A第九讲 二元一次方程组的含参问题

(详细版)含参二元一次方程解法1. 问题描述我们面对的问题是求解含参的二元一次方程。

该方程的一般形式为：ax + by = c其中a、b、c为已知的参数，x、y为未知变量。

2. 解法步骤为了解决这个问题，我们可以采取如下的步骤来求解含参的二元一次方程：步骤1: 化简方程通过移项和合并同类项的方法，将方程化简为标准形式：ax + by = c步骤2: 求解x通过将y看作常数，求解关于x的一元一次方程，得到x的表达式。

步骤3: 求解y将得到的x的表达式代入原方程中，得到关于y的一元一次方程，求解得到y的表达式。

步骤4: 得出解将得到的x和y的表达式合并，即可得到含参二元一次方程的解。

3. 示例下面我们通过一个示例来演示含参二元一次方程的解法：假设我们要求解方程2x + ay = 6，其中a为一个未知参数。

步骤1: 化简方程方程已经是标准形式，无需化简。

步骤2: 求解x将y看作常数，我们可以将方程2x + ay = 6中的y消去，得到关于x的一元一次方程：2x + ay = 62x = 6 - ayx = (6 - ay) / 2步骤3: 求解y将得到的x的表达式代入原方程中，得到关于y的一元一次方程：2((6 - ay) / 2) + ay = 6(6 - ay) + ay = 66 - ay + ay = 66 = 6得到的等式恒成立，代表该一元一次方程有无穷解。

步骤4: 得出解由于方程有无穷解，我们无法得到具体的x和y的值，而是可以表示为通解的形式。

通解表达式为:x = (6 - ay) / 2y为任意实数。

4. 结论综上所述，我们可以通过化简方程、求解x和求解y的步骤，得到含参二元一次方程的解。

注意：具体的解取决于参数a、b和c的取值，有时方程可能无解或有无穷解。

在实际应用中，我们可以根据具体的参数值来判断方程的解的情况。

含参二元一次方程组的解上一篇我们介绍过一元一次方程的解有三种情况，二元一次方程组的解同样也有三种情况：①唯一的一组解②无数组解③无解对于这三种情况，我们需要对它们的基本特征掌握熟练后，才能轻松应对含参的二元一次方程组解的讨论(或者通过消元转化成一元一次方程再讨论)。

二元一次方程组的解的三种情况:(1)a1x+b1y=c1(2)a2x+b2y=c2①当a1:a2 ≠ b1:b2 时,方程组有唯一解。

②当a1:a2 = b1:b2 = c1:c2时,方程组有无数组解。

③当a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2时,方程组无解。

如果学过一次函数，可知(1)与(2)是两条直线，①两个直线有一个交点时,方程组有唯一解②两个直线重合时,方程组有无数组解③两个直线平行但不重合时,方程组无解讨论二元一次方程组的解可以根据上面三种情况，或者通过消元转化成一元一次方程再讨论。

题1:已知下面的二元一次方程组有无数组解，求k+b²的值。

(1)y+kx=b(2)y+3(k-1)x=2根据②可知当k:3(k-1)=1:1=b:2时方程组有无数组解。

得出k=1.5，b=2，所以k+b²=5.5。

或者消元(2)-(1)得到2(k-1.5)x=2-b根据前一篇讲的一元一次方程解的情况:2(k-1.5)=0，2-b=0时方程有无数个解，得出k=1.5，b=2。

题2:已知下面的二元一次方程组无解，求k的值。

(1)y+kx=2(2)2y+3(k-1)x=5根据③当k:3(k-1)=1:2 (≠2:5)时,方程组无解，得到k=3或者消元(2)-(1)×2得到(k-3)x=1 根据k-3=0时方程无解，得出k=3。

掌握上面的方法后可以试一试下面的题题3:关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。

("希望杯"邀请赛试题)(1)x+ay+1=0(2)bx-2y+1=0答案:a=-2,b=1。

二元一次方程常见含参题型解法一、常见的含参二元一次方程题型有哪些？在解题时，我们常常会遇到含参的二元一次方程题型，这些题型可能涉及到不同的参数取值范围，需要采用不同的方法进行求解。

