高二数学概率试题

2006年某某省重点中学高二数学排列组合概率练习一、选择题1．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种2．设nb a )(-的展开式中，二项式系数的和为256，则此二项展开式中系数最小的项是（ ）A ．第5项B ．第4、5两项C ．第5、6两项D ．第4、6两项3．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。

如果A 、B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（ ）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种4．百米决赛有6名运动A 、B 、C 、D 、E 、F 参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A 比运动员F 先到终点的比赛结果共有（ ）A ．360种B ．240种C ．120种D ．48种5．若二项式（122)m mbx ax -+的展开式中系数最大的项恰是常数项，则正整数ba的值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．56.用1，2，3，4这四个数字可排成必须．．含有重复数字的四位数有 ( )7.在5X 卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是B.0.6 C8．由关于x 的恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4,定义映射f:(a 1, a 2, a 3, a 4)→(b 1, b 2, b 3, b 4),则f(4, 3, 2, 1) = (A.(1, 2, 3, 4)B.(0, 3, 4, 0)C.(-1, 0, 2, -2)D.(0, -3, 4, -1) 9. 五个身高均不相同的学生排成一排俣影留念,高个子站中间,从中间到左边和从中间到右边均一个比一个矮,则这样的排法共有 ( )(A)6种 (B)8种 (C)12种 (D)16种10. 袋中有红、黑、黄三种颜色的小球各10个，每次从袋中取出一个小球不放回，一直到发现某种颜色的小球恰好取够6个，便立即停止取球，则最多的取球次数为（ ） A. 6 B. 16 C. 20 D. 2611．某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍教育子女的情况，那么这4位中至多一对夫妻的选择方法为（ ）A ．１５种B ．１２０种C ．２４０种D ．４８０种12．某种体育彩票抽奖规定，从01到36共36个中抽出7个为一注，每注2元，某人想从01到10中选3个连续号，从11到20中选2个连续号，从21到30中选1个号，从31到36中选1个号组成一注，现这人把这些特殊的号全买，要花费的钱数是（ ）．A ．3 360元B ．6 720元C ．4 320元D ．8 640元 二、填空题13、如果一个三位正整数a 1a 2a 3满足a 1<a 2且a 3<a 2，则称这样的三位数为凸数（如120，363，374等），那么所有凸数的个数是_______________（用数作答）14、有15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是．15、由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为_______________16、甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是43，甲、丙两人都做错的概率是121，乙、丙两人都做对的概率是41。

题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题例6 （2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100 人成绩的标准差为（ ）AB C ．3D ．85例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．例8．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84，4.84B ．84，1.6C ． 85，1.6D ．85，4题型6 古典概型与几何概型计算问题例11 （2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ．例12．（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是 A ．4π B ．4πC ．44π-D ．π题型7 排列组合（理科）例14．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430例15．（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 ．（用数字作答）题型8 二项式定理（理科）例15．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如图所示，则实数a 的值为___________．例16（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第4题）若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，则5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35-题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点） 例17．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．例18．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23． （1）求比赛三局甲获胜的概率； （2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．题型11 正态分布例19.（2008高考湖南理4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4例20（2008高考安徽理10）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如图所示．则有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是 （ ） A ． 0.006 B ．0.4 C ． 0.5 D ． 0.6 6．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是（ ）A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 （ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有（ ） A ．216种 B ．540种 C ．729种 D ．3240种 二、填空题9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ． 10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ． 11．若x 50(1)x +展开式中最大的项是 项． 三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．（1）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；（2）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E ξ． 15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．16．某地10（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系； （2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．1.分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．解析： 平均数是520410*********3100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，标准差是s ====．答案B ．2.分析：根据平均数与方差的性质解决．解析：16,183.解析：C4.分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，基本事件的总数是36，故这个概率是31369=．或是数形结合处理． 5.分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是4π，答案A ．6.分析：按照千位的数字寻找规律．解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．7.分析：由于字母A 是一样的，没有区别，故可以按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为72043205400240012840+++=．8.分析：根据点列的图可以知道012,,a a a 的值，即可以通过列方程组解决.解析：由图123,4a a ==，又根据二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =． 9.分析：根据展开式的系数之比求出n 值．解析：2323,n n a C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ．10.分析：根据对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率．解析：（1）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3 ． 有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况， 1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况． 91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．11.解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，（1）比赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==； （2）比赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==；比赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==；甲获胜的概率是：3456481P P P ++=． （3）记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()P C ==；23254128'()()P C ==；故甲比赛次数的分布列为：1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=． 12.分析：根据正态密度曲线的对称性解决． 解析：B 根据正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =．13.分析：根据正态密度曲线的性质解决．解析：A 根据正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．理科部分1．解析：D 根据题意,a b 应满足22b a >，即b a >，以(),a b 为点，在aob 平面上，结合图形可知这个概率为12． 2．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点()2.5,3.5，故选A ．3．解析：D 设A B C ，，分别表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件．则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.1P C =．设D 表示”军火库爆炸”，则D A B C =．又AB C ，，∵彼此互斥， ()()()()()0.20.30.10.6P D P A B C P A P B P C ==++=++=∴．4．解析：A 基本事件总数为7749⨯=个，而满足条件的基本事件个数为16个：(13)(22)(31)(17)(26)(35)(44)，，，，，，，，，，，，，，(53)(62)(71)(57)(66)(75)(67)(76)(77)，，，，，，，，，，，，，，，，，．故所求事件的概率为1649．5．解析：B 根据随机模拟的思想，可以认为树叶落在该场地上是随机的，这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比．23009660401632()300m -⨯⨯=．6．解析：B 先将6名同学分成()()()1,1,4;1,2,3;2,2,2三组，再分配到三所院校．其中()()1,1,4,2,2,2涉及到均匀分组，注意考虑分组的特殊性．540!3121332224262336111246=⎪⎭⎫ ⎝⎛++A C C C C C C C C ，选B ． 7．解析：二 2，80、60、50 总体人数为400302250952++=（人），∵9525190=……余2，400805=，3022605-=，250505=，∴从高二年级中剔除2人，所以从高一，高二，高三年级中分别抽取80人、60人、50人． 8．解析：25101(2x x ++=，其展开式的第1r +项为101010222110102r r rr r r rr T C C x----+==，令10022r r--=，则5r =，即展开式中的常数项是第6项，该项的值为552102C -=．9．解析：30 设第1r +项为1r T +且最大，则有11505011112505029r r r r r r r R r r r r C C T T r T T C C --+++++⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎪⎪⎩⎩≥≥≥≥． ∴50(1)x +展开式中第30项最大． 10． 解析一：（1）甲运动员击中10环的概率是：10.10.10.450.35---=设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则()0.350.450.8P A =+=． 事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为()()121130.810.80.096P C =-=； 恰有2次击中9环以上，概率为()()212230.810.20.384P C =-=·； 恰有3次击中9环以上，概率为()()33330.810.80.512P C =-=·． 因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率1230.992P P P P =++=． （2）记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B ，则()10.10.150.75P B =--=． 因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0,1,2． 因为()20.80.750.6P ξ==⨯=； ()()()10.810.7510.80.750.35P ξ==⨯-+-⨯=；()()()010.810.750.05P ξ==-⨯-=．所以ξ的分布列是所以00.0510.3520.6 1.55E ξ=⨯+⨯+⨯=． 解析二：（1）设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上”(含9环，下同)，则()0.350.450.8P A =+=．甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为()30030.810.80.008P C =⨯-=·． 所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率010.992P P =-=．（2）同解析一．11．解析：（1）有放回抽样时，取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为（２）不放回抽样时，取到的黑球数Y 可能的取值为0,1,2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15CC P Y C ===．因此，Y 的分布列为12．解析：（1）由题意知，年收入x ．从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．6x =∵， 1.83y =，1021406ii x ==∑，102135.13ii y ==∑，101117.7i i i x y ==∑，0.172b ≈∴， 1.830.17260.798a y bx =-=-⨯=．从而得到回归直线方程为0.1720.798y x =+． （2）0.17290.798 2.346y =⨯+=万元．。

