2023高考数学小题提速练(一)

题组层级快练(一)一、单项选择题1．下列说法正确的是( )A ．M ＝{(2，3)}与N ＝{(3，2)}表示同一集合B ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}与N ＝{y |x ＋y ＝1}表示同一集合C ．M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}有2个子集D ．设U ＝R ，A ＝{x |lg x <1}，则∁U A ＝{x |lg x ≥1}＝{x |x ≥10}答案 C2．若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＋12∈Z ，则A ∪B 等于( ) A ．BB ．AC ．∅D ．Z答案 D 解析 A ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z .3．(2023·全国甲卷，理)设集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，U 为整数集，∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ＝3k ，k ∈Z }B ．{x |x ＝3k －1，k ∈Z }C ．{x |x ＝3k －2，k ∈Z }D ．∅答案 A解析 因为整数集Z ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }∪{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }∪{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，U ＝Z ，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }．故选A.4．已知集合A ＝{(x ，y )|xy ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B 有________个真子集．( )A ．3B ．16C ．15D ．4 答案 A解析 A ＝{(x ，y )|xy ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B ＝{(1，1)，(－1，－1)}，真子集个数为22－1＝3.故选A.5．(2023·山东济宁检测)设全集U ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则下列四个图中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1}的是( )答案 C解析因为A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，所以A∩B＝{－1}，A∪B＝{－2，－1，0，1，2}．则A中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1，2}；B中的阴影部分所表示的集合为{2}；C中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1}；D中的阴影部分所表示的集合为{－1}．故选C.6．(2022·石家庄二中模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}，所以M∪N＝[0，1]．7．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A．∅B．SC．T D．Z答案 C解析当n＝2k，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋1，k∈Z}；当n＝2k＋1，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋3，k∈Z}．所以T S，S∩T＝T.故选C.8．(2024·河北辛集中学模拟)已知集合A＝{1，3，a2－2a}，B＝{3，2a－3}，C＝{x|x<0}，若B⊆A且A∩C＝∅，则a＝()A．1 B．2C．3 D．2或3答案 B解析方法一：由题得2a－3＝1或2a－3＝a2－2a.若2a－3＝1，则a＝2，故A＝{0，1，3}，B＝{1，3}，此时满足B⊆A，A∩C＝∅.若2a－3＝a2－2a，则a＝1或a＝3，当a＝1时，A＝{－1，1，3}，B＝{－1，3}，此时A∩C ＝{－1}，不符合题意；当a＝3时，a2－2a＝3，不符合题意．故a＝2，选B.方法二：因为A∩C＝∅，故集合A中的元素均为非负数，从而a2－2a≥0，得a≤0或a≥2，故排除A；由集合中元素的互异性得2a－3≠3，即a≠3，排除C、D.故选B.9．若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝()A．M B．NC．P D．∅答案 C解析∵M∩N＝M，∴M⊆N，∵N∪P＝P，∴N⊆P，∵M，N，P非空且互不相等，∴M N P，∴M∪P ＝P.故选C.10．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案 A解析方法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C31C31＝9，故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.二、多项选择题11．已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R ，则下列选项正确的是( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．M ＝∁R N答案 CD 解析 由题意得M ＝{y |y ≤0}，N ＝{y |y >0}，∴∁R N ＝{y |y ≤0}，∴M ＝∁R N ，M ∩N ＝∅.12．(2024·重庆八中适应性考试)已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足(∁U A )∪B ＝B ，则下列关系一定正确的是( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∩B ＝BC ．A ∪B ＝UD ．(∁U B )∪A ＝A答案 CD解析 令U ＝{1，2，3，4}，A ＝{2，3，4}，B ＝{1，2}，满足(∁U A )∪B ＝B ，但A ∩B ≠∅，A ∩B ≠B ，故A 、B 均不正确；由(∁U A )∪B ＝B ，知∁U A ⊆B ，∴U ＝[A ∪(∁U A )]⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝U ，由∁U A ⊆B ，知∁U B ⊆A ，∴(∁U B )∪A ＝A ，故C 、D 均正确．13．1872年，德国数学家戴德金用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)．所谓“戴德金分割”，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N ＝Q ，M ∩N ＝∅，M 中每一个元素均小于N 中的每一个元素，则称(M ，N )为“戴德金分割”．试判断下列选项中，可能成立的是( )A ．M ＝{x ∈Q |x <0}，N ＝{x ∈Q |x >0}是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素答案 BD解析 对于A ，因为M ∪N ＝{x ∈Q |x ≠0}≠Q ，故A 错误；对于B ，设M ＝{x ∈Q |x <0}，N ＝{x ∈Q |x ≥0}，满足“戴德金分割”，故B 正确；对于C ，不能同时满足M ∪N ＝Q ，M ∩N ＝∅，故C 错误；对于D ，设M ＝{x ∈Q |x <2}，N ＝{x ∈Q |x ≥2}，满足“戴德金分割”，此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故D 正确．三、填空题与解答题14．集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________． 答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析因为A⊆B，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A∪B＝{1，0，－1}，∁B A＝{－1}．15．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，c>0.若A∪B＝B，则c的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析A＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2.16．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求a的值；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁U B)＝A，求a的取值范围．答案(1)－1或－3(2)(－∞，－3](3){a|a≠－1±3且a≠－1且a≠－3}解析A＝{1，2}．(1)由A∩B＝{2}，得2∈B，则4＋4a＋4＋a2－5＝0，得a＝－1或－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{2，－2}，符合题意；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，符合题意．综上，a＝－1或－3.(2)由A∪B＝A，得B⊆A.①若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)<0，得a<－3；②若B＝{1}，则1＋2a＋2＋a2－5＝0且Δ＝0，此时无解；③若B＝{2}，则4＋4a＋4＋a2－5＝0且Δ＝0，得a＝－3；④若B＝{1，2}，则1＋2a＋2＋a2－5＝0且4＋4a＋4＋a2－5＝0，此时无解．综上，a的取值范围为(－∞，－3]．(3)由A∩(∁U B)＝A，得A∩B＝∅，所以1＋2a＋2＋a2－5≠0且4＋4a＋4＋a2－5≠0，解得a≠－1±3且a≠－1且a≠－3.故a的取值范围为{a|a≠－1±3且a≠－1且a≠－3}．17．(2024·成都七中月考)已知非空集合A，B满足A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅，且A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则集合A，B的所有可能情况种数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析易知A的元素个数不能为2，否则A，B中必然有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意．所以A的元素个数为1或3，所以可能情况有A＝{3}，B＝{1，2，4}或A＝{1，2，4}，B＝{3}，共2种．故选B. 18．【多选题】设集合X是实数集R的子集，如果x0∈R满足对任意的a>0，都存在x∈X，使得0<|x－x0|<a，则称x0为集合X的聚点．则下列集合中是以0为聚点的集合有()A ．{x |x ∈R ，x ≠0}B ．{x |x ∈Z ，x ≠0} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝1n ，n ∈N *D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n n ＋1，n ∈N *答案 AC解析 对于A ，对任意的a >0，都存在x ＝a 2使得0<|x －0|＝a 2<a ，故0是集合{x |x ∈R ，x ≠0}的聚点． 对于B ，对于某个实数a >0，比如取a ＝12，此时对任意的x ∈{x |x ∈Z ，x ≠0}，都有|x －0|≥1，也就是说0<|x －0|<12不可能成立，从而0不是集合{x |x ∈Z ，x ≠0}的聚点． 对于C ，对任意的a >0，都存在n >1a ，即1n <a ，0<|x －0|＝1n <a ，故0是集合{x |x ＝1n，n ∈N *}的聚点． 对于D ，n n ＋1＝1－1n ＋1，故n n ＋1随着n 的增大而增大，故n n ＋1的最小值为11＋1＝12，即x ≥12，故对任意的0<a <12，不存在x ，使得0<|x －0|<a ，故0不是集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n n ＋1，n ∈N *的聚点．故选AC.。