常见的含参二元一次方程题型包括但不限于以下几种：1. 一元二次方程的参数问题：如给定参数a，求方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0的解；2. 参数范围问题：如对于方程(x+2)(x-a) = 0，a取什么值时方程有两个相异的实根；3. 参数性质问题：如对于方程ax^2 + (a-1)x + 1 = 0，若a>0，求x 的取值范围；4. 参数关系问题：如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，若方程有两个相反数根，求a的取值范围。

以上仅为一些常见的含参二元一次方程题型，实际上在解题过程中还会遇到更多类型的题目，需要根据具体情况进行灵活求解。

二、常见的含参二元一次方程解法有哪些？对于含参的二元一次方程题型，我们通常可以采用以下几种解法：1. 代数法：对于一些直接的参数问题，可以采用代数的方法进行求解。

通过将参数代入方程中，列出相关方程式，进而求得方程的解。

例如对于方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0，我们可以直接代入参数a，然后利用求根公式求得方程的解。

2. 几何法：对于一些参数范围或参数性质问题，可以采用几何的方法进行求解。

通过在坐标平面上绘制函数图像、直线或抛物线等，来分析参数的取值范围或者特定性质。

例如对于方程(x+2)(x-a) = 0，我们可以通过绘制函数图像得出a的取值范围。

3. 参数化求解法：对于一些参数关系问题，可以采用参数化的方法进行求解。

通过设定参数的具体取值，然后根据参数的性质进行讨论，并最终得出方程的解。

例如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，我们可以对a进行参数化，然后讨论参数的取值范围。

以上是常见的含参二元一次方程解法，实际应用中还可能会有其他求解方法，需要根据具体题目进行灵活选择。

解二元一次方程组(1)⎩⎨⎧-==+12532x y y x （2）⎩⎨⎧-=-=-13542y x y x(3)⎩⎨⎧=+=-104302y x y x （4） ⎩⎨⎧=-=+82523y x y x(5)⎩⎨⎧=+=-162142y x y x （6）⎩⎨⎧-=-=+52534t s t s姓名：(7)⎩⎨⎧=-=+17431232y x y x （8）⎩⎨⎧-=-=-547965y x y x(9)⎩⎨⎧=+=-323754y x y x （10）⎩⎨⎧-=-=-343665y x y x(11)⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x (12)()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+--3223121432y x y x yx y x二元一次方程组含参问题例1 若⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax 的解，求b a 2+的值.例2 若方程组 ⎩⎨⎧=+=+122y x my x 的解满足5=-y x ，求m 的值.巩固：已知方程组 ⎩⎨⎧=+=-8232ky x y x 的解x +2y =5相等，求k 的值.例3 若方程组 ⎩⎨⎧=-=-3547y x by ax 与 ⎩⎨⎧=+=+7323y x by ax 有相同的值，求a 、b 的值.姓名：巩固：已知关于x 、y 的方程组 ⎩⎨⎧-=+=-1332by ax y x 与 ⎩⎨⎧=+=+3321123by ax y x 的解相同，求a 、b 的值.例4 小亮在解方程组 ⎩⎨⎧=-=+②dy cx ①y ax 472时，看错了a 而得到⎩⎨⎧==15y x ，而方程组正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，请你探究一下a 、c 、d 的值.巩固：甲、乙两人共同解方程组⎩⎨⎧-=-=+②by x ①y ax 24155 由于甲看错了方程①中的a ，得方程组的解为⎩⎨⎧-=-=13y x ，乙看错了方程②中的b ，得到方程的解为⎩⎨⎧==45y x ，试计算代数式20032002)101(b a -+的值.整合训练1．⎩⎨⎧==21y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-3,11by ax by ax 的解，则b a ,的值是 （ ）A ．⎩⎨⎧=-=27b a B ．⎩⎨⎧-==72b a C ．⎩⎨⎧=-=72b a D ．⎩⎨⎧-==27b a2．已知：实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧-=+=+1353y x y x ，求代数式y x -的值.3.已知方程组⎩⎨⎧=+=-542y kx y x 的解满足关系式2=+y x ，求k 的值.4．关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ky x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，求k 的值.5．已知满足方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的x 、y 值的和等于2,求122+-m m 的平方根.6．两位同学在解方程组⎩⎨⎧=-=+124105by x y ax 时，由于粗心，小明看错了方程组中的a ，而得解为⎩⎨⎧==11y x ，小玲看错了方程组中的b ,而得解为⎩⎨⎧-=-=11y x ．你知道原来的方程组是什么吗？你知道正确的解吗？7．已知方程组2342x y ax by -=⎧⎨+=⎩与3564x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩有相同的解，则a 、b 的值为8.若⎩⎨⎧==21y x 是关于x 、y 的方程01)12(2=+-+-+bx ay by ax 的一组解，求a 、b 的值.。

