2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数y =定义域为A ，函数ln(3)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A. (,3)-∞B. (8,3)--C. {3}D. [3,3)-【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两个函数的定义域,A B ，进而求出AB 即可.详解】由题意，对于函数y =290x -≥，解得33x -≤≤，即[]3,3A =-； 对于函数ln(3)y x =-，30x ->，解得3x <，即(),3B =-∞， 所以AB =[3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题. 2.已知复数i()z a a =-∈R ，若8z z +=，则复数z =（ ） A. 4i + B. 4i -C.4i -+D.4i --【答案】B 【解析】 【分析】求出z 的表达式，再结合8z z +=，可求出a 的值，即可求出答案.【详解】由题意，i()z a a =-∈R ，i z a =+，所以i i 8a a -++=，解得4a =，故z =4i -. 故选：B.【点睛】本题考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3.已知命题p ：0x ∀>，则31x >；命题q ：若a b <，则22a b <，下列命题为真命题的是( ) A. p q ∧ B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知命题p 为真命题，则￢p 为假命题，命题q 是假命题， 则￢q 是真命题．因此p ∧￢q 为真命题．【详解】命题p ：0x ∀>，则31x >，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题．4.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）． A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B. ,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥C. 若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥D. ,,m n m αγβγ⋂=⋂=∥n ，则α∥β 【答案】C 【解析】试题分析：A ．错，因为没说明垂直于两平面的交线，B ．错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，C ．正确，因为平面存在垂直于的线，D ．错，因为与有可能相交．故选C ．考点：线线，线面，面面位置关系5.郑州市2019年各月的平均气温()℃数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）A. 20B. 21C. 20.5D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．【详解】解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34， 故中位数是：202120.52+=， 故选：C ．【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题． 6.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：设输入x a =，第一次执行循环体后，32x a =-，1i =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，98x a =-，2i =，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，2726x a =-，3i =，满足退出循环的条件； 故9882a -，且272682a ->， 解得：(4,10]a ∈， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．7.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A. 58- B.18C.14D.118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 10C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】由题可知直线350x y -+=与渐近线b y x a =-垂直，可求出b a 的值，进而由c e a ==心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 又因为直线350x y -+=的斜率为30>，所以与该直线垂直的渐近线方程为by x a=-，则31b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即13b a =，故双曲线的离心率c e a ====故选：D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查垂直直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9.函数2||()24x x f x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、B 选项，再根据()0,2x ∈时，()0f x <，()2,x ∈+∞时，()0f x >，可选出答案.【详解】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项； 当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积．将aGini S=，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为1[0,1])y x =∈，则π12Gini =-； 其中正确的是：（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 【分析】结合基尼系数曲线的特点，可判断出①正确；由劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误；再结合1[0,1])y x =∈对应的图形特征，可求出对应的,a S ，进而可求出Gini ，即可判断③是否正确.【详解】对于①，根据基尼系数公式aGini S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x ≤，可得()1f x x≤，所以②错误；对于③，易知1[0,1])y x =∈表示圆心为()0,1，半径为1的14圆弧，则21111π111π4242a =⋅-⨯⨯=-，12S =，故11ππ421122a Gini S -===-，所以③正确. 故选：B.【点睛】本题考查新定义，考查不等式证明，考查几何图形面积的计算，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球表面积为4π，则正方体外接球的体积为( )A. B. 36πC. 3D. 6【答案】B 【解析】 【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果. 【详解】设正方体的棱长为a ，则BD =，因为三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4π， 所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1， 设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，11114133BC D BC D S h S ∆∆⨯=⨯⨯⨯，4h ∴=， 又(23h ==，4,3a ∴== 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，∴3=，其体积为343363ππ⨯=，故选B. 【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径. 12.已知函数π()2f x x=-，()cos sin g x x x x =-，当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个数可得出答案. 【详解】由题意，函数π()2f x x=-，在[)(]4π,00,4π-上是奇函数，且是反比例函数，又()()()()cos sin cos sin g x x x x x x x g x -=----=-+=-，所以()g x 在[)(]4π,00,4π-上是奇函数.又()sin g x x x '=-，所以()0,πx ∈时，()0g x '<；()π,2πx ∈时，()0g x '>；()2π,3πx ∈时，()0g x '<；()3π,4πx ∈时，()0g x '>.所以()g x 在()0,π上单调递减；在()π,2π上单调递增；在()2π,3π单调递减；在()3π,4π上单调递增. 作出(),()f x g x 的图象，如下图所示，()00g =，()ππg =-，()1π2f =-，()()ππf g >，则()f x 与()g x 的图象在()0,πx ∈上有1个交点；()2π2πg =，()12π4f =-，()()2π2πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()π,2πx ∈上有1个交点；()3π3πg =-，()13π6f =-，()()3π3πf g >，则()f x 与()g x 的图象在()2π,3πx ∈上有1个交点；()4π4πg =，()14π8f =-，()()4π4πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()3π,4πx ∈上有1个交点.故()f x 与()g x 的图象在(]0,4π上有4个交点，根据对称性可知，二者图象在[)4π,0-上4个交点，故当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是8.故选：D.【点睛】本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到m 的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值. 【详解】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，2331,m m ∴-+= 解得：1m =或2m =，当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数2y x 的图象关于y 轴对称，∴实数2m =．【点睛】幂函数y x α=，若α为偶数，则图象关于y 轴对称.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________. 【答案】712【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b 可得6636n =⨯=种结果，由直线与圆()2222x y -+=有公共点a b ≤≤，故满足a b ≤的结果有65432121m =+++++=种，由古典概型的计算公式可得：直线0ax by +=与圆()2222x y -+=有公共点的概率为2173612m P n ===，应填答案712．15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且b =(sin )A A b =，则ABC的面积的最大值为_______．【解析】 【分析】由正弦定理边角转化，并结合()sin sin C A B =+，可得到cos sin sin A B A B =，从而可得tan 3B =，即可求出角B ，再结合余弦定理，可得到223a c ac =+-，利用基本不等式可求得3ac ≤，进而由1sin 2ABC S ac B =△，可求出答案. 【详解】由正弦定理可得，3sin (sin 3cos )sin C A A B =+， 又()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，所以()3sin cos sin cos (sin 3cos )sin A B B A A A B +=+，则3sin cos sin sin A B A B =， 因为sin 0A ≠，所以3cos sin B B =，即tan 3B =，故π3B =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得223a c ac =+-， 又222232a c ac a c ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立， 所以3ac ≤，且11333sin 32224ABCSac B =≤⨯⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有______．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 ②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为0.18% 【答案】①②③【解析】 【分析】结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案.【详解】对于①，CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大，故①正确；对于②，CPI 一篮子商品中吃穿住所占19.9%8%23%50.9%++=，权重超过50%，故②正确； 对于③，由第二个图可知，猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%，故③正确；对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为2.5% 2.1% 4.6%+=，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()*11n n n b n a a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨+≥⎩；（2）412030n n T n +=+【解析】 【分析】（1）由1n =时，11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，可求出{}n a 的通项公式； （2）由1n =时，1121b a a =，2n ≥时，11122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，进而结合裂项相消求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==．当2n ≥时，()22121(1)2(1)121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦． 而12211a =≠⨯+，所以数列{}n a 的通项公式为2,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩.（2）当1n =时，1121112510b a a ===⨯， 当2n ≥时，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1,110111.,222123n n b n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪++⎝⎭⎩，当1n =时，11110T b ==， 当2n ≥时，1231111111110257792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111411025232030n n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭． 又114111020130T ⨯+==⨯+，符合412030n n T n +=+， 所以412030n n T n +=+()*N n ∈． 【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列的前n 项和n T ，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.在改革开放40年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （2）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．（参考数据：()()612.8iii x x y y =--=∑，计算结果保留到小数点后两位）【答案】（1）0.16 6.44y x =+；（2）7.56万吨 【解析】 【分析】（1）先求出x 和y 的值，然后求出()621ii x x =-∑，进而由()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-，可求出ˆ,ba ，从而可求出y 关于x 的线性回归方程；（2）当年份为2020年时，年份代码为7x =，由（1）求得的回归方程，求出ˆy的值即可． 【详解】（1）由题意可知：1234563.56x +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，所以()()()1212.8ˆ0.1617.5niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑， 又70.16 3.5 6.44a y bx =-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为0.16 6.44y x =+．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码为7x =，此时0.167 6.447.56y =⨯+=． 所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，1BC =，求三棱锥1C AA B -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）34【解析】 【分析】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，可知1//OD B C ，进而由线面平行的判定定理可证明1//B C 平面1A BD ；（2）在ABC 中，利用余弦定理可求得3AB =222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，再结合平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知BC ⊥平面11AA B B ，进而求出1A AB S △，从而由1113C A AB AA BV S BC -=⋅可求出答案.【详解】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ， 又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ． （2）2AC =，1BC ∴=，60ACB ∠=︒，22212cos 4122132AB AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，3AB ∴=，222AC AB BC ∴=+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =，BC ⊂平面11AA B B ，BC ∴⊥平面11AA B B ．160A AB =︒∠，1AB BB =，∴四边形11AA B B 为菱形，1ABA △为正三角形，13AA AB ∴==.11111333sin 332224A AB S AB AA A AB ∴=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 1111333133C A AB AA BV SBC -∴=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线l 平行于直线by x a=，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）(2,0)(0,22)-⋃ 【解析】 【分析】（1）由短轴长为23,a b 的值，进而可求出椭圆的标准方程； （2）由直线l 平行于直线b y x a=，可设直线l 的方程为1(0)2y x n n =+≠，与椭圆方程联立，可得到关于x 的一元二次方程，由>0∆，可求得22n -<<，再结合AOB ∠为钝角，可得0OA OB ⋅<，且0n ≠，将该式展开，并结合韦达定理，可求出22n <，进而可求出n 的取值范围，再结合直线l 在x 轴上的截距2m n =-，可求出m 的取值范围．【详解】（1）由题意可得2b =b =c e a ===a = 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）由于直线l 平行于直线by x a =，即12y x =，设直线l 在y 轴上的截距为n ， 所以l 的方程为1(0)2y x n n =+≠． 联立221,2182y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x nx n ++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点， 所以()22(2)4240n n ∆=-->，解得22n -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x n +=-，21224x x n =-．因为AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0n ≠， 所以121212121122OA OB x x y y x x x n x n ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212125524(2)04242n nx x x x n n n n =+++=-+-+<，即22n <，且0n ≠， 所以直线l 在y 轴上的截距n的取值范围：(⋃． 因为直线l 在x 轴上的截距2m n =-，所以m的取值范围是：(-⋃．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数ln ()()xf x a x a =∈+R ，曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =． （1）求实数a 的值，并求()f x 的单调区间 （2）求证：当0x >时，()1f x x ≤-．【答案】（1）单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，由(e)0f '=，可求出a 的值，进而可得()f x 解析式，求出单调性即可；（2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤，进而构造函数2()ln (0)g x x x x x =-+>，求导并判断单调性可知()(1)0g x g ≤=，从而可证明结论.【详解】（1）ln ()xf x x a =+，2ln ()()x axxf x x a +-'∴=+， 2e (e)(e )af a '∴=+， 又曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =，则(e)0f '=，即0a =， 21ln ()xf x x -'∴=， 令()0f x '>，得1ln 0x ->，即0e x <<； 令()0f x '<，得1ln 0x -<，即e x >，所以()f x 的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞． （2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤， 令2()ln (0)g x x x x x =-+>，则2112(1)(21)()21x x x x g x x x x x+--+'=-+==-， 当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，即当0x >时，()1f x x ≤-．【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程， （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且||AB ≥．求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）222:()C x y a a +-=，:4350l x y -+=；（Ⅱ）101011a ≤≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程； （Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【详解】解：（Ⅰ）因为圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>，所以圆C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去t 得到4350x y -+=（Ⅱ）由圆的方程可得圆心(0,)C a ，半径R a =，则圆心到直线的距离|53|5a d -==，||3AB a ．3a ∴，即22234a da -， 则224a d ，即2a d ，则|53|52a a -， 则35252a a a --， 由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩解得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩，解得101011a ．即实数a 的取值范围是101011a ． 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题． 23.已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值． 【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

高一年级12月金太阳联考 (数学)一、选择题1.若集合A ={x|−1<x <3},B ={x|4>1}，则A ∩B =( )A.(0,3)2.函数f (x )=x 2−x的零点所在的区间为（）A.(−1,0)3.函数f (x )=ln (1−x 2)的单调递增区间为（）A.(0,1)4.2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年．某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴．小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（）A.充分不必要条件C.充要条件5.函数f (x )=x 3+x +x的部分图象大致为（）12x A.2二、多选题B.3C.4D.5已知角α的终边与单位圆交于点(,n)，则（）31B.(−1,3)C.(2,+∞)D.(−1,+∞)A.cosα=31B.n =2√23C.sinα=2√23D.tanα=±2√2下列函数中，最小值为2的是（）D.(2,3)A.y =x 2−2x +3C.y =|x|+D.(0,+∞)已知函数f (x )=ln|x|，g (x )=x −，则（）x11|x|B.(0,1)C.(1,2)B.y =√x 2+2+D.y =++14xx 11√x 2+2B.(−1,0)C.(−∞,0)A.f (x )+g (x )是奇函数C.f (x )⋅g (x )是奇函数B.f (x )−g (x )是奇函数D.f (x )是奇函数g (x )B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件x 2+ax,x <0,已知函数f (x )={（）ln (x +1),x ≥0A.若f (x )的最小值为一1，则a =2B.当a ≥0时，f (x )≥0恒成立C.当a ≤0时，存在x 0∈R 且x 0≠0，使得f (x 0)=f (−x 0)D.存在a ∈R ，使得对任意x ∈R,f (x )>1−a 恒成立三、填空题若对任意a ∈[2,3]，总存在y ∈[2,3x ]，使得log a x +log a y =2，则x 的取值范围是________.四、解答题D.c >a >b(1)计算()8(2)已知m =lg5,10n =2，计算10已知3sinα−cosα=3sinα+cosα2m−3n 22A.B.C.D.6.已知a =log 2,b =log 3,c =3−2，则（）32111A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >a1−3−21+log 23+2lg2+lg25的值；7.太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是2×1030千克，海王星是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是1×1026千克．下列各数中与M最接近的是（）（参考数据：lg2≈0.301,lg5≈0.699）A.10−4.3988.已知偶函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )=2x −1．若函数y =f (x )−log a x 恰有4个零点，则a =（）B.10−4.602C.10−4.699D.10−4.301m 的值．(1)求tan(2π+α)的值；(2)求sin acosa的值．已知幂函数f(x)=(m2+3m2)x m在(0,+∞)上单调递增．(1)求m的值；(2)设函数g(x)=f(x)+x，求关于a的不等式g(2+a)>g(1−a)的解集．已知函数f(x)=a x−1a x+1(a>0且a≠1）.(1)若f(2)=12，求f(−2)的值；(2)若f(x)在[−1,1]上的最大值为12，求a的值．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．冬季奥运会会徽以及吉祥物等纪念品已陆续发布．某公益团队计划联系冬季奥运会组委会举办一场为期一个月的线上纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查了解，某款纪念品的日销售量y（单位：件）是销售单价工（单位：元/件）的一次函数，且单价越高，销量越低，当单价等于或高于110元/件时，销量为0．