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔 〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔 〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； 〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； 〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

小题提速练(一)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．[0,1] C ．{0,1}D ．∅解析：选C.N ＝{－1,0,1}，故M ∩N ＝{0,1}．2．已知复数z ＝3－b ii (b ∈R )的实部和虚部相等，则|z |＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 2解析：选D.令3－b ii ＝－b －3i ，解得b ＝3故|z |＝3 2.3．“log 2(2x －3)＜1”是“x ＞32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.log 2(2x －3)＜1，化为0＜2x －3＜2，解得32＜x ＜52.∴“log 2(2x －3)＜1”是“x＞32”的充分不必要条件． 4．函数y ＝x 2＋ln|x |的图象大致为( )解析：选A.∵f (x )为偶函数，故排除B ，C ，当x →0时，y →－∞，故排除D ，或者根据当x ＞0时，y ＝x 2＋ln x 为增函数，故排除D.5．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A cos ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移2π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B.由图象知A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π，ω＝2，f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，－π＜φ＜0，∴φ＝－2π3，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，故可将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得到g (x )的图象． 6．圆x 2＋y 2＋4x －2y －1＝0上存在两点关于直线ax －2by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋4b的最小值为( )A ．8B ．9C ．16D ．18解析：选B.由圆的对称性可得，直线ax －2by ＋2＝0必过圆心(－2,1)，所以a ＋b ＝1.所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝4ab，即2a ＝b 时取等号，故选B.7．已知变量x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C ．2D ．4解析：选D.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：设m ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋m ，平移直线y ＝－2x ＋m ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的截距最大，此时m 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即A (1,2)，代入目标函数m ＝2x ＋y 得m ＝2×1＋2＝4.即目标函数z ＝(2)2x ＋y的最大值为z max ＝(2)4＝4.故选D.8．如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C.该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C.9．在[－2,2]上随机地取两个实数a ，b ，则事件“直线x ＋y ＝1与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相交”发生的概率为( )A.1116B.916C.34D.14解析：选 A.如图，由已知基本事件空间Ω＝{(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2－2≤b ≤2}，为图中正方形内及边界上的点，事件“直线x＋y ＝1与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相交”为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b|a ＋b －1|2＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，b ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＜3a ＋b ＞－1，为图中阴影部分上的点(不含正方形内的虚线段)．所以P (A )＝μAμΩ＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＋12×3×316＝1116.10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.52π＋2＋19 B.32π＋19 C.32π＋2＋19 D ．2π＋2＋19解析：选C.由该几何体的三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是底面半径为1、高为3、母线长为2的半圆锥，右边是底面为等腰三角形(底边为2、高为2)、高为3的三棱锥．所以此组合体左边的表面积S 左＝S 左底面＋S 左侧面＝12π×12＋12π×1×2＝32π，组合体右边的侧面是两个全等的三角形(其中三角形的三边分别为2，5，7)， 设长为5的边所对的角为α， 则cos α＝22＋72－522×2×7＝3714，所以sin α＝13314， 则S 右侧面＝12×2×7×13314×2＝19，所以该几何体右边的表面积S 右＝S 右底＋S 右侧面＝12×2×2＋19＝2＋19，故S 表面积＝32π＋2＋19，故选C.11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为双曲线C 的左、右顶点，P 为双曲线C 上的一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若|OE |＝3|ON |，则双曲线C 的离心率为( )A.43B.32 C ．2D ．3解析：选C.因为PF ⊥x 轴，所以设M (－c ，t )． 则A (－a,0)，B (a,0)，AE 的斜率k ＝ta －c，则AE 的方程为y ＝ta －c(x ＋a )，令x ＝0，则y＝ta a －c ，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ta a －c ，BN 的斜率k ＝－t a ＋c ，则BN 的方程为y ＝－t a ＋c (x －a )，令x ＝0，则y ＝ta a ＋c ，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ta a ＋c ，因为|OE |＝3|ON |，所以3⎪⎪⎪⎪⎪⎪ta a ＋c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ta a －c ，即3a ＋c ＝1c －a ，则3(c －a )＝a ＋c ，即c ＝2a ，则离心率e ＝ca＝2.故选C.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤，log 2x x ＞，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12解析：选A.①当x ≤0时，y ＝f (f (x ))－1＝f (2x)－1＝log 22x－1＝x －1，令x －1＝0，则x ＝1，显然与x ≤0矛盾，所以当x ≤0时，y ＝f (f (x ))－1无零点．②当x ＞0时，分两种情况：当x ＞1时，log 2x ＞0，y ＝f (f (x ))－1＝f (log 2x )－1＝log 2(log 2x )－1，令log 2(log 2x )－1＝0，得log 2x ＝2，解得x ＝4；当0＜x ≤1时，log 2x ≤0，y ＝f (f (x ))－1＝f (log 2x )－1＝2log 2x－1＝x －1，令x －1＝0，解得x ＝1.综上，函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为2.故选A. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．函数f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (x )＞0的解集为________．解析：由已知f (x )为二次函数且对称轴为y 轴， ∴－b －2a 2a＝0，a ≠0，即b ＝2a ，∴f (x )＝ax 2－4a . 再根据函数在(0，＋∞)单调递增，可得a ＞0.令f (x )＝0，求得x ＝2或x ＝－2，故由f (x )＞0，可得x ＜－2或x ＞2，故解集为{x |x ＜－2或x ＞2}．答案：{x |x ＜－2或x ＞2}14．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________．解析：设该球半径为R ，正方体边长为a ，由题意得当正方体体积最大时a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝R 2， ∴R ＝6a2，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为： a 312×4πR 33＝a 312×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 23＝63π.答案：63π15．有下列各式：1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________.解析：观察各式左边为1n的和的形式，项数分别为：3,7,15，故可猜想第n 个式子中应有2n＋1－1项，不等式右边分别写成22，32，42故猜想第n 个式子中应为n ＋12，按此规律可猜想此不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12(n ∈N *)． 答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12(n ∈N *)16．已知向量a ，b ，c ，满足|a |＝4，|b |＝22，〈a ·b 〉＝π4，(c －a )·(c －b )＝－1，则|c －a |的最大值为________．解析：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，∵|a |＝4，|b |＝22，a 与b 的夹角为π4，则A (4,0)，B (2，2)，设C (x ，y )，∵(c －a )·(c －b )＝－1，∴x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0，即(x －3)2＋(y －1)2＝1表示以(3,1)为圆心，1为半径的圆，|c －a |表示点A ，C 的距离，即圆上的点与A (4,0)的距离，因为圆心到A 的距离为2，所以|c －a |的最大值为2＋1.答案：2＋1。

