧⎨≤⎩，所以69a ≤≤.故选：BD . 【点睛】本题考查对新定义以及函数的性质的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于常考题.三、填空题13．已知向量()1,a m =，()1,2b =-，()()-a b a b +⊥，则m =______. 【答案】4【解析】由()()-a b a b +⊥可得a b =，由向量的模长公式计算即可得到答案. 【详解】因为()()-a b a b +⊥，所以()()-=0a b a b +⋅，则a b =，即114m +=+， 所以4m =. 故答案为：4 【点睛】本题考查平面向量的数量积公式，考查两个向量垂直条件得应用，考查运算求解能力，属于基础题.14．将函数()()()sin 40f x x ϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则ϕ的最大值是______.【答案】3π-【解析】本题先建立方程()43k k πϕπ+=∈Z ，再求()43k k πϕπ=-+∈Z ，最后求ϕ的最大值即可.【详解】解：由题意有：()4sin 4sin 433g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦奇函数， 所以()43k k πϕπ+=∈Z ， 所以()43k k πϕπ=-+∈Z ， 则ϕ的最大值是3π-.故答案为：3π-【点睛】本题考查三角函数图象的变换以及性质，考查数形结合的数学思想及逻辑推理能力，是基础题.15．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种. 【答案】16【解析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可. 【详解】农场主在中间共有4424A =种站法，农场主在中间，两名男生相邻共有222228A A ⋅=种站法， 故所求站法共有24816-=种. 故答案为：16 【点睛】本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.16．已知1F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.【解析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =，1185PF a =，285PF a =，最后建立方程2221212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.【详解】设2F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，212OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2t AM =. 因为222OM AM OA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285PF a =. 又因为2221212PF PF F F +=，所以29725e =，即该双曲线的离心率e =97. 【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.四、解答题17．在①22cos b c a C +=，②三角形ABC 的面积为)22234a b c --，③sin 3sin c A a B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC 的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3ab ，1c =，______？【答案】选条件①：存在，23；选条件②：存在，23；选条件③：不存在，答案见解析.【解析】方案一：选条件①：先求出cos A 以及A ，再求出sin B 以及B ，最后求出3a =1b =以及ABC 的周长；方案二：选条件②：先求出tan 3A =-A ，再求出sin B 以及B ，最后求出3a =1b =以及ABC 的周长；方案三：选条件③：先求出13b =以及33a =3133a b c +=+<，最后判断三角形不存在. 【详解】解：方案一：选条件①因为22cos b c a C +=，所以2sin sin 2sin cos B C A C +=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，整理得()sin 2cos 10C A +=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-，解得23A π=. 又因为3a b ，所以sin 3sin AB ，即1sin 2B =，6B π=，所以6C π=，则sin sin a cA C=，得a =1b =， 所以ABC的周长为2+. 方案二：选条件②因为)222sin 124ABCa b c bc SA --==△，所以)212cos n 4si bc bc A A -=，即tan A =， 因为()0,A π∈，所以23A π=. 又因为3a b ，所以sin 3sin AB ，即1sin 2B =，6B π=，所以6C π=，则sin sin a cA C=，得a =1b =， 所以ABC的周长为2+. 方案三：选条件③sin 3sin c A a B =，则3ac ab =，得133c b ==，因为3ab，所以3a =.又因为13a b c +=+<，则问题中的三角形不存在. 【点睛】本题考查三角形的面积公式、正弦定理、三角形是否存在的判断，是基础题. 18．已知数列{}n a 满足112a =，且对于任意m ，*t N ∈，都有m t m t a a a +=⋅. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()111n nn n b a a -+-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a =，*n N ∈；（2）()2382155n n +--⋅. 【解析】（1）先求出112n n a a +=，*n ∈N ，再判断数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，最后求n a 即可； （2）先求出()12112n n n b -+⋅=-，再判断数列{}n b 是以32为首项，以22-为公比的等比数列，最后求n T 即可. 【详解】解：（1）∵对于任意m ，*t ∈N ，都有m t m t a a a +=⋅成立， ∴令m n =，1t =，得11n n a a a +=⋅，即112n n a a +=，*n ∈N ， ∴数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列， ∴1111222n n na -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，*n ∈N . （2）∵()()()1111211112212n n n n n n nn n b a a ---+++-==-⋅⋅⋅=-，∴数列{}n b 是以32为首项，以22-为公比的等比数列，∴()()()()3223135792122128222221215512n n n n n nT +-+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=-+-++-⋅==--⋅--. 【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式，等比数列的通项公式与前n 项和，是基础题. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点.（1）证明：//OM 平面11CB A .（2）若四边形11BB C C 为正方形，求平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ，先证明1ONA M 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）连接OA ，利用已知条件得出OA ，OB ，ON 互相垂直，建立空间坐标系，分别求出平面1MOB 和面11CB A 的法向量，根据空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ， 则N 为1CB 的中点. 因为O 为BC 的中点， 所以1//ON BB ，且112ON BB =， 又11//MA BB ，1112MA BB =， 所以1ONA M 为平行四边形， 即1//OM A N .因为OM ⊄平面11CB A ， 所以//OM 平面11CB A .（2）解：连接OA ，令2BC =， 因为AB AC =，O 为BC 的中点， 所以AO BC ⊥.又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1//ON BB ， 所以OA ，OB ，ON 互相垂直，分别以OB ，ON ，OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为AB AC ==12BC AA ==，所以()0,0,0O，()11,2,0B ，()0,1,1M ，()1,0,0C -，所以()10,1,1OM NA ==，()11,2,0OB =，()12,2,0CB =. 设平面1MOB 的法向量为(),,m x y z =，则100OM m OB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =，可得1y =-，2x =，所以平面1MOB 的一个法向量为()2,1,1m =-. 设平面11CB A 的法向量为(),,n a b c =， 则1100NA n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220b c a b +=⎧⎨+=⎩，令1c =，可得1b =-，1a =，所以平面11CB A 的一个法向量为()1,1,1n =-，2211111,cos 3m n ⨯-⨯-+⨯===， 所以平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值为13. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及空间向量的应用和二面角.属于中档题. 20．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望； （2）求从乙盒中任取一球是红球的概率. 【答案】（1）答案见解析，32；（2）14.【解析】（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===， ()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===， 所以X 的分布列为所以()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）当乙盒中红球个数为0时，10P =，当乙盒中红球个数为1时，291320640P =⨯=， 当乙盒中红球个数为2时，392320620P =⨯=， 当乙盒中红球个数为3时，413120640P =⨯=， 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为123414P P P P +++=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题.21．