高二数学统计与概率试题1.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70m/h视为“超速”，同时汽车将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以得出将被处罚的汽车约有 ( )A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆【答案】B【解析】被处罚的汽车约有故选B2.(本题满分10分)已知展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992. （Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）（2）【解析】由题意有，………3分（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是，；………6分（Ⅱ）由解得为所求的系数最大的项. ………10分3.已知的展开式的二项式系数之和比（a+b）2n的展开式的系数之和小240，则的展开式中系数最大的项是．【答案】【解析】由题意得：，因此的展开式中系数最大的项是第3项，为【考点】二项式系数性质，二项式定理4.在的展开式中，含项的系数为（）A．210B．120C．80D．60【答案】B【解析】含项的系数为含项的系数为，含项的系数为，故选B【考点】二项式定理的应用5.有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】所有的同学都没有通过的概率为，所以至少有一位同学能通过测试的概率为,故选：D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式6.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表E（1）画出销售额和利润额的散点图．（2）若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程=bx+a，其中，a=-b；（3）对计算结果进行简要的分析说明．【答案】（1）见解析；（2）y=0．5x+0．4 （3）详见解析。

【解析】（1）描点即可作出散点图；（2）由最小二乘法求线性回归直线方程，代入相应的公式即可；（3）利用散点图或回归直线方程研究变量的相关关系。

高二数学 概率练习题(1)1.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 （ ）A ．1/7B ．2/7C ．3/7D ．4/72.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （ ）A.2/7B.3/8C.3/7D.9/283．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是 （ ）A ．5/12B ．1/2C ．7/12D ．5/64．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是 （ ） A ．1/22 B ．1/11 C ．3/22 D ．2/11 5.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11 9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。

现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)7．某篮运动员在三分线投球的命中率是1/2，他投球10次，恰好投进3个球的概率 8．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ． 9．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种10.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是11、在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

2022-2023学年北师大版高二下数学：概率一．选择题（共8小题）1．（2021秋•宜昌期中）某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.55，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）A．0.8B．0.75C．0.45D．0.25 2．（2021秋•常州期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（）A ．B ．C ．D ．3．（2021秋•沙市区校级期中）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丁相互独立D．丙与丁相互独立4．（2021秋•浙江期中）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2个小球不全为红色B．2个小球恰有一个红色C．2个小球至少有一个红色D．2个小球不全为绿色5．（2021秋•仁寿县期中）先后抛掷一颗骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，事件A为：x+y为偶数，事件B为：xy为奇数，则概率P（B|A）＝（）A ．B ．C ．D ．6．（2021秋•河南期中）如图所示，阴影部分由六个全等的三角形组成，每个三角形是底边为圆的半径，顶角为120°的等腰三角形，若在圆内随机取一点，则该点落到阴影部分内的概率为（）第1页（共18页）。

高二数学独立重复试验某事件发生的概率试题1.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________________.【答案】【解析】由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有，，，，，，∴摸一次中奖的概率是，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是.【考点】次独立重复试验中恰好发生次的概率.2.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0.1,0＜p＜1)，则E(X)＝________.【答案】1－p【解析】X服从两点分布，∴E(X)＝1－p.3.已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝1)的值为________．【答案】【解析】∵X～B，∴P(X＝1)＝C13·＝.44.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．【答案】X的分布列为X012345【解析】解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，即X～B，k k5－k，k＝0,1,2,3,4,5，即有P(X＝k)＝C5从而X的分布列为X0123455.设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.【答案】【解析】＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2，即(1－p)2＝，p＝.221＝.故P(Y＝2)＝C36.姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是．【答案】0.243【解析】∵姚明比赛时罚球命中率为90%，∴他在3次罚球中罚失1次的概率是【考点】本题考查了独立重复试验的概率点评：独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。

高二数学选修2-3（统计与概率）测试题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。

）1．从总体中抽得的样本数据为3.8，6.8，7.4则样本平均数x 为：（ ）A. 6.5B. 6C. 5D. 5.52 高三年级有12个班，每班50人按1—50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）抽样法：A.抽签法B.系统抽样C.分层抽样D.随机数表法3．如果数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数为 ,方差为62，则数据3x 1+5,3x 2+5,…,3x n +5的平均数和方差分别是 （ ）A ．B ．C ．D ． 4．甲、乙两个水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一次预报中两站都准确预报的概率为 （ ）A ．0.7B ．0.56C ．0.7D ．0.85．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知盒子中有散落的围棋棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率 （ ）A ．B ．C ．D ．7组距 频数 2 3 4 5 4 2A ．B ．C ．D ．8．甲、乙两人独立解答某道题，解不出来的概率分别为a 和b ，那么甲、乙两人都解出这道题的概率是 （ ）A ．1-abB ．(1-a )(1-b )C ．1-(1-a )(1-b )D ．a (1-b )+b (1-a )26和x 2653和+x 29653和+x 2363和x 5152103107351771105163534]20,10(]30,20(]40,30(]50,40(]60,50(]70,60(20141211079．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有两人在车厢内相遇的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．10．一患者服用某种药品后被治愈的概率是95%，则患有相同症状的四位病人中至少有3人被治愈的概率为 （ ）A ．0.86B ．0.90C ．0.95D ．0.99二，填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.8，每人各投3次，每人恰好都投中2次的概率为___________。