小题专练18一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:充分、必要条件,★)“0<x<1”是“cos 2x<cos x ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.(考点:复数,★)若复数(2a+i)(1+i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在直线2x-y+1=0上,则实数a 的值为( ). A .-2B .2C .-1D .13.(考点:等差数列,★)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3a 6=4a 8,则下列选项中一定为0的是( ). A .a 1B .a 13C .S 27D .S 284.(考点:三角恒等变换,★)已知角α的终边与单位圆x 2+y 2=1交于点P (14,y 0),则sin (π2+2α)等于( ). A .18B .-78C .-38D .145.(考点:古典概型,★★) “仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为( ). A .110B .15C .310D .256.(考点:双曲线,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,点F 到一条渐近线的距离为√6,双曲线的焦距为6,则双曲线的离心率为( ). A .√2B .√3C .√62 D .√3057.(考点:函数图象的判断,★★)函数y=1x-ln(x+1)的图象大致为( ).8.(考点:与球有关的计算,★★★)已知四面体A-BCD的侧棱长相等,底面正三角形BCD的面积为8√3,当AB⊥平面ACD时,四面体A-BCD的外接球的体积为().A.24πB.32πC.24√3πD.32√3π二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:样本的数字特征,★★)在某次疫情期间,有专家团队认为在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续14日,每天新增疑似病例不超过9人”.过去14日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下:甲地:平均数为5,中位数为6.乙地:平均数为3,方差大于0.丙地:平均数为2,方差为3.丁地:中位数为6,方差为0.则甲、乙、两、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是().A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地10.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x有f(-x)=-f(x),f(x-6)=-f(x),且当x∈[0,3]时,f(x)=2x-1,则下列说法正确的是().A.f(4)=3B.函数f(x)在[-9,-3]上单调递增C.函数f(x)的图象关于直线x=6对称D.若a∈(0,7),则关于x的方程f(x)-a=0在[0,9]上所有根之和为611.(考点:立体几何的综合运用,★★★)三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,PC⊥底面ABC,若PC=AC=1,AB=2,且∠BAC=60°,则下列说法正确的是().A .△PAB 是钝角三角形 B .此球的表面积等于5πC .BC ⊥平面PACD .三棱锥A-PBC 的体积为√3212.(考点:椭圆,★★★)在△ABC 中,A (-2,0),B (2,0),且AC 与BC 的斜率之积为-12,设点C 的轨迹为E ,过点F (-√2,0)作直线MN 交轨迹E 于M ,N 两点,若△MAB 的面积是△NAB 面积的2倍,则下列说法正确的是( ). A .E 的轨迹方程是x 24+y 22=1(y ≠0)B .E 的轨迹方程是x 24+y 23=1(y ≠0)C .直线MN 的斜率为±√142 D .直线MN 的斜率为±√147三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,4),c=(5,λ),若c ⊥(a+b ),则λ= . 【解析】由题意得,a+b=(4,6).由c ⊥(a+b ),可知4×5+6λ=0,得λ=-103. 【答案】-10314.(考点:线性回归,★★)某工厂为研究某种产品产量x (吨)与所需某种原材料y (吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据(x ,y )如下表所示:x 345 6 y2.5 34m根据表中数据,得出y 关于x 的线性回归方程为y ＾=0.7x+a.据此计算出在样本点(4,3)处的残差为-0.15,则表中m 的值为 .15.(考点:均值不等式,★★★)已知x ,y 是正数,且x+2y-xy=0,若x+2y>m 2-7m 恒成立,则实数m 的取值范围是 .16.(考点:新定义题型,★★★)定义方程f (x )=f'(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”.设f (x )=cos x ,则f (x )在(0,π)上的“新驻点”为 ;如果函数g (x )=x 与函数h (x )=ln(x+1)的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是 .答案解析：1.(考点:复数,★)若复数(2a+i)(1+i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在直线2x-y+1=0上,则实数a 的值为( ).A .-2B .2C .-1D .1【解析】由题意得(2a+i)(1+i)=2a-1+(2a+1)i,该复数在复平面内对应的点的坐标为(2a-1,2a+1),它落在直线2x-y+1=0上,故2(2a-1)-(2a+1)+1=0,解得a=1.故选D . 【答案】D2.(考点:充分、必要条件,★)“0<x<1”是“cos 2x<cos x ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】由cos 2x<cos x 得0<cos x<1.因为y=cos x 在(0,1)上单调递减,所以当0<x<1时,cos 1<cos x<1,而0<cos1<1,所以0<cos x<1,故充分性成立;而当0<cos x<1时,2k π-π2<x<2k π+π2且x ≠2k π,k ∈Z,推不出0<x<1,故必要性不成立. 【答案】A3.(考点:等差数列,★)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3a 6=4a 8,则下列选项中一定为0的是( ). A .a 1 B .a 13 C .S 27 D .S 28【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因为3a 6=4a 8,所以3(a 1+5d )=4(a 1+7d ),所以a 1+13d=0,即a 14=0,所以S 27=a 1+a 272×27=2a 142×27=27a 14=0.【答案】C4.(考点:三角恒等变换,★)已知角α的终边与单位圆x 2+y 2=1交于点P (14,y 0),则sin (π2+2α)等于( ). A .18 B .-78 C .-38 D .14【解析】因为角α的终边与单位圆x 2+y 2=1交于点P (14,y 0),所以cos α=14,sin (π2+2α)=cos2α=2cos 2α-1=2×(14)2-1=-78. 【答案】B5.(考点:古典概型,★★) “仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为( ). A .110 B .15 C .310 D .25【解析】“仁、义、礼、智、信”排成一排,任意排有A 55种排法,其中“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的排法有A 22A 33种排法,故概率P=A 22A 33A 55=110.【答案】A6.(考点:双曲线,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,点F 到一条渐近线的距离为√6,双曲线的焦距为6,则双曲线的离心率为( ). A .√2B .√3C .√62 D .√305【解析】由题意可知,在双曲线中,焦点到渐近线的距离为虚半轴长,即b=√6,又焦距2c=6,所以c=3,所以a=√32-6=√3,离心率e=ca =3√3=√3.故选B.【答案】B7.(考点:函数图象的判断,★★)函数y=1x -ln(x+1)的图象大致为( ).【解析】由于函数y=1x -ln(x+1)在(-1,0),(0,+∞)上单调递减,故排除B,D;当x=1时,y=1-ln 2>0,故排除C .故选A . 【答案】A8.(考点:与球有关的计算,★★★)已知四面体A-BCD 的侧棱长相等,底面正三角形BCD 的面积为8√3,当AB ⊥平面ACD时,四面体A-BCD的外接球的体积为().A.24πB.32πC.24√3πD.32√3π【解析】如图所示,设正三角形BCD的边长为a,则√3a2=8√3,解得a=4√2.4由题意可知,AB=AC=AD,BC=BD=CD,则△ABD≌△ACD,∠BAD=∠CAD.当AB⊥平面ACD时,∵AD⊂平面ACD,∴AB⊥AD,∴∠BAD=∠CAD=90°,∴AB=√2BD=4,易知四面体A-BCD的侧棱两两垂直且相等,可构造正方体.2设四面体A-BCD外接球的半径为R,则2R=√42+42+42=4√3,∴R=2√3,故四面体A-BCD的外接球的体积V=4×π×(2√3)3=32√3π.3【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:样本的数字特征,★★)在某次疫情期间,有专家团队认为在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续14日,每天新增疑似病例不超过9人”.过去14日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下:甲地:平均数为5,中位数为6.乙地:平均数为3,方差大于0.丙地:平均数为2,方差为3.丁地:中位数为6,方差为0.则甲、乙、两、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是().A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【解析】甲地不符合, 平均数为5,中位数为6,平均数与中位数不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过9人的情况;乙地不符合, 平均数为3,方差大于0,没有给出方差具体的大小,如果方差很大有可能出现超过9人的情况;[(x1-x−)2+(x2-x−)2+(x3-x−)2+…+(x14-x−)2],若出现大于9的数值m=10,则丙地符合,根据方差公式s2=114s 2=114[(10-2)2+(x 2-x −)2+(x 3-x −)2+…+(x 14-x −)2]>6414=327>3,与方差为3矛盾,因而不会出现超过9人的情况;丁地符合,中位数为6,但方差为0,所以每天新增疑似病例都是6,不超过9. 