含字母系数的一次方程组一、二元一次方程及二元一次方程的解 1．二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”．2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：0ax by c ++=（0a ≠，0b ≠）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．二、二元一次方程组及二元一次方程组的解 1．二元一次方程组的概念注意：（1只有一元（不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）．如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组．（2）定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．2．二元一次方程组解的情况（1）在x 、y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ ①②中，1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均为已知数，（1a 与1b 、2a 与2b 都至少有一个不等于0），则有：由21b b ⨯-⨯①②得：12212112a b a b x b c b c -=-（） 由21a a ⨯-⨯①②得：12211221a b a b y a c a c -=-（）当12210a b a b -≠时，方程组有唯一一组解；当12210a b a b -=，且21120b c b c -≠，12210a c a c -≠时，方程组无解； 当12210a b a b -=，且21120b c b c -=，12210a c a c -=时，方程组有无穷多组解； （2）二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的情况有以下三种：①当111222a b c a b c ==时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效） ②当111222a b c a b c =≠时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的） ③当1122a b a b ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：1221122121121221c b c b x a b a b c a c a y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（这个解可用加减消元法求得）注意：（1）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．（2）求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．一、一次方程（组）解的讨论【例1】 下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程只有一个解．B ．二元一次方程组有无数个解．C ．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解．D ．二元一次方程组一定有解．【解析】略 【答案】C 例题精讲【例2】 不解方程组，判定下列方程组解的情况：①23369x y x y -=⎧⎨-=⎩；②23423x y x y -=⎧⎨-=⎩；③351351x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】如果在此我们仍然使用上面的结论判断，会不太方便，对于上面的结论，我们还可以这样记忆：1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均不为0，那么上结论可这样记忆：当1122a b a b ≠时，方程组有唯一一组解（这个解可用加减消元法求得）； 当111222a b c a b c ==时，方程组有无穷多组解（因为两个方程等效）； 当111222a b c a b c =≠时，原方程组无解（因为两个方程是矛盾的）． 这个公式很常用！利用此结论会很快判断出结果：①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③35≠-方程组有唯一解． 【答案】①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③3535≠-方程组有唯一解．二、含字母系数的一次方程组1．根据方程解的具体数值来确定 【例3】 已知12x y =⎧⎨=⎩与3x y m =⎧⎨=⎩都是方程x y n +=的解，求m 与n 的值．【解析】12x y =⎧⎨=⎩是方程x y n +=的解可得3n =，则原方程为3x y +=，3x y m =⎧⎨=⎩是方程3x y +=的解可得33m +=，0m =． 【答案】0m =，3n =．【例4】 方程6ax by +=有两组解是22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩，求2a b +的值．【解析】将22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩代入6ax by +=可得22686a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，20a b +=【答案】0【例5】 如果二元一次方程20mx ny ++=有两个解是22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩，那么下列各组中，仍是这个方程的解的是（ ） A ．35x y =⎧⎨=⎩B ．62x y =⎧⎨=⎩C ．53x y =⎧⎨=⎩D ．