4.1.1 条件概率 -A 基础练一、选择题1．（2021·全国高二课时练习）已知1()2P BA =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（ ） A ．316B ．1316C ．34D ．14【答案】C【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C.2．（2021·全国高二专题练）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为（ ） A ．14B ．13C ．512D ．23【答案】B【详解】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，事件B 包括的基本事件有{1}3，，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5，、{24}，共2个. 则()21(|)()63n AB P A B n B ===，故选:B . 3．（2021·全国高二专题练习）下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）A ．0.63B ．0.7C ．0.9D ．0.567【答案】B【详解】记事件A 表示“清明节当天下雨”，B 表示“第二天下雨”，由题意可知，()(0.9,0.63)P A P AB ==，所以()()0.63(|)0.70.9P AB P B A P A ===．故选：B.4．（2021·四川眉山市·仁寿一中高二月考）现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（ ）A ．13B ．47C ．23D ．34【答案】A【详解】解：由已知得22432793()217C C P A C +===,232731()217C P AB C ===， 则()P B A =1()173()37P AB P A ==，故选：A 5．（2021·山东滨州市·高二期末）已知盒中装有3只螺口灯池与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放若，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ） A ．14B ．944C ．911D ．79【答案】C【详解】方法一：因为电工师傅每次从中任取一只且不放回，且第1次抽到的是螺口灯泡， 所以第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率等价于：从装有2只螺口灯池与9只卡口灯泡中抽取一只，恰为卡口灯泡的概率，即为992+911=， 方法二：设事件A 为：第1次抽到的是螺口灯泡，事件B 为：第2次抽到的是卡口灯泡,则第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为39()91211(|)3()1112P AB P B A P A ⨯⨯=== 故选：C6．（多选题）（2021·湖南衡阳市八中高二期末）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）A ．()12P M =B ．()1611P M A =C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件【答案】BCD【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球． 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A 、2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A ，463535541()1011101110111102P M =⨯+⨯+⨯=≠，故A 错误； 对B ，11146()61011(|)4()1110P MA P M A P A ⨯===，故B 正确； 对C ，当1A 发生时，6()11P M =，当1A 不发生时，5()11P M =，∴事件M 与事件1A 不相互独立，故C 正确；对D ，1A ，2A ，3A 不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D 正确； 故选：BCD ． 二、填空题7．（2021·四川省泸县第一中学高二月考）若一个样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，令事件{}2,3,5A =，{}1,2,4,5,6B =，则()P B A =___________ ．【答案】23【详解】解：因为{}1,2,3,4,5,6Ω=，令事件{}2,3,5A =，{}1,2,4,5,6B =，则{}2,5AB =，所以()3162P A ==，21()63P AB ==，由条件概率公式得()123|132P B A ==．8．（2021·安徽宣城市·高二月考）某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______． 【答案】59【详解】记第一次摸出新球为事件A ，第二次取到新球为事件B ，则()()()2621016110155456910C P AB C P B A C P A C ====. 9．（2021·全国高二单元测）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______. 【答案】717【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：()35%7(|)()85%17P A B P B A P A ===10．（2021·全国高二课时练）有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________. 【答案】67【详解】设事件A 为“一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D B C =⋃，且B 与C 互斥，又()11223225710C C C P A C +==，()122515C P AB C ==，()11222525C C P AC C ==， 故()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=. 三、解答题11．（2020·陕西省子洲中学高二月考）陕西省的一次公务员面试中一共设置了5道题目，其中2道是论述题，3道是简答题，要求每人不放回地抽取两道题，问： （1）第一次抽到简答题的概率；（2）第一次和第二次都抽到简答题的概率；（3）在第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题的概率. 【详解】（1）第一次抽到简答题的概率为35；（2）第一次和第二次都抽到简答题的概率为323 5410⨯=；（3）即第一次抽到简答题为事件A，第二次抽到简答题为事件B，则3()5P A=，3()10P AB=，则3P(AB)110P(B|A)3P(A)25===.12．（2021·河南南阳市高二月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.【详解】（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，从6名成员中挑选2名成员，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A事件M所包含的基本事件数为AB，AC，AD，Aa，Ab共有5种，故()51 153P M==．（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，不妨设女生乙为b，则()1 15P MN=，又由（1）知()13P M=，故()() ()15 P MNP N MP M==．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件S，则()8 15P S=，“女生乙被选中”为事件N，()415P SN=，故()()()12P SN P N S P S ==．。

高二数学古典概型试题1.在正方体中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】从正方体的12条棱中，任取两条棱，有种不同的方法，因为与已知棱成异面直线的有4条，所以共有对异面直线，则这两条棱为异面直线的概率.【考点】古典概型.2.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】从装有大小相同的5个白球和3个红球共8个球的袋中先后不放回的各取出一个球的方法共有种，事件与同时发生的即两次中第1次取出的是白球，第2次取出的还是白球，这样的取法有种，由古典概型的概率计算公式得事件与同时发生的概率是，故选择D.【考点】古典概型的概率计算.3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A,B中至少有一件发生的概率是A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知及古典概率得：，；且知事件Ａ，Ｂ相互独立，则也相互独立，则事件Ａ，Ｂ中一个都没有发生的概率为：，又因为“事件Ａ，Ｂ中一个都没有发生”与“事件A,B中至少有一件发生”是对立事件，所以事件A,B中至少有一件发生的概率为：；故选C．【考点】事件的概率．4.袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率是，则至少得到1个白球的概率是 .【答案】【解析】设白球有个，则从袋中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率是解得先求从袋中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率是因此至少得到1个白球的概率是【考点】古典概型概率5.在一次考试中，某班语文、数学、外语平均分在80分以上的概率分别为、、，则该班的三科平均分都在80分以上的概率是________．【答案】【解析】由于语文、数学、外语平均分在80分以上这三个事件是相互独立的，所以所求事件的概率为××＝.6.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．【答案】【解析】能获奖有以下两种情况：①5袋食品中三种卡片数分别为1,1,3，此时共有×A33＝60(种)不同的方法，其概率为P1＝＝；②5袋食品中三种卡片数分别为2,2,1，共有×A33＝90(种)不同的装法，其概率为P2＝＝，所以所求概率P＝P1＋P2＝.7.某市准备从5名报名者（其中男3人，女2人）中选2人参加两个副局长职务竞选。

数学概率综合分类第一类：考查相互独立事件同时发生的概率例1.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2珠，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互相不影响，求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率。

