(浙江专用)2020版高考数学 二元一次不等式组与简单的线性规划问题讲义(含解析)

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域[新知初探]1．二元一次不等式含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．2．二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．3．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．4．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．5．二元一次不等式表示的平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．[点睛] 确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C ≠0)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于不等式2x －1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域( ) (2)点(1,2)不在不等式2x ＋y －1>0表示的平面区域内( )(3)不等式Ax ＋By ＋C >0与Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域是相同的( ) (4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( ) (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( )解析：(1)错误．不等式2x －1>0不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x ＝12的右侧(不包括边界)．(2)错误．把点(1,2)代入2x ＋y －1，得2x ＋y －1＝3>0，所以点(1,2)在不等式2x ＋y －1>0表示的平面区域内．(3)错误．不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为二元一次不等式组．(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是( )解析：选C 原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.3．在不等式2x ＋y －6<0表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,7) B ．(5,0) C ．(0,1)D ．(2,3)解析：选C 对于点(0,1)，代入上述不等式2×0＋0×1－6<0成立，故此点在不等式2x ＋y －6<0表示的平面区域内，故选C.4．已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________．解析：因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >－12[典例(1)2x －y －6≥0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.[解] (1)如图，先画出直线2x －y －6＝0，取原点O (0,0)代入2x －y －6中， ∵2×0－1×0－6＝－6＜0，∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足2x －y －6＜0，因此2x －y －6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．(2)先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0,0)代入x －y ＋5，∵0－0＋5＝5＞0，∴原点在x －y ＋5＞0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 如图，易知直线kx －y ＋1＝0经过定点A (0,1)，又知道关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，且k >0，所以k ·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得k ＝2，故选B.[典例] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2表示的平面区域的面积为( )A.503 B.253 C.1003D.103[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，点B 的坐标为(－2，－2)，点C 的坐标为(8，－2)，所以△ABC 的面积是12×[8－(－2)]×⎣⎡⎦⎤43－(－2)＝503.[答案] A[活学活用]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 作出平面区域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0，可得A (1,1)， 又B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43，故选C.[典例] 某厂使用两种零件A ，B 装配两种产品P ，Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2 500件，月产Q 产品最多有1 200件；而且组装一件P 产品要4个零件A,2个零件B ，组装一件Q 产品要6个零件A,8个零件B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14 000个，B 零件最多12 000个．用数学关系式和图形表示上述要求．[解] 设分别生产P ，Q 产品x 件，y 件，依题意则有⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ≤14 000，2x＋8y ≤12 000，0≤x ≤2 500，x ∈N ，0≤y ≤1 200，y ∈N.用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．[活学活用]某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h 和2 h ，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和1 h ．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h 和9 h ．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x 和y ，它们满足的数学关系式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，3x ＋y ≤9，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．层级一 学业水平达标1．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B．9 C ．3D ．无数个解析：选A 作⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ，y ∈N 的平面区域，如图所示，符合要求的点P 的个数为10.2．不在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2)D ．(2,0)解析：选A 将(0,0)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3不成立，故(0,0)不在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(1,1)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(1,1)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(0,2)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(0,2)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(2,0)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(2,0)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，故选A.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C 表示的阴影中，故选C.4．已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系解析：选B 因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M 与原点在直线l 的异侧，故选B.