高考数学试题卷(附答案)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x ∣∣，则M N （）A.{21}x x ∣B.{21}x x ∣C.{2}xx ∣ D.{1}xx ∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是( ，则z 的共轭复数z （）A.1B.1C.1D.13.已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b rrrr，则22||||a b rr（）A.2B.1C.0D.14.下列函数中，在区间(0,) 上单调递增的是（）A.()ln f x x B.1()2xf xC.1()f x xD.|1|()3x f x 5.512x x的展开式中x 的系数为（）．A.80B.40C.40D.806.已知抛物线2:8C y x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x 的距离为5，则||MF （）A.7B.6C.5D.47.在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，则C （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π68.若0xy ，则“0x y ”是“2y xx y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列 n a 满足 31166(1,2,3,)4n n a a n，则（）A.当13a 时， n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M 恒成立B.当15a 时， n a 为递增数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立C.当17a 时， n a 为递减数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立D.当19a 时， n a 为递增数列，且存在常数0M ，使得n a M 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x ，则12f____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0) 和(2,0)，离心率为，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若, 为第一象限角，且 ，则tan tan ．能说明p 为假命题的一组, 的值为 __________， _________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ，则7a ___________；数列 n a 所有项的和为____________．15.设0a，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a ，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a 上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设 111222,,,M x f x xa N x f x x a ，则||1MN ；④设 333444,,,P x f x xa Q x f x x a ．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面ABC ，1PA AB BC PC，．（1）求证：BC 平面PAB ；（2）求二面角A PC B 的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x．（1）若(0)2f，求 的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33上单调递增，2π13f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求, 的值．条件①：π3f；条件②：π13f；条件③：()f x 在区间ππ,23上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b 的离心率为3，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x ，曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x ．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x ，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列 ,n n a b 的项数均为m (2)m ，且,{1,2,,},n n a b m L ,n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ．对于 0,1,2,,k m L ，定义max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m L ∣，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ，且112,1,2,,1,j j j r r r j m L ，求n r ；（3）证明：存在 ,,,0,1,2,,p q s t m L ，满足,,p q s t 使得t p sq A B A B ．参考答案【1题答案】A 【2题答案】D 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】D 【7题答案】B 【8题答案】C 【9题答案】C 【10题答案】B 【11题答案】1【12题答案】22122x y 【13题答案】9π4π3【14题答案】48384【15题答案】②③【16题答案】（1）证明略（2）π3【17题答案】（1）π3.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1 ，π6.【18题答案】（1）0.4（2）0.168（3）不变【19题答案】（1）22194x y （2）证明略【20题答案】（1）1,1a b（2）略（3）3个【21题答案】（1）00r ，11r ，22r ，33r （2）,n r n n N （3）证明略。

全国统一高考数学试卷（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．24．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+25．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa28．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD 的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E 相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．全国统一高考数学试卷（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题．4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S=4πR2=6πa2．球故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的①②③⑤（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=2+．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为AC=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年高考数学全国一卷试卷及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集{}54321，，，，=U ，集合{}41，=M ，{}52，=N ，则=⋃M C N U （）A .{}5,3,2B .{}431，，C .{}5,4,2,1D .{}5,4,3,22.()()()=-++i i i 22153（）A .1-B .1C .i -1D .i+13.已知向量()1,3=a ，()2,2=b ，则=-+b a b a ,cos （）A .171B .1717C .55D .5524.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A .61B .31C .21D .325.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1062=+a a ，4584=a a ，则=5S （）A .25B .22C .20D .156.执行右边的程序框图，则输出的=B （）A .21B .34C .55D .897.设21,F F 为椭圆1522=+y x C ：的两个焦点，点P 在C 上，若021=⋅PF PF ，则=⋅21PF PF （）A .1B .2C .4D .58.曲线1+=x e y x 在点⎪⎭⎫⎝⎛21e ，处的切线方程为（）A .x e y 4=B .x ey 2=C .44ex e y +=D .432ex e y +=9.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，C 的一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .55B .552C .553D .55410.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，2==PB P A ，6=PC ，则该棱锥的体积为（）A .1B .3C .2D .311.已知函数()()21--=x ex f .记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22f a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23f b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26f c ，则（）A .a c b >>B .c a b >>C .ab c >>D .b a c >>12.函数()x f y =的图象由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 的图象向左平移6π个单位长度，则()x f y =的图象与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3678S S =，则{}n a 的公比为.14.若()()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x x f 为偶函数，则=a .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为.16.在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，O 为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若集合{|4}M x =<，{|31}N x x =，则(M N = )A ．{|02}x x <B ．1{|2}3x x <C ．{|316}x x <D ．1{|16}3x x <2．（5分）若(1)1i z -=，则(z z +=)A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（5分）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n = ，则(CB = )A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为2.65)(≈)A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A ．16B ．13C ．12D ．236．（5分）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(2π，2)中心对称，则()(2f π=)A ．1B ．32C ．52D ．37．（5分）设0.10.1a e =，19b =，0.9c ln =-，则()A ．a b c<<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l ，则该正四棱锥体积的取值范围是()A ．[18，81]4B ．27[4，81]4C ．27[4，64]3D ．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。