综上,CD 符合要求. 【答案】CD10.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知定义在R 上的函数f (x )满足对任意x 有f (-x )=-f (x ),f (x-6)=-f (x ),且当x ∈[0,3]时,f (x )=2x -1,则下列说法正确的是( ). A .f (4)=3B .函数f (x )在[-9,-3]上单调递增C .函数f (x )的图象关于直线x=6对称D .若a ∈(0,7),则关于x 的方程f (x )-a=0在[0,9]上所有根之和为6【解析】由题意得函数f (x )的图象关于直线x=3对称,得f (4)=f (2)=3,故A 正确.由题意得函数f (x )是R 上的奇函数且周期为12的周期函数,在[-9,-3]上单调递减,故B 不正确.∵函数f (x )是奇函数, 且函数f (x )的图象关于直线x=-3和x=3对称,但不关于直线x=6对称,故C 不正确.若a ∈(0,7),则关于x 的方程f (x )-a=0在[0,9]上只有两个根且两根关于直线x=3对称,故这两个根之和是6,故D正确. 【答案】AD11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)三棱锥P-ABC 的各顶点都在同一球面上,PC ⊥底面ABC ,若PC=AC=1,AB=2,且∠BAC=60°,则下列说法正确的是( ). A .△PAB 是钝角三角形 B .此球的表面积等于5π C .BC ⊥平面PACD .三棱锥A-PBC 的体积为√32【解析】在底面△ABC 中,由AC=1,AB=2,∠BAC=60°,结合余弦定理可得BC=√12+22-2×1×2×12=√3,所以AC 2+BC 2=AB 2,所以BC ⊥AC ,又PC ⊥底面ABC ,所以PC ⊥BC ,又AC ∩PC=C ,所以BC ⊥平面PAC ,故C 正确;因为PB=2,PA=√2,AB=2,所以cos ∠APB=2×√2×2>0,所以△PAB 是锐角三角形,故A 错误;V A-PBC =V P-ABC =13×12×√3×1×1=√36,故D 错误;因为AC ,BC ,PC 两两垂直,所以可将三棱锥P-ABC 补成一个长方体,所以三棱锥P-ABC 的外接球的半径R=√12+12+√322=√52,所以三棱锥的外接球的表面积等于4π×(√52)2=5π,故B 正确.故选BC .【答案】BC12.(考点:椭圆,★★★)在△ABC 中,A (-2,0),B (2,0),且AC 与BC 的斜率之积为-12,设点C 的轨迹为E ,过点F (-√2,0)作直线MN 交轨迹E 于M ,N 两点,若△MAB 的面积是△NAB 面积的2倍,则下列说法正确的是( ). A .E 的轨迹方程是x 24+y 22=1(y ≠0)B .E 的轨迹方程是x 24+y 23=1(y ≠0)C .直线MN 的斜率为±√142 D .直线MN 的斜率为±√147 【解析】设点C (x ,y ),则yx -2·yx+2=-12,整理得x 24+y 22=1(y ≠0),所以A 正确,B 错误;设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),易知直线MN 不与x 轴重合,设直线MN 的方程为x=my-√2,与x 24+y 22=1联立,得(m 2+2)y 2-2√2my-2=0,则y 1+y 2=2√2mm 2+2,y 1y 2=-2m 2+2,由S △MAB =2S △NAB ,得|y 1|=2|y 2|,即y 1=-2y 2, 从而(y 1+y 2)2y 1y 2=-4m 2m 2+2=y 1y 2+y 2y 1+2=-12,解得m 2=27,即m=±√147,所以直线MN 的斜率k=±√142,所以C 正确,D 错误.【答案】AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,4),c=(5,λ),若c ⊥(a+b ),则λ= . 【解析】由题意得,a+b=(4,6).由c ⊥(a+b ),可知4×5+6λ=0,得λ=-103. 【答案】-10314.(考点:线性回归,★★)某工厂为研究某种产品产量x (吨)与所需某种原材料y (吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据(x ,y )如下表所示:x 3 4 5 6 y2.5 34m根据表中数据,得出y 关于x 的线性回归方程为y ＾=0.7x+a.据此计算出在样本点(4,3)处的残差为-0.15,则表中m 的值为 .【解析】据题意计算出在样本点(4,3)处的残差为-0.15,可得y ＾=3.15,则在点(4,3)处有3.15=0.7×4+a ,所以a=0.35.由题意可知,产量x 的平均值x −=14×(3+4+5+6)=4.5,由回归直线y ＾=0.7x+0.35过样本点的中心(x −,y −), 得y −=0.7x −+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5, 故m=3.5×4-2.5-3-4=4.5. 【答案】4.515.(考点:均值不等式,★★★)已知x ,y 是正数,且x+2y-xy=0,若x+2y>m 2-7m 恒成立,则实数m 的取值范围是 .【解析】因为x+2y-xy=0,所以2x +1y =1,所以x+2y=(x+2y )(2x +1y )=4+4y x +xy ≥4+2√4yx ×xy =8,当且仅当x=2y 时取等号,所以m 2-7m<8,解得-1<m<8. 【答案】(-1,8)16.(考点:新定义题型,★★★)定义方程f (x )=f'(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”.设f (x )=cos x ,则f (x )在(0,π)上的“新驻点”为 ;如果函数g (x )=x 与函数h (x )=ln(x+1)的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是 .【解析】∵f (x )=cos x ,∴f'(x )=-sin x ,根据“新驻点”的定义得f (x )=f'(x ),即cos x=-sin x ,可得tan x=-1,∵x ∈(0,π),解得x=3π4,∴函数f (x )=cos x 在(0,π)上的“新驻点”为3π4. ∵g (x )=x ,∴g'(x )=1,根据“新驻点”的定义得g (α)=g'(α),即α=1.∵h (x )=ln(x+1),∴h'(x )=1x+1,由“新驻点”的定义得h (β)=h'(β),即ln(β+1)=1β+1,构造函数F (x )=ln(x+1)-1x+1,则函数y=F (x )在定义域上为增函数.∵F (0)=-1<0,F (1)=ln 2-12>0,F (β)=0,∴β∈(0,1),∴α>β.【答案】3π4 α>β。

提速练(三)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x|√x-1<3},则A∩B=( D )A.{1,3}B.{3,5,7,9}C.{3,5,7}D.{1,3,5,7,9}解析:由√x-1<3,得1≤x<10,则A∩B={1,3,5,7,9}.故选D.2.已知(1+i)z=2i,则复数z的共轭复数是( C )A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i解析:由(1+i)z=2i,可得z=2i1+i =2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i,所以复数z的共轭复数是1-i.故选C.3.已知平面向量a,b的夹角为π3,且|a|=1,b=(-1,√3),则|a-2b|的值为( C )A.√5B.4C.√13D.2√3解析:因为平面向量a,b的夹角为π3,且|a|=1,b=(-1,√3),所以|b|=√1+3=2,a·b=1×2cos π3=1,所以|a-2b|=√(a-2b)2=√|a|2-4a·b+4|b|2=√1-4×1+4×4= √13.故选C.4.在某研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F 共6项成果要汇报,如果B 成果不能最先汇报,而A,C,D 按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为( A ) A.100 B.120 C.300 D.600解析:先排B 成果,有5种排法,然后排剩余5个成果共A 55=120,由于A,C,D 顺序确定,所以不同的排法共有5×120A 33=100(种).故选A.5.(2022·山东青岛二模)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建设学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,在羡除ABCDEF 中,底面ABCD 是正方形,EF ∥平面ABCD,EF=2,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为( B )A.√23π B.4π3C.8√23π D.4π解析:连接AC,BD 交于点M,取EF 的中点O,则OM ⊥平面ABCD,取BC 的中点G,连接FG,作GH ⊥EF,垂足为H,如图所示.由题意可知,HF=12,FG=√32,所以HG=√FG 2-HF 2=√22,所以OM=HG=√22,AM=√22,所以OA=√OM 2+AM 2=1,又OE=1,所以OA=OB=OC=OD=OE=OF=1,即这个几何体的外接球的球心为O,半径为1,所以这个几何体的外接球的体积V=43πR 3=43×π×13=43π.故选B.6.设a=log 0.222 022,b=sin(sin 2 022),c=2 0220.22,则a,b,c 的大小关系为( A ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a解析:因为a=log 0.222 022<log 0.2210.22=-1,-1<b=sin(sin 2 022)<1,c=2 0220.22>2 0220=1,所以a<b<c.故选A.7.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为v=12log 3Q 100,其中Q 表示鲑鱼的耗氧量,则鲑鱼以 1.5 m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( D )A.2 600B.2 700C.2D.27 解析:当一条鲑鱼静止时,v=0, 此时0=12log 3Q 1100,则Q 1100=1,耗氧量为Q 1=100;当一条鲑鱼以1.5 m/s 的速度游动时,v=1.5,此时1.5=12log 3Q 100,所以log 3Q 100=3,则Q100=27,即耗氧量为Q=2 700,因此鲑鱼以1.5 m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为2 700100=27.故选D.8.已知函数f(x)=xln x-ax+1e(a+1)有两个零点x 1,x 2,若x 1+x 2>2e,则实数a 的取值范围是( A )A.(0,+∞)B.(-1,0)C.{a|a=0}D.(-1,0)∪(0,+∞)解析:因为f(x)=xln x-ax+1e (a+1),所以f ′(x)=ln x+(1-a),令f ′(x)>0,即ln x>a-1,解得x>e a-1,令f ′(x)<0,即ln x<a-1,解得0<x<e a-1,即f(x)在(0,e a-1)上单调递减,在(e a-1,+∞)上单调递增,即x=e a-1是函数f(x)的极小值点.