苏科版2019年中考数学复习第五章四边形第二节矩形菱形正方形同步训练

课时训练(二十六)矩形、菱形、正方形(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2017·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2.[2018·湘潭]如图K26-1,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()图K26-1A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形3.[2016·无锡]下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是()A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.邻边互相垂直4.如图K26-2,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为()图K26-2A.1B.C.4-2D.3-45.[2018·新疆维吾尔生产建设兵团]如图K26-3,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边的中点,则MP+PN的最小值是()图K26-3A. B.1 C. D.26.如图K26-4,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为()图K26-4A.6B.12C.2D.47.[2016·扬州]如图K26-5,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为.图K26-58.[2017·黄冈]已知:如图K26-6,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 度.图K26-69.[2017·菏泽]菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为cm2.10.如图K26-7,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为.图K26-711.如图K26-8,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE 的最小值为.12.在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形,若线段EF的中点为M,则线段AM的长为.图K26-813.[2018·内江]如图K26-9,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证:(1)△AED≌△CFD;(2)四边形ABCD是菱形.图K26-914.如图K26-10,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F使CF=BE,连接AF,DE,DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.图K26-1015.[2016·盐城]如图K26-11,已知△ABC中,∠ABC=90°.(1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母).①作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O;②连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB;③连接DA,DC.(2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.图K26-1116.[2018·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图K26-12所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图K26-1217.[2017·扬州]如图K26-13,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB'的平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC=,求CB'的长.图K26-13|拓展提升|18.[2017·南通]如图K26-14,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()图K26-14A.5B.10C.10D.1519.[2018·重庆B卷]如图K26-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置,连接AE.若DE∥AC,则AE的长度等于.图K26-1520.[2018·绍兴]小敏思考解决如下问题:原题:如图K26-16①,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图②,此时她证明了AE=AF.请你证明.(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:AB=4,∠B=60°,如图①.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.图K26-16参考答案1.C[解析] 根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故③错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.2.B[解析] 连接AC和BD,∵E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=BD,EF=HG=AC,∴四边形EFGH为平行四边形,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴EF⊥FG,∴▱EFGH是矩形.3.C[解析] 对角线互相垂直是菱形具有的性质,矩形不一定具有.故选C.4.C[解析] 由∠BAE=22.5°,∠ADB=45°,∠BAD=90°,EF⊥AB,易知△ADE是等腰三角形,△BEF是等腰直角三角形,∴DE=AD=4,BE=4-4.设EF=x,则2x2=(4-4)2,解得x=4-2(x=2-4为负值,舍去).故选C.5.B[解析] 如图,取AD的中点M',连接M'N交AC于点P,则由菱形的轴对称性可知M,M'关于直线AC对称,从而M'P=PM,此时MP+PN的值最小,而易知四边形CDM'N是平行四边形,故M'N=CD=1,于是,MP+PN的最小值是1,因此选B.6.D[解析] 设BE=x,则CE=BC-BE=16-x.