（）3. 任何两个实数的和都是实数。

（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。

（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。

2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。

3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。

4. 三角形内角和为______。

5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。

2. 什么是排列组合？请举例说明。

3. 请写出余弦定理的公式。

4. 简述概率的基本性质。

5. 举例说明平面向量的线性运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。

2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合M ={x|√x <4}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =( )A. {x|0≤x <2}B. {x|13≤x <2}C. {x|3≤x <16}D. {x|13≤x <16}2. 若i(1−z)=1，则z +z −=( )A. −2B. −1C. 1D. 23. 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3m⃗⃗⃗ −2n ⃗ B. −2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ C. 3m⃗⃗⃗ +2n ⃗ D. 2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(√7≈2.65)( )A. 1.0×109m 3B. 1.2×109m 3C. 1.4×109m 3D. 1.6×109m 35. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 236. 记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T <π，且y =f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=( )A. 1B. 32C. 52D. 37. 设a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A. [18,814]B. [274,814]C. [274,643]D. [18,27]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则()A. 直线BC1与DA1所成的角为90°B. 直线BC1与CA1所成的角为90°C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45°10.已知函数f(x)=x3−x+1，则()A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则()A. C的准线为y=−1B. 直线AB与C相切C. |OP|⋅|OQ|>|OA|2D. |BP|⋅|BQ|>|BA|212.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x).若f(32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则()A. f(0)=0B. g(−12)=0 C. f(−1)=f(4) D. g(−1)=g(2)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．14.写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程______．15.若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=1，{S na n}是公差为13的等差数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．18. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B ．(1)若C =2π3，求B ；(2)求a 2+b 2c 2的最小值．19. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，△A 1BC 的面积为2√2．(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1=AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A −BD −C 的正弦值．20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B −|A)与P(B|A −)P(B −|A −)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ． (ⅰ)证明：R =P(A|B)P(A −|B)⋅P(A −|B −)P(A|B −)；(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B −)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82821.已知点A(2,1)在双曲线C：x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．答案解析1.【答案】D【解析】解：由√x <4，得0≤x <16，∴M ={x|√x <4}={x|0≤x <16}， 由3x ≥1，得x ≥13，∴N ={x|3x ≥1}={x|x ≥13}， ∴M ∩N ={x|0≤x <16}∩{x|x ≥13}={x|13≤x <16}． 故选：D ．分别求解不等式化简M 与N ，再由交集运算得答案． 本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由i(1−z)=1，得1−z =1i =−i−i 2=−i ， ∴z =1+i ，则z −=1−i ， ∴z +z −=1+i +1−i =2． 故选：D ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z −，再求出z +z −． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：如图，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ． 故选：B ．直接利用平面向量的线性运算可得12CB⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而得解．本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：140km2=140×106m2，180km2=180×106m2，根据题意，增加的水量约为140×106+180×106+√140×106×180×1063×(157.5−148.5)=(140+180+60√7)×1063×9≈(320+60×2.65)×106×3=1437×106≈1.4×109m3.故选：C．先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有C72=21种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为1421=23．故选：D．先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T，则T=2πω，由2π3<T<π，得2π3<2πω<π，∴2<ω<3，∵y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，∴b=2，且sin(3π2ω+π4)=0，则3π2ω+π4=kπ，k∈Z．∴ω=23(k−14)，k∈Z，取k=4，可得ω=52．∴f(x)=sin(52x+π4)+2，则f(π2)=sin(52×π2+π4)+2=−1+2=1．故选：A．由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f(π2)可求．本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：构造函数f(x)=lnx+1x，x>0，则f′(x)=1x −1x2，x>0，当f′(x)=0时，x=1，0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=1处取最小值f(1)=1，∴lnx>1−1x，∴ln0.9>1−10.9=−19，∴−ln0.9<19，∴c<b；∵−ln0.9=ln109>1−910=110，∴109>e0.1，∴0.1e0.1<19，∴a<b；∵0.1e0.1>0.1×1.1=0.11，而−1n0.9=ln109<12(109−910)=19180<0.11，∴a>c，∴c<a<b．故选：C．构造函数f(x)=lnx+1x ，x>0，利用导数性质求出lnx>1−1x，由此能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：如图所示，正四棱锥P −ABCD 各顶点都在同一球面上，连接AC 与BD 交于点E ，连接PE ，则球心O 在直线PE 上，连接OA ， 设正四棱锥的底面边长为a ，高为ℎ，在Rt △PAE 中，PA 2=AE 2+PE 2，即l 2=(√2a2)2+ℎ2=12a 2+ℎ2，∵球O 的体积为36π，∴球O 的半径R =3，在Rt △OAE 中，OA 2=OE 2+AE 2，即R 2=(ℎ−3)2+(√2a2)2，∴12a 2+ℎ2−6ℎ=0，∴12a 2+ℎ2=6ℎ， ∴l 2=6ℎ，又∵3≤l ≤3√3，∴32≤ℎ≤92，∴该正四棱锥体积V(ℎ)=13a 2ℎ=13(12ℎ−2ℎ2)ℎ=−23ℎ3+4ℎ2， ∵V′(ℎ)=−2ℎ2+8ℎ=2ℎ(4−ℎ)，∴当32≤ℎ<4时，V′(ℎ)>0，V(ℎ)单调递增；当4<ℎ≤92时，V′(ℎ)<0，V(ℎ)单调递减， ∴V(ℎ)max =V(4)=643，又∵V(32)=274，V(92)=814，且274<814，∴274≤V(ℎ)≤643，即该正四棱锥体积的取值范围是[274,643]， 故选：C ．画出图形，由题意可知求出球的半径R =3，设正四棱锥的底面边长为a ，高为ℎ，由勾股定理可得l 2=12a 2+ℎ2，又R 2=(ℎ−3)2+(√2a 2)2，所以l 2=6ℎ，由l 的取值范围求出ℎ的取值范围，又因为a 2=12ℎ−2ℎ2，所以该正四棱锥体积V(ℎ)=−23ℎ3+4ℎ2，利用导数即可求出V(ℎ)的取值范围． 