26x y =⎧⎨=⎩【解析】将22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩代入20mx ny ++=可得3212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，原方程为312022x y -++=，检验选A ．【答案】A【例6】 写出一个以12x y =-⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】此题答案不唯一，满足条件即可． 【答案】13x y x y +=⎧⎨-=-⎩【例7】 写出一个以23x y =⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】本题答案不唯一，满足条件即可．【答案】51x y y x +=⎧⎨-=⎩【例8】 已知43x y =-⎧⎨=⎩是方程组12ax y x by +=-⎧⎨-=⎩的解，则6()a b += ．【解析】根据题意可得：431432a b -+=-⎧⎨--=⎩，由431a -+=-得：1a =，由432b --=得：2b =-，6()1a b +=．【答案】1【例9】 已知12x y =-⎧⎨=⎩是方程组12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩的解，则a b += ．【解析】将12x y =-⎧⎨=⎩代入12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩可得0a =，4b =-，那么0(4)4a b +=+-=-．【答案】4-【例10】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩的解，求()m n +的值．【解析】把2,1x y ==代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得()22112211m n ⎧⨯+-⨯=⎪⎨+=⎪⎩ 由①得1m =- 由②得0n =所以当1m =-，0n =时，1m n +=-．【答案】1-【例11】 已知方程组2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩，求m 、n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩可得2421m nn m -=⎧⎨+=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．【答案】31m n =⎧⎨=⎩【例12】 关于x ，y 的方程组3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，求m ，n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩可得3205319m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩【答案】23m n =⎧⎨=⎩【例13】若方程组26ax yx by+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=-⎩，则a b+=．【解析】略【答案】0a b+=【例14】若方程组2x y bx by a+=⎧⎨-=⎩的解是1xy=⎧⎨=⎩，那么a b-=．【解析】略【答案】1【例15】若关于x y，的方程组2x y mx my n-=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则m n-为（）A．1 B．3 C．5 D．2 【解析】略【答案】D【例16】明明和亮亮二人解关于x、y的方程组278mx bycx y+=⎧⎨-=⎩，明明正确地解得32xy=⎧⎨=-⎩，而亮亮因把c看错了，解得22xy=-⎧⎨=⎩．请问：亮亮把c看成了多少？【解析】根据题意，分别把32xy=⎧⎨=-⎩和22xy=-⎧⎨=⎩代入方程2mx by+=，得322222m bm b-=⎧⎨-+=⎩，解得45mb=⎧⎨=⎩把3x=，2y=-代入方程78cx y-=，得2c=-．假设亮亮把c看成了d，把2x=-，2y=代入方程78dx y-=，得11d=-．【答案】11-【例17】已知方程组278ax bymx y+=⎧⎨-=⎩的解应为32xy=⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m看错后，解方程组得22xy=-⎧⎨=⎩，则a b m⋅⋅的值是．【解析】将32xy=⎧⎨=-⎩，22xy=-⎧⎨=⎩代入2ax by+=可得222322a ba b-+=⎧⎨-=⎩，解得45ab=⎧⎨=⎩32x y =⎧⎨=-⎩代入78mx y-=可得2m=-，45(2)40a b m⋅⋅=⨯⨯-=-【例18】 孔明同学在解方程组2y kx by x=+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，又已知13k b =+，则b 的正确值应该是 ．【解析】把12x y =-⎧⎨=⎩代入6y kx =+可得4k =把4k =代入得11b =-【答案】11-【例19】 已知甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，如果甲看错了方程①中的a ，得方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩，而乙看错方程②中的b ，得到方程组的解是54x y =⎧⎨=⎩，请求120082009()10a b +-的值． 【解析】把31x y =-⎧⎨=⎩代入42x by -=-,可得10b =-把54x y =⎧⎨=⎩代入515ax y +=可得1a =-把1a =-， 10b =-代入20082009()2a += 【答案】2【例20】 甲、乙两人同时解方程组85mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩①②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确m n ，的值． 