因为f(1e)=1eln 1e -a e +1e(a+1)=-1e -a e +1e(a+1)=0,所以1e是函数f(x)的一个零点,不妨设x 1=1e,若x 1+x 2>2e,则x 2>1e,则e a-1>1e,解得a>0.故选A.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设0<a<b,且a+b=2,则( AC ) A.1<b<2 B.2a-b >1 C.ab<1 D.1a +2b >3解析:对于A,因为0<a<b,且a+b=2,所以0<2-b<b,解得1<b<2,故A 正确;对于B,因为a<b,即a-b<0,所以2a-b <20=1,故B 错误;对于C,因为0<a<b,且a+b=2,所以ab ≤(a+b )24=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以ab<1,故C 正确; 对于D,因为0<a<b,且a+b=2,所以(1a +2b)=12(1a +2b)(a+b)=12(1+b a+2a b+2)≥12(3+2√b a·2ab )=12(3+2√2), 当且仅当b a=2ab,即a=2√2-2,b=4-2√2时等号成立,因为12(3+2√2)-3=2√2-32<0,所以12(3+2√2)<3,所以D 错误.故选AC.10.已知双曲线C:x 29-k +y 2k -1=1(0<k<1),则( ACD )A.双曲线C 的焦点在x 轴上B.双曲线C 的焦距等于4√2C.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于√1-kD.双曲线C的离心率的取值范围为(1,√103)解析:对于A,因为0<k<1,所以9-k>0,k-1<0, 所以双曲线C:x 29-k -y 21-k=1(0<k<1)表示焦点在x 轴上的双曲线,故选项A正确;对于B,由A 知a 2=9-k,b 2=1-k,所以c 2=a 2+b 2=10-2k,所以c=√10-2k , 所以双曲线C 的焦距2c=2√10-2k (0<k<1),故选项B 错误; 对于C,设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),焦点坐标为(±c,0),则渐近线方程为y=±bax,即bx ±ay=0,所以焦点到渐近线的距离d=|bc |√a 2+b 2=b,所以双曲线C:x 29-k -y 21-k=1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于√1-k ,故选项C 正确;对于D,双曲线C 的离心率e=√1+b 2a2=√1+1-k 9-k=√2-89-k,因为0<k<1,所以1<2-89-k<109,所以e=√2-89-k∈(1,√103),故选项D 正确.故选ACD.11.已知函数f(x)=cos(2x-π4),先将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,再将所得图象上所有的点向右平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则( BCD )A.g(x)=cos(6x-5π12)B.g(x)的图象关于x=5π8对称C.g(x)的最小正周期为3πD.g(x)在区间(5π8,17π8)上单调递减解析:对于函数f(x)=cos(2x-π4),先将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到y=cos(23x-π4)的图象,再将所得图象上所有的点向右平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)=cos(23x-5π12)的图象,故A 错误;当x=5π8时,g(5π8)=1,故B 正确;函数g(x)的最小正周期为2π23=3π,故C 正确;当x ∈(5π8,17π8)时,23x-5π12∈(0,π),故函数g(x)在区间(5π8,17π8)上单调递减,故D 正确.故选BCD.12.已知数列{a n }满足a n+1(2a n +1)=3a n +m,a n ≠-12,则下列说法正确的有( BC )A.若m=-12,a 1=1,则a 3=5B.若m=0,a 1=12,则a n =3n -13n -1+1C.若m=12,a 1≠-2,3,则{a n -3a n +2}是等比数列D.若m=-12,a 1=1,则a n =76-n 6解析:A 选项,若m=-12,则a n+1(2a n +1)=3a n -12,即a n+1=3a n -122a n +1.又a 1=1,则a 2=3-123=-3,a 3=-9-12-6+1=215,故A 错误;B 选项,若m=0,则a n+1(2a n +1)=3a n ,即a n+1=3a n 2a n +1,即1a n+1=23+13a n,则1a n+1-1=13(1a n-1).又a 1=12,则1a 1-1=2-1=1,所以{1a n-1}是首项为1,公比为13的等比数列,则1a n-1=(13)n -1,即1a n=(13)n -1+1=1+3n -13n -1,即a n =3n -13n -1+1,故B 正确;C 选项,若m=12,则a n+1(2a n +1)=3a n +12,即a n+1=3a n +122a n +1, 则a n+1-3a n+1+2=3a n +122a n +1-33a n +122a n +1+2=3a n +12-3(2a n +1)3a n +12+2(2a n +1)=-3a n +97a n +14=-37×(a n -3a n +2),所以{a n -3a n +2}是公比为-37的等比数列,故C 正确;D 选项,若m=-12,则a n+1=3a n -122a n +1,则a n+1-12=3a n -12-a n -122a n +1=2a n -12a n +1,则1a n+1-12=2a n -1+22a n -1=1+22a n -1=1+1a n -12(a n ≠12),即1a n+1-12-1a n -12=1.又a 1=1,则1a 1-12=2,所以{1a n -12}是首项为2,公差为1的等差数列,所以1a n -12=n+1,即a n -12=1n+1,即a n =1n+1+12,故D 错误.故选BC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(1+2x-x 2)n 的展开式中各项系数的和为64,则(1+x +1x 2)n的展开式中常数项为 .解析:因为(1+2x -x 2)n的展开式中各项系数的和为64,则令x=1得2n =64,解得n=6. (1+x +1x 2)6表示6个因式1+x+1x2的乘积,在这6个因式中,有6个因式都选1,可得常数项为1;有2个因式都选x,有1个因式选1x2,其余的3个因式都选1,可得常数项为C 62C 41C 33×13=60;有4个因式都选x,有2个因式都选1x 2,可得常数项为C 64C 22=15.综上,所求的展开式中常数项为60+15+1=76. 答案:7614.2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布局赛区,北京承办所有冰上项目,延庆和张家口承办所有雪上项目.组委会招聘了甲在内的4名志愿者,准备分配到上述3个赛区参与赛后维护服务工作,要求每个赛区至少分到一名志愿者,则志愿者甲正好分到北京赛区的概率为 .解析:依题意得3个赛区分配的志愿者人数只有1人、1人、2人这种情况,一共有C 42A 33=36种安排方法;志愿者甲分配到北京赛区有A 33+ C 32A 22=12种安排方法,故志愿者甲正好分到北京赛区的概率P=1236=13.答案:1315.已知点A(1,√2)在抛物线y 2=2px(p>0)上,若△ABC 的三个顶点都在抛物线上,记三边AB,BC,CA 所在直线的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则1k 1-1k 2+1k 3= .解析:因为点A(1,√2)在抛物线y 2=2px(p>0)上,所以2=2p ×1,解得p=1,所以抛物线的方程为y 2=2x.设B(y 122,y 1),C(y 222,y 2),k 1=y 1-√2y 122-1=y +√2,k 2=y 1-y 2y 122-y 222=2y 1+y 2,k 3=y 2-√2y 222-1=y +√2,1k 1-1k 2+1k 3=y 1+√22-y 1+y 22+y 2+√22=√2.答案:√216.在△ABC 中,AB=AC=2,cos A=34,将△ABC 绕BC旋转至△BCD 的位置,使得AD=√2,如图所示,则三棱锥D ABC 外接球的体积为 .解析:在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=22+22-2×2×2×34=2,所以BC=√2.在三棱锥D ABC 中,AB=AC=DB=DC=2,AD=BC=√2.将三棱锥D ABC 放入长方体中,如图所示,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,三棱锥D ABC 外接球的半径为R,则a 2+b 2=4,b 2+c 2=4,a 2+c 2=2,所以a 2+b 2+c 2=5,所以R=12√a 2+b 2+c 2=√52,从而三棱锥D ABC 外接球的体积V=43πR 3=5√56π. 答案:5√56π。

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 答案：B解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2.因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上x <tan x ，所以x cos x －sin x <0，所以y ′<0，所以y ＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以y 1>y 2.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2答案：C解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .∵x ＞0，∴由f ′(x )＝0得x ＝12.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎨⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)答案：D解析：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．4．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．(2019·曲靖二模)已知偶函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，对定义域内的任意x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若f (2)＝1，则不等式x 2f (x )＜4的解集为( ) A ．{x |x ≠0，±2} B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2) 答案：B解析：令g (x )＝x 2f (x )－4，g (2)＝0. ∵g (－x )＝x 2f (－x )－4＝x 2f (x )－4＝g (x )，∴g (x )在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上为偶函数．当x ＞0时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]＞0成立． ∴函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴不等式x 2f (x )＜4⇔g (|x |)＜g (2)． ∴|x |＜2，x ≠0.