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，斜率为k （0k ≠）的直线l 交E 于A ，B 两点，当k =时，AB =OAB 的面积为2ab（O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的方程；（2）设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MA MO =，求k 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）4k =-或4k =. 【解析】（1）先判断B 为椭圆的下顶点，再建立方程求出24a =，23b =，最后求椭圆E 的方程；（2）先联立方程()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，表示出228643B k x k -=+和21243B k y k -=+，再表示出点M 的坐标和点H 的坐标，最后表示出FH 、BF 建立方程2224912104343k k k k k k -⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭求直线l 的斜率即可. 【详解】解：（1）因为A 是椭圆的右顶点，OAB 的面积为2ab，所以B 为椭圆的下顶点.所以2b k a ==，AB ==24a =，23b =， 所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）设(),B B Bx y ，直线l 的方程为()2y k x =-，由方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=， 解得2x =或228643k x k -=+. 由题意得228643B k x k -=+，从而21243B k y k -=+. 因为MA MO =，所以M 的坐标为()1,k -，因此直线MH 的方程为11y x k k k =-+-，则H 的坐标为10,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=.由（1）知()1,0F ，则11,FH k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，所以2224912104343k k k k k k -⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭，解得k =k =，所以直线l 的斜率k =k =. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系求参数，是中档题 22．已知函数()()()()22543ln 132f x x x x x a x =+++-+-. （1）当8a =-时，求()f x 的单调性；（2）如果对任意0x ≥，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）在()21,1e --上单调递减，在()21,e -+∞上单调递增；（2）[)0,+∞.【解析】（1）先求函数()f x 的定义域为()1,-+∞，再求导函数，解不等式()0f x '<和()0f x '>求()f x 的单调性即可；（2）先建立新函数()()()()24ln 14g x f x x x x a '==++-+并求导，再建立新函数()()22ln 11xh x x x =+-+，[)0,x ∈+∞并求导，接着判断当0a ≥时符合题意；当0a <时，不符合题意即可得到答案. 【详解】解：（1）当8a =-时，()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()24ln 14824ln 12x x x x x f x =++--=++-'⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，解得21x e =-，当211x e -<<-时，()0f x '<，则()f x 在()21,1e --上单调递减；当21x e >-时，()0f x '>，则()f x 在()21,e -+∞上单调递增.（2）当0x ≥时，()()()24ln 14f x x x x a '=++-+.设函数()()()()24ln 14g x f x x x x a '==++-+，则()()22ln 11xg x x x '=+-+. 设函数()()22ln 11x h x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，则()()2201x h x x '=≥+，又()()00h x h ≥=，从而()0g x '≥，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增.当0a ≥时，()()00f x f a ''≥=≥，则()f x 在[)0,+∞上单调递增，又()00f =，符合题意.当0a <时，设()f x 在()0,∞+上的唯一零点为0x ，当[)00,x x ∈时，()0f x '<； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>.故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000f x f <=，不符合题意.综上，a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】本题考查利用导函数求函数的单调性，利用导函数研究不等式恒成立问题，是偏难题.。

广东省广州市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） AB．C ．12D．2【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r. 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.2．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ） A ．18- B ．18C ．2-D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论. 【详解】由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4， 所以，()()()3341f f f =-=-，又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()22f x x =，所以，()()()3112f f f =-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题. 3．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?【答案】B 【解析】 【分析】由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案 【详解】由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<【答案】A 【解析】 【分析】20x ->可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.【详解】 由20x ->,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.5．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI 指数值，判断选项中的命题是否正确. 【详解】对于A ，由图可知20天的AQI 指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误.对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.6．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.7．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】设cos {sin cos sin cos cos sin sin(+)1sin a a b b αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之，0a b ==满足sin cos 1a b θθ+≤，但221a b +≠，故选A.8．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D 【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 9．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3 B ．5C D 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -= 解得z =本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.10．在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π【答案】C 【解析】 【分析】取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【详解】如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足22241()216AB R r =+=，所以球O 的表面积S=4πR 2=41π4， 故选：C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf f D ．以上情况均有可能【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较． 【详解】由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增， 因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-， 所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，(cos )(sin )f f αβ<．故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 12．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1 B ．13C ．23D ．43【答案】B 【解析】 【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可. 【详解】联立方程：22y x y x ⎧=⎨=⎩可得：1100x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，结合定积分的几何意义可知曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为：)3123120211|333S x dx x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。