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( )A.72B.73C.74D.12解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，E (0,2)，△CDE 为直角三角形． ∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝74.6．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有________个．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5,0)．答案：17．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC ，当5＜a ＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a ＜7时，表示的平面区域为三角形．答案：[5,7)9．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx －2y ＋1<0表示的平面区域内，求k 的取值范围．解：点P (1，－2)关于原点的对称点为P ′(－1,2)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k －2×(－2)＋1≥0，－k －2×2＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－5，k ≤－3， 解得－5≤k ≤－3.故k 的取值范围是[－5，－3]．10．已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫67，107，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45，所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AEF －S △BCF －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.层级二 应试能力达标1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1B.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥1解析：选B 由图易知平面区域在直线2x －y ＝0的右下方，在直线x ＋y ＝3的左下方，在直线y ＝1的上方，故选B.2．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．{0,2} C ．(0,2)D ．[0,2]解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以－a (2－a )<0，即a (a －2)<0，解得0<a <2.3．由直线x －y ＋1＝0，x ＋y －5＝0和x －1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≥1B.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y －5≤0x ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －5≥0x ≤1D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≤1解析：选A 由题意，得所围成的三角形区域在直线x －y ＋1＝0的左上方，直线x ＋y－5＝0的左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0，x －1≥0.4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5x ，y ∈N * B.⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x y ＝23C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x ，y ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y <100x y ＝23解析：选C 由题意50x ＋40y ≤2 000，即5x ＋4y ≤200，y x ＝23，x ，y ∈N *，故选C.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得C (4,0)，B (4,2)，D (0,3)，A (2,3)，所以平面区域的面积为3×4－12×2×1＝11.答案：116．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C 的坐标为(m ，－m )，把直线x －2y ＝2转化为斜截式y ＝12x －1，要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则点C 在直线x －2y ＝2的右下方，因此－m <m 2－1，解得m >23，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞7．已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2表示的平面区域内，求N (a －b ，a ＋b )所在的平面区域的面积．解：由题意，得a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ≤2，设n ＝a －b ，m ＝a ＋b ，则a ＝n ＋m 2，b ＝m －n2，于是有⎩⎨⎧n ＋m2≥0，m －n2≥0，m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m ≥0，m －n ≥0，m ≤2，这个不等式组表示的平面区域为如图所示的△OAB 内部(含边界)，其面积为12×(2＋2)×2＝4，即点N (a －b ，a ＋b )所在的平面区域的面积为4.8．已知点P 在|x |＋|y |≤1表示的平面区域内，点Q 在⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≤1，|y －2|≤1表示的平面区域内．(1)画出点P 和点Q 所在的平面区域； (2)求P 与Q 之间的最大距离和最小距离．解：(1)不等式|x |＋|y |≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，x －y ≥－1，x ≤0，y ≥0，x ＋y ≥－1，x ≤0，y ≤0，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|≤1，|y －2|≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，1≤y ≤3，由此可作出点P 和点Q 所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD 内部(含边界)，四边形EFGH 内部(含边界)．(2)由图易知|AG |(或|BG |)为所求的最大值，|ER |为所求的最小值，易求得|AG |＝(－1－3)2＋(0－3)2＝42＋32＝5，|ER |＝12|OE |＝22.3．3.2 简单的线性规划问题[新知初探]线性规划的有关概念(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x ，y 的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可行域是一个封闭的区域( )(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的( )(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解( ) (4)线性规划问题一定存在最优解( )解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z 2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z 2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，y ≥|x ＋1|，若可行域内存在点使得x ＋2y －a ＝0成立，则a的最大值为( )A ．－1B ．1C ．4D ．5解析：选D 作出不等式对应的可行域如图所示，由x ＋2y －a ＝0可得y ＝－12x ＋a 2，平移直线y ＝－12x ＋a2，当直线y ＝－12x ＋a 2经过点A 时，直线y ＝－12x ＋a 2的截距最大，此时a 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故A (1,2)，此时a 的最大值是a ＝x ＋2y ＝1＋2×2＝5.4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，y ≤2，则xx ＋y的取值范围是________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，y ≤2，作出可行域如图所示 ，所以yx 即是可行域内的点与原点连线的斜率，故可得y x ∈[0,2]，所以x x ＋y＝11＋y x∈⎣⎡⎦⎤13，1. 