∵沿EF折叠后点C与点A重合,∴AE=CE=16-x.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即82+x2=(16-x)2,解得x=6,∴AE=16-6=10.由翻折的性质,得∠AEF=∠CEF.∵矩形ABCD的对边AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF,∴∠AEF=∠AFE,∴AF=AE=10.如图,过点E作EH⊥AD于点H,则四边形ABEH是矩形,∴EH=AB=8,AH=BE=6,∴FH=AF-AH=10-6=4.在Rt△EFH中,EF===4.7.24[解析] ∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,∴△AOD为直角三角形.∵OE=3,且点E为线段AD的中点,∴AD=2OE=6.∴C菱形ABCD=4AD=4×6=24.8.45[解析] 由题意得,AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.9.18[解析] 如图,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,又∵菱形ABCD周长为24 cm,即BD=AB=6 cm,在Rt△AOD中,OD=3 cm,∴AO===3(cm),∴AC=2AO=6 cm,菱形的面积=AC·BD=×6×6=18(cm2).10.16[解析] 在矩形ABCD中,CD=AB=x,BC=AD=y.在Rt△BDE中,∠BDE=90°,F为BE的中点,所以BF=EF=DF=4,所以CD2+CF2=DF2,即x2+(4-y)2=x2+(y-4)2=16.11.[解析] 如图,作E关于直线AC的对称点E',连接E'F,则E'F的长即为PE+PF的最小值.过点F作FG⊥CD于点G.由正方形的对称性,易知DE'=BE=1.易证四边形BCGF是矩形,所以CG=BF=AB-AF=2,FG=BC=4.在Rt△E'FG中,GE'=CD-DE'-CG=4-1-2=1,GF=4,所以E'F===.12.5.5或0.5[解析] ∵四边形BCFE是菱形, ∴BE=BC=AD=5.如图①,在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE=3,∵EF=BC=5,M是EF的中点,∴EM=2.5,∴AM=3+2.5=5.5.如图②,在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE=3,∵EF=5,M是EF的中点,∴EM=2.5,∴AM=3-2.5=0.5.13.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△AED和△CFD中,∴△AED≌△CFD(ASA).(2)由(1)得△AED≌△CFD,∴AD=DC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.14.解:(1)证明:∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC.即EF=BC.∵在▱ABCD中,AD∥BC且AD=BC,∴AD∥EF且AD=EF.∴四边形AEFD是平行四边形.∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°.∴▱AEFD是矩形.(2)∵▱AEFD是矩形,DE=8,∴AF=DE=8.∵AB=6,BF=10,∴AB2+AF2=62+82=102=BF2.∴∠BAF=90°.∵AE⊥BF,∴S△ABF=AB·AF=BF·AE.∴AE==.15.解:(1)完成的作图如图所示.作出AC的垂直平分线l,得到点O;作出点D.(2)四边形ABCD为矩形.理由:∵线段AC的垂直平分线l交AC于点O, ∴OA=OC,又∵OD=OB,∴四边形ABCD为平行四边形.又∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形.16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.17.解:(1)四边形ACC'A'为菱形.理由如下:∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的,∴AA'∥CC'且AA'=CC',∴四边形ACC'A'是平行四边形,∠AA'C=∠A'CC'.∵CD平分∠ACC',∴∠ACA'=∠A'CC',∴∠AA'C=∠ACA',∴AC=AA',∴四边形ACC'A'为菱形.(2)∵∠B=90°,cos∠BAC=,∴=.∵AB=24,∴AC=26,∴BC===10,∴CB'=CC'-B'C'=AC-BC=16.18.B[解析] 作点F关于CD的对称点F',易证四边形EFGH为平行四边形,△AEH≌△CGF,∴AH=CF=CF'.当H,G,F'三点共线时,GH+GF'最小,即GH+GF最小.过点F'作点F'M⊥AD,交AD延长线于点M.则HM=5,F'M=10,根据勾股定理可求得HF'=5,所以GH+GF为5,即四边形EFGH周长的最小值为10.19.2[解析] ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,∴CD=AB=DA=DB.令∠B=x°,则∠DCB=∠B=x°,由翻折知,DE=DB,∠ECD=∠DCB=x°=∠CED.∵DE∥AC,∴∠ACE=∠CED=x°.由∠ACB=90°,得3x=90,x=30,从而∠B=30°,于是AC=AB.在Rt△ABC中,tan B=,得AC=BC·tan B=6tan30°=2.∴AB=2AC=4,ED=BD=AB=2,∴AC=DE,又AC∥DE,从而四边形ACDE是平行四边形.又∵CD=DE,∴四边形ACDE是菱形.∴AE=AC=2.20.[解析] (1)可先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后证明△AEB≌△AFD即可;(2)先求出∠EAP=∠FAQ,再证明△AEP≌△AFQ即可;(3)可以分三个不同的层次,①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长.②可求PC+CQ,BP+QD,∠APC+∠AQC的值.③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等.解:(1)证明:如图①,在菱形ABCD中,∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠C+∠EAF=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°.∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°,∴∠AFC=90°,∠AFD=90°,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)证明:如图②,∵∠PAQ=∠EAF=∠B,∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEP=∠AFQ=90°.∵AE=AF,∴△AEP≌△AFQ,∴AP=AQ.(3)答案不唯一,举例如下:层次1:①求∠D的度数.答案:∠D=60°.②分别求∠BAD,∠BCD的度数.答案:∠BAD=∠BCD=120°.③求菱形ABCD的周长.答案:16.④分别求BC,CD,AD的长.答案:4,4,4.层次2:①求PC+CQ的值.答案:4.②求BP+QD的值.答案:4.③求∠APC+∠AQC的值.答案:180°.层次3:①求四边形APCQ的面积.答案:4.②求△ABP与△AQD的面积和.答案:4.③求四边形APCQ周长的最小值.答案:4+4.。

9.4矩形、菱形、正方形同步课时训练一、单选题1．如图，已知矩形纸片ABCD 中，9cm,3cm AD AB ==，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．4cm 、D ．5cm 、 2．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，AE 是∠BAC 的外角平分线，ED ∥AB 交AC 于点G ．下列结论：①AD ⊥BC ；②AE ∥BC ；③AE ＝AG ；④AD 2＋AE 2＝4AG 2，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（ ）．A ．18B ．20C ．22D ．24 4．如图，将矩形ABCD 的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH ，若EH ＝5，EF ＝12，则CD 长为（ ）A．13 B．12013C．12 D．175．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC ＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°6．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（）A．50或40或30 B．50或40 C．50 D．50或30或20 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE 8．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形9．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且18AC=，点P在正方形的边上，则满足PE PF+，则的点P的个数是（）A ．0B ．4C ．6D ．810．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC ＋BC ＝6，空白部分面积为10.5，则AB 的长为（ ）A ．B C ．D二、填空题 11．如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，分别连接A 'C ，A 'D ，B 'C ，则A 'C +B 'C 的最小值为_____．12．如图，在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，点E 在AB 上，且1AE =，点P Q 、分别是直线CD AD 、上的两个动点，将AEQ ∆沿EQ 翻折，使点A 落在矩形中的点F 处，连接PF PB 、，则PB PF +的最小值是__________．13．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为斜边AC 中点，8AC =，则BD =______． 14．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝7，点P 是直线BC 一动点，若将△ABP 沿AP 折叠，使点B落在平面上的点E处，连结AE、PE．若P、E、D三点在一直线上，则BP ＝_________．15．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．16．如图，在菱形ABCD中，AB＝∠ABC＝60°，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PM＋PN的最小值为________．三、解答题17．如图所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD 相交于点E，连接BE，过C作CF⊥BE于点F．（1）线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明：（2）若AB＝12，BC＝13，P从E沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位．①当t＝秒时，四边形EPCQ是矩形；②当t＝秒时，四边形EPCQ是菱形．18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA至点D，连结DC，过点B作BE⊥DC于点E，F为BC上一点，FC＝FE．连结AF，AE．（1）求证：F A ＝FE ．（2）若∠D ＝60°，BC ＝10，求△AEF 的周长．19．如图，四边形ABCD 中，∠B=60°，AC=BC ，点E 在AB 上，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得CF ，且点F 在AD 上．（1）求证：AF=BE ；（2）若AE=DF ，求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若BC=AFCE 的面积．20．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系（不要求证明）；（2）如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，在移动过程中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．参考答案1．B2．C3．C4．B5．C6．A7．B8．A9．D10．B1112．-1．13．414．或7﹣15．16．617．（1）BF ＝AE ，证明见解析；（2）①8，②13【详解】解：（1）BF ＝AE ．