本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：如图，连接B 1C ，由A 1B 1//DC ，A 1B 1=DC ，得四边形DA 1B 1C 为平行四边形， 可得DA 1//B 1C ，∵BC 1⊥B 1C ，∴直线BC 1与DA 1所成的角为90°，故A 正确；∵A 1B 1⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C =B 1，∴BC 1⊥平面DA 1B 1C ，而CA 1⊂平面DA 1B 1C ， ∴BC 1⊥CA 1，即直线BC 1与CA 1所成的角为90°，故B 正确；设A 1C 1∩B 1D 1=O ，连接BO ，可得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，即∠C 1BO 为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵sin∠C 1BO =OC 1BC 1=12，∴直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为30°，故C 错误；∵CC 1⊥底面ABCD ，∴∠C 1BC 为直线BC 1与平面ABCD 所成的角为45°，故D 正确． 故选：ABD ．求出异面直线所成角判断A ；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B ；分别求出线面角判断C 与D ． 本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：f′(x)=3x 2−1，令f′(x)>0，解得x <−√33或x >√33，令f′(x)<0，解得−√33<x <√33，∴f(x)在(−∞,−√33),(√33,+∞)上单调递增，在(−√33,√33)上单调递减，且f(−√33)=2√3+99>0,f(√33)=9−2√39>0，∴f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A 正确，选项B 错误；又f(x)+f(−x)=x 3−x +1−x 3+x +1=2，则f(x)关于点(0,1)对称，故选项C 正确；假设y =2x 是曲线y =f(x)的切线，设切点为(a,b)，则{3a 2−1=22a =b，解得{a =1b =2或{a =−1b =−2，显然(1,2)和(−1,−2)均不在曲线y =f(x)上，故选项D 错误． 故选：AC ．对函数f(x)求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB ；由f(x)+f(−x)=2，可判断选项C ；假设y =2x 是曲线y =f(x)的切线，设切点为(a,b)，求出a ，b 的值，验证点(a,b)是否在曲线y =f(x)上即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：∵点A(1,1)在抛物线C ：x 2=2py(p >0)上， ∴2p =1，解得p =12，∴抛物线C 的方程为x 2=y ，准线方程为y =−14，选项A 错误； 由于A(1,1)，B(0,−1)，则k AB =1−(−1)1−0=2，直线AB 的方程为y =2x −1，联立{y =2x −1x 2=y ，可得x 2−2x +1=0，解得x =1，故直线AB 与抛物线C 相切，选项B 正确；根据对称性及选项B 的分析，不妨设过点B 的直线方程为y =kx −1(k >2)，与抛物线在第一象限交于P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{y =kx −1y =x 2，消去y 并整理可得x 2−kx +1=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=1，y 1y 2=(kx 1−1)(kx 2−1)=k 2x 1x 2−k(x 1+x 2)+1=1，|OP|⋅|OQ|=√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≥√2x 1y 1⋅√2x 2y 2=2√x 1x 2y 1y 2=2=|OA|2，由于等号在x 1=x 2=y 1=y 2=1时才能取到，故等号不成立，选项C 正确；|BP||BQ|=√x 12+(y 1+1)2⋅√x 2+(y 2+1)2>√x 12+4y 1⋅√x 22+4y 2=√5x 12⋅√5x 22=5√(x 1x 2)2=5=|BA|2，选项D 正确． 故选：BCD ．对于A ，根据题意求得p 的值，进而得到准线；对于B ，求出直线AB 方程，联立直线AB 与抛物线方程即可得出结论；对于C ，设过点B 的直线方程为y =kx −1(k >2)，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD ． 本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：∵f(32−2x)为偶函数，∴可得f(32−2x)=f(32+2x)，∴f(x)关于x =32对称， 令x =54，可得f(32−2×54)=f(32+2×54)，即f(−1)=f(4)，故C 正确； ∵g(2+x)为偶函数，∴g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x =2对称，故D 不正确； ∵f(x)关于x =32对称，∴x =32是函数f(x)的一个极值点，∴g(32)=f′(32)=0， 又∴g(x)关于x =2对称，∴g(52)=g(32)=0，∴x =52是函数f(x)的一个极值点，f(x)关于x =32对称，∴x =−12是函数f(x)的一个极值点，∴g(−12)=f′(−12)=0，故B 正确； f(x)图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故A 错误． 故选：BC ．由f(32−2x)为偶函数，可得f(x)关于x =32对称，可判断C ；g(2+x)为偶函数，可得g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x =2对称，可判断D ；由g(32)=0，g(x)关于x =2对称，可得g(52)=0，得到x =52是f(x)的极值点，x =−12也是极值点，从而判断B ；f(x)图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A ．本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．13.【答案】−28【解析】解：(x +y)8的通项公式为T r+1=C 8r x 8−r y r， 当r =6时，T 7=C 86x 2y 6，当r =5时，T 6=C 85x 3y 5，∴(1−yx)(x +y)8的展开式中x 2y 6的系数为C 86−C 85=8!6!⋅2!−8!5!⋅3!=28−56=−28． 故答案为：−28．由题意依次求出(x +y)8中x 2y 6，x 3y 5项的系数，求和即可． 本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)【解析】解：圆x 2+y 2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径r 1=1， 圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心坐标为C(3,4)，半径r 2=4， 如图：∵|OC|=r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y −4b =0，由|−4b|5=1，解得b =54(负值舍去)，则l 1：3x +4y −5=0；由图可知，l 2：x =−1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x ，解得l 2与l 3的一个交点为(−1,−43)，在l 2上取一点(−1,0)，该点关于y =43x 的对称点为(x 0,y 0)，则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为(725,−2425).∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x −24y −25=0． ∴与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程为： x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)．故答案为：x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)．由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】解：y′=e x +(x +a)e x ，设切点坐标为(x 0,(x 0+a)e x 0)， ∴切线的斜率k =e x 0+(x 0+a)e x 0，∴切线方程为y −(x 0+a)e x 0=(e x 0+(x 0+a)e x 0)(x −x 0)， 又∵切线过原点，∴−(x 0+a)e x 0=(e x 0+(x 0+a)e x 0)(−x 0)，整理得：x 02+ax 0−a =0，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ=a2+4a>0，解得a<−4或a>0，即a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞)，故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)．设切点坐标为(x0,(x0+a)e x0)，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得x02+ax0−a=0，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ>0即可求出a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16.【答案】13【解析】解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C：x24c2+y23c2=1，a=2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴k DE=tan30°=√33，由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，设直线DE方程为y=√33(x+c)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx−32c2=0，由韦达定理可得，x1+x2=−8c13，x1x2=−32c213，|DE|=√k2+1|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√13+1⋅√(−8c13)2+128c213=4813c=6，解得c=138，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8×138=13．故答案为：13．根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)已知a1=1，{S na n }是公差为13的等差数列，所以S na n =1+13(n−1)=13n+23，整理得S n=13na n+23a n，①，故当n≥2时，S n−1=13(n−1)a n−1+23a n−1，②，①−②得：13a n=13na n−13na n−1−13a n−1，故(n−1)a n=(n+1)a n−1，化简得：a na n−1=n+1n−1，a n−1a n−2=nn−2，........