练习1为ξ，求练习2摸取（每（1练习3：如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．第二类：利用排列组合计算古典概型例2：厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数x的分布列及期望Ex，并求该商家拒收这批产品的概率.练习1：某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．练习2：某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）随机变量ξ的期望.第三类：例3练习1:练习2：为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。

课时提升作业十事件的独立性一、选择题(每小题5分,共25分)1.设A,B,C为三个随机事件,其中A与B互斥,B与C相互独立,则下列命题一定成立的是( )A.A与B相互独立B.A与C互斥C.B与C互斥D.与相互独立【解析】选D.注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别,前者指的是不可能同时发生的事件,后者指的是在两个事件中,一个事件是否发生对另一个事件没有影响.2.甲、乙二人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,两个人射中与否相互之间没有影响,那么其中恰有1人击中目标的概率是( )A.0.49B.0.42C.0.7D.0.91【解析】选B.由题意可知,两人恰有1人击中目标有两种情况:甲击中乙没击中或甲没击中乙击中,设“恰有1人击中目标”为事件A,则P(A)=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7=0.42.【补偿训练】打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.记“甲中靶”为事件A;“乙中靶”为事件B;“甲、乙同时中靶”为事件C.则P(C)=P(A·B)=P(A)·P(B)=×=.3.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 ( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B独立D.事件A与B既互斥又独立【解析】选C.因为P()=,所以P(A)=,又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B独立但不一定互斥.4.某校高一新生军训期间,经过两天的打靶训练,甲击中目标的概率为,乙击中目标的概率为(甲、乙两人射击是否击中目标相互不影响),甲、乙两人同时射击一目标且各射击一次,目标被击中的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.目标被击中的对立事件是两人都没击中,其概率为P=×=,所以目标被击中的概率为1-=.5.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( )A. B. C. D.【解题指南】“事件A,B中至少有一件发生”的对立事件是“事件A,B一个都不发生”,可据此用正难则反的方法计算所求概率.【解析】选C.根据题意,“事件A,B中至少有一件发生”与“事件A,B一个都不发生”互为对立事件,由古典概型的计算方法,可得P(A)=,P(B)=, 则P()==.则“事件A,B中至少有一件发生”的概率为1-=.【补偿训练】端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选B.因为甲、乙、丙回老家过节的概率分别为,,.所以他们不回老家过节的概率分别为,,.“至少有1人回老家过节”的对立事件是“没有人回老家过节”,所以至少有1人回老家过节的概率为P=1-××= .二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均向上的概率为,则抛掷这枚硬币三次,恰有两次正面向上的概率为__________.【解析】设抛掷这枚硬币一次,正面向上的概率为P.依题意P3=,所以P=.抛掷这枚硬币三次,恰有两次正面向上,一次正面向下的概率P=3×××=答案:7.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是__________.【解析】方法一:甲闹钟没准时响的概率为0.2,乙闹钟没准时响的概率为0.1,两闹钟同时没准时响的概率为0.2×0.1=0.02,故所求概率为1-0.02=0.98.方法二:两个闹钟至少有一个准时响有三种情况:甲准时响而乙没准时响,其概率为0.80×(1-0.90)=0.08;乙准时响而甲没准时响,其概率是(1-0.80)×0.90=0.18;甲、乙都准时响,其概率为0.80×0.90=0.72,故两个闹钟至少有一个准时响的概率为0.08+0.18+0.72=0.98.答案:0.988.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为,则灯亮的概率为__________.【解析】因为A,B断开且C,D至少有一个断开时,线路才断开,导致灯不亮,所以灯不亮的概率为P=P()·[1-P(CD)]=P()·P()·[1-P(CD)]=××=.所以灯亮的概率为1-=.答案:【拓展延伸】系统可靠性问题的求解策略由于该类问题常常与物理知识相联系,在考查知识纵向联系的同时,重点考查事件独立性的综合应用.求解时可先从系统的构造出发,分析所给的系统是单纯的串(并)联还是串并联混合体结构.(1)直接法:把所求的事件分成若干个互斥事件之和,根据互斥事件的概率公式求解.(2)间接法:当所涉及的事件较多,而其对立事件所涉及的事件较少时,可根据对立事件的概率公式求解.三、解答题(每小题10分,共20分)9.一个袋子中有4个球,其中2个白球,2个红球,讨论下列A,B事件的相互独立性与互斥性.(1)A:取一个球为红球,B:取出的红球放回后,再从中取一球为白球.(2)从袋中取2个球,A:取出的两球为一白球一红球;B:取出的两球中至少一个白球.【解析】(1)由于取出的红球放回,故事件A与B的发生互不影响,因此A与B相互独立.A,B能同时发生,不是互斥事件.(2)设两个白球为a,b,两个红球为1,2,则从袋中取2个球的所有取法为{a,b},{a,1},{a,2},{b,1},{b,2},{1,2}.则P(A)==,P(B)=,P(AB)=,因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互独立事件,事件A,B能同时发生,不是互斥事件.10.甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分(不计和棋),比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p(p>0.5),且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.若框图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S,T的程序框图.其中,如果甲获胜则输入a=1,b=0;如果乙获胜,则输入a=0,b=1.(1)在图中,第一、第二两个判断框应分别填写什么条件?(2)求p的值.(3)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列.【解析】(1)程序框图中的第一个条件框应填M=2,第二个应填n=6.(答案不唯一.如:第一个条件框填M>1,第二个条件框填n>5,或者第一、第二条件互换都可以).(2)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以有p2+(1-p)2=.解得p=或p=.因为p>0.5,所以p=.(3)依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)=·1=.所以随机变量ξ的分布列为:ξ 2 4 6P 592081一、选择题(每小题5分,共10分)1.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) ( )A. B. C. D.【解析】选D.设体型合格为事件A,身体关节构造合格为事件B,A与B为独立事件,且P(A)=,P(B)=,所以两项中至少一项合格的概率为P=1-P()=1-P()·P()=1-×=.2.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图,假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是( )A. B. C. D.【解题指南】根据条件先求出顺时针和逆时针跳的概率,然后根据跳3次回到A,则应满足3次逆时针或者3次顺时针,根据相互独立事件的概率公式即可得到结论.【解析】选A.设按照顺时针方向跳的概率为P,则逆时针方向跳的概率是2P,则P+2P=1,解得P=,所以按照顺时针方向跳的概率为,逆时针方向跳的概率是.若青蛙在A叶上,跳3次后停在A叶上,则满足3次逆时针或者3次顺时针,①若先按逆时针开始从A→B→C→A,则对应的概率为××=,②若先按顺时针开始从A→C→B→A,则对应的概率为××=,则概率为+==.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=__________.【解析】依题意得解得P(A)=,P(B)=.所以P(B)=×= .答案:4.(2018·沈阳高二检测)在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为__________.【解析】由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为,,.在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为××=.答案:【补偿训练】有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为__________,问题得到解决的概率为__________.【解析】都未解决的概率为=×=.问题得到解决就是至少有1人能解决问题,所以P=1-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题,规则如下:①每位参加者记分器的初始分均为10分,答对问题A,B,C,D分别加1分,2分,3分,6分,答错任一题减2分;②每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;③每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答,直到答题结束.假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为,,,,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率.(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列.【解析】(1)设事件A为:甲同学进入下一轮.事件B i为:甲同学答对了第i题,为:甲同学答错了第i题,则P(A)=P(B1B2B3)+P(B1B2B4)+P(B1B3B4)+P(B2B4)+P(B2B3B4)=.(2)ξ的所有可能取值为:2,3,4P(ξ=2)=P()=,P(ξ=3)=P(B1B2B3)+P(B1)=.P(ξ=4)=1--=.ξ的分布列为:ξ 2 3 4P 1838126.(2018·牡丹江高二检测)某城市实施了机动车尾号限行,该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁)[15,25) [25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4(1)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值.(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.(3)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷,记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数,求使概率P(η=k)取得最大值的整数k.【解析】(1)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为:×100%=64%.被调查者年龄的平均约为:=43.(2)依题意得:ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)=×=×==15,P(ξ=1)=×+×=×+×=, P(ξ=2)=×+×=×+×=, P(ξ=3)=×=×=,所以ξ的分布列是:ξ0 1 2 3P 1534752275475(3)因为P(η=k)=,其中k=2,3,4, (20)所以==,当≥1,即k≤12+时,P(η=k+1)≥P(η=k); 当<1,即k>12+时,P(η=k+1)<P(η=k).即P(η=2)<P(η=3)<P(η=4)<…<P(η=13);P(η=13)>P(η=14)>P(η=15)>…>P(η=20).故有:P(η=k)取得最大值时k=13.。