已知该款纪念品的成本价是10元/件，展销会上要求以高于成本价的价格出售该款纪念品．(1)若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为多少？(2)通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，若要获得该款纪念品最大日利润的84%，则该款纪念品的单价应定为多少？已知函数f(x)=log2[1x−2(a−4)x].(1)当a=3时，求f(x)的定义域；(2)若函数g(x)=f(x)−log2[−(a−4)x+a−5]只有一个零点，求a的取值范围．参考答案与试题解析高一年级12月金太阳联考 (数学)一、选择题1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为B={x|x>0}，所以A∩B=(0,3).故选A.2.【答案】C【考点】函数的零点函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】当x<0时，f(x)>0恒成立，当x>0时，f(x)单调递增．f(1)=−1<0,f(2)=3>0，根据函数零点存在定理，f(x)的零点所在的区间是(1,2).3.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)的定义域为(−1,1)．因为函数y=1−x2在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，函数y=lnx在定义域内单调递增，所以f(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减．故选B.4.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，故“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件．故选B.5.【答案】A【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(−x)=−x3−x−1x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，排除B．当x>0时，f(x)>0，排除C．当x→+∞时，f(x)→+∞，排除D．故选A.6.【答案】C【考点】对数值大小的比较指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：因为log2113=−log23<−1,log32=−log32>−1，且log3112<0,3−2>0，所以c>b>a故选C.7.【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】m =1044104M2=1010lg2≈100.301=104.301.8.【答案】D【考点】函数的零点函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数y =f (x )log a x 恰有4个零点，所以函数f (x )的图象与函数y =log ax 的图象有4个交点，结合图象可得函数y =log a x 的图象经过点(5,1)，则1=log a 5，解得a =5.故选D .二、多选题【答案】A,D【考点】三角函数线任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：在单位圆中，(1223)+n =1，解得n =±2√23．由三角函数的定义，可得sinα=±2√213,cosα=3,tanα=±2√2.故选AD .【答案】A,C【考点】基本不等式二次函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：y =x 22x +3=(x1)2+2≥2，A 符合题意．y =√x 2+2+1√x 2+2≥2，当且仅当√x 2+2=12√x 2+2，即x =1时，等号成立，显然x 2=1不可能成立，B 不符合题意．y =|x|+1|x|≥2，当且仅当|x|=1|x|，即x =±1时，等号成立，C 符合题意．当x <0时，y =x 14+x+1≤0,D 不符合题意．故选AC .【答案】C,D【考点】函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】易证得f (x )为偶函数，g (x )为奇函数．令F (x )=f (x )+g (x )，则F (x )=f (x )+g (x )=f (x )g (x )，故f (x )+g (x )既非奇函数也非偶函数．同理可得f (x )g (x )既非奇函数也非偶函数．令G (x )=f (x )⋅g (x )，则G (x )=f (x )⋅g (x )=f (x )⋅g (x )=G (x )，故f (x )⋅g (x )是奇函数．同理可得f (x )g (x)是奇函数．【答案】A,C【考点】分段函数的应用函数恒成立问题函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：当x ≥0时，y =ln (x +1)≥0.因为f (x )的最小值为一1，所以函数y =x 2+ax 在(∞,0)上取最小值1，−<0,2则{a 2解得a =2，A 正确．−=−14a 解：（1）()821−32−21+log 23+2lg2+lg25当a ≥0时，令x +ax <0，解得−a <x <0，故当x ∈(−a,0)时，f (x )<0，B 错误．令x 0>0，要满足f (x 0)=f (−x 0)，只需函数f (−x )的图象与函数f (x )的图象有交点即可，易知C 正确．2=(2−3)−3−2×2log 23+2lg2+2lg6=4−2×3+2lg (2×5)=0．（2）10m =5，当a ≤0时，1−a ≥1，显然f (x )>1−a 不恒成立；当a >0时，f (x )min =−a 24，因为−a 24+a −1=−(a−2)24≤0，所以−a 24≤1−a ，即f (x )min ≤1−a 恒成立，则f (x )>1−a 不恒成立．故D 错误．故选AC.三、填空题【答案】[√3,2]【考点】对数函数的图象与性质函数恒成立问题对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为log a x +log a y =2，所以xy =a 2．因为a ∈[2,3]，所以a 2∈[4,9]，因为y ∈[2,3x ]，所以xy ∈[2x,3x 2]，x >0,则{2x ≤4,3x 2≥9,解得√3≤x ≤2故答案为：[√3,2].四、解答题【答案】1原式=[(10m )222515√2(10n )3]=(28)=4.【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）(18)−23−21+log 23+2lg2+lg25=(2−3)−23−2×2log 23+2lg2+2lg6=4−2×3+2lg (2×5)=0．（2）10m =5，1原式=[(10m )222515√2(10n )3]=(28)=4.【答案】解：(1)因为sinα+cosα3sinα−cosα=3,所以tanα+13tanα−1=3，解得tanα=12，故tan (2π+α)=tanα=12.（2）sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25．【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为sinαcosα3sinαcosα=3,所以tanα13tanα1=3，解得tanα=12，故tan(2πα)=tanα=12.（2）sinαcosα=sinαcosαsin2αcos2α=tanαtan2α1=25．【答案】解：（1）因为f(x)=(m23m2)x m为幂函数，所以m23m=1，解得m=122或m=2.当m=2时，f(x)=x2在(0,∞)上单调递减，不符合题意；当m=12时，f(x)=√x在(0,∞)上单调递增，符合题意．综上，m的值为12．（2）f(x)的定义域为[0,∞),且f(x)在[0,∞)单调递增．又因为函数y=x在[0,∞）上单调递增，所以g(x)的定义域为[0,∞），且g(x)在[0,∞）上单调递增．2a≥0,由g(2a)>g(1a)，得{1a≥1,2a>1a，解得12<a≤1．故所求不等式的解集为（12,1]．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）因为f(x)=(m23m m2)x为幂函数，所以m23m2=1，解得m=12或m=2.当m=2时，f(x)=x2在(0,∞)上单调递减，不符合题意；当m=12时，f(x)=√x在(0,∞)上单调递增，符合题意．综上，m的值为12．（2）f(x)的定义域为[0,∞),且f(x)在[0,∞)单调递增．又因为函数y=x在[0,∞）上单调递增，所以g(x)的定义域为[0,∞），且g(x)在[0,∞）上单调递增．2a≥0,由g(2a)>g(1a)，得{1a≥1,2a>1a，解得12<a≤1．故所求不等式的解集为（12,1]．【答案】解：（1）因为f(x)=a x11a xa x1=a x1=f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(2)=f(2)=12．（2）f(x)=12a x1．若0<a<1，则f(x)为减函数，f(x)max=f(1)=1211a1=2，解得a=3．若a>1，则f(x)为增函数，f(x)max=f(1)=121a1=2，解得a=3.故a的值为13或3．【考点】函数奇偶性的判断函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）因为f (−x )=a −x −1x a −x 1=1−a a x 1=−f (x )，所以f (x )为奇函数，故f (−2)=−f (2)=−12．（2）f (x )=1−2a x 1．若0<a <1，则f (x )为减函数，f (x )max =f (−1)=1−211a−1=2，解得a =3．若a >1，则f (x )为增函数，f (x )max =f (1)=1−2a1=12，解得a =3.故a 的值为13或3．【答案】解：（1）依题意可设y =kx b (k <0)．将x =110,y =0代入y =kx b (k <0)，解得b =−110k ．故y =k (x −110)(10<x <110)．设该款纪念品的日利润为w 元，则w =(x −10)y =k (x −10)(x −110)=k (x 2−120x 1100)=k [(x −60)2−2500](10<x <110)，因为k <0，所以当x =60时，w 取得最大值，且最大值为−2500k ，故若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为60元/件.（2）由题意可得k (x −10)(x −110)=−2500k ×84%，即x 2−120x 3200=0，解得x =40或x =80．故若要获得该款纪念品最大日利润的84%，则该款纪念品的单价应定为40元/件或80元/件．【考点】二次函数在闭区间上的最值函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）依题意可设y =kx b (k <0)．将x =110,y =0代入y =kx b (k <0)，解得b =−110k ．故y =k (x −110)(10<x <110)．设该款纪念品的日利润为w 元，则w =(x −10)y =k (x −10)(x −110)=k (x 2−120x 1100)=k [(x −60)2−2500](10<x <110)，因为k <0，所以当x =60时，w 取得最大值，且最大值为−2500k ，故若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为60元/件.（2）由题意可得k (x −10)(x −110)=−2500k ×84%，即x 2−120x 3200=0，解得x =40或x =80．故若要获得该款纪念品最大日利润的84%，则该款纪念品的单价应定为40元/件或80元/件．【答案】解：（1）当a =3时，f (x )=log 2(1x2x)，令1x2x >0，即12x2x>0，因为12x 2>0，所以x >0．故f (x )的定义域为（0，∞）.（2）因为函数g (x )只有一个零点，所以关于x 的方程f (x )−log 2[−(a −4)x a −5]=0①的解集中只有一个元素．由log 2[1x−2(a −4)x]=log 2[−(a −4)xa −5]，可得1x−2(a −4)x =−(a −4)xa −5，即(x1)[(a −4)x −1]=0②，当a =4时，−(a −4)x a −5<0，不符合题意．当1a−4=−1，即a =3时，方程②的解为−1．由（1）得f (x )的定义域为(0,∞),−1不在f (x )的定义域内，不符合题意．当−1是方程①的解，且1a−4不是方程①的解时，{−12(a −4)>0,−(a −4)×1解得9a−4a −5≤0，2<a ≤6．当1a−4是方程①的解，且−1不是方程①的解时，{−12(a −4)≤0,−(a −4)×1无解．a−4a −5>0综上，a 的取值范围是（92,6].【考点】函数的定义域及其求法由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）当a =3时，f (x )=log 2(1x2x)，令1x2x >0，即12x2x>0，因为12x 2>0，所以x >0．故f (x )的定义域为（0，∞）.（2）因为函数g (x )只有一个零点，所以关于x 的方程f (x )−log 2[−(a −4)x a −5]=0①的解集中只有一个元素．由log 2[1x−2(a −4)x]=log 2[−(a −4)xa −5]，可得1x−2(a −4)x =−(a −4)xa −5，即(x1)[(a −4)x −1]=0②，当a=4时，−(a−4)x+a−5<0，不符合题意．当1a−4=−1，即a=3时，方程②的解为−1．由（1）得f(x)的定义域为(0,+∞),−1不在f(x)的定义域内，不符合题意．当−1是方程①的解，且1a−4不是方程①的解时，{−1+2(a−4)>0,−(a−4)×1解得9a−4+a−5≤0，2<a≤6．当1a−4是方程①的解，且−1不是方程①的解时，{−1+2(a−4)≤0,−(a−4)×1无解．a−4+a−5>0综上，a的取值范围是（92,6].。

2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ， 平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（ ） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠， 则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】 解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=， 所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =， 所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆， 所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-， 内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦， 当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==， 由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =， 故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ， 所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。