理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠AEB ，在△BCF 和△EBA ，BFC A CBF AEB BC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△EBA ，∴BF ＝EA ；（2）EP＝t，CQ＝t，在Rt△ABE中，AE5，∵EP＝CQ，EP∥CQ，∴四边形EPCQ为平行四边形，①当CP⊥AD时，∠CPE＝90°，则平行四边形EPCQ为矩形，此时AP＝BC＝13，即5+t＝13，解得t＝8，即当t＝8时，四边形EPCQ是矩形；②作CH⊥AD于H，如图，当CP＝CQ＝EP＝t，平行四边形EPCQ为菱形，而PH＝t+5﹣13＝t﹣8，在Rt△PCH中，122+（t﹣8）2＝t2，解得t＝13，即当t＝13，四边形EPCQ是菱形．故答案为：8，13．18．（1）见解析；（2）15【详解】（1）证明：∵BE⊥DC，∴∠EBC+∠ECB＝∠CEF+∠BEF＝90°，∵FC＝FE，∴∠ECB＝∠CEF，∴∠EBC＝∠BEF，∴BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，∴F A＝FE；（2）解：∵∠D＝60°，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝30°+45°＝75°，由（1）得：F A＝FE，AF是斜边BC上的中线，∴AF⊥BC，AF＝12BC＝5，∵FC＝FE，∴∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴△AEF的周长＝3AF＝3×5＝15．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AFCE的面积=．【详解】(1)证明:∵AC=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ACB=60°.∵∠ECF=60°,∴∠ACB=∠ECF, ∴∠ECB=∠ACF.在△BCE和△ACF中,,,,BC ACECB ACF EC FC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BCE≌△ACF(SAS),∴AF=BE.(2)证明:由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°, ∴AF∥BC.∵AF=BE,AE=DF,∴AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB=BC,∴▱ABCD 是菱形.(3)∵△BCE ≌△ACF,∴四边形AFCE 的面积=△AFC 的面积+△ACE 的面积 =△BEC 的面积+△ACE 的面积=△ABC 的面积,∵△ABC 是一个等边三角形且,∴四边形AFCE 的面积=12×20．（1） OA OB OC ==；（2）等腰直角三角形，见解析 【详解】解：（1）点O 到ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系是B OA O OC ==． （2）OMN 的形状是等腰直角三角形．证明如下：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点， OA OB OC ∴==，AO 平分BAC ∠，AO BC ⊥， 90AOB ∠=︒∴，45B C ∠=∠=︒，45BAO CAO ∠=∠=︒， CAO B ∠=∠．在BOM 和AON 中，AN BM =，CAO B ∠=∠，OA OB =，()BOM AON SAS ∴△≌△，OM ON ∴=，AON BOM ∠=∠．90AOB BOM AOM ∠=∠+∠=︒，90AON AOM ∴∠+∠=︒，即90MON ∠=︒，OMN ∴是等腰直角三形．。

2019年中考二轮数学重点试题汇编：矩形、菱形、正方形（苏版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！【一】选择题 1、〔2018年上海青浦二模〕对角线互相平分且相等的四边形是〔 〕A、菱形； B 、矩形； C 、正方形； D 、等腰梯形、 答案：B 2、〔2018兴仁中学一模〕假设一个菱形的一条边长为4cm ，那么这个菱形的周长为 〔 〕〔A 〕20cm 〔B 〕18cm 〔C 〕16cm 〔D 〕12cm 答案：C3 〔2018年江苏海安县质量与反馈〕如图，将边长为12cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 上的E 点，折痕为MN 、假设CE 的长为8cm ，那么MN 的长为 A 、12cm B 、12、5cmC 、104 cmD 、13、5cm答案：C.4〔2018年江苏通州兴仁中学一模〕假设一个菱形的一条边长为4cm ，那么这个菱形的周长为 〔 〕〔A 〕20cm 〔B 〕18cm 〔C 〕16cm 〔D 〕12cm 答案：C.5(西城2018年初三一模)、如图，顺次连结四边形ABCD 各中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是〔 〕A 、AB ∥DC B 、AB ＝DC C 、AC ⊥BD D 、AC ＝BD 答案：C6、图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图② 铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有 5个；假设铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个;如此下去，可铺成一个n n 的近似正方形图案.当得到完整的菱形共221个时，n 的值为〔 〕 A.12 B.11 C.10 D.9 答案：BD E A B CMN第1题图2、如图，四边形ABCD 是正方形，AG 与BD 、CD 相交于点E 和F ，如果AE=5，EF=3,那么FG=〔 〕 A 、163 B 、83C 、4D 、57〔2018山东省德州二模〕四边形ABCD 是平行四边形，以下结论中不正．．确．