二倍角正弦余弦正切的公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 -2sin²(θ)二倍角正切公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))这些公式是三角函数中的重要定理，可以用于求解各种三角函数的问题。
下面将对这些公式进行推导和证明。
首先，我们先推导二倍角正弦公式。
假设有一个角θ，那么其二倍角为2θ。
可以通过三角函数的和差化积公式推导出二倍角正弦公式。
根据三角函数的和差化积公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)因此，得到二倍角正弦公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)接下来，我们推导二倍角余弦公式。
同样地，我们仍然使用三角函数的和差化积公式。
根据三角函数的和差化积公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)又根据三角恒等式sin²(θ) + cos²(θ) = 1，我们可以将上式进一步变形：cos(2θ) = cos²(θ) - (1 - cos²(θ)) = 2cos²(θ) - 1因此，得到二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) =2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)最后，我们推导二倍角正切公式。
第八课时 ●课 题§4.7.1 二倍角的正弦、余弦、正切(一) ●教学目标 (一)知识目标1.二倍角的正弦、余弦、正切公式： (1)sin2α＝2sin αcos α (α为任意角)(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α (α为任意角)＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α (3)tan2α＝),24,2(tan1tan 22Z ∈++≠-k k k ππππααα(二)能力目标1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明. (三)德育目标1.引导学生发现数学规律；2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；3.培养学生的创新意识. ●教学重点1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用. ●教学难点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. ●教学方法让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力.(启发诱导式) ●教具准备投影片二张第一张（§4.7.1 A ）：二倍角公式： sin2α＝2sin αcos α(α为任意角)cos2α＝cos 2α－sin 2α(α为任意角)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+≠+≠∈-=242tan 1tan 22tan 2ππαππααααk k k Z 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α 还可变形为：cos2α＝2cos 2α－1或cos2α＝1－2sin 2α 第二张（§4.7.1 B ）： 练习题：1.已知cos α＝ｍ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.2.化简cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－θ2cos 23Ⅰ.课题导入师：前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.生：先回忆和角公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β当α＝β时，sin （α＋β）＝sin2α＝2sin αcos α 即：sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β当α＝β时cos （α＋β）＝cos2α＝cos 2α－sin 2α即：cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α )tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+当α＝β时 tan2α＝αα2tan1tan 2-(打出投影片§4.7.1 A ，让学生对照). Ⅱ.讲授新课师：同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或：cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式Ｓ2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠2π＋ｋπ及α≠4π＋2πk （ｋ∈Ｚ）时才成立，否则不成立(因为当α＝2π＋ｋπ，ｋ∈Ｚ时，tan α的值不存在；当α＝4π＋2πk ，ｋ∈Ｚ时tan2α的值不存在).当α＝2π＋ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2（2π＋ｋπ）＝tan （π＋2ｋπ）＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α 例如：16sin2233sin=≠=ππ；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝ｋπ （ｋ∈Ｚ)时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos α tan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为 2α的2倍，将α作为2α的2倍，将2α作为4α的2倍，将3α作为23α的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝135，α∈（2π，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sin α＝135，α∈（2π，π）∴cos α＝－.1312)135(1sin122-=--=-α∴sin2α＝2sin αcos α＝2×169120)1312(135-=-⨯，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×169119)135(2=，tan2α＝.1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα(打出投影片§4.7.1 B ，师生共同完成).师：1.题中cos α＝ｍ，由此虽不能确定sin α的值，但由于已知α所在象限，所以也可确定其符号，从而求解.生：解：∵cos α＝ｍ，α在第二象限.∴sin α＝221cos 1m-=-α∴sin2α＝2sin αcos α＝221m -·ｍ＝2ｍ21m - cos2α＝2cos 2α－1＝2ｍ2－1 tan2α＝12122cos 2sin 22--=m mm αα或由tan α＝m m 21cos sin -=ααtan2α＝1212tan1tan 2222--=-mmm αα师：2.分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.生：解：cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－23cos2θ＝θθθ2cos 232)]15(2cos[12)15(2cos[1-︒-++︒++=1＋21［cos （2θ＋30°）＋cos （2θ－30°）］－23cos2θ=1＋21［cos2θcos30°–sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°］－23cos2θ＝1＋21×2cos2θcos30°－23cos2θ＝1＋23cos2θ－23cos2θ＝1评述：二倍角公式的等价变形：22cos 1cos,22cos 1sin22αααα+=-=，可以进行“升（降）幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.Ⅲ.课堂练习生：(板演练习)课本P 44 1、3、4.解： 1.(1)2sin67°30′cos67°30′＝sin135°＝22(2)cos 28π－sin 28π＝cos 4π＝23(3)2cos 212π－1＝cos 6π＝23(4)1－2sin 275°＝cos150°＝－23(5)︒-︒5.22tan15.22tan 22＝tan45°＝1(6)sin15°cos15°＝21sin30°＝41(7)1－2sin 2750°＝cos1500°＝cos （4×360°＋60°）＝cos60°＝21(8)3300tan 150tan1150tan 22-=︒=︒-︒3.解：∵sin α＝0.8 α∈（0，2π）∴cos α＝0.6∴sin2α＝2sin αcos α＝0.96cos2α＝1－2sin 2α＝－0.28 4.解：∵tan α＝21∴tan2α＝34tan1tan 22=-ααⅣ.课时小结要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业(一)课本P 47习题4.7 1、2. (二)1.预习课本P 43 例2、例3 2.预习提纲如何灵活应用二倍角公式进行化简、求值、证明? ●板书设计●备课资料1.若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( )A.sin 2αB.cos2αC.－sin 2αＤ.－cos2α解：∵cos2α＝2cos 2α－1 cos α＝2cos22α－1∴ααα22cos2121)1cos2(212121212cos 21212121+=-++=++又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180°∴原式＝2cos2cos)12cos2(2121cos 212122αααα-==-+=+答案：Ｄ2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20° ∴原式＝21cos80°cos40°cos20°＝21×︒︒︒︒︒20sin 20sin 20cos 40cos 80cos︒⨯⨯︒︒⨯=︒⨯︒︒︒⨯=20sin 212180sin 80cos 2120sin 2140sin 40cos 80cos 2116120sin 212121160sin 21=︒⨯⨯⨯︒=3.求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8（cos 2θ）2＝8(22cos 1θ+)2＝2（cos 22θ＋2cos2θ＋1） ＝2（44cos 1θ+）＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3 ●教学后记。
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