【解析】由题意得：425258m n m n -=⎧⎨+=-⎩解方程组可得：382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【答案】382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【例21】 小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩求a b c ++的值．【解析】由题意得：322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩解得：45a b =⎧⎨=⎩把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程78cx y -=得：2c =-∴7a b c ++=【答案】72．根据方程解的数量关系来确定【例22】 关于x ，y 的二元一次方程组42132x y mx y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中x 与y 的值相等，试求m 的值．【解析】根据题意可得x y =，代入方程组可得42132x x mx x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122x m ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 【答案】2【例23】 若方程组435(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩的解中x 比y 的相反数大1，求k 的值．【解析】根据题意可得1x y =-+，代入方程组可得4(1)35(1)(1)8y y k y k y -++=⎧⎨-+--=⎩，解得13y k =-⎧⎨=⎩．【答案】3【例24】 若关于x y ，的二元一次方程组2351x y mx y m +=⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差是7，求m 的值．【解析】解方程组2351x y m x y m +=⎧⎨+=-⎩的解为：3221x m y m =--⎧⎨=+⎩代入7x y -=得：2m =-【例25】 当1x =时，关于x ，y 的二元一次方程组331ax y x by -=⎧⎨-=-⎩解中的两个数互为相反数，求a ，b ．【解析】x ，y 互为相反数，当1x =，则1y =-，代入方程组可得2a =，4b =-． 【答案】2a =，4b =-．【例26】 二元一次方程组31242x y x ay +=⎧⎨+=⎩的解中x 与y 互为相反数，求a 的值．【解析】∵x 与y 互为相反数 ∴0x y +=解0312x y x y +=⎧⎨+=⎩得：66x y =⎧⎨=-⎩把方程组的解代入412x ay +=得2a =【答案】2【例27】 k 为何值时，关于x y ，的方程组35223x y k x y k-=+⎧⎨-=⎩的解的和为20．【解析】这是含有字母的二元一次方程组，求解此类题需将字母看作常数求解方程组的解，然后再根据题目条件求出字母的值．解：解方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩得：264x k y k =-⎧⎨=-⎩又因为：20x y +=，即：31020k -=所以：10k =．【答案】10【例28】 已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x y ，，其和1x y +=，求k 的值． 【解析】解3251x y x y -=⎧⎨+=⎩得：25y =-因为(1)7kx k y +-=，所以7kx ky y +-= 所以()7k x y y +-= 把21,5x y y +==-代入()7k x y y +-=得：335k =【答案】335【例29】 已知方程组3542x y m x y m +=-⎧⎨+=⎩中未知数和等于1-，则m = ．【解析】方程组可以简化为3241y m y m -+=-⎧⎨-+=⎩；解之得到3m =-．【答案】3-3．根据方程解的个数情况来确定【例30】 m ，n 取何值时，方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩（1）有唯一解？（2）没有解？（3）有无穷多组解？ 【解析】由①可得253x y =-③，代入②可得(6)10m y n -=-④当60m -≠时，④有惟一解，进而原方程组有惟一一组解；当60m -=时，100n -≠时，④无解，进而原方程组无解；当60m -=时，100n -=时，④无穷个解，进而原方程有无穷组解．【答案】（1）当60m -≠时，原方程组有惟一一组解；（2）当60m -=时，100n -≠时，原方程组无解； （3）当60m -=时，100n -=时，原方程有无穷组解．【例31】 已知关于x 、y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩，分别求出当a 为何值时，方程组的解为：（1）惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．【解析】由已知方程组可得：(2)(1)(2)(2)2(2)(1)2a a x a a a a y a -+=-+⎧⎨-+=-⎩，（1）当(2)(1)0a a -+≠，即2a ≠且1a ≠-时，方程有惟一解，方程组也有惟一解；（2）当(2)(1)0a a -+=，且(2)(2)a a -+与2a -中至少有一个不为零时，方程无解，因此当1a =-时，原方程无解；（3）当(2)(1)(2)(2)20a a a a a -+=-+=-=，即2a =时，原方程组有无穷多组解．【答案】（1）当2a ≠且1a ≠-时，方程组有惟一解；（2）当1a =-时，原方程无解；（3）当2a =时，原方程组有无穷多组解．