一、选择题1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1$，则$f'(1)$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A解析：$f'(x) = 6x^2 - 6x + 2$，将$x=1$代入得$f'(1) = 6 - 6 + 2 = 2$。

2. 若$a > b > 0$，则下列不等式中正确的是（）A. $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$B. $a^2 > b^2$C. $\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. $\log_2 a > \log_2 b$【答案】C解析：选项A、B、D均不成立，只有选项C成立，因为平方根函数在$(0,+\infty)$上是增函数。

3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 5n$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A解析：由等差数列前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，得$a_1 +a_n = 8n - 10$，又$a_n = a_1 + (n - 1)d$，代入得$a_1 + a_1 + (n - 1)d = 8n - 10$，即$2a_1 + (n - 1)d = 8n - 10$。

取$n=1$，得$2a_1 = 8 - 10$，解得$a_1 = -1$。

但题目要求$a_1 > 0$，故排除D选项，选A。

4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$，则$f(x)$的极值点为（）A. $x=0$B. $x=1$C. $x=2$D. $x=-1$【答案】B解析：函数$f(x)$的定义域为$x \neq 0, 1$。

求导得$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x-1)^2}$，令$f'(x) = 0$，得$x=1$。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）数学(文科)试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合2|1,A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭{3,2,1,1,2,3}B =---，则AB =（ ）A. {2,1,1,2,3}--B. {2,1}--C. {1,1,2,3}-D. {3,2}--【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式21x≤-，从而可得{}|20A x x =-≤<，进而可求出A B . 详解】解：()2022100x x xx x x ⎧+≤+≤-⇒≤⇒⎨≠⎩ ，解得20x -≤<，则{}2|1|20A x x x x ⎧⎫=≤-=-≤<⎨⎬⎩⎭，所以{}2,1AB =--.故选:B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了分式不等式的求解.本题的易错点是，在解分式不等式时，忽略了分母不为零这一条件. 2.已知i 为虚数单位，复数12,2()iz z a i a R i-==+∈.若12z z >，则a 的取值范围是（ ） A. (2,2)- B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,2)-∞【答案】A 【解析】 【分析】对1z 进行整理得112z i =--，进而可求出12,z z ，结合12z z >>，进而可求出a 的取值范围.【详解】解：()122212i i i z i i i--===--，则1z ==，2z =，因为12z z >>22a -<<. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模，考查了一元二次不等式.将1z 进行整理是本题的关键. 3.函数()2x af x +=在区间()1,+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A. 2a ≥-B. 2a >-C. 1a ≥-D. 1a >-【答案】D 【解析】 【分析】首先求满足条件的充要条件，再求其真子集，就是满足条件的一个充分不必要条件. 【详解】函数()2x af x +=的单调递增区间是[),a -+∞，若函数()2x af x +=在区间()1,+∞单调递增，1a ∴-≤，即1a ≥-那么满足条件的一个充分不必要条件需是[)1,-+∞的真子集， 只有1a >-满足条件，故选D.【点睛】本题考查复合函数给定区间的单调性，求参数取值范围，以及充分必要条件，复合函数单调性的判断方法，将函数分解为内层函数和外层函数，内层函数与外层函数的单调性一致，函数是单调递增，若相反，函数是单调递减.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13134S π=，则222579cos cos cos a a a ++=（ ） A. 1 B.32C.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】 由13134S π=可得722a π=，根据余弦的二倍角公式，可得原式579cos2cos2cos2322a a a ++=+， 由5972222a a a +=⨯，根据余弦函数的性质，可知579cos2cos2cos202a a a ++=，从而可求出222579cos cos cos a a a ++的值.【详解】解：()11313713131324a a S a π+===，则722a π=.设()cos f x x = 2225795795791cos21cos21cos2cos2cos2cos23cos cos cos 22222a a a a a a a a a +++++++=++=+ 因为()cos f x x =对称中心为,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且722a π=，5972222a a a +=⨯所以579cos2cos2cos202a a a ++=，即原式32=.故选:B.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的求和公式，考查了余弦函数的性质，考查了二倍角公式.本题的难点是将所求式子进行变形.5.函数1()(3sin 2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除C ，当0x > 时，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由122f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可排除A,B ，从而可选出正确答案.【详解】解：由()1()(3sin2||cos2||)2f x x x f x -=---=，可得()f x 图像关于y 轴对称，排除C ，当0x > 时，()1()3sin 2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，排除A ，由122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 排除B ，故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了三角恒等变换.选择函数图像时，一般根据函数的奇偶性、单调性、周期性等对选项进行排除，然后可代入特殊值进行排除.6.已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形A B C D ''''为平行四边形，B C x '''轴，O '为边A B ''的中点，则平行四边形A B C D ''''的面积为（ ）A. 8B. 16C. 2D. 82【答案】C 【解析】 分析】由几何体的三视图可得4B C ''=， 2A B ''=，再由斜二测画法求面积即可得解.【详解】解：由正视图与题意知4B C ''=，由侧视图与题意知2A B ''=，所以平行四边形A B C D ''''的面积为2sin 454222B C A B ''''⨯︒=⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查了三视图及斜二测画法，属基础题.7.已知函数())lnf x x =，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出函数()f x 的定义域，结合函数的解析式可得()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，设())lng x x =，利用复合函数单调性的判断方法分析可得()g x 在[)0,+∞上为减函数，又由()0g 的值，可得在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，由此可得()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数())ln f x x =，其定义域为R ，则())lnlnf x x -==)()lnlnx x f x =-=+=，即函数()f x 为偶函数，设())ln g x x ==，有()0ln10g ==，设t =，则ln y t =，当0x ≥时，t 为减函数且0t >，而ln y t =在()0,∞+增函数，则())lng x x ==在[)0,+∞上为减函数，又由()00g =，则在区间[)0,+∞上，()0g x ≤， 又由()()f x g x =，则()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，()199log 4log 4a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()525log 2log 4b f f ==，又由0.2259log 4log 41 1.8<<<，则有b a c <<； 故选：D ．【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．8.如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由相切可求出2p =，设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，将直线与抛物线联立后由韦达定理可求出21242x x m +=+，121=x x ，124y y m +=，124y y =-，结合||||AB BD =，可得到中点B 的坐标，代入圆的方程中去，可求出2212m =，从而可求出投影12DA OF x x OF ⋅=-的大小. 【详解】解：由圆2C 与y 轴相切可知，12p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+=， 由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --=，由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-， 则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==.因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得212m -=， 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为122DA OF x x OF⋅=-===，故选:A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了向量的投影问题.本题的关键是由中点求出直线的方程.注意运用韦达定理简化运算.9.已知实数,x y 满足约束条件20y x mx y m ⎧≥-⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（ ）A.2B.2C.12D.13【答案】C 【解析】 【分析】画出满足约束条件的可行域，由图分析可知，可行域内A 到()0,1-距离最大，即23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解，从而可得关于m 的方程.【详解】解：可行域如图，设()2222211z x y y x y =++=++-， 由图可知，A 到()0,1-最远，则23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解， 即22233240111m m m m m m +⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭且01m <<，解得12m =或2（舍去） .故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题.本题的关键是对目标式子进行分析，找出最优解.目标函数常见的形式有z ax by =+型、y b z x a-=-型、()()22z x a y b =-+-型，借助直线的截距、直线的斜率、两点间的距离等可分析出最优解.10.毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A.116B.164C.2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，设第n 个图中正方形的个数为n a ，则112,n n n a a n N +*+=+∈，结合累加法可求出121,n n a n N +*=-∈，令1218191n n a +=-=，可确定第12个图形中得到8191个正方形；结合边长规律，即第n 个图中最小正方形边长为cos 45n ︒，从而可求出答案.【详解】解：设第n 个图中正方形的个数为n a ，则由图可知112,n n n a a n N +*+=+∈则221332122 (2)n n n a a a a a a -⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ ，将n 个式子相加可得23122...2,2,n n a a n n N *-=+++≥∈ ， 所以()11412321,2,12n n na n n N -+*-=+=-≥∈-，当1n =时，2213-=，所以121,n n a n N +*=-∈.令1218191n n a +=-=，解得12n =.