分离变量法 常数 变易法 、行波法和积分 变换 法 达朗贝尔
设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。保角变换方法(conformaltransformationmethod)
保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+iΨ′。最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射 英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。【局部保角映
行波法与达朗贝尔公式
我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？
（一）达朗贝尔公式
试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式
,0 22222uxat
即
.0 uxatxat （7-4-1）
（1）通解
方程（7-4-1）的形式提示我们作代换
, ),(tax （7-4-2）
因为在这个代换下，
, xatxxtt
, xatxxtt
方程（7-4-1）就成为 0) /(2u。但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）修改为 ),(21),(21atx 即 .,atxatx
在此代换下，方程（7-4-1）化为
,0 2u （7-4-3）
就很容易求解了。
先对 积分，得
)( fu （7-4-4）
其中 f 是任意函数。再对 积分，就得到通解
),()( )()()()(21212atxfatxffffdfu （7-4-5）
其中 1f 和 2f 都是任意函数。
式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。
通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以 )(2atxf 而论，改用以速度 a 沿
数学物理方程复习
一．三类方程及定解问题
（一） 方程
1. 波动方程（双曲型）
Utt = a2Uxx +f; 00
U(0,t)= Φ1（t）;
U(l,t)= Φ2（t）;
U(x,0)= Ψ1（x）;
Ut(x,0)=Ψ2（x）。
2. 热传导方程（抛物型）
Ut = a2Uxx +f; 00
U(0,t)= Φ1（t）;
U(l,t)= Φ2（t）;
U(x,0)= Ψ1（x）.
3. 稳态方程（椭圆型）
Uxx +Uyy =f; 00.
U(0,x)= Φ1（x）;
U(b,x)= Φ2（x）;
U(y,0)= Ψ1（y）;
Ut(y,a)=Ψ2（y）。
（二） 解题的步骤
1. 建立数学模型，写出方程及定解条件
2. 解方程
3. 解的实定性问题（检验）
（三） 写方程的定解条件
1. 微元法：物理定理
2. 定解条件：初始条件及边界条件
（四） 解方程的方法
1. 分离变量法（有界区域内）
2. 行波法（针对波动方程，无界区域内）
3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）
Fourier变换:针对整个空间 奇：正弦变换 偶：余弦变换
Laplace变换：针对半空间
4. Green函数及基本解法
5. Bessel函数及Legendre函数法
例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b Ut（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+n△x））(0
在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),
COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)
数学物理方法
Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
豆福全 第一章 波动方程和行波法
引言
数理方法（泛定方程）（三类）在物理学的研究中起着重要作用，即研究如何从物理学的实际问题中导出数理方程呢？我们先从弦振动方程入手。
基本步骤：（物理模型定量化数学模型）
1.建立坐标系（时间，空间）
2.选择表征所研究过程的物理量u（一个或几个）。表征物理量的选择常常是建立一个新方程的起点。
3.寻找（猜测）物理过程所遵守的物理定律（物理公理）
4.写出物理定律的表达式，即数学模型。
1.1 弦振动方程
1.1.1 弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动）
演奏弦乐用（二胡，提琴）的人用弓在弦上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦，弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？
1. 物理模型
实际问题：设有一根细长而柔软的弦，紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同一个平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上各点的运动规律。
2.分析：弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段…，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动传播现象叫作波。
弦是轻质弦（其质量只有张力的几万分之一）。根张力相比，弦的质量完全可以略去。
① 模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没有质量”的弦）
② 将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直线，取为X轴。 ③ 将弦上个点的横向位移记为u。(,)uuxt
④ 已知：线密度(,)()xtt，重量不计，张力(,)Txt切线方向，不随x变化，弦中个点的张力相等（小振动下T与地无关）