2021年4月高二数学概率测试题单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明一、选择题〔每一小题5分，一共40分〕1．从6名选手中，选取4个人参加奥林匹克竞赛，其中某甲被选中的概率是[ ]A、13B、12C、23D、352．在100张奖券中，有4 张中奖，从中任取两张，那么两张都中奖的概率是[ ]A、150B、125C、1825D、149503．箱中有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，假设取出黑球，那么放回箱中，重新取球；假设取出白球，那么停顿取球，那么在第四次取球之后停顿的概率为〔〕A.C35·C14C45B.(59)3×(49) C.35×14D.C14(59)3×(49)4．某射手命中目的的概率为P，那么在三次射击中至少有1次未命中目的的概率为〔〕A、P3B、(1—P)3C、1—P3D、1—(1-P)35．种植某种树苗，成活率为0.9，假设种植这种树苗5棵，那么恰好成活4棵的概率是[ ]B、6．一射手对同一目的HY地射击四次，至少命中一次的概率为8081，那么此射手每次击中的概率是[ ]A、13 B、23C、14D、257．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自HY工作,那么在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是( ) 1536.0.A1808.0.B5632.0.C9728.0.D8．在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，那么经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率〔 〕A.51 B.154 C.52 D.1514 二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕9．将一枚硬币连掷三次，出现“2个正面，1 个反面〞的概率是__________；出现“1个正面、2个反面〞的概率是___________。

10．某自然保护区内有n 只大熊猫，从中捕捉t 只体检并加上标志再放回保护区，1年后再从这个保护区内捕捉m 只大熊猫〔设该区内大熊猫总数不变〕那么其中有s 只大熊猫是第2次承受体检的概率是 。