由题意知，第一个图中最小正方形边长为cos45︒ ，第二个图中最小正方形边长为2cos 45︒，则第n 个图中最小正方形边长为cos 45n︒，则1261211cos 452264⎛⎛⎫︒=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，考查了指数值的运算，考查了推理.本题的关键是找出正方形个数及边长的规律.求数列的通项公式时，常见的思路有累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.本题的易错点是，在进行累加法时，未能正确求出等号右侧等比数列的和.11.“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 120,42⎧⎫⎪⎪⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,42⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 是“互倒函数”，得到()f x 解析式，从而画出()f x 的图像，将问题等价于等价于()()21f f x a =+有两个不等的实根，分为23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，217116a +=，21731162a <+<，2312a +=，2312a +>几种情况讨论，设()t f x =，先研究()21f t a =+的解，再研究()t f x =的解，从而得到a 的范围.【详解】函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(]11,2x∈， 因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+， 所以()2112f x f x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 所以()2211,12211,122x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，函数()()21y f f x a=--都恰有两个不同的零点，等价于()()21ff x a=+有两个不等的实根，作出()f x 的大致图像，如图所示， 可得()max 32f x =，()min 34f x =，317218f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，317416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()t f x =，则 ①当23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ，其中11324t ≤<，2312t ≤<， ()1f x t =无解，()2f x t =有两个解，符合题意；②当217116a +=时，由()21f t a =+得134t =，243t =， 由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意；③当21731162a <+<时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ， 其中1314t <<，2413t <<，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意； ④当2312a +=时，由()32f t =，得121t t ==， 由图可知()1f x =有两个解，符合题意；⑤当2312a +>时，由()21f t a =+，得t 无解，不符合题意. 综上所述，2312a +=或23171416a ≤+<符合题意，而0a >，所以解得22a =或10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 即实数a 的取值范围为120,42a ⎧⎫⎪⎪⎡⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭. 故选：A.【点睛】本题考查符合函数的值域，函数与方程，根据函数的零点求参数的范围，考查了逻辑思维能力和运算能力，分类讨论的思想，属于难题.12.数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（ ）A. 40213-B. 4122-C.()404213- D.()402213-【答案】D 【解析】【分析】由题意知2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列{}n a 的前40项和.【详解】解：当n 取奇数时，cos 1n π=-，则2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，将式子相加得 ()()2040353912340214221...222 (214)3a a a a ⨯--++++=++++==- .故选:D.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等比数列的前n 项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能正确确定项数.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某班,,,,A B C D E 五人中随机选取两人参加学校的问卷调查，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为________. 【答案】710【解析】 【分析】求出总的组合数和,A B 两人中无一人被选中的组合数，结合对立事件的概率和为1，可求出,A B 两人中至少有一人被选中的概率.【详解】解：五人中随机选两人组合数有2510C =种，,A B 两人中无一人被选中的组合数有233C =种，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为3711010-=. 故答案为:710. 【点睛】本题考查了组合的应用，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是结合对立事件概率的关系简化运算.14.甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下：第一步：先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子（如图所示），甲从中记下某个棋子的坐标；第二步：甲分别告诉其他三人：告诉乙棋子的横坐标.告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等；第三步：由乙、丙、丁依次回答.对话如下：“乙先说我无法确定.丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道”.则甲记下的棋子的坐标为_____.【答案】(5,5) 【解析】 【分析】根据题意，得出乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，再根据横纵坐标相等，即可求解，得到答案．【详解】由题意，乙只知道棋子的横坐标，又无法确定，所以棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，接下来丙知道棋子的纵坐标，又无法确定，所以棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，这些横纵坐标相等的点只有(5,5)，所以丁说棋子的坐标为(5,5).【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理确定乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，M 在第一象限，线段MF 交双曲线于点N ，如果12MN NF =，则双曲线的离心率等于________.5【解析】 【分析】由MF 与渐近线b y x a = 垂直，可得直线MF 方程为()ay x c b =--，从而可求出2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合12MN NF =可求出222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由N 在双曲线上，代入方程即可得到关于,,a b c 的方程，进而可求出离心率.【详解】解：由题意知，MF 与渐近线b y x a =垂直，则MF 斜率为ab-，因为(),0F c ， 则直线MF 方程为()a y x c b =--，与b y x a =联立得()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，解得2a x c ab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12MN NF =，可得222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为N 在双曲线上，则 22222223331a c a ab c c b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+，整理得，225c a =，即c e a==. 故答案为:【点睛】本题考查了两直线垂直的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了向量的运算，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由已知求出N 的坐标.本题由于计算量略大，应注意计算的准确性.求圆锥曲线的离心率时，关键是列出关于,,a b c 的方程.16.已知H 为ABC 的垂心，且CH xCB yCA =+，AH mAB nAC =+，31x y +=，41m n +=，则B =________.【答案】45︒ 【解析】 【分析】由已知可得CA xCB yCA mAB n AC =+--,从而()()1y n m CA x m CB ---=-,进而可知100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩,结合已知条件,可求出,,,x y m n 的值;由00AH BC CH AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得cos cos cos cos mc B nb Cxa B yb A =⎧⎨=⎩,结合余弦定理及,,,x y m n 的值,可推出22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由余弦定理可求B 的大小.【详解】解：()CA xCB yCA mAB nAC xCB yCA m CB CA nAC =+--=+---， 整理得，()()1y n m CA x m CB ---=-，因为,CA CB 不共线，因此100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩ ，又因为31x y +=，41m n +=，解得16121613x y m n ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 因为H 为ABC 的垂心，所以()()0AH BC mAB nAC BC CH AB xCB yCA AB ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩，整理得，cos cos cos cos mc B nb C xa B yb A =⎧⎨=⎩ ，结合222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩可得222222330220a b c a b c ⎧--+=⎨--=⎩ ， 解得22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则222222298255cos 2298255b b b a c b B ac b+-+-===⨯，即45B =︒.故答案:45︒.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了余弦定理.本题的难点是垂心这一条件的应用.本题关键是求出参数的值.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE 区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC 的外接圆直径为20057m .（1）求道路AC 的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值. 【答案】（1）500m ；（2）600m . 【解析】【分析】（1）由正弦定理可求出AB =，由余弦定理可知2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，从而可求AC .（2）结合正弦定理可求三角形的周长为l EA ED AD =++)sin sin 200EAD EDA =∠+∠+，结合辅助角公式可化简为()400sin 60200l EAD =∠+︒+，进而可求周长的最大值. 【详解】（1）解：设三角形的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin ABR ACB=∠，即sin 60AB ︒==，由余弦定理知，2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，则22001500000AC AC --=，解得，500AC m =.（2）解：由题意知，200AD BC m ==，在AED 中，设周长为l ，其外接圆半径为R '，则2002sin sin 603AD R E '===︒，则2sin 3ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin 3EA R EDA EDA '=∠=∠，则l EA ED AD =++)()sin sin 200sin sin 120200EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎤⎦()3sin 200400sin 302002EAD EAD EAD ⎫=∠+∠+=∠+︒+⎪⎝⎭，则当30EAD =∠°时，周长最大，为600m .【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了余弦定理的应用.本题的关键是用一个变量来表示三角形的周长.本题的难点为周长最值的求解.一般地，当已知三角形的两角及一角的对边时，常用正弦定理解三角形，若已知两边及其夹角或三边时，常用余弦定理解三角形.但是若已知两边及一边的对角时，也可用余弦定理解三角形.18.已知鲜切花A 的质量等级按照花枝长度L 进行划分，划分标准如下表所示.某鲜切花加工企业分别从甲､乙两个种植基地购进鲜切花A，现从两个种植基地购进的鲜切花A中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示.（1）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；（2）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（3）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件成本为10元，销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.