的有〔 〕 ○1当AB=BC 时，它是菱形 ○2当AC ⊥BD 时，它是菱形 ○3当∠ABC=90时，它是矩形 ○4当AC=BD 时，它是正方形 A 、1组 B 、2组 C 、3组 D 、4组 答案：AA 、矩形的对角线相互垂直B 、顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形C 、等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形D 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 答案：D 9、〔2018荆门东宝区模拟〕如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，那么AE 的长是〔〕、 A 、1.6B 、2.5C 、3D 、3.4 答案： D10〔2018荆门东宝区模拟〕如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点、设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，那么y 关于x 的函数图象大致形状是〔〕、答案：C11〔2018荆门东宝区模拟〕如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD 、BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点M ，BM 与EF 交于点P ，再展开、那么以下结论中：①CM ＝DM ；②∠ABN ＝30°；③AB 2＝3CM 2；④△PMN 是等边三角形、正确的有〔〕、第2题A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个答案：C〔第4题〕12、(2017学年度九年级第二学期普陀区期终调研)四边形ABCD 中，90∠∠∠A B C ===，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是〔〕、 〔A 〕90∠D =；〔B 〕AB CD =；〔C 〕AD BC =；〔D 〕BC CD =.答案：D 13、〔盐城地区2017～2018学年度适应性训练〕菱形ABCD 的周长是16，∠A =60°，那么对角线BD 的长度为(★)A 、2B 、23C 、4D 、4 3 答案C14、(2018年普陀区二模)四边形ABCD 中，90∠∠∠A B C ===，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是〔▲〕、 〔A 〕90∠D =；〔B 〕AB CD =；〔C 〕AD BC =；〔D 〕BC CD =.答案：D15、(2018年金山区二模)在以下命题中，真命题是〔〕 〔A 〕两条对角线相等的四边形是矩形 〔B 〕两条对角线互相垂直的四边形是菱形〔C 〕两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 〔D 〕两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 答案：C【二】填空题 1、〔2018山东省德州三模〕在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，那么AM 的最小值为▲、 答案：2.42、(2017学年度九年级第二学期普陀区期终调研)在矩形ABCD 中，如果2AB =,1BC =,那么AB BC+=、3、(2017学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，那么四边形BCFE 的面积等于、答案：64、(2018石家庄市42中二模)如图，甲，乙，丙，丁四个长方形拼成正方形EFGH ,中间阴影为正方形，，甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm ²，四边形ABCD 的面积是20cm ²、问甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是______、答案：48 5、〔2018年北京中考数学模拟试卷〕如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，分别以A 、C 为圆心，AO 、CO 为半径画圆弧，交菱形各边于点E 、F 、G 、H ，假设AC =32，BD =2，那么图中阴影部分的面积是、6〔2018年浙江省金华市一模〕如图，四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA的中点、请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是、 答案：AC ⊥BD 7、〔2017年上海市浦东新区中考预测〕如图，在矩形ABCD 中，点F 为边CD 上一点，沿AF 折叠，点D 恰好落在BC 边上的E 点处，假设AB =3，BC =5，那么EFC ∠tan 的值为▲、 答案：438、〔盐城市亭湖区2018年第一次调研考试〕如图4，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM ＝时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第二节矩形、菱形、正方形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·重庆A卷)下列命题正确的是( )A．平行四边形的对角线互相垂直平分B．矩形的对角线互相垂直平分C．菱形的对角线互相平分且相等D．正方形的对角线互相垂直平分2．(2018·舟山)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )3．(2018·日照)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )A．AB＝AD B．AC＝BDC．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO第3题图4．(2018·湘潭)如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形5．(2018·陕西)如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH 和HE ，若EH ＝2EF ，则下列结论正确的是( )A ．AB ＝2EF B ．AB ＝3EFC ．AB ＝2EFD ．AB ＝5EF6．(2018·恩施州) 如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边的中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点，已知 FG ＝2，则线段 AE 的长度为( )A ．6B. 8 C ．10D ．127．(2018·内江)如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ，已知∠BDC ＝62°，则∠DFE 的度数为( )A ．31° B．28° C．62° D．56°8．(2018·天水)如图所示，点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OE∥AB 交AD 于点E.若OE ＝3，BC ＝8，则OB 的长为( )A ．4B ．5C.342D.349．