【例32】 选择一组a ，c 值使方程组572x y ax y c +=⎧⎨+=⎩，①有无数多解；②无解；③有唯一的解．【解析】略【答案】①当10a =，14c =时，方程组有无数多解；②当10a =，14c ≠时，方程组无解； ③当10a ≠时，方程组有唯一的解．【例33】 当m n ，为何值时，方程组(21)4mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩（1）无解；（2）惟一解；（3）有无穷多解．【解析】②－①，得(1)4m x n -=-（1）当1040m n -=-≠，，即14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当10m -≠，即1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当10m -=，40n -=时，即14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【答案】（1）当14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【例34】 当m n ，为何值时，关于x y ，的方程组2235mx y nx y n -=⎧⎨+=+⎩（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解．【解析】（1）由223m ≠-，得：43m ≠-． ∴当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）由2235m n n =-=+，得4,23m n =-=-． ∴当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）由2235m n n =-≠+，得4,23m n =-≠-． ∴当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【答案】（1）当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【例35】k 为何值时，方程组22342kx y x y +=⎧⎨-=⎩无解？【解析】根据12a a =12b b ≠12c c 时，方程组无解，所以32k =- 【答案】32-【例36】 若关于xy 的方程组322(1)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩有无穷多组解，求m 的值．【解析】∵方程组有无穷多组解 ∴2m =31m -=2m 解得：2m =（舍），2m =- ∴m 的值是2-．【答案】2-【例37】 已知方程组354x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解，m 和n 是绝对值小于10的整数，求m 和n 的值．【解析】因为方程组无解，所以3m n =，45m n ≠．因为||3||10m n =<，所以101033n -<<，即3n =-，2-，1-，0，1，2，3；相应的9m =-，6-，3-，0，3，6，9，所以（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【答案】（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【例38】 如果关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，那么a = ．【解析】注意方程组无解的条件，根据111222a b c a b c =≠时，方程组无解可得出a 的值． 【答案】6-【例39】 m ，n 取何值时，方程2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解？没有解？有唯一解？ 【解析】由方程组可得：(6)10m y n -=-，当60m -=，100n -=时，即6m =，10n =方程组有无穷多组解；当60m -=，100n -≠时，即6m =，10n ≠方程组无解； 当60m -≠，100n -≠时，即6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．【答案】6m =，10n =方程组有无穷多组解；6m =，10n ≠方程组无解； 6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．4．根据方程同解的情况来确定【例40】 已知方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求3(2)a b +的值．【解析】由已知，两个方程组有相同的解，所以方程256x y +=-和3516x y -=有相同的解，故将此两个方程联立，通过解此方程组就可求出两个方程组的解，又因为此解满足方程4ax by -=-和8bx ay +=-，故可得关于,a b 的二元一次方程组，通过解该方程组就可求出,a b 的值，从而可求3(2)a b +的值．解：将256x y +=-和3516x y -=联立，得2563516x y x y +=-⎧⎨-=⎩①+②，得510x =，∴2x =把2x =代入①，得2256y ⨯+=-，∴2y =-． ∴22x y =⎧⎨=-⎩．将22x y =⎧⎨=-⎩．代入方程4ax by -=-和8bx ay +=-，得224228a b b a +=-⎧⎨-=-⎩，即24a b a b +=-⎧⎨-=⎩解得13a b =⎧⎨=-⎩．当1,3a b ==-时，333(2)(23)(1)1a b +=-=-=-故代数式3(2)a b +的值为－1．解决此题的关键是深刻理解二元一次方程组的解的概念，二元一次方程组的解就是方程组中两个二元一次方程的公共解．【答案】1-【例41】 关于x y ，的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则()b a -= ．【解析】本题注意方程组的重新组合，把只含有x y ，的方程放在一起组成方程组可解出x y ，的值．