三级花加工产品二级花加工产品一级花加工产品销售率252389单价/(元/件) 12 16 20由于鲜切花A加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A？【答案】（1）乙种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A的花枝长度相对于乙种植基地更为集中.（2）310.（3）该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A.【解析】【分析】（1）结合茎叶图即可看出平均值的大小关系以及数据集中程度；（2）从茎叶图中求出三级的样品共5个，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则可求出基本事件总个数以及2个都来自乙基地基本事件个数，即可求出概率；（3）分别求出三种花的销售额，减去总的成本，结果除以个数即可得乙种植基地单件平均利润，与4进行比较，即可得出结论.【详解】（1）由茎叶图可以看出，乙种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A 的花枝长度相对于乙种植基地来说更为集中.（2）由题意知，三级的样品共5个，其中，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则从5个样品中随机取2个共有2510C = 种可能，2个都来自乙基地共233C =种可能，则选取的2个全部来自乙种植基地的概率为310. （3）根据茎叶图可知，乙基地中，三级花共3个，二级花共16个，一级花共11个，则三级花的销售额为231263123120.5555⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)； 二级花的销售额为21640161616160.5333⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；一级花的销售额为811870112011200.5999⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；则乙种植基地单件平均利润为126640187030030 4.88539⎛⎫++-÷≈⎪⎝⎭(元).因为4.884>，所以该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A .【点睛】本题考查了茎叶图，考查了古典概型概率，考查了数据分析.本题的计算稍麻烦，应多加注意.求古典概型概率时，可用列举法写出所有的基本事件，再进行求解；但这样速度较慢，有时合理地结合排列组合的思想会使得做题速度加快，准确度提高. 19.如图1，在长方形ABCD 中，122AB BC ==，E ，F 分别为AD ､BC 的中点，G 为ED 的中点，点H 在线段AF 上，且满足AH AF λ=.将正方形ABFE 沿EF 折起，使得直线EF 与平面ABCD 间的距离为1，得到如图2所示的三棱柱AED BFC -.（1）求证：AF ⊥平面BED ： （2）若三棱锥G HFC -的体积为26，求λ的值.【答案】（1）证明见解析（2）12λ=.【解析】 【分析】（1）过点E 作EM AD ⊥于点M ，由勾股定理可知AE ED ⊥，从而可证ED ⊥ 平面AEFB ，推出ED AF ⊥，结合AF EB ⊥，可推出线面垂直.（2）过点H 作HI EF ⊥于点I ，则()21HI λ=-，由1236G HFC H GFC GFC V V S HI --==⨯=可求出λ 的值.【详解】（1）证明：在AED 中，过点E 作EM AD ⊥于点M ，如图所示， 因为//CD EF ,CD ⊂面ABCD ,则EM 为EF 与平面ABCD 间的距离，由题意知， 则1,2EM AE ED ===，易知1AM MD ==，则2AD =，所以AE ED ⊥，又ED EF ⊥，EFAE E =，所以ED ⊥ 平面AEFB ，又AF ⊂平面AEFB ，所以ED AF ⊥，由题意知，AF EB ⊥，ED EB E ⋂=，则AF ⊥平面BED .（2）解：由AE ED ⊥，AE EF ⊥，EF ED E ⋂=，可知AE ⊥面EFD ，即AE ⊥面GFC ， 过点H 作HI EF ⊥于点I ，则//HI AE ，所以HI ⊥平面GFC . 因为1HI FHAE AFλ==-，所以()()121HI AE λλ=-=-， 则()11122221332G HFC H GFC GFCV V S HI λ--==⨯=⨯⨯⨯⨯-=，解得12λ=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了椎体体积的求解.将三棱锥G HFC -的体积转化为三棱锥H GFC -的体积，是本题第二问的关键.证明线线垂直时，常用的思路有：等腰三角形三线合一、勾股定理、菱形的对角线、线面垂直的性质等.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 2的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的常数k，2k =±.【解析】 【分析】（1）由点(0,1)M 在椭圆E 上，可求出21b =，联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆只有一个交点可得()4224216828160a a a a a ∆=-+=-=，从而可求出2a 的值，进而可求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，写出过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程联立，可得2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ，当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，223PA PB +=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()24222442210m k m k m ++-+=，从而可求出k 的值.【详解】（1）解：因为点(0,1)M 在椭圆E 上，所以211b =，解得21b =，椭圆方程为2221x y a+=，过点(2,0)N)2y x =-，与椭圆方程进行联立，即)222221y x x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，整理得，()22222420a x a x a +-+=，因为直线和椭圆有一个交点， 此时()4224216828160a aa a a ∆=-+=-= ，解得22a =，所以E 的方程为2212x y +=.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，则过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程进行联立得()2212y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得，()22222214220k x k mx k m +-+-=，由韦达定理知，2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ， 当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，22213PA PB a +=+=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()()222121212121222223x x m x x x x m y y y y +-+-+++-=，则222222222222222442222222232121211221k m k m k m km m k k m m k k k k k ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫--⨯++--⨯= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得，()()24222442210m k m k m ++-+=，解得212k =或222122m m +-+（舍去）所以当2k =±时，2221||,,||2a PA PB +成等差数列.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了两点间的距离，考查了等差中项，考查了圆锥曲线中的定值问题.本题的难点在于第二问的计算. 21.己知函数2()22(1)x x f x ae a e =++. （1）当12a =-时，求()f x 的极值； （2）当(0,)a ∈+∞时，函数()f x 的图象与函数4x y e x =+的图象有唯一的交点，求a 的取值集合. 【答案】（1）函数()f x 的极大值是14，无极小值；（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】 （1）当12a =-时，2()x xf x e e =-+，由导数为零，解得ln2x =-，从而可知()(),f x f x ' 随x 的变化，进而可求极值；（2）设设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，即22ln 2t ta t t+=+只有一个根，设()22ln t tg t t t+=+，结合导数可知，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，画出()g t 草图，可求出a 的取值集合.【详解】（1）解：当12a =-时，2()x x f x e e =-+，则2()02x x f x e e '-+==，解得ln2x =-， 则()(),f x f x ' 随x 的变化如表所示所以函数()f x 的极大值是2(ln 2)ln 2111(ln 2)424f ee ---=-+=-+=，无极小值； （2）解：设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，其中0t >，则()22214ln at a t t t ++=+只有一个根，即22ln 2t ta t t+=+ 只有一个根，设()22ln t tg t t t +=+ ，则()()22222ln 1ln t t t t t g t t t -+-+-'=+，()10g '= 令()222ln 1ln h t t t t t t =-+-+-，则()142ln 1h t t t t '=----，设12ln y t t=+， 则令2212210t y t t t -'=-+==，解得12t =，则,y y ' 随t 的变化如下表则当12t =时，12ln y t t =+取最小值为()22ln221ln20-=⨯->，所以12ln 0t t--<，即()142ln 10h t t t t'=----<.所以()h t 在()0,t ∈+∞ 上单调递减，因此()0g t '=只有一个根，即1t = ，当()0,1t ∈ 时，()0g t '>，()g t 递增；当()1,t ∈+∞ 时，()0g t '<，()g t 递减， 所以，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，则()22ln t tg t t t+=+简图如图所示， 由题意知，2y a = 与()g t 图像只有一个交点，而(0,)a ∈+∞，所以21a =，即12a =， 所以a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了函数的极值，考查了函数的零点与方程的根，考查了数形结合.本题的第二问的关键在于通过换元、参变分离，得到2y a = 与()22ln t tg t t t+=+图像只有一个交点.本题的难点是通过二次求导探究()22ln t tg t t t+=+图像的变化趋势. 22.在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为()24cos sin ρρθθ=+，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求圆1C 的直角坐标方程；（2）已知曲线2C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线2C 与圆1C 交于,A B 两点，求圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长.【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=.（22π. 【解析】 【分析】（1）24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，代入222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，即可得到圆1C 的直角坐标方程；（2）通过消参可得曲线2C 的普通方程为22y x =-，则联立12,C C 方程，可求出()0,4A ，()4,4B ，由110C A C B ⋅=，可求出劣弧AB 的圆心角为12AC B π∠=，进而可求弧长.【详解】（1）解：因为24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，则2244x y x y +=+， 整理得，22(2)(2)8x y -+-=，所以圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=. （2）解：曲线2C 的普通方程为22y x =-，由题意知，当2x ≤时，12,C C 的交点为A ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩ ，解得，04x y =⎧⎨=⎩，即()0,4A ，当2x >时，12,C C 的交点为B ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩，解得，44x y =⎧⎨=⎩，即()4,4B ，由（1）知，圆心()12,2C ，半径22r =.()()112,2,2,2C A C B =-=，则110C A C B ⋅=， 则12AC B π∠=，所以劣弧AB 的长为2222ππ⨯=.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程转化为普通方程，考查了弧长的求解，考查了直线与圆的位置关系.本题的关键是求出劣弧的圆心角. 23.已知函数()|21||5|f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32m，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立.【答案】（1）{|1x x <-或1}x >：（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)对x 的取值范围进行分情况讨论,再求解不等式即可;(2)根据解析式求出()f x 的最小值,从而得到m ,再利用分析法证明不等式即可.