，a3a2=42，a2a1=31；所以a na1=n(n+1)2，故a n=n(n+1)2(首项符合通项)．所以a n=n(n+1)2．证明：(2)由于a n=n(n+1)2，所以1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+...+1a n=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2×(1−1n+1)<2．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵cosA1+sinA =sin2B1+cos2B，∴cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，∴cos(B+A)=sinB，∴−cosC=sinB，C=2π3，∴sinB=12，∵0<B<π3，∴B=π6．(2)由(1)可得：−cosC =sinB >0，∴cosC <0，C ∈(π2,π)， ∴C 为钝角，B ，A 都为锐角，B =C −π2． sinA =sin(B +C)=sin(2C −π2)=−cos2C ，a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22C+cos 2Csin 2C=(1−2sin 2C)2+(1−sin 2C)sin 2C =2+4sin 4C−5sin 2Csin 2C=2sin 2C+4sin 2C −5≥2√2×4−5=4√2−5，当且仅当sinC =1√24时取等号．∴a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．【解析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B ．(2)利用诱导公式把A 用C 表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，可得V A 1−ABC =13V A 1B 1C 1−ABC =43，设A 到平面A 1BC 的距离为d ，由V A 1−ABC =V A−A 1BC ， ∴13S △A 1BC ⋅d =43，∴13×2√2⋅d =43，解得d =√2． (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1知BB 1⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，又平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，又平面ABC ∩平面A 1BC =BC ， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B ，BC ⊥AB ，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA 1=AB ，∴BC ×√2AB ×12=2√2，又12AB ×BC ×AA 1=4，解得AB =BC =AA 1=2， 则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A 1(0,2,2)，D(1,1,1)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y +z =0，令x =1，则y =0，z =−1，∴平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(1,0,−1)， 设平面BCD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， {m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +c =0，令b =1，则a =0，c =−1， 平面BCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,−1)， cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=√2⋅√2=12， 二面角A −BD −C 的正弦值为√1−(12)2=√32．【解析】(1)利用体积法可求点A 到平面A 1BC 的距离；(2)以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A −BD −C 的正弦值．本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20.【答案】解：(1)补充列联表为：计算K 2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． (2)(i)证明：R =P(B|A)P(B −|A)：P(B|A −)P(B −|A −)=P(B|A)P(B −|A)⋅P(B −|A −)P(B|A −)=P(AB)P(A)P(AB −)P(A)⋅P(A −B −)P(A −)P(A −B)P(A −)=P(AB)⋅P(A −B −)P(AB −)⋅P(A −B)=P(AB)P(B)P(A −B)P(B)⋅P(A −B −)P(B −)P(AB −)P(B −)=P(A|B)P(A −|B)⋅P(A −|B −)P(A|B −)；(ⅱ)利用调查数据，P(A|B)=40100=25，P(A|B −)=10100=110，P(A −|B)=1−P(A|B)=35，P(A −|B −)=1−P(A|B −)=910， 所以R =2535×910110=6．【解析】(1)补充列联表，根据表中数据计算K 2，对照附表得出结论． (2)(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；(ⅱ)利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)将点A 代入双曲线方程得 4a 2−1a 2−1=1，化简得a 4−4a 2+4=0，∴a 2=2，故双曲线方程为x 22−y 2=1，由题显然直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +m ，设P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)， 则联立双曲线得：(2k 2−1)x 2+4kmx +2m 2+2=0， 故x 1+x 2=−4km 2k 2−1，x 1x 2=2m 2+22k 2−1，k AP +k AQ =y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=kx 1+m−1x 1−2+kx 2+m−1x 2−2=0，化简得：2kx 1x 2+(m −1−2k)(x 1+x 2)−4(m −1)=0， 故2k(2m 2+2)2k 2−1+(m −1−2k)(−4km2k 2−1)−4(m −1)=0，即(k +1)(m +2k −1)=0，而直线l 不过A 点，故k =−1； (2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ =2√2，∴2tan∠PAQ 21−tan 2∠PAQ 2=2√2，得tan∠PAQ 2=√22， 由2α+∠PAQ =π，∴α=π−∠PAQ2，得k AP =tanα=√2，即y 1−1x 1−2=√2，联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23,y 1=4√2−53， 代入直线 l 得m =53，故x 1+x 2=203,x 1x 2=689，而|AP|=√3|x 1−2|,|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【解析】(1)将点A 代入双曲线方程得x 22−y 2=1，由题显然直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +m ，与双曲线联立后，根据直线AP ，AQ 的斜率之和为0，求解即可；(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ =2√2，得tan∠PAQ 2=√22，联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1，根据三角形面积公式即可求解．本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22.【答案】(1)解：∵f(x)=e x−ax，g(x)=ax−lnx，∴f′(x)=e x−a，g′(x)=a−1x，∵y=e x在x∈R上单调递增，函数y=−1x在x∈(0,+∞)上单调递增，∴函数f′(x)和函数g′(x)在各自定义域上单调递增，又∵函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有最小值，∴当f′(x)=0时，x=lna，当g′(x)=0时，x=1a，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，函数g(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(lna)=a−alna，g(x)min=1+lna，∵函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值∴a−alna=1+lna，解得：a=1．(2)证明：设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，由(1)得，函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴x1∈(−∞,0)，x2∈(0,1)，x3∈(1,+∞)，b=e x1−x1=e x2−x2=x2−lnx2=x3−lnx3，∴2x2=e x2+lnx2，e x1−x1=x2−lnx2，e x2−x2=x3−lnx3，∴e x1−x1=e lnx2−lnx2，e x2−x2=e lnx3−lnx3，∴f(x1)=f(lnx2)，f(x2)=f(lnx3)，∵lnx2∈(−∞,0)，lnx3∈(0,+∞)，∴x1=lnx2，x2=lnx3，∴x3=e x2，∴x1+x3=lnx2+e x2=2x2，∴x1，x2，x3成等差数列，∴存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】(1)先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f(x)和g(x)的单调性，从而求得f′(x)和g′(x)的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；(2)设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，得到有关x1，x2，x3的方程，然后化简利用函数f(x)的单调性求得x1，x3和x2的数量关系，进而得证命题．本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．。