答案：⎣⎡⎦⎤13，1[典例] 设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.[活学活用]1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t ＝x －2y ，得直线y ＝12x －12t 在点⎝⎛⎭⎫2，a －22处取得最大值，即t max ＝2－2×a －22＝4－a ＝2，得a ＝2，故选C.2．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤2，x －y ≥－1，x ＋y ≥1，若目标函数z ＝2x ＋ay 仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是________．解析：作出不等式对应的平面区域如图所示，若a ＝0，则目标函数为z ＝2x ，即此时函数在A (3,4)时取得最大值，不满足条件． 当a ≠0，由z ＝2x ＋ay 得y ＝－2a x ＋z a ，若a ＞0，目标函数斜率－2a ＜0，此时平移y ＝－2a x ＋z a ，得y ＝－2a x ＋z a 在点A (3,4)处的截距最大，此时z 取得最大值，不满足条件．若a ＜0，目标函数斜率－2a ＞0，要使目标函数y ＝－2a x ＋z a 仅在点A (3,4)处取得最小值，则－2a <k AB ＝1 ，∴a <－2.答案：(－∞，－2)1．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域如图所示，x 2＋y 2＝u (除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大．取(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.题点二：斜率型最值2．在题点一的条件下，求v ＝yx －5的最大值与最小值． 解：v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )与定点D (5,0)连线的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.[典例] 某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：是多少？[解] 设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为z ，则目标函数为z ＝80x ＋60y ，根据题意可知，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l ：80x ＋60y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线过点M 时，z 取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，得M (9,4)，所以z max ＝80×9＋60×4＝960，即搭载A 产品9件，B 产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件解析：选D 设甲商品x 件，乙商品y 件，所赚钱数为z ，则目标函数为z ＝x ＋1.8y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图所示，由z ＝x ＋1.8y ，得y ＝－59x ＋5z 9，斜率为－59>－47，所以，由图可知直线过点A ⎝⎛⎭⎫0，507时，z 取得最大值．又x ，y ∈N ，所以点A 不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x ＝2，y ＝6时，z 取得最大值，故选D.层级一 学业水平达标1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40解析：选C 由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x ＋6y ＝0并向右上平移，由图可知，过点A (0,3)时z ＝x ＋6y 取得最大值，最大值为18.2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N z ＝20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N z ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6z ＝20x ＋40yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y解析：选A 由题意知A 正确．3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤95，6 B.⎝⎛⎦⎤－∞，95∪[6，＋∞) C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6]解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，yx 可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B ⎝⎛⎭⎫52，92，A (1,6)，故yx的取值范围是⎣⎡⎦⎤95，6. 4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析：选B 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)． 5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，所以a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.6．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A (1,3)，B (2,5)，C (3,4)，设目标函数为z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 的最大值为3.答案：37．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0， 得A (1,2)，所以|AO |2＝5. 答案：58．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A ，B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y .由⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)， 画出可行域，如图所示．当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1，2)时，z 取到最小值，且最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：159．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1，0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ， 作出可行域如图．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线． 过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)， ∴最优解为x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．层级二 应试能力达标1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32解析：选A 作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.2．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12C ．－12D ．－1解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤53，5 B ．[0,5] C ．[0,5)D.⎣⎡⎭⎫53，5解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u ＝2x －2y －1，当直线2x －2y －1－u ＝0经过点A (2，－1)时，u ＝5，经过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，u ＝－53， 则－53≤u <5，所以z ＝|u |∈[0,5)，故选C.4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，2y －x ＋2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．1或－12C ．2或1D ．2或－1解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝y －2ax ，得y ＝2ax ＋z .