解得x ∈(－2,0)∪(0,2)．6．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( ) A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )答案：A解析：因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0，则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b ，即af (b )≤bf (a )．7．(2019·甘肃模拟)若点(m ，n )在函数f (x )＝13x 3－x (x >0)的图象上，则n －m ＋22的最小值是( ) A.13 B ．23 C.223 D ．2 2答案：C解析：∵点(m，n)在函数f(x)＝13x3－x(x>0)的图象上，∴n＝13m3－m，则n－m＋22＝13m3－2m＋2 2.令g(m)＝13m3－2m＋22(m＞0)，则g′(m)＝m2－2，可得g(m)在(0，2)递减，在(2，＋∞)递增，∴g(m)的最小值是g(2)＝223.8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，且(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定答案：C解析：由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数单调递减．当x<1时，f′(x)>0，函数单调递增．因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数f(x)图象的对称轴为x＝1.所以，若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)；若x1<1，则x2>2－x1>1，此时有f(x2)<f(2－x1)，又f(2－x1)＝f(x1)，所以f(x1)>f(x2)．综上，必有f(x1)>f(x2)．9．已知函数f(x)＝ax－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3 答案：C解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－x ln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x．令h′(x)＝0，可得x＝1，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.10．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D ．32答案：D解析：解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t ＞0)，则t ＋ln t ＝a ， 则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t ＞0)， 则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t ＞0)．令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.11．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6.同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立， 故实数a 的取值范围为[－6，－2]．12．设函数f (x )＝3sin πm x ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2.则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：由正弦函数的图象知，f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3. ∴πx 0m ＝k π＋π2，k ∈Z .∴x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12·m .∴不等式x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3＜m 2(k ∈Z )⇔m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3(k ∈Z )． 存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔存在整数k 使不等式m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3成立．当k ≠0且k ≠－1时，必有⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞1，此时不等式显然不成立．∴k ＝0或－1时，m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3⇔34m 2＞3⇔m ＞2或m ＜－2. 二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0.解得－22<m <0.14．(2019春·潍坊期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝－2，若对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则不等式f (x )＞3x ＋4的解集为________． 答案：(－∞，－2)解析：根据题意，设g (x )＝f (x )－3x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则g ′(x )＜0，即g (x )在R 上为减函数． 又由f (－2)＝－2，则g (－2)＝f (－2)＋6－4＝0， 则f (x )＞3x ＋4⇒f (x )－3x －4＞0⇒g (x )＞g (－2)， 即不等式的解集为(－∞，－2)．15．(2019·南开区二模)已知函数f (x )＝e x －1e x －2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)＋f (a －3)＜0，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1解析：∵f (x )＝e x －1e x －2sin x ，∴f (－x )＝e －x －e x ＋2sin x ＝－f (x )， ∵f (x )′＝e x ＋1e x －2cos x ≥2e x ·e －x －2cos x ≥0，∴f (x )在R 上单调递增且为奇函数．由f (2a 2)＋f (a －3)＜0，可得f (2a 2)＜－f (a －3)＝f (3－a )， ∴2a 2＜－a ＋3，解得－32<a <1. 16．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞解析：由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立．令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min .又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：30分钟)1．(2019·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋e. (1)若f (x )≥ax 恒成立，求实数a 的最大值； (2)设函数F (x )＝e x －1f (x )－x 2－2x ＋1，求证：F (x )＞0. 解析：(1)函数f (x )＝x ln x ＋e 的定义域为(0，＋∞)， f (x )≥ax 恒成立⇔a ≤x ln x ＋e x .令φ(x)＝x ln x＋ex，则φ′(x)＝x－ex2，可得φ(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(e)＝2，∴a≤2.故实数a的最大值为2.(2)由(1)可知f(x)≥2x，只需证明2x≥x2＋2x－1e x－1.令g(x)＝2x－x2＋2x－1e x－1，则g′(x)＝2－3－x2e x－1＝2e x－1＋x2－3e x－1.令h(x)＝2e x－1＋x2－3，h′(x)＝2e x－1＋2x＞0在(0，＋∞)恒成立．注意到h(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，∴g(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0.∴2x≥x2＋2x－1e x－1.当且仅当x＝1时取等号，而f(x)≥2x，当且仅当x＝e时取等号，∴F(x)＞0.2．(2019·蓉城名校联盟联考)已知函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋2ln x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在最大整数k，当a≤k时，对任意的x≥2，都有f(x)<e x(x－1)－ax－ln x成立？(其中e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax －2(a ＋1)＋2x ＝2(ax －1)(x －1)x，所以当a ∈(－∞，0]时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a ∈(0,1)时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单凋递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．(2)ax 2－2(a ＋1)x ＋2ln x <e x (x －1)－ax －ln x 对x ≥2恒成立⇔ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x <e x (x －1)． ①当x ＝2时，得4a －(a ＋2)×2＋3ln 2<e 2， 所以2a <e 2＋4－ln 8<8＋4－2＝10， 所以a <5，则整数k 的最大值不超过4.下面证明：当a ≤4时，不等式①对于x ≥2恒成立， 设g (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x －e x (x －1)(x ≥2)， 则g ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x . 令h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x .则h ′(x )＝2a －3x 2－(x ＋1)e x <2a －(x ＋1)e x ≤2a －3e 2≤8－3e 2<0，所以h (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x ≤h (2)＝3a －12－2e 2≤232－2e 2<0. 即当x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝ax2－(a＋2)x＋3ln x－e x(x－1)≤g(2)＝2a－4＋3ln 2－e2<8－4＋3－e2＝7－e2<0.所以a≤4时，不等式①恒成立，所以k的最大值为4.。