2024年高考数学试题（新课标II卷）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.1.已知z=-1-i，则z =A.0B.1C.2D.22.已知命题p:∀x∈R，x+1>1；命题q:∃x>0，x3=x，则A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题3.已知向量a，b满足:a =1，a+2b=2，且b-2a⊥b，则b =A.12 B.22 C.32 D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并部分整理如下表所示.亩产[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1150)[1150，1200)频数612182410根据表中数据，下列结论正确的是A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过40%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg到300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg到1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16y>0，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为A.x216+y24=1y>0B.x216+y28=1y>0C.y216+x24=1y>0D.y216+x28=1y>06.设函数f x =a x+12-1，g x =cos x+2ax(a为常数)，当x∈-1，1时，曲线y=f x 和y=g x 恰有一个交点，则a=A.-1B.12 C.1 D.27.已知正三棱台ABC-A B C 的体积为523，AB=6，A1B1=2，则AA 与平面ABC所成角的正切值为A.12 B.1 C.2 D.38.设函数f x =x+aln x+b，若f x ≥0，则a2+b2的最小值为A.18 B.14 C.12 D.1二、选择题:本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分.9.对于函数f x =sin2x和g x =sin(2x-π4)，下列正确的有A.f x 与g x 有相同零点B.f x 与g x 有相同最大值C.f x 与g x 有相同的最小正周期D.f x 与g x 的图象有相同对称轴10.抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点，过P作⊙A:x2+y-42=1的一条切线，Q为切点．过P作C的垂线，垂足为B，则A.l与⊙A相切B.当P、A、B三点共线时，PQ=15C.当PB=2时，P A⊥AB D.满足P A=PB的点A有且仅有2个11.设函数f x =2x3-3ax2+1，则A.当a>1时，f x 的三个零点B.当a<0时，x=0是f x 的极大值点C.存在a,b，使得x=b为曲线f x 的对称轴D.存在a，使得点1，f1为曲线y=f x 的对称中心三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.记S n为等差数列a n的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sinα+β=.14.在下图的4*4方格表中有4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是.12345678910111213141516四、解答题:本题共5小题，满分87分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin A+3cos A=2.（1）求A；（2）若a=2，2b sin C=c sin2B，求△ABC的周长.16.(本题满分15分)已知函数f x =e x -ax -a 3.（1）当a =1时，求曲线y =f x 在点1，f 1 处的切线方程；（2）若f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.17.(本题满分15分)如图，平面四边形ABCD 中，AB =8，CD =3，AD =53，∠ADC =90°，∠BAD =30°，点E ,F 满足AE =75AD ，AF =12AB ，将△AEF 沿EF 对折至△PEF ，使得PC =43.（1）证明:EF ⊥PD ；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值.AB CDE F P18.(本题满分17分)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若p =0.4，q =0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；（2）假设0<p <q .(i )为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛?(ii )为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛?19.(本题满分17分)已知双曲线C ：x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1，按照如下公式依次构造点P n n =2，3，⋯ :过点P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ，y n .（1）若k =12，求x 2,y 2；（2）证明:数列x n -y n 是公比为1+k 1-k的等比数列；（3）设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明:对于任意正整数n ，S n =S n +1.。