高二数学同步检测十五随机事件的概率说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1．下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实数根；③下周日北京会下雨；④某寻呼台每天的某一段时间内收到的传呼的次数少于10次；⑤将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面．其中随机事件的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C 解析：①为必然事件；②是不可能事件；③④⑤为随机事件，故选C. 2．掷一枚质地均匀的硬币4次，则一次正面向上的概率是 A.116 B.14 C.12 D.1516答案：B 解析：每掷一次有2种结果，因此基本事件总数为24，而一次正面向上可能出现在4次中的某一次，共有4种情况，故P ＝424＝14，故选B.3．一个口袋内装有大小相同的7个白球和3个黑球，从中任意摸取2个，得到1个白球和1个黑球的概率是A.29B.730C.715D.815答案：C 解析：基本事件的总数为C 210，取出1个白球和1个黑球有C 17C 13种．故P ＝C 17C 13C 210＝715.故选C. 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率是A.29B.14C.736D.16答案：A 解析：共有6×6＝36个点，在圆x 2＋y 2＝16内的是(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(1,3)，(3,1)8个点，故P ＝836＝29.5．从分别标有数字1,2,3，…，9的9张卡片中任意取出2张，则两数之和为偶数的概率是A.59B.13C.12D.49答案：D 解析：基本事件总数为C 29，而“两数之和为偶数”的事件个数为C 25＋C 24个，故P ＝C 25＋C 24C 29＝49，故选D. 6．10个人站成一排，其中甲，乙，丙三人恰好都不相邻的概率为 A.715 B.815 C.1120 D.730答案：A 解析：10个人站成一排共有A 1010种站法，而甲，乙，丙恰好都不相邻用插空法共有A 77·A 38种站法，故P ＝A 77·A 38A 1010＝715.故选A.7．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为A.12B.712C.411D.311答案：D 解析：从正方体的12条棱中任取2条共有m ＝C 212种方法，且这12条棱共可分成3组，每组4条平行线，所以相互平行的棱共有n ＝3C 24对，故P ＝n m ＝311. 8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品 答案：D 解析：从5件中任取2件，共有C 25＝10种取法，而2件二等品或一等品与二等品各1件为C 22＋C 13C 12＝7，即P ＝710.故选D. 9．从5名乒乓球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙前出场的概率为 A.310 B.110 C.320 D.120答案：C 解析：基本事件总数为A 35＝60，而甲在乙前说明甲，乙必入选，所以共有A 33A 132＝9种，故P ＝960＝320，选C.10．(2009辽宁高考，文8)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8答案：B 解析：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．11．在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________．答案：.45解析：如图，从5个点中任取3个共有C 35种，而由于A ，C ，E 与D ，C ，B 分别三点共线，故能构成三角形的有C 35－2种，故P ＝C 35－2C 35＝45.12．一年以365天计，甲，乙，丙三人中恰有两人在同一天过生日的概率为________．答案：1 0923652 解析：三个人的生日共有3653种，而恰有两人生日同天共有C 23×365×364种，故得P ＝C 23×365×3643653＝1 0923652.13．将4个不同的球随机放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率为________．答案：916解析：基本事件总数为n ＝44，而恰有1个空盒可分步进行，(1)从4个盒子中任取1个有C 14种，(2)从4个球中任取2个有C 24种，把2球放入所选盒子，(3)剩余2球随机放入3个盒子共有A 23种，故P ＝C 14C 24A 2344＝916. 14．从6双规格相同，颜色不同的手套中任取4只，恰好有两只成双的概率为________．答案：1633 解析：因为n ＝C 412，m ＝C 16(C 25C 12C 12)＝40C 16，所以P ＝m n ＝40C 16C 412＝1633.三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题8分)某班主任对全班50名学生进行了“作业量多或少”的调查，数据如下表：(1)认为作业多；(2)喜欢上网并认为作业不多．解：(1)因为全班共50名学生，而认为作业多的有26名学生，故随机地问这个班的一名学生，认为作业多的概率P 1＝2656＝0.52.(2)因为喜欢上网并且认为作业不多的学生共有9人，故P 2＝950＝0.18.16.(本小题8分)从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，求： (1)所选3人都是男生的概率；(2)所选3人恰有1名女生的概率；(3)所选3人中至多有1名女生的概率．解：基本事件的总数为C 36＝20.(1)所选3人都是男生的事件数为C 34＝4，故P ＝420＝15； (2)所选3人恰有1名女生的事件数为C 24C 12＝12，故P ＝1220＝35； (3)所选3人中至多1名女生即3人都是男生或恰有1名女生，故由(1)(2)得P ＝15＋35＝45.17．(本小题8分)从6女4男中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率为45，每位男同学能通过测验的概率为35，试求： (1)选出的3位同学中至少有1位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲与男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解：(1)选出的3位同学中至少有1位男同学的种数，即事件总数减去3人都是女同学的种数，即：C 310－C 36，故P ＝C 310－C 36C 310＝56. (2)甲、乙被选中且能通过测验的概率为C 18C 310×45×35＝4125.18．(本小题10分)箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取后不放回，问：(1)取出的3个全是正品的概率是多少？(2)若改为“有放回抽取”呢？解：(1)从a ＋b 个产品中不放回抽取有顺序，共有A 3a ＋b 种方法，从a 个正品中不放回抽取3次有顺序，共有A 3a 种不同抽法，所以取出3个正品的概率为P ＝A 3a A 3a ＋b.(2)从a ＋b 个产品中有放回的抽取3个，每次都有a ＋b 种取法，所以共有(a ＋b)3种不同的取法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，故3个全是正品的概率P ＝a 3(a ＋b)3.19．(本小题10分)8支篮球队，先任意将这8支队平均分成两组进行比赛，求： (1)两个强队被分在同一组比赛的概率；(2)两个强队被分在不同组比赛的概率．解：(1)将8个队平均分成两组，共有C 48种分法，要使两个强队同在一组，可先限定它们都在第1组或第2组，有C 12种分法，再从其余6个队中任选2队加入两个强队所在组，有C 26种分法，余下4队自成另一组，故有分法C 12C 26种，故所求概率为P ＝C 12C 26C 48＝37.(2)将8个队平均分成两组，共有12C 48种分法，而两支强队分开的方法有12C 12C 36种，故所求概率为P ＝12C 12C 3612C 48＝47.。

高二数学独立重复试验某事件发生的概率试题答案及解析1.实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是2/3，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于A．B．C．D．【答案】B【解析】实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:,故选B.【考点】独立事件概率计算.2.设随机变量，则________．【答案】．【解析】由随机变量，利用二项分布的概率计算公式能求出．【考点】二项分布与次独立重复试验的模型．3.设随机变量，则________．【答案】.【解析】由随机变量，利用二项分布的概率计算公式能求出．【考点】二项分布与次独立重复试验的模型．4.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误A．①B．①③C．③D．②【答案】C【解析】解：若，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，不表示有的可能患有肺病，也不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故①不正确．也不表示某人吸烟，那么他有的可能患有肺病，故②不正确，若从统计量中求出有是吸烟与患肺病的比例，表示有的可能性使得推断出现错误，故③正确．【考点】独立性检验5.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差．【答案】（1）（2）（3）【解析】解：(1)P＝2×＝.4种，(2)6场胜3场的情况有C6∴P＝C333＝20××＝.6(3)由于X服从二项分布，即X～B，∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.6.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．【答案】X的分布列为【解析】解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，即X～B，k k5－k，k＝0,1,2,3,4,5，即有P(X＝k)＝C5从而X的分布列为X0123457.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．【答案】【解析】甲三胜一负即前3次中有2次胜1次负，而第4次胜，∴P＝C22··＝，3∴甲三胜一负而结束的概率为.8.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（1）乙至少击中目标2次的概率；（2）乙恰好比甲多击中目标2次的概率【答案】（1）（2）【解析】解：（1）乙至少击中目标2次的概率为（2）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，包含以下2个互斥事件：乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次B1P（B1）＝B2：乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次，P（B2）＝则P（A）=P（B1）+P（B2）所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为【考点】独立重复试验点评：独立重复试验的概率的求法：一般地，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率。