当2a ＝2或2a ＝－1，即a ＝1或a ＝－12时，z ＝y －2ax取得最大值的最优解不唯一，故选B.5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.答案：3 26．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元．解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，0.4x ＋0.1y ≤8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋y ≤80，x ≥0，y ≥0.投资者获得的利润设为z ，则有z ＝0.8x ＋0.4y .作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B 时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋y ＝80，得B (10,40)． 所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元． 答案：10 407．某运输公司每天至少要运送180 t 货物，公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，且有10名驾驶员．A 型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A 型卡车每天花费320元，每辆B 型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，每天花费z 元．则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ∈N0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ∈N0≤y ≤4，y ∈Nx ＋y ≤10，4x ＋5y ≥30，目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线320x ＋504y ＝z 经过直线4x ＋5y ＝30与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x ＋504y ＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．所以要使公司每天花费最少，每天应调用A 型卡车8辆，B 型卡车0辆．8．关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b －2a －1的取值范围． 解：b －2a －1可以转化为点(a ，b )与M (1,2)连线的斜率．由题知x 2＋ax＋2b ＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f (x )＝x 2＋ax ＋2b 必满足f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1＋a ＋2b <0，2＋a ＋b >0，画出可行域如图中阴影部分所示，由线性规划可知，点M (1,2)与阴影部分连线的斜率k 的取值范围为k AM <k <k BM, ∵A (－3,1)，B (－1,0)，∴14<b －2a －1<1，即b －2a －1的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，1. 由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a<－4. 综上，可得a的取值范围为[－7,2].。

第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By ＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()(5)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.()解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是zb.答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3)解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.答案C3.(必修5P86T3)－3y＋6≥0，－y＋2<0表示的平面区域是()解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y －y ＋1≥0，＋y －3≥0，－3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5.答案－55.(2017·舟山统考)已知整数x ，y ≥x ，＋y >4，－2y ＋8>0，则2x ＋y 的最大值是________；x 2＋y 2的最小值是________.解析≥x ，＋y >4，－2y ＋8>0的可行域如图所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，由图可知，当直线y ＝－2x＋z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，＝y ，－2y ＋8＝0＝8，＝8，即A 点坐标为(8，8)，z 最大值等于2×8＋8＝24.x 2＋y 2的最小值是可行域的B ＋y ＝4，＝x可得B (2，2)，可得22＋22＝8.答案2486.若变量x ，y ≤x ，＋y ≤4，≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.答案－2考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(2015·重庆卷)＋y －2≤0，＋2y －2≥0，－y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为()A.－3B.1C.43D.3解析如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，＋y －2＝0，－y ＋2m ＝0，＝1－m ，＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ).＋2y －2＝0，－y ＋2m ＝0，＝23－43m ，＝23＋23m ，即－43m ，23＋23m △ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B.答案B规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练1】≥0，＋3y ≥4，x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是()A.73B.37C.43D.34解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点当y ＝kx ＋43过点时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案A考点二线性规划相关问题(多维探究)命题角度一求目标函数的最值【例2－1】(1)(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________.解析(1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3.答案(1)－10(2)3命题角度二求参数的值或范围【例2－2】(2015·福建卷)变量x ，y 满足约束条件x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y的最大值为2，则实数m 等于()A.－2 B.－1C.1D.2解析如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2，即y＝2x －2＋y ≥0，－2y ＋2≥0表示的区域，由于mx －y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A (2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1.答案C规律方法线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2.③斜率型：形如z ＝y －bx －a.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.【训练2】(1)设x ，y ＋y ≥a ，－y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝()A.－5B.3C.－5或3D.5或－3(2)(2017·诸暨市统考)已知变量x ，y x －y ≤0，－2y ＋3≥0，≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析(1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中由z＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za.