(2018·兰州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，BE∥DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )A. 7B. 38 C. 78 D. 5810．(2018·宿迁)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是( )A. 3B ．2C. 2 3D ．411．(2017·黔东南州)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，FE⊥AB，AF ＝2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC 的度数为( )A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 54°12．(2018·龙东)如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件________， 使平行四边形ABCD 是矩形．13．(2018·南通)如图，在△ABC 中，AD ，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD，若从三个条件：①AB＝AC ；②AB＝BC ；③AC＝BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是________(填序号)．14．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，若tan ∠BAC＝13，AC ＝6，则BD 的长是________．15．(2018·天水)如图所示，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.若AC ＝6，BD ＝8，AE⊥BC，垂足为E ，则AE 的长为________．16．(2018·黔南州) 已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是________．17．(2017·丹东)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN，若MN＝1，BD＝23，则菱形的周长为________．18．(2018·深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．19．(2018·南平质检)如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为________．20．(2018·莆田质检)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为________．21．(2018·郴州)如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD、BC于E、F，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．22．(2018·舟山) 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．23．(2018·建设兵团)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．24．(北师九上P27第11题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE.过点C作BD的平行线交线段OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形CODF是菱形．25．(2018·南通)如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F.(1)求证：CF＝AB；(2)连接BD、BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF.26．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．1．(2018·建设兵团)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC 边的中点，则MP＋PN的最小值是( )A.12B ．1C. 2D ．22．(2018·武汉)以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE，则∠BEC 的度数是________．3．(2018·青岛)已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________．4．(2018·厦门质检)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O. (1)AB ＝2，AO ＝5，求BC 的长；(2)∠DBC＝30°，CE ＝CD ，∠DCE＜90°，若OE ＝22BD ，求∠DCE 的度数．5.(2018·扬州)如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝10，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．6. (2018·白银)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点.(1)求证：△BGF ≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．参考答案【基础训练】1．D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.D 8.B 9.C 10.A11．A【解析】如解图，连接BF ，∵点E 为AB 的中点，∴AB＝2AE ，∵AF＝2AE ，∴cos ∠FAE＝12，∴∠FAE＝60°，∴△ABF 是等边三角形，∴∠ABF ＝60°，BF ＝AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ，∠ABC＝90°，∴∠FBC＝∠ABF＋∠ABC＝150°，BF ＝BC ，∴∠BCF＝∠BFC＝12×(180°－150°)＝15°，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠DBC＝45°，∴∠DOC＝∠DBC＋∠BCF＝45°＋15°＝60°.12．AC ＝BD(答案不唯一) 13.② 14.2 15.24516.2 3 17．8 18.8 19.10 20.121．