高二数学统计与概率试题1.某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】略2.（本小题满分12分）现有三人被派去各自独立地解答一道数学问题，已知三人各自解答出的问题概率分别为，，，且他们是否解答出问题互不影响．（Ⅰ）求恰有二人解答出问题的概率；（Ⅱ）求“问题被解答”与“问题未被解答”的概率．【答案】（１）；（２）【解析】记“第i个人解答出问题”为事件Ai（i＝1，2，3），依题意有…………1分P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，且A1，A2，A3相互独立．…………4分（Ⅰ）设“恰好二人解答出问题”为事件B，则有B＝A1A2＋A1A3＋A2A3，且A1A2、A1A3、A2A3彼此互斥于是P（B）＝P（A1A2）＋P（A1A3）＋P（A2A3）＝××＋××＋××＝．答：恰好二人解答出问题的概率为．…………6分20090318（Ⅱ）设“ 问题被解答”为事件C，“问题未被解答”为事件 D． D＝··，且、、相互独立，则P（D）＝P（）·P（）·P（）＝××＝．而P（C）＝1－P（D）＝…………12分3.某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有（）种安排方法A．8B．6C．14D．48【答案】C【解析】根据分类计数的原理：共种方法．【考点】分类计数原理4.（本小题满分10分）某地区100位居民的人均月用水量（单位：t）的频率分布直方图及频数分布表如下：分组频数（1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数与平均数；（2）当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府解释说，85%以上的居民不超出这个标准，这个解释对吗？为什么？【答案】（1）这组数据的众数为2．25，平均数为2．02．（2）政府的解释是正确的，原因详见解析．【解析】（1）众数是出现次数最多的数，从频率分布直方图知，条形图最高的一组的组中值．（2）从频率分布直方图或频率分布表可知，大约有88%的居民月用水量在3t以下，所以政府解释正确．试题解析：由图知，这组数据的众数为2．25，平均数为．（2）人均月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%，即大约是有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的．【考点】频率分布直方图及频率分布表的应用．5.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是．【答案】【解析】因为2人中谁担任正副班长有区别，所以需要排列．没有女生选中的概率为，则至少有1名女生当选的概率为．【考点】排列组合的应用．6.从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个次品C．3个都是次品D．至少有1个正品【答案】D【解析】，必然事件是一定会发生的时间，12件产品中只有2个次品，因此抽取3个时至少有一个正品，因此D是必然事件【考点】必然事件7.已知关于的一元二次函数．（1）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率；（2）设点是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，函数在区间上是增函数，所以只需函数对称轴，然后写出所有的基本事件，找出满足的基本事件，分别计算其个数，再利用古典概型的概率公式可得函数在区间上是增函数的概率；（2）（，）是区域内的随机点，由（1）知（，）满足且时，函数在区间上是增函数，所以满足条件的点应在区域内，因此这是几何概型问题，分别求这两个区域的面积，通过面积比可得所求概率．试题解析：（1）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且，若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为．（2）由（1）知当且仅当且>0时，函数在区间上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分．由∴所求事件的概率为．【考点】1、古典概型；2、几何概型．【方法点晴】本题主要考查的是古典概型和几何概型，属于中档题．解题时一定要分清问题是古典概型还是几何概型，对于古典概型通过列出所有基本事件数出基本事件个数或通过分析得到基本事件个数，然后确定满足所求条件的基本事件个数，利用求解；几何概型要分清基本事件空间区域的度量是长度、面积、体积，然后分别求出对应的度量利用计算，本题涉及到了线性区域面积的计算是难点．8.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．【答案】8【解析】∵高一年级有名学生，在高一年级的学生中抽取了名，∴每个个体被抽到的概率是∵高二年级有名学生，∴要抽取学生，故答案为：．【考点】分层抽样．9.某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4．75和5．35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，…，第6组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人数；（3）在这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为，求的数学期望．参考数据：若～N（， 2），则 0．6826，，【答案】（1）；（2）人；（3）．【解析】（1）利用组中值频率，即可得到结论；（2）首先理解频率分布直方图横纵坐标表示的意义，恒坐标表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数，可以以及频率分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这名队员视力在以上的人数；（3）先根据正态分布的规律求出全市前名视力在以上，这人中以上的有人，确定变量的取值，求出概率，即可得到变量的期望．试题解析：（1）由频率分布直方图知，该校特色足球队人员平均视力为4．80．1+4．90．2+5．00．3+5．10．2+5．20．1+5．30．1=5．03高于全省喜爱足球的高中生的平均值5．01． 4分（2）由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5．15以上（含5．15），其频率为0．2，人数为0．250=10，即这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人数为10人． 6分⑶，即，，．所以全省喜爱足球的高中生中前130名的视力在5．25以上．这50人中视力在5．25以上的有0．150=5人，这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人分为两部分:5人在5．25以上，5人在5．155．25．随机变量可取0，1，2，于是，，．．【考点】正态分布曲线的特点及曲线表示意义；离散型随机变量的分布列及期望，10.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】（1）由分步计数原理知这个过程一共有8个结果，按照一定的顺序列举出所有的事件，顺序可以是按照红球的个数由多变少变化，这样可以做到不重不漏．（2）本题是一个等可能事件的概率，由前面可知试验发生的所有事件数，而满足条件的事件包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），根据古典概型公式得到结果．解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3由（I）可知，基本事件总数为8，∴事件A的概率为【考点】等可能事件的概率；随机事件．11.某校高二年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．【答案】25【解析】设应抽取的男生人数为为，所以有，应抽取25人【考点】分层抽样12.某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题计结果如下图表所示：（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【答案】（1）；（2），，；（3）.【解析】（1）先由第一组求出的值，再结合图表及频率分布直方图就可以求出的值；（2）根据（1）中求出的各组人数，按照分层抽样的方法就可求出各组应抽取的人数；（3）先列出从人中随机抽取人的总抽取方法，再列出所抽取的人中第二组至少有人的抽取方法数，即可求出所得的概率.试题解析：（1）由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为，再结合频率分布直方图可知，，，，（2）第二，三，四组中回答正确的共有人，所以利用分层抽样在人中抽取人，每组分别抽取的人数为：第二组：人，第三组：人，第四组：人.（3）设第二组的人为，第三组的人为，第四组的人为，则从人中抽人所有可能的结果有：共个基本事件，其中第二组至少有一人被抽中的有这个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为.【考点】1、频率分布表及直方图；2、分层抽样；3、古典概型.13.下列说法错误的是（）A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大【答案】B【解析】平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但是一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据．解：对于A：总体：考察对象的全体，故A对；对于C：在统计里，一组数据的集中趋势可以用平均数、众数与中位数，故C对．∵平均数不大于最大值，不小于最小值．比如：1、2、3的平均数是2，它小于3．故B不对；∵从方差角度看，方差最小，成绩较稳定．故D正确．故选B．【考点】分布的意义和作用；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．14.从学号为～的高一某班名学生中随机选取名同学参加体育测试，采用系统抽样的方法，则所选名学生的学号可能是A．B．C．D．【答案】B【解析】系统抽样时每组10名学生，因此抽取的编号构成以10为公差的等差数列，因此B正确【考点】系统抽样15.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【答案】【解析】所求概率为【考点】古典概型概率16.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相同），用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，的值为B．线性相关关系较强，的值为C．线性相关关系较强，的值为D．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】由散点图可知，点的分布比较集中在一条直线附近，所以语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有点都在直线的下文，所以回归直线的斜率小于，故结论最大的可能成立的是B.【考点】散点图.17.组合数恒等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故选D.【考点】组合数的运算.18.设，则等于（）A．1.6B．3.2C．6.4D．12.8【答案】C【解析】由于满足二项分布,所以,故.【考点】二项分布的均值与方差.19.掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差的分布列，并求其均值和方差．【答案】.【解析】设正面个数为，反面个数为，，故，，，，，由此,列出分布列,并利用期望和方差公式,计算得.试题解析：解：的可能取值为-3,-1,1,3，且，，因此，的分布列为因此，【考点】离散型随机变量的期望与方差.【方法点晴】若离散型随机变量的分布列为称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差.20.将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】根据条件概率的函数，的含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个点”的情况数目为，“三个点数都不相同”则只有一个点，共有种，；其含义是在在发生的情况下，发生的概率，即“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个点”的概率，所以，故选A．【考点】条件概率．【方法点晴】本题主要考查了条件概率的计算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力与转化与化归思想的应用，其中明确条件概率的基本含义是解答的关键，属于中档试题，本题的解答中，根据条件概率的函数，的含义为在发生的情况下，发生的概率，其含义是在在发生的情况下，发生的概率是解得的关键．21.一个口袋中装有形状大小均相同的6个红球和4个白球，从中不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】第一次摸出红球后，剩下9个球，其中有5个红球，因此从中摸出一个红球概率为．故选D．【考点】条件概率．22.已知x、y的取值如下表所示：如果与呈线性相关，且线性回归方程为，则（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由表格数据可知，中心点坐标为，代入回归方程得【考点】回归方程23.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.【答案】【解析】当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.【考点】排列组合【方法点睛】本题主要考察了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.24.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求的值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．【解析】（1）由频率分布直方图知，所有小矩形面积（频率）之和为1，可求得；（2）由统计的知识，可知小球重量在内的概率为，因此随机变量，利用二项分布概率公式可计算出所有概率，从而得概率分布表，再由期望公式可计算期望．试题解析：（1）由题意，得，解得；（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则.的可能取值为、、、，，，，.的分布列为：.（或者）．【考点】频率分布直方图，随机变量频率分布列，数学期望．25.甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．【答案】【解析】设“甲获胜”为事件A，则,则甲以的比分获胜的概率：，故选A．【考点】n次独立试验．26.NBA决赛期间，某高校对学生是否收看直播进行调查，将得到的数据绘成如下的2×2列联表，但部分字迹不清：将表格填写完整，试说明是否收看直播与性别是否有关？附：P 0．150．100．050．0250．0100．0050．001【答案】有99%的把握认为是否收看直播与性别有关【解析】根据所给数据得到列联表，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论试题解析：；所以有99%的把握认为是否收看直播与性别有关，【考点】独立性检验的应用27.事件在四次独立重复试验中事件出现的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件在一次试验中出现的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设事件A在一次试验中发生的概率为p，根据相互独立事件的概率可知，【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率28.已知在四棱锥中，底面，底面是正方形，，在该四棱锥内部或表面任取一点，则三棱锥的体积不小于的概率为______.【答案】【解析】由题意得，如图，的中点分别为，当点在几何体内部或表面上时，.在几何体中，连接，则，又，则所求概率为.【考点】1.线面垂直的性质；2.锥体体积；3.几何概型.【方法点睛】本题主要考查的是线面垂直的性质,锥体体积,几何概型，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，对于本题而言，主要考查的是利用几何概型求概率，很显然是要求出的体积，然后求出三棱锥的体积不小于时，的面积，两个值相除，即可得到概率值，因此此类问题主要分析清楚问题要求的具体量是什么，多理解题意是解决此类问题的关键.29.的展开式中的系数为．（用数字作答）【答案】【解析】由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.30.为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某农科所记录了5组昼夜温差与100颗种子发芽数，得到如下资料：组号12345温差（）发芽数（颗）该所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求出线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是第1组与第5组的两组数据，请根据第2组至第4组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）【答案】（1）；（2）（1）中所得的回归直线方程可靠．【解析】（1）根据表中的数据，利用公式计算成的值，在利用公式求得和的值，即可求解回归直线方程；（2）分别计算当时和时对应的，可通过比较得到结论．试题解析：（1）由题意：，，．，故回归直线方程为：．（2）当时，，，当时，，，∴（1）中所得的回归直线方程可靠．【考点】回归直线方程的求解及应用．【方法点晴】本题主要考查了统计的应用问题，其中解答中涉及到回归直线方程的求解、最小二乘法的应用、以及回归直线方程的应用等知识点的综合考查，试题比较基础，但运算量较大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中准确预算是解答本题的关键．31.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如右表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额大约为（）万元A．63.6B．65.5C．67.7D．72.0【答案】B【解析】由题意得，，又因为，即，把点代入回归直线方程，得，解得，即回归直线方程为，当时，解得，故选B.【考点】回归直线方程的应用.32.某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表.组号分组频数频率（1）求、、的值；（2）若从第三、四、五组中用分层抽样方法抽取名学生，并在这名学生中随机抽取名学生与张老师面谈，求第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率.【答案】（1），，；（2）.【解析】（1）依题意，得，，，即可求解、、的值；（2）由第三、四、五组共有名学生，用分层抽样的方法抽取名学生，则第三、四、五组的人数，设出第三组的名学生记为、、，第四组的名学生记为、，第五组的名学生记为，即可利用古典概型求解其概率.试题解析：（1）依题意，得，，，解得，，；（2）因为第三、四、五组共有名学生，用分层抽样的方法抽取名学生，则第三、四、五组分别抽取名，名，名.第三组的名学生记为、、，第四组的名学生记为、，第五组的名学生记为，则从名学生中随机抽取名，共有种不同取法，具体如下：，，，，，，，，，，，，，，，其中第三组的名学生、、没有一名学生被抽取的情况有种，具体如下：、、，故第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率为.【考点】分层抽样；古典概型及其概率的计算.33.某商场要从化为手机、、、、5种型号中，选出3种型号的手机进行促销活动，则在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设事件为“型号被选中”，事件为“型号被选中”.,,.【考点】条件概率.34.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200,20B．100,20C．200,10D．100,10【答案】A【解析】试题分析:因,故,应选A.【考点】分层抽样的特点.35.已知集合Z＝{(x，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}.(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率.【答案】(1) (2)【解析】（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率；（2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率试题解析：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个.其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝.故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分.∴P(B)＝＝＝＝，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为.【考点】几何概型中的面积类型和古典概型36.某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：分数分组[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]（1）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）；（2）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：文理失分概念问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？（本题可以参考独立性检验临界值表：）（参考公式：，其中.【答案】（1）（2）没有90%的把握【解析】（1）利用组中值与对应频数乘积的和计算总分，再除以总人数得平均数；先根据分成抽样确定理科总人数，样本中理科考生有人及格，所以估计有，（2）先将数据代入参考公式得，再比较数据确定是否有90%把握.试题解析：（1）∵∴估计文科数学平均分为.∴理科考生有人及格.（2），故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关.37.已知的取值如图所示，若与线性相关，且线性回归方程为x123，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,选D.38.若…，则____【答案】【解析】令得39.为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出。