【详解】(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=, 因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q+≥+恒成立, 即证4p q pq p q+≥+恒成立, 即证()24p q pq +≥恒成立, 即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立,因此,原不等式得证.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式,考查不等式的证明,难度不大.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（三）数学试卷（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，则A B =（ ）A. {}14x x -<< B. {}04x x <<C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合B 再求AB 即可.【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3A B =,故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的不等式求解以及交集的运算,属于基础题.2.设复数1z bi =+（b R ∈）且234z i =-+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A. 2-B. 2i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出． 【详解】z 2=﹣3+4i ，∴（1+bi ）2=﹣3+4i ，1﹣b 2+2bi=﹣3+4i ， ∴1﹣b 2=﹣3，2b=4， 解得b=2．则z =1﹣2i 的虚部为﹣2． 故选A ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.在等比数列{}n a 中，11a =，6835127a a a a +=+，则6a 的值为（ ）A.127B.181 C.1243D.1729【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列各项之间的关系化简6835127a a a a +=+求得13q =,再根据561a a q =⋅求解即可.【详解】设等比数列{}n a 公比为q ,则()335368353511273a a q a a q q a a a a ++===⇒=++,所以5611243a a q =⋅=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列各项之间的关系,属于基础题. 4.如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图逐步计算即可. 【详解】输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入结果计算输出结果问题,属于基础题. 5.已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A. a ab c << B. ac b c <<C. ab a c <<D. c ac b <<【答案】C 【解析】 【分析】先判断,,a b c 的大致范围,再根据不等式的性质逐个判断即可.【详解】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<. 对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误. 故选；C 【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小判定以及不等式的性质.需要根据题意确定各数的范围,再逐个推导.属于基础题.6.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()cos x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题.7.《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136v L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式23112v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A.227B.258C.289D.8227【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为r ,根据圆锥的底面周长L 求得2L r π=,再代入体积公式得212L h v π=,再对照23112v L h ≈求解即可.【详解】设圆锥底面半径为r ,则22L r L r ππ=⇒=,所以22213283121129L h v r h L h πππ==≈⇒≈.故选：C.【点睛】本题主要考查了圆锥底面周长与体积等的计算.属于基础题. 8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()32x f x =-，则()()20192020f f +=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与对称性可得()f x 最小正周期4T =,再利用函数的性质将自变量转换到(]0,1x ∈求解即可.【详解】∵()()f x f x -=-,()()11f x f x -+=+,∴()()2()f x f x f x +=-=-， ∴()()()42f x f x f x +=-+=， ∴最小正周期4T=,又()00f =,∴()()()()201950541111f f f f =⨯-=-=-=-,()()()2020505400f f f =⨯==,∴()()201920201f f +=-,故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据奇偶性推出函数的对称性,再将自变量利用性质转换到已知函数解析式的区间上求解.属于中档题.9.甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（ ） A.225B. 310C. 110D.325【答案】C 【解析】 【分析】分后四球胜方依次为甲乙甲甲,与乙甲甲甲两种情况进行求解即可. 【详解】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为113123252550P =⋅⋅⋅=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为212121252525P =⋅⋅⋅=. 所以,所求事件概率为：12110P P +=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分步与分类计数求解概率的问题,需要根据题意判断出两种情况再分别求解,属于基础题.10.已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是函数()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈与x 轴的两个交点，且满足12min3x x π-=,现将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】 根据12min3x x π-=，即可求得ω，再根据平移后函数为偶函数，即可求得ϕ.【详解】令()2sin 10x ωϕ++=，解得()1sin 2x ωϕ+=-， 因为12min3x x π-=，故令21x x >，并取12711,66x x ππωϕωϕ+=+=，则()2123x x πω-=，即可求得2ω=. 此时()()2sin 21f x x ϕ=++，向左平移6π个单位得到2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 若其为偶函数，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得26k πϕπ=+.当0k =时，6π=ϕ. 故选：A .【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.11.已知直线2x a =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左，右焦点分别为12,F F ，且211cos 4PF F ∠=-，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 15y x =±B. 315y x =±C. 215y x =±D. 15y x =±或315y =±【答案】B 【解析】【详解】设直线2x a =与x 轴交点为()2,0Q a ,由题可知()2,2P a b ,()1,0F c -,()2,0F c , ∵211cos 4PF F ∠=-,故2a c >,即12e << 且21cos 4PF Q ∠=. 故22F Q a c =-,)2241152PQ F Q a c =-=-.又2PQ b =,)()()22215221524a c b a c c a-=⇒-=-,整理得221160640c ac a +-=,即21160640e e +-=.∴1611e =或4e =.又12e <<,故1611e =∴渐近线方程为：y ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线中渐近线以及构造齐次方程求解离心率的问题.需要根据题意找到基本量,,a b c 之间的关系,再求得离心率的值进而求得渐近线方程.属于中档题.12.已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A. 20,e ⎡⎤⎣⎦B. 22,e ⎡⎤⎣⎦C. []0,4D. []0,3【答案】D 【解析】 【分析】当1x ≤时,根据二次函数的对称轴与最值求解()222f x x kx k =-+的最小值,再根据()0f x ≥求解.当1x >时求导分析()()31x f x x k e e =--+的单调性,再分1k ≤与1k >两种情况讨论函数的单调性进而求得最小值再求解()0f x ≥恒成立的k 的取值范围即可. 【详解】（1）当1x ≤时,()222f x x kx k =-+，∴()f x 的对称轴为x k =,开口向上①当1k <时,()f x 在(),k -∞递减,(),1k 递增 ∴当x k =时,()f x 有最小值,即()0f k ≥,∴01k ≤< ②当1k时,()f x 在(),1-∞上递减∴当1x =时,()f x 有最小值,即()10f ≥ ∴10≥显然成立,此时1k ，∴当1x ≤时, 0k ≥.（2）当1x >时,()()31xf x x k e e =--+,∴()()xf x x k e '=-①当1k ≤时,()f x 在()1,+∞上递增∴()()310f x f ke e >=-+≥,∴2k e ≤,∴此时1k ≤.②当1k >时,()f x 在()1,k 递减,()k +∞递增∴()()30kf x f k e e ≥=-+≥,∴3k ≤,∴此时13k <≤∴当1x >时, 3k ≤. 综上：0k ≤≤3. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据分段函数的恒成立求解参数的问题,需要根据二次函数的最值以及求导分析函数的最值进行求解.属于难题.二、填空题13.已知向量()1,1a =-，向量()0,1b =，则2a b -=______.【解析】 【分析】根据模长的坐标运算求解即可.【详解】()()()21,10,21,3a b -=--=-==【点睛】本题主要考查了向量模长的坐标运算,属于基础题. 14.已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______.【答案】116y =- 【解析】 【分析】代入()14P -,求解抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠,再化简成标准形式求解准线方程即可.【详解】由题, ()2414m m =⋅-⇒=,故221:44C y x x y =⇒=.故抛物线C 的准线方程为116y =-.故答案为：116y =-【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点抛物线方程以及准线的问题.属于基础题. 15.已知数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 满足()10n n a a n N ++=∈，前n 项和为n S 满足()2211,102n n n S n N n +-+=-∈≤；数列{}n b 满足：()12n n b b n N ++=∈，且11b =，11n n n b b n +=+，(),12n N n +∈≤，则数列{}n n a b ⋅的第2020项的值为______.【答案】14【解析】 【分析】根据()10n n a a n N ++=∈可知数列{}n a 周期为10，并根据n S 求得{}n a 在10n ≤时的通项公式.又()12n n b b n N ++=∈可知数列{}n b 周期为12，再求出1n b n=，分析{}n n a b ⋅的周期再求解即可. 【详解】当1n =时,112111922a -+=-=； 当2n ≥时, ()()221121112112211n n n n n n n a n S S ----+-+=-=+=--, 故19,1211,210n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-≤≤⎩,又∵11b =,11n n nb b n +=+,∴()111n n nb n b +=+=(),12n N n +∈≤， 所以1n b n=(),12n N n +∈≤, 又数列{}n a ,{}n b 的公共周期为60,所以202020204040a b a b ⋅=⋅, 而40101a a ==,40414b b ==,所以20202020404014a b a b ⋅=⋅= 故答案为：14【点睛】本题主要考查了根据数列的前n 项和与通项的关系，求解通项公式以及构造数列求通项公式的方法.同时也考查了周期数列的运用.属于中档题.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面为四边形ABCD .其中ACD 为正三角形，又3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅.设三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的体积分别是12,V V ，三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球的表面积分别是12,S S .对于以下结论：①12V V <；②12V V =；③12V V >；④12S S <；⑤12S S ；⑥12S S >.其中正确命题的序号为______.【答案】①⑤ 【解析】 【分析】设2AD =,根据DA DB DB DC ⋅=⋅化简可得DB AC ⊥. 【详解】不妨设2AD =,又ACD 为正三角形,由3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅,得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=,即有DB AC ⊥，所以30ADB CDB ∠=∠=︒.