20232023高考数学新高考1卷试题及答案 数学I一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分第1题已知集合 , , 则 . . . . 答案CM ={−2,−1,0,1,2}N ={x ∣x 2−x −6⩾0}M ∩N =A {−2,−1,0,1}B {0,1,2}C {−2}D {2}第2题已知 , 则 . . . . 答案Az =1−i2+2iz −¯z=A −iB iC 0D 1第3题已知向量 . 若 , 则. . . . 答案Da =(1,1),b =(1,−1)(a +λb )⊥(a +μb )A λ+μ=1B λ+μ=−1C λμ=1D λμ=−1第4题设函数 在区间 单调递减, 则 的取值范围是. . . . 答案Df (x )=2x (x −a )(0,1)a A (−∞,−2]B [−2,0)C (0,2]D [2,+∞)第5题设椭圆 的离心率分别为 若, 则 .. . . 答案AC 1:x 2a 2+y 2=1(a >1),C 2:x24+y 2=1e 1⋅e 2、e 2=√3e 1a =A 2√33B √2C √3D √6第6题过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 , 则 . ...答案B(0,−2)x 2+y 2−4x −1=0αsin α=A 1B √154C √104D √64第7题记 为数列 的前 项和, 设甲: 为等差数列: 乙: 为等差数列, 则. 甲是乙的充分条件但不是必要条件. 用是乙的必要条件但不是充分条件. 甲是乙的充要条件. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案CS n {a n }n {a n }{S nn}A B C D 第8题已知 , 则 ... . 答案Bsin(α−β)=13,cos αsin β=16cos(2α+2β)=A 79B 19C −19D −79二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分第9题有一组样本数据 , 其中 是最小值, 是最大值, 则. 的平均数等于 的平均数. 的中位数等于 的中位数. 的标准差不小于 的标准差. 的极差不大于 的极差答案BCDx 1,x 2,⋯,x 6x 1x 6A x 2,x 3,x 4,x 5x 1,x 2,⋯,x 6B x 2,x 3,x 4,x 5x 1,x 2,⋯,x 6C x 2,x 3,x 4,x 5x 1,x 2,⋯,x 6D x 2,x 3,x 4,x 5x 1,x 2,⋯,x 6第10题噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 , 其中常数 是听觉下限阈值, 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 , 则. . . . 答案ACDL p =20×lgpp 0p 0(p 0>0)p 声源 与声源的距离 /m声压级/dB 燃油汽车1060∼90 混合动力汽车1050∼60 电动汽车104010 m p 1,p 2,p 3A p 1⩾p 2B p 2>10p 3C p 3=100p 0D p 1⩽100p 2第11题已知函数 的定义域为 , , 则. . . 是偶函数. 为 的极小值点答案f (x )R f (xy )=y 2f (x )+x 2f (y )A f (0)=0B f (1)=0C f (x )D x =0f (x )ABC第12题下列物体中, 能够被整体放入棱长为 1 (单位: ) 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有. 直径为0.99m 的球体. 所有棱长均为 1.4m 的四面体. 底面直径为 0.01m ，高为1.8m 的圆柱体. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体答案ABDm A B C D 三、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分第13题某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或3 门课, 并且每类选修课至少选修1门, 则不同的选课方案共有种 (用数字作答).答案64第14题在正四棱台 中, , , , 则该棱台的体积为.答案ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2A 1B 1=1AA 1=√276√6第15题已知函数 在区间 有且仅有 3 个零点, 则 的取值范围是.答案f (x )=cos ωx −1(ω>0)[0,2π]ω2⩽ω<3第16题已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 点 在 上,点 在 轴上, , , 则 的离心率为 .答案C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)F 1,F 2A C B y F 1A ⊥F 1B →→F 2A =−23F 2B →→C 3√55四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分第17题已知在 中, .(1). 求 .(2). 设 , 求 边上的高 .答案(1).(2). 6解析(1). 由题意得所以(2). 因为 , 所以由正弦定理可知所以由面积法可知△ABC A +B =3C ,2sin(A −C )=sin B sin A AB =5AB 3√1010A +B =3C ⇒A +B +C =4C =π⇒C =π42sin (A −π4)=sin (34π−A )⇒sin A =3√1010sin B =sin(A +C )=2√5b sin B =csin C⇒b =2√10S =12⋅b ⋅c ⋅sin A =12⋅c ⋅h ⇒h =b sin A =6第18题如图, 在正四棱柱 中,, . 点 分别在棱 ,, , 上, , ,(1) 证明： .(2) 点 在棱 上, 当二面角 为 时, 求 .答案(1). 建系易证(2). 解析以 C 为原点, CD 为 轴, CB 为 轴, CC 为 轴建立空间直角坐标系, 所以, , , (1). 因为 , 所以 , 所以 .(2). 设 , 其中 所以 , , , .所以面 法向量 , 面 法向量 因为二面角 为 , 所以所以 ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AA 1=4A 2,B 2,C 2,D 2AA 1BB 1CC 1DD 1AA 2=1BB 2=DD 2=2CC 2=3B 2C 2//A 2D 2P BB 1P −A 2C 2−D 2150∘B 2P B 2P =1x y 1z B 2:(0,2,2)C 2:(0,0,3)A 2:(2,2,1)D 2:(2,0,2)B 2C 2=(0,−2,1)→A 2D 2=(0,−2,1)→B 2C 2=A 2D 2→→B 2C 2//A 2D 2P :(0,2,t )2⩽t ⩽4PA 2=(2,0,1−t )→PC 2=(0,−2,3−t )→D 2C 2=(−2,0,1)→D 2A 2=(0,2,−1)→PA 2C 2n 1=(t −1,3−t ,2)→D 2A 2C 2n 2=(1,1,2)→P −A 2C 2−D 2150∘√6√2t 2−8t +14=|cos 150∘|=√32⇒t =1(舍)||t =3B 2P =1第19题已知函数 .(1). 讨论 的单调性.(2). 证明: 当 时, .答案见解析f (x )=a (e x +a )−x f (x )a >0f (x )>2ln a +32解析(1). 对 求导得 , 故① 时, , 函数 单调递减② 时, 令 得 , 故(2). 令 , 求导得 令导数为 解得 , 所以所以 故 , 所以 f (x )f ′(x )=a ⋅e x −1a ⩽0f ′(x )⩽−1<0f (x )a >0f ′(x )=0x 0=−ln a (−∞,−ln a )−ln a (−ln a ,∞)f ′(x )−0+f (x )↘极小值↗f =f (−ln a )=a 2+1+ln am i n g (a )=a 2−ln a −12g ′(a )=2a −1a0a =√22(0,√22)√22(√22,∞)g ′(a )−0+g (a )↘极小值↗g =g (√22)=ln 22>0m in g (a )>0f (x )>2ln a +32第20题设等差数列 的公差为 , 且 , 令 , 记 分别为数列 ,的前 项和.(1). 若 , , 求 的通项公式.(2). 若 为等差数列, 且 , 求 .答案(1). (2). 解析(1). 由题意得 , , 解得{a n }d d >1b n =n 2+na nS n ,T n {a n }{b n }n 3a 2=3a 1+a 3S 3+T 3=21{a n }{b n }S −T =999999d a n =3n d =51503a 2=3a 1+a 32a 2=a 1+a 3a 2=2a 1,a 3=3a 1又因为 为等差数列, 所以 , 所以 因为 , 所以所以 (2). 设 , , 其中 记 , 故 也为等差数列, 所以所以 因为 , 所以代入可得所以可得方程组解得 {a n }a n =a 1⋅n b n =n +1a 1S 3+T 3=216a 1+9a 1=21⇒a 1=3||a 1=12(舍)a n =3na n =d a ⋅n +p ab n =d b ⋅n +p b d a >1c n =a n −b n =(d a −d b )n +p a −p b {c n }S −T =c 1+c 2+⋯+c =(c 1+c )⋅992=99⋅c =999999999950c =150b n =n 2+na nd b n +p b =n 2+nd a n +p a⟹n 2+n =d a ⋅d b ⋅n 2+(d a ⋅p b +d b ⋅p a )n +p a ⋅p b⎧⎨⎩d a ⋅d b =1d a ⋅p b +d b ⋅p a =1p a ⋅p b =050(d a −d b )+p a −p b =1d =d a =5150第21题甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6, 乙每次投篮的命中率均为 0.8, 由抽签确定第 1 次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲,乙的概率各为 0.5 .(1). 求第 2 次投篮的人是乙的概率.(2). 求第 次投篮的人是甲的概率.(3) 设随机事件 为甲投球次数, , 求 .答案(1).(2). i Y Y =0,1,⋯,n E (Y )3516⋅()i −1+1325(3). 解析(1). (2). 记 为第 次投篮的人是甲的概率, 所以所以(3).E (Y )=n 3+518−19⋅()n −125P =12⋅25+12⋅45=35a i i a i =35⋅a +15(1−a )=25a +15i −1i −1i −1a i −13=25(a −13)⇒a i =16⋅()i −1+13i −125E (Y )=a 1+a 2+⋯+a n=16[()0+()1+⋯+()n −1]+n 3=16⋅1−()n1−25+n 3=n 3+518−19⋅()n −12525252525第22题在直角坐标系 中, 点 到 轴的距离等于点 到点 的距离, 记动点 的轨迹为 .(1). 求 的方程.(2). 已知矩形 ABCD 有三个顶点在 上, 证明: 矩形 ABCD 的周长大于 .答案(1). 解析xOy P x P (0,12)P W W W 3√3W :x 2=y −14(1). 由题意得 为抛物线, 且准线为 , 焦点为 , 这是由标准抛物线方程 向上平移 个单位得到的, 故可设为 因为焦点到准线的距离为 , 所以 , 所以 .(2). 不妨设 A,B,C 在抛物线上, 且 AB ⊥ BC, 所以令 , , 由对称性, 不妨设 所以周长可表示为令 , 则 , 故所以 , 当且仅当 , 所以有W y =0(0,12)x 2=2p y 14x 2=2p y −14p p =12W :x 2=y −14y B −y C x B −x C ⋅y B −y A x B −x A =−1⇒x 2B −x 2C x B −x C ⋅x 2B −x 2Ax B −x A=−1⇒(x B +x A )(x B +x C )=−1x B +x A =m x B +x C =−1m|m |⩽112⋅周长=AB +BC =√(y A −y B )2+(x A −x B )2+√(y C −y B )2+(x C −x B )2=|x A −x B |⋅√1+m 2+|x C −x B ||m |⋅√1+m 2⩾√1+m 2⋅(|x A −x B |+|x C −x B |)⩾√1+m 2⋅|x A −x C |=√1+m 2⋅m +1m =√(1+m 2)3m 2f (x )=(1+x )3k (0<x <1)f ′(x )=(x +1)2(2x −1)x 2(0,12)12(12,1)f ′(x )−0+f (x )↘极小值↗f (x )⩾f (12)=274|m |=√22周长>2⋅√274=3√3。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂αB．l ⊄αC．l ∥αD．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A．0B．23C．2D．312.已知椭圆22221a y x =+（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A．2230<<a B．2230<<a 或282>aC．223<a 或282>a D．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.3.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.4.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.5、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。