“12＋4”小题综合提速练(一)单独成册：对应学生用书第139页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·广西三校联考)如果集合M ＝{}x |y ＝5x －20，集合N ＝{}x |y ＝log 3x ，则M ∩N ＝( )A ．{x |0＜x ＜4}B ．{x |x ≥4}C ．{x |0＜x ≤4}D ．{x |0≤x ≤4}解析：由5x －20≥0，得x ≥4，∴M ＝{x |x ≥4}，N ＝{x |x ＞0}，∴M ∩N ＝{x |x ≥4}，故选B. 答案：B2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B.22 C. 2D ．1解析：由z (1－i)2＝1＋i ，得：z ＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，∴|z |＝(－12)2＋(12)2＝22.故选B. 答案：B3．(2018·石家庄二中模拟)已知命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝1－x 0，则命题p 的真假及綈p 依次为( )A ．真；∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠1－x 0B ．真；∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－xC ．假；∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－xD ．假；∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠1－x 0解析：当x 0＝1时，ln x 0＝1－x 0＝0，故命题p 为真命题； ∵p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝1－x 0， ∴綈p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－x .故选B. 答案：B4．(2018·大连八中模拟)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S 3＝6，则S 4＝( ) A ．10或8 B ．－10 C ．－10或8D ．－10或－8解析：设等比数列的公比为q ，则2＋2q ＋2q 2＝6， 解得q ＝1或q ＝－2.当q ＝1时，S 4＝S 3＋2＝8；当q ＝－2时，S 4＝S 3＋a 1q 3＝－10.故选C. 答案：C5．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34 C. 3D ．2解析：因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 答案：A6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≤1log 2(x －1)，x ＞1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)＝( )A ．－12 B ．－1 C ．－5D.12解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≤1log 2(x －1)，x ＞1，∴f (52)＝log 232， f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)＝f (log 232)＝＝－12.故答案为A. 答案：A7．在下列命题中，属于真命题的是( ) A ．直线m ，n 都平行于平面α，则m ∥nB ．设α-l -β是直二面角，若直线m ⊥α，则m ∥β，C ．若直线m ，n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，(且m ⊥n )，则n 在α内或n 与α平行D ．设m ，n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交解析：直线m ，n 都平行于平面α，则m ，n 可平行，可异面，可相交；设α-l -β是直二面角，若直线m ⊥α，则m ∥β或m ⊂β；直线m 在平面α内的射影是一个点，所以m ⊥α，又m ⊥n ，所以n 在α内或n 与α平行；m ，n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交或n ⊂α，因此选C. 答案：C8．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A.726π5 mm 2 B.363π10 mm 2 C.363π5 mm 2D.363π20 mm 2解析：由题意可知，纪念币的直径为22毫米，所以纪念币的面积为π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝121π平方毫米，又向硬币内随机投掷芝麻100次，恰有30次芝麻落在军旗内，则芝麻落在军旗内的概率是30100＝310，所以军旗的面积大约为121π·310＝363 π10平方毫米． 故本题正确答案为B. 答案：B9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11答案：B10.(2018·天津市八校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一部分图象如图所示，将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6解析：由题意得A ＝1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π⇒ω＝2πT ＝2，φω＝|－π6|⇒φ＝π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇒y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，选A.答案：A11．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是( ) A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±217xD ．y ＝±213x解析：若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点， 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则|F 1P |＝c 2＋4b 2， ∵F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的三个顶点， ∴c 2＋4b 2＝2c ，∴c 2＋4b 2＝4c 2， ∴c 2＋4(c 2－a 2)＝4c 2， ∴c 2＝4a 2，即c ＝2a ， b ＝c 2－a 2＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， 即为y ＝±3x ， 故选B. 答案：B12．(2018·石家庄二中模拟)已知函数f (x )满足对任意实数m ，n ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，设g (x )＝f (x )＋a x a x ＋1(a ＞0，a ≠1)，若g (ln 2 017)＝2 018，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12 017＝( ) A ．2 017 B ．2 018 C ．－2 016D ．－2 015解析：f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1中令m ＝n ＝0得f (0)＝1，再令m ＝x ，n ＝－x 得：f (x )＋f (－x )＝2，设h (x )＝a xa x ＋1，则h (x )＋h (－x )＝1，所以g (x )＋g (－x )＝f (x )＋f (－x )＋h (x )＋h (－x )＝3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12 017＝g (－ln 2 017)＝3－g (ln 2 017)＝－2 015.故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上)13．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x －y ＋1≥0x ≤3，若z ＝mx ＋y 的最小值为－3，则m的值为________．解析：由x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x －y ＋1≥0x ≤3，作出可行域如图：联立⎩⎨⎧x ＝3x ＋y ＝2，解得A (3，－1)，化目标函数z ＝mx ＋y 为y ＝－mx ＋z ，目标函数的最小值就是函数在y 轴上的截距最小，最小值为：－3，由图可知，m ＜0，使目标函数取得最小值的最优解为A (3，－1)，把A (3，－1)代入z ＝mx ＋y ＝－3，求得m ＝－23.答案：－2314．已知直线l ：x －3y ＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于O ，A 两点(其中O 是坐标原点)，则圆心C 到直线l 的距离为________，点A 的横坐标为________． 解析：∵圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2,0)，由点到直线的距离公式可得C 到直线l的距离为d＝|2－0|2＝1，由⎩⎨⎧x－3y＝0(x－2)2＋y2＝4，得O(0,0)，A(3，3)，A的横坐标为3.答案：1 315．已知△ABC的周长为2＋1，面积为16sin C，且sin A＋sin B＝2sin C，则角C的值为________．解析：设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则a＋b＋c＝2＋1，又sin A＋sin B＝2sin C，根据正弦定理得：a＋b＝2c，则c＝1，a＋b＝2，S△ABC＝12ab sin C＝16sin C，ab＝13，cos C＝a2＋b2－c22ab＝(a＋b)2－2ab－c22ab＝2－23－123＝12，所以C＝π3.答案：π316．(2018·南宁模拟)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的选项序号填到横线上)．①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥AEF所在平面．解析：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，②正确．∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确．∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴③不正确．由条件证不出HG⊥平面AEF，∴④不正确．答案：①③④。