又3DB DC DB AB ⋅=⋅得()2333DB DC DB DB DA DB DB DA ⋅=⋅-=-⋅,又DB DC DB DA ⋅=⋅,故2344cos30DB DB DA DB DA =⋅=⋅⋅︒.化简可以得43DB =90DAB ∠=︒,易得ABD ACD S S <△△,故12V V <.故①正确. 又由于60ADB ACD ∠=∠=︒,所以ABD △与ACD 的外接圆相同（四点共圆）,所以三棱锥P ABD -,三棱锥P ACD -的外接球相同,所以12S S .故⑤正确.故答案为：①⑤【点睛】本题主要考查了平面向量与立体几何的综合运用,需要根据平面向量的线性运算以及数量积公式求解各边的垂直以及长度关系等.同时也考查了锥体外接球的问题.属于难题.三、解答题17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 3A =，2B A =，8b =. （1）求边长a ；（2）已知点M 为边BC 的中点，求AM 的长度.【答案】（1）6（2）3AM = 【解析】 【分析】 (1)根据2cos 3A =可得sin 3A =,再根据2B A =与二倍角公式求解得sin 9B =,再利用正弦定理求解a 即可.(2)先求解得1cos 9B =-,再求解得22cos 27C =,再在ACM 中,由余弦定理求解AM 即可. 【详解】解：（1）由0A π<<,2cos 3A =,得sin A ==,所以2sin sin 22sin cos 23B A A A ====由正弦定理sin sin a b A B=,可得sin 6sin b Aa B ==. （2）2221cos cos 22cos 12139B A A ⎛⎫==-=⨯-=- ⎪⎝⎭,在ABC 中,()22cos cos sin sin cos cos 27C A B A B A B =-+=-=在ACM 中,由余弦定理得：2223052cos 9AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=所以,AM =【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意确定合适的公式化简求解.属于中档题.18.已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB . （2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --5？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点P 使之成立.见解析 【解析】 【分析】(1) 在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,进而得到MNPQ 与EF MN 即可.(2) 以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ 的法向量与平面EFPQ 的法向量,再设BF a =,[]1,3a ∈,再根据二面角的计算方法分析是否存在[]1,3a ∈5即可.【详解】解：（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ ,联结,,FM MN NE ,则AE ND =,且AEND所以四边形ADNE 为矩形,故ADNE ,同理,FMBCAD且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EF MN ,所以EFPQ故,,,E F P Q 四点共面 又EFPQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-,()2,1,1QP =-,所以EFPQ ,故,,,E F P Q 四点共面.又EFPQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-,()2,1,1EQ =--,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =. 平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+,()0,2,BQ a =-,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+.若()1212225cos ,55216n n n n a a ⋅==⋅+++则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.19.已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】 【分析】(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,2P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l的方程为x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可.【详解】解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足. （2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及联立直线与椭圆的方程求解线段弦长与证明定值的问题,属于难题.20.某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,p p .（1）若123p =，212p =，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243p p +=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时12,p p 的值. 【答案】（1）49（2）理论上至少要进行27轮游戏.2123p p == 【解析】 【分析】(1)分①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次三种情况进行求和即可.(2)同(1),分别计算三种情况的概率化简求和,再代入1243p p +=可知221212833P p p p p =-,再设12t p p =,根据二次函数在区间上的最值方法求解可得当49t =时,max 1627P =.再根据他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ,利用二项分布的方法求解即可.【详解】解：（1）由题可知,所以可能的情况有①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次. 故所求概率12212222222221112211221143322332233229P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为()()()122221222222211222122221221212121()()1()()23()()P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =-+-+=+-因为1243p p +=,所以22121283()()3P p p p p =- 因为101p ≤≤,201p ≤≤,1243p p +=,所以1113p ≤≤,2113p ≤≤,又21212429p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以121499p p <≤,令12t p p =,以1499t <≤,则()2833P h t t t ==-+ 当49t =时,max 1627P =,他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ由max ()16np =,则27n =,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时1243p p +=,1249p p =,2123p p ==【点睛】本题主要考查了排列组合在概率中的运用,需要根据题意分析三种情况的概率之和,再根据包含概率的函数解析式,结合二次函数与基本不等式的方法求最值即可.属于难题.21.已知函数()ln f x a x x a =-+，()ln g x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,a e ∈，任意[]1,x e ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[]1,b e ∈时，b c +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】(1)求导后分0a ≤与0a >两种情况分析函数的单调性即可. (2)参变分离()()f x g x ≥与[]1,a e ∈可得1ln ln x x x x b k x +-++≤,再令()1ln ln x x x x bg x x+-++=,求导得()2ln x x bg x x-+-'=,再分析()ln p x x x b =-+-的单调性,分()10p ≥,()0p e ≤与()()10p p e <三种情况求解导函数的正负以及原函数的单调性,进而求得b c +的解析式,再求导分析单调性与范围即可.【详解】解：（1）∵()()ln 0,f x a x x a x a R =-+>∈ ∴()1a a xf x x x-'=-=,∵0x >,a R ∈ ∴①当0a ≤时,()f x 的减区间为()0,∞+,没有增区间 ②当0a >时,()f x 的增区间为()0,a ,减区间为(),a +∞（2）原不等式()1ln ln a x x x x bk x+-++⇔≤.∵[]1,a e ∈,[]1,x e ∈,∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥, 令()()21ln ln ln x x x x b x x b g x g x x x+-++-+-'=⇒=, 令()()1ln 1p x x x b p x x '=-+-⇒=-+()ln p x x x b⇒=-+-()1,+∞上递增；①当()10p ≥时,即1b ≤,∵[]1,b e ∈,所以1b =时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≥⇒≥, ∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.②当()0p e ≤,即[]1,b e e ∈-时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≤⇒≤,∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 2212,1b b c g x g e b c b e e e e ee ++⎡⎤===⇒+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ③当()()10p p e <时,又()ln p x x x b =-+-在()1,e 上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈,使得()00p x =,即00ln b x x =-， 则当()01,x x ∈时()()00p x g x '⇒<⇒<. 当()0,x x e ∈时()()00p x g x '⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+. 令()()()11ln 10x h x x x h x h x x x-'=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增, ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈,∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述,22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间以及分情况讨论导函数零点以及参数范围的问题,需要根据题意构造合适的函数进行原函数单调性以及最值的分析等.属于难题. 22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线2C 的极坐标方程为22483sin ρθ=+.（1）求曲线1C 和曲线2C 的一般方程；（2）若曲线2C 上任意一点P ，过P 点作一条直线与曲线1C 相切，与曲线1C 交于A 点，求PA 的最大值.【答案】（1）()2211x y -+=，2211612x y +=（2）max AP =【解析】 【分析】(1)根据圆的标准方程可得1C 的一般方程,再根据222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2C 化简可得2C 的一般方程. (2)易得221PA PC r =-,再设点P 的坐标为()4cos ,23sin θθ,再利用三角函数范围以及二次函数的范围求解PA 的取值范围,进而求得max AP 即可.【详解】解：（1）曲线1C 表示圆心为()1,0,半径为1的圆.故1C 的一般方程是()2211x y -+=∵222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=,给2222222483sin 4834483sin x y ρρρθθ=⇒+=⇒+=+. ∴曲线2C 的一般方程为2211612x y +=（2）设点P 的坐标为()4cos ,23sin θθ,∵221PA PC r =-,()()()2222214cos 123sin 4cos 8cos 134cos 19PC θθθθθ=-+=-+=-+∴()24cos 1826PA θ=-+≤,即cos 1θ=-时,max 26AP =【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了设点的参数坐标求解距离的最值问题.属于中档题.23.已知点(,)P x y 的坐标满足不等式：111x y -+-≤.（1）请在直角坐标系中画出由点P 构成的平面区域Ω，并求出平面区域Ω的面积S. （2）如果正数,,a b c 满足()()a c b c S ++=，求23a b c ++的最小值. 【答案】（1）2；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据111x y -+-≤，即可容易求得平面区域以及面积；（2）利用均值不等式即可容易求证.【详解】（1）因为111x y -+-≤，故可得当1,1x y ≤≤时，不等式等价于1x y +≥；当1,1x y ≤>时，不等式等价于1x y -≥-；当1,1x y >>时，不等式等价于3x y +≤；当1,1x y >≤时，不等式等价于1x y -≤；如图，平面区域平面区域Ω由一个正方形及其内部组成，四个顶点分别为(1,0),(2,1),(1,2),(0,1)，所以222S ==.（2）由（1）()()2a c b c ++=，而,,a b c 都为正数，所以 232()22()()4a b c a c b c a c b c ++=+++≥++=，当且仅当2()2a c b c +=+=取得最小值.【点睛】本题考查绝对值不等式表示的平面区域，以及利用均值不等式求最值，属综合基础题.。