再把x y ，的值代入含有a b ，的方程可得到关于a b ，的方程组．可求得12x y =⎧⎨=-⎩，进而求得23a b =⎧⎨=⎩．所以()8b a -=-．【答案】8-【例42】 已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a b ，的值． 【解析】解方程组5325x y x y +=⎧⎨-=⎩得：12x y =⎧⎨=-⎩把12x y ==-，分别代入方程5451ax y x by +=+=，可得：142a b ==， 【答案】142a b ==，【例43】 已知x ，y 的方程组241ax by x y +=⎧⎨+=⎩与3(1)3x y bx a y -=⎧⎨+-=⎩的解相同，求a ，b 值．【解析】联立1x y +=与3x y -=可得21x y =⎧⎨=-⎩，将其代入其它两个方程24(1)3ax by bx a y +=⎧⎨+-=⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩．【答案】64a b =⎧⎨=⎩【例44】 如果二元一次方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3528x y a --=的一个解，那么a 的值是？【解析】解方程组⎧⎨⎩2a =【答案】2【例45】 已知关于x y ，的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解也是方程3217x y +=的解，求m ．【解析】解方程组23,9x y m x y m +=⎧⎨-=⎩得：72x my m =⎧⎨=-⎩把72x my m =⎧⎨=-⎩代入3217x y +=得：1m =【答案】1【例46】 若关于x y ，的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为？【解析】由方程①+②可得：7x k =①-②可得：2y k =-把7x k =，2y k =-代入方程236x y +=得：34k =【答案】34【例47】 已知关于x ，y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 【解析】解法一：由于a 取不同的值，方程都有一个相同的解，所以可以取1a =，1a =-代入原方程，可以得到方程组：330270y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩；解法二：方程有一个公共解，说明方程有一种形式，关于a 的方程有无数解，将方程变形得：(2)(25)0a x y x y +----=，此方程有无数解，故：20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩． 【答案】31x y =⎧⎨=-⎩5【例48】 a 【解析】把a 作为已知数，解这个方程组得31325312a x a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ∵00x y >⎧⎨>⎩，∴3130253102aa -⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解不等式组得313315a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解集是6111053a <<【答案】111053a <<【例49】 m 取何整数值时，方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x y ，都是整数？ 【解析】把m 作为已知数，解方程组得81828x m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵x 是整数，∴8m -取8的约数1248±±±±，，，． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数12±±，． 取它们的公共部分，812m -=±±，． 解得97106m =，，，． 经检验97106m =，，，时，方程组的解都是整数． 【答案】97106m =，，，【例50】 已知方程组51x my x y +=⎧⎨+=⎩有正整数解，那么正整数m 的值为 ．【解析】消去x 得到方程(1)6m y +=，解得61y m =+． 因此12m +=或13m +=；故1m =或2m =．【答案】1m =或2m =【例51】 要使方程组⎧⎨⎩有正整数解，求整数a 的值．【解析】解方程组2x x ⎧⎨-⎩∵∴4a +的值可以为：124816，，，，∴a 的值为：320412--，，，，． 【答案】320412--，，，，【例52】 已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x y ，均为整数，则2m = ．【解析】消去y 得到(3)10m x +=；因为方程有整数解，故10(3)3x m m =≠-+，代入第二个方程得到153y m =+； 为使103m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或7； 为使153m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或12； 为使103m +和153m +都是整数，且m 是正整数，取2m =，则24m =． 【答案】4【例53】 已知关于x y ，的方程组： 1 1 1 x by y ax bx ay -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有解，试证明：221a b ab a b ++++=． 【答案】由①＋②×b ，得(1)1ab x b -=+，由①×a ＋②，得(1)1ab y a -=+．当1ab =时，(1)1ab y a -=+无解，即方程组无解；当1ab ≠时，则11bx ab +=-，11a y ab+=-，代入③化简即可得到221a b ab a b ++++=．。