江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD 上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x ∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”, 又是“P（3）数列”, 证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k 次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A ∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==, 故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=, =, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m, n ∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50, =（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n ∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD ⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面, 所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）,∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）, 由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=,∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F 1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l 1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或, 无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N 作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）,=2a n +2a n +2a n ,=2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：由数列{a n }是“P （2）数列”则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , ① 数列{a n }是“P （3）数列”a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , ②由①可知：a n ﹣3+a n ﹣2+a n +a n +1=4a n ﹣1, ③a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n =6a n ﹣4a n ﹣1﹣4a n +1,整理得：2a n =a n ﹣1+a n +1,∴数列{a n }是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0, b ∈R ）有极值, 且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P （A 2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=,k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）, D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅱ卷)数学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写。

在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内, 1+3i3-i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】1+3i3-i=6+8i,故对应的点在第一象限，选A。

2.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}, 若A⊆B, 则a=()A.2B.1C.23D.-1【答案】B【解析】若a-2=0,则a=2,此时A=0,-2},B=1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a =1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意。

选B。

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生, 已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生, 则不同的抽样结果共有()A.C45400⋅C15200种 B.C20400⋅C40200种 C.C30400⋅C30200种 D.C40400⋅C20200种【答案】D【解析】根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽40人，高中部抽20人，选D。