“12＋4”小题提速练(一)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}，N ＝{x |0<x <2}，则N ∩(∁U M )＝( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1,2)D ．∅解析：选A 由M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}得M ＝{y |y ≥1}，所以∁U M ＝(－∞，1)，故N ∩(∁U M )＝(0,1)，故选A.2．已知复数z 满足(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( ) A ．－1913B ．1913C ．－913D.913解析：选A 由(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i ，得z ＝5－2i2＋3i －1＝－－＋－－1＝4－19i 13－1＝－913－1913i ，所以复数z 的虚部为－1913.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3B ．－2 C.23D ．2解析：选D 因为a ∥b ，所以3sin α＝cos α⇒tan α＝13，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13＋11－13＝2，选D.4．(2018·合肥一模)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( ) A ．112 B ．51 C ．28D ．18解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋－2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.5．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝4x 或x 2＝12yB ．y 2＝4xC ．y 2＝4x 或x 2＝－12yD ．x 2＝－12y解析：选C 设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝ax ，将点(1，－2)代入可得a ＝4，故抛物线的标准方程是y 2＝4x ；设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为x 2＝by ，将点(1，－2)代入可得b ＝－12，故抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上可知，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y 2＝4x或x 2＝－12y .6．(2019届高三·广州五校联考)已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5)A ．0.045 6B ．0.135 9C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B 因为P (－3<ξ<3)＝0.682 7，P (－6<ξ<6)＝0.954 5， 所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B. 7．(2018·长郡中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的i ＝1，S ＝0，则输出的i 为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B 依题意，执行程序框图，i ＝1，S ＝0<2，S ＝ln 3，i ＝3，S <2；S ＝ln 5，i ＝5，S <2；S ＝ln 7，i ＝7，S <2；S ＝ln 9，i ＝9，S >2，此时结束循环，输出的i ＝9，选B.8．(2018·郑州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 3解析：选B 由三视图知该几何体为底面为长方形的四棱锥，记为四棱锥A ­BDD 1B 1，将其放在长方体中如图所示，则该几何体的体积V ＝V 长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1－V 三棱锥A ­A 1B 1D 1－V 三棱柱BCD ­B 1C 1D 1＝3×4×5－13×12×3×4×5－12×3×4×5＝20(cm 3)，故选B.9．《周易》历被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100 010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.10.(2018·成都模拟)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B ．32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，c 2＝a 2＋52a ＝9，得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.11．(2018·山东德州模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1B ． 3 C.3＋1解析：选B 因为a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以所以0<A <π，所以A ＝2π3.所以b sin B ＝c sin C ＝C ，所以S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C B cosC ＝3cos(B －C )，又A ＋B ＋C ⎭⎪⎫－π3，π3，所以cos(B －C )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，当B ＝C 时，cos(B －C )＝1，所以S ⎦⎥⎤，3，即S ＋3cos B cos C 的最大值为 3.的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，2|时，都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为“偏对称函数”．现＝e x－x －1；f 3(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋，x ≤0，2x ，x >0；f 4(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 0( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C f 1(0)＝0，f 2(0)＝e 0－0－1＝0，f 3(0)＝ln 1＝0，f 4(0)＝0，即四个函数均满足条件①.f 1′(x )＝－3x 2＋3x ，xf 1′(x )＝x (－3x 2＋3x )＝－3x 2(x －1)，当x >1时，xf 1′(x )<0，不满足条件②，则函数f 1(x )不是“偏对称函数”；f 2′(x )＝e x－1，xf 2′(x )＝x (e x－1)，当x ≠0时，恒有xf 2′(x )>0，故满足条件②；f 3′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－11－x ，x ≤0，2，x >0，故xf 3′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－x ，x ≤0，2x ，x >0，故xf 3′(x )>0在x ≠0时恒成立，故满足条件②；因为当x ≠0时，f 4(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋12＝x ·2＋2x －1x－＝x 2·2x ＋12x －1，所以f 4(－x )＝－x 2·2－x＋12－x －1＝－x 2·12x ＋112x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f 4(x )，所以当x ≠0时，f 4(x )是偶函数，所以当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 4(x 1)＝f 4(x 2)，不满足条件③，所以f 4(x )不是“偏对称函数”；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 2(x 2)－f 2(x 1)＝e x 2－x 2－1－e x 1＋x 1＋1＝e x 2－e －x 2－2x 2，构造函数H (x )＝e x－e －x－2x ，则有H ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ×e －x－2＝0，当且仅当x ＝0时取等号，即H (x )是(0，＋∞)上的增函数，则x ∈(0，＋∞)时，H (x )>H (0)＝0，故f 2(x 2)－f 2(x 1)>0恒成立，所以f 2(x )满足条件③；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 3(x 2)－f 3(x 1)＝2x 2－ln(－x 1＋1)＝2x 2－ln(x 2＋1)，构造函数T (x )＝2x －ln(1＋x )，则当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )＝2－11＋x ＝1＋2x1＋x>0，所以T (x )是(0，＋∞)上的增函数，则当x ∈(0，＋∞)时，T (x )>T (0)＝0，故f 3(x 2)－f 3(x 1)>0恒成立，故f 3(x )满足条件③.综上可知“偏对称函数”有2个，选C.二、填空题13．(2018·辽宁五校联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，B (1,3)．显然目标函数z ＝－3x ＋y在点B 处取得最小值，z min ＝－3×1＋3＝0.答案：014．过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为________．解析：由题意得|OA |＝|OB |＝1，∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34，∴sin θ＝32， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π3，∴△AOB 为正三角形，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为32， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0， ∴|3k |k 2＋1＝32，∴k ＝±33. 答案：±3315.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋c cosA ＝b sinB ，A ＝π6，如图，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________.解析：由a cos C ＋c cos A ＝b sin B c ×b 2＋c 2－a 22bc＝b sin B ，即b＝b sin B ⇒sin B ＝1⇒B ＝π2，又∠CAB AB ＝3a ，AC ＝2a ，S △ABC ＝12×a 13－4a 212，∴a 2＝13－12cos D 4.又S △ACD ＝12AD ·3sin D ＝32×13－12cos D4＋3sin D ＝3sin D －⎭⎪⎫D ＋1338＝372sin(D －θ)＋1338⎝⎛时，S 四边形ABCD 最大，此时sin D ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝答案：27716．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 2x ，x ≥1，3x －2，x <1，若f [f (0)＋k ]>2，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f (0)＝－2，所以f (－2＋k )>2.当－2＋k <1，即k <3时，令f (－2＋k )＝3(k －2)－2>2，无解；当－2＋k ≥1，即k ≥3时，令f (－2＋k )＝2＋log 2(k －2)>2，得log 2(k －2)>0，即k －2>1，解得k >3.故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)。