证明：∵EF 垂直平分BD ，∴EB＝ED ，∴∠EDB＝∠EBD，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠FBD，∴△EBO≌△FBO，∴EO＝OF ，∴EF 与BD 互相垂直平分，∴四边形BFDE 是菱形．22．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE＝AF ，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AA S )，∴AB＝AD ，∴矩形ABCD 是正方形．23．(1)证明：∵ ▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∵AE＝CF ，∴OE＝OF.在△DOE 与△BOF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OB ，∠DOE＝∠BOF，OE ＝OF ，∴△DOE≌△BOF；(2)解：四边形EBFD 是矩形．理由：∵OB＝OD ，OE ＝OF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BD＝EF ，∴ ▱EBFD 是矩形．24．证明：(1)∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E 是CD 的中点，∴CE＝DE ，在△ODE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODE＝∠FCE，DE ＝CE ，∠DEO＝∠CEF，∴△ODE≌△FCE(A S A)； (2)由(1)知△ODE≌△FCE.∴OD＝FC ，∵CF∥BD，∴四边形CODF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC＝OD ，∴四边形CODF 是菱形．25．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE，∵BE＝CE ，∠AEB＝∠CEF，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝CF.(2)连接AC.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD＝AC ，∵AB＝CF ，AB∥CF，∴四边形ACFB 是平行四边形，∴BF＝AC ，∴BD＝BF.26．(1)证明：∵AB∥CD，∵AC 平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴ AD ＝CD.又∵AD＝AB ，∴AB＝CD.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB＝AD ，∴▱ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O.∴AC⊥BD.OA＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝1， 在Rt △AOB 中，∠AOB＝90° .∴OA＝AB 2－OB 2＝2.∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.在Rt △AEC 中，∵∠AEC＝90°，O 为AC 的中点．∴OE＝12AC ＝OA ＝2. 【拔高训练】1．B2．30°或150° 【解析】 分两种情况：①如解图①，等边△ADE 在正方形ABCD 内部：∠CDE＝∠CDA －∠ADE＝90°－60°＝30°，∵CD＝DE ，∴∠DCE＝75°，∴∠ECB＝15°，同理可得∠EBC＝15°，∴∠BEC＝150°.②如解图②，等边△ADE 在正方形ABCD 外部：∠CDE＝∠CDA＋∠ADE＝90°＋60°＝150°，∵CD＝DE ，∴∠CED＝15°，同理∠AEB＝15°，∴∠BEC＝∠AED－∠CED－∠AEB＝60°－15°－15°＝30°.第2题解图① 第2题解图② 3.342【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°.又∵AE ＝DF ，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE＋∠AEB＝180°－∠BAE＝180°－90°＝90°，∴∠DAF＋∠AEB＝90°，∴∠AGE＝180°－90°＝90°，∴∠BGF＝90°.在Rt △BGF 中，点H 为BF 的中点，∴GH＝12BF.在Rt △BFC 中，BC ＝5，CF ＝CD －DF ＝5－2＝3，根据勾股定理得BF ＝52＋32＝34，∴GH＝342. 4．解： (1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2AO ＝2 5.在Rt △ACB 中，BC ＝AC 2－AB 2＝4.(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DCB＝90°，BD ＝2OD ，AC ＝2OC ，AC ＝BD.∴OD＝OC ＝12BD. ∵∠DBC＝30°，∴在Rt △B CD 中，CD ＝12BD. ∵CE＝CD ，∴CE＝12BD. ∵OE＝22BD ，∴在△OCE 中，OE 2＝12BD 2. 又∵OC 2＋CE 2＝14BD 2＋14BD 2＝12BD 2， ∴OC 2＋CE 2＝OE 2，∴∠OCE＝90°.∵OD＝OC ，∴∠OCD＝∠ODC＝60°.∴∠DCE＝∠OCE－∠OCD＝30°.5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠BED.∵点F 是AB 的中点，∴AF＝BF ，又∵∠AFD＝∠BFE，∴△ADF≌△BEF，∴AD＝BE ，又∵AD∥BC，∴四边形AEBD 是平行四边形．∵DA＝DB ，∴平行四边形AEBD 是菱形；(2)∵平行四边形AEBD 是菱形，∴AB⊥ED.∵AB∥CD，∴ED⊥CD.在Rt △CDE 中，tan ∠DCB＝3，DC ＝10，∴DE＝310， ∵AB＝CD ＝10，∴菱形AEBD 的面积＝12AB·ED＝12×10×310＝15. 6．(1)证明：∵点F ，H 分别是BC ，CE 的中点，∴FH∥BE，FH ＝12BE.∴∠CFH＝∠CBG. 又∵点G 是BE 的中点，∴FH＝BG.又∵BF＝CF ，∴△BGF≌ △FHC.(2)解：当四边形EGFH 是正方形时，可知EF⊥GH 且EF ＝GH. ∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，EC 的中点，∴ GH＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH∥B C ，∴EF⊥BC. 又∵AD∥BC, AB⊥BC，∴AB＝EF ＝GH ＝12a ，∴S 矩形ABCD ＝AB·AD＝12a·a＝12a 2.。