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,53. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A. 2-B.73C. 1D. 25. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4B. 3C. 2D.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） .A.16B.13C.12D.237. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 19. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥r r”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件 C. “0x =”是“a b ⊥r r ”充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件10. 设αβ、两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）的是为A. 2B. 3C. 4D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______． 14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______． 15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间 乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A. 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,5.【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B =I ，(){}2,3,5A A B =I ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =， 则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭. 故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ， 则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+， 令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=. 故选：A.7. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D. 【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D.故选：B. 8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B. 1-C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭， 故选：B .9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥r r”的必要条件B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥r r”的充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥r r 时，则0a b ⋅=r r，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==r r ，故0a b ⋅=r r，所以a b ⊥r r，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b r r时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b r r不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β， 当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确； 对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β， 因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______． 【答案】5 【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台高分别为)12h r r==-甲，)12h r r==-乙，所以V hV h====甲甲乙乙.15. 已知1a>，8115log log42aa-=-，则=a______．【答案】64【解析】【分析】将8log,log4aa利用换底公式转化成2log a来表示即可求解.【详解】由题28211315loglog log4log22aaa a-=-=-，整理得()2225log60log aa--=，2log1a⇒=-或2log6a=，又1a>，所以622log6log2a==，故6264a==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b，第三个球的号码为c，则的323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种， 设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤， 故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤， 故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， ()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种， 当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种， 当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种， 共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=， 故所求概率为56712015=. 故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品总计 甲车间262450乙车间 70 28 2 100 总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间 乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解 【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K ，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得0.64p =，根据题意计算p +. 【小问1详解】 根据题意可得列联表：.优级品非优级品甲车间 26 24 乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯， 因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=， 用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+ 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31nn T n =-⋅+ 【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式． （2）利用错位相减法可求n T.【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-， ∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列， 所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++L 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅L 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅L 所以1212443434343n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅L()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值． 【答案】（1）证明见详解；（2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =， 四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =， 结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =， 所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =， 四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==u u u u r u u u r，()2,3BE =u u u r ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =r，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =r，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =r ，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-r，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r，则sin ,m n =r r ， 故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=， 故()()422Δ102443464120k kk=-+->，故1122k -<<， 又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==-- 2222212824160243234025k k k k k x --+++==-， 故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）12a ≤- 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-， 故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++， 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数， 故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值. 【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++， 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+， 当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数， 故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=. 当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<， 故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数， 故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍. 当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍； 综上，12a ≤-. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a = 【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；在法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值. 【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥． 【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+， 因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+; 【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 23. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2-B.73C. 1D.295. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.236. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A.16B.C.12D. 8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-大致图像为（）A. B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略的的12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______． 13. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n S 的通项公式.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ； （2）求点M 到ABF 的距离.17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． （1）求()f x 单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．的的（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合B 中元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =， 于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选：A 2.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】的的【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D【解析】【分析】可以根据等差数列基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意； 基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）的A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A. 16B.C. 12 D. 【答案】A【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-， 故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯= 故选：A. 8. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=， 又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D.故选：B.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1【答案】B【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭， 故选：B .原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥ ③若//n α，且//n β，则//m n④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题编号是（ ）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④ 【答案】A 的【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A. 32B.C.D. 【答案】C【解析】 【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =. 故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=， 2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______． 【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+> 则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点， 所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷∙理科)数学注意事项:1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={x x =3k +1，k ∈Z }，B ={x x =3k +2，k ∈Z }，U 为整数集，则C U (A ∩B )=()A.{x x =3k ，k ∈Z }B.{x x =3k -1，k ∈Z }C.{x x =3k -2，k ∈Z }D.θ【答案】A2.若复数(a +i )(1-ai )=2，则a =()A.-1B.0C.1D.2【答案】C3.执行下面的程序框图，输出的B =()A.21B.34C.55D.89【答案】B4.向量a =b =1，c =2且a +b +c =0，则cos <a -b ，b -c >=()A.-15B.-25C.25D.45【答案】D5.已知数列{an }中，Sn 为{an }前n 项和，S 5=5S 3-4，则S 4=()A.7 B.9C.15D.20【答案】C6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，结束70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球，俱乐部的概率为()A.0.8 B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A7.“ sin2α+sin2β=1 ”是“ cosα+cosβ=0 ”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B8.已知双曲线x2a2+y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则AB=()A.15B.55C.255D.455【答案】D9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.40D.30【答案】B10.已知f(x)为函数y=cos(2x+π4)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x-12，交点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45° ,则△PBC的面积为A.22B.32C.42D.52【答案】C12.已知椭圆x29+y26=1，F1、F2为两个焦点，O为原点，P为椭有圆上一点，cos∠F1PF2=35，则OP=()A.25B.302C.35D.352【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年全国统一高考数学试卷和答案（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，则M∩N＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，4，6，8}D．{2，4，6，8，10}2．（5分）设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b ＝1D．a＝﹣1，b＝﹣13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 5．（5分）若x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最大值是（）A．﹣2B．4C．8D．126．（5分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（）A．2B．2C．3D．37．（5分）执行如图的程序框图，输出的n＝（）A．3B．4C．5D．68．（5分）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 10．（5分）已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．14B．12C．6D．311．（5分）函数f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（）A．﹣，B．﹣，C．﹣，+2D．﹣，+2 12．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年新高考全国Ⅰ卷数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2}和N ={x |x 2−x −6≥0}，则M ∩N =（ ） A. {−2,−1,0,1} B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2. 已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A. i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+，则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A. 1B.4C.4D.47. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R 和()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）． A. ()00f = B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为0.99m 的球体 B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中1112,1,AB A B AA ===________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时()32ln 2f x a >+．20. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ． （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于2023年新高考全国Ⅰ卷数学试题答案解析（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =--和2{|60}N x x x =--≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{0,1,2} （C ）{2}- （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x --≥⇔+-≥⇔≤-或3x ≥，所以(,2][3,)N =-∞-+∞。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学 试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将案写在题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A =．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．3．已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k ab k ∈==R ，且//a b，则k 的值为．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=(精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0-∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1-∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==，求POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积；(2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小．18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x -<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．参考答案及解析注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

高考数学试题及答案（精选10篇）篇1：高考数学试题全国卷及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U和集合A，B所示，则 = ( )A.{5，6}B.{3，5，6}C.{3}D.{0，4，5，6，7，8}2.复数的共轭复数是( )A.-1-iB.-1+iC.D.3. 等差数列满足: ,则 =( )A. B.0 C.1 D.24.已知函数是定义在R上的奇函数，当，则的值是( )A. B. C. D.-85.下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段:女主角欲输入一个由十个数字组成的密码,但当她果断地依次输入了前八个数字, 欲输入最后两个数字时她犹豫了,也许是她真的忘记了最后的两个数字、也许.请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是 ( )A.21B.20C.13D.316.已知实数a、b，则是的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件7.已知函数，则下列区间必存在零点的是 ( )A. B. C. D.8.设函数在处取得极值，则的值为( )A. B. C. D.49.设，则有 ( )A. B. C. D. 的大小不定10.已知函数① ② ;③ ④ 其中对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一一个自变量，使成立的函数是( )A.①②④B.②③C.③D.④二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上)11.已知，则 = 。

12.由直线 , , 与曲线所围成的'封闭图形的面积为 .13.规定符号表示一种两个正实数之间的运算，即a b= ,a,b是正实数，已知1 =3,则函数的值域是 .14.已知且与垂直，则实数的值为。

15.给出下列四个命题：①已知都是正数，且，则 ;②若函数的定义域是，则 ;③已知x(0，)，则y=sinx+ 的最小值为 ;④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2.其中正确命题的序号是_____。