由图可知当－1≤－1a ≤1时，z 可取得最小值，此时a ≥1或a ≤－1.又直线y ＝－1a x ＋za 过A 点时，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，当a ＝3时，经检验知满足题意；当a ＝－5时，目标函数z ＝x ＋ay 过点A 时取得最大值，不满足题意，故选B.(2)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.x －y ＝0，－2y ＋3＝0，＝1，＝2，即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4.答案(1)B (2)4考点三实际生活中的线性规划问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为x ＋0.5y ≤150，＋0.3y ≤90，x ＋3y ≤600，≥0，x ∈N *，≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元).答案216000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.【训练3】(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A (吨)3212B (吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有x ＋2y ≤12，＋2y ≤8，≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.＋2y ＝8，x ＋2y ＝12，得A (2，3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元).答案D[思想方法]1.求最值：求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()解析法一不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于－2y ＋1≤0，＋y －3≥0或－2y ＋1≥0，＋y －3≤0，画出对应的平面区域，可知C 正确.法二结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选C.答案C2.≤－x ＋2，≤x －1，≥0所表示的平面区域的面积为()A.1B.12C.13D.14解析作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.＝－x ＋2，＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案D3.(2017·湖州市统检)－y ≤0，＋y ≥－2，－2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最小值是()A.－4B.－1C.1D.4解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当a ＝－2，b ＝0，z ＝2a －3b 取得最小值－4.答案A4.(2016·浙江卷)＋y －3≥0，x －y －3≤0，－2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355B.2C.322D.5解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示阴影部－2y ＋3＝0，＋y －3＝0，解得A (1，2)，＋y －3＝0，x －y －3＝0，解得B (2，1).由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝（1－2）2＋（2－1）2＝ 2.答案B5.x ，y ＋y －2≤0，－2y －2≤0，x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为()A.12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－1解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.答案D6.若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )＋y －3≤0，－2y －3≤0，≥m ，则实数m 的最大值为()A.12B.1C.32D.2解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x＋y －3≤0，－2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.答案B7.(2017·石家庄质检)已知x ，y满足约束条件≥1，≥－1，x ＋y ≤9，＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是()A.－209B.1C.2D.5解析作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx ＋z 过A 点时，直线在y轴的截距最大，由＝1，＋y ＝3，＝1，＝2，即A (1，2)，∴2－m ＝1，解得m＝1.故选B.答案B8.(2017·杭州七校联考)若变量x 、y－y ＋1≤0，≤1，>－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为()A.322B.5C.92D.5解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C、D间的距离最小，此时z最小.＝1，－y＋1＝0＝0，＝1，即C(0，1)，此时z min＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故选D.答案D二、填空题9.设变量x，y＋y－2≥0，－y－2≤0，≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为________.解析由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z＝x＋2y，得y＝－12x＋12z，12z的几何意义是直线y＝－12x＋12z在y轴上的截距，要使z最小，需使12z最小，易知当直线y＝－12x＋12z过点A(1，1)时，z最小，最小值为3.答案310.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)＋y≤2，≥12，≥x上的一个动点，则OM→·ON→的最大值是________.解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A 12，12，B12，32，C(1，1).设z＝OM→·ON→＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最大值3.答案311.(2017·绍兴质检)已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的最大值为________，最小值为________.解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得a＋b＝2，a－b＝－3，解得a＝－12，b＝52，所以z＝－12(x＋y)＋52(x－y).又－2≤－12（x＋y）≤12，5≤52（x－y）≤152，所以两式相加可得z∈[3，8]，即z max＝8，z min＝3.法二作出不等式组－1≤x＋y≤4，2≤x－y≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x－3y＝0，当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3，1)时，z取得最小值，z min＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，z取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.答案8312.已知实数x，y满足2x＋y≥0，x－y≥0，0≤x≤a，设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l 0：x －2y ＝0，∵y ＝x 2－b 2，∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值，b min ＝－a ，又b min ＝－2，∴a ＝2，当l 0平移至B (a ，－2a )时，b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10.答案1013.(2017·台州统检)已知实数x ，y －y ＋2≥0，＋y －3≥0，－2y ≤0，则y 的最小值为________；当ax ＋y 的最大值为32时，实数a 的值为________.解析－y ＋2≥0，＋y －3≥0，－2y ≤0所表示的可行域如图阴影部＋y －3＝0，－2y ＝0得可行域最低点M 的坐标为(2，1)，∴y min ＝1，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，由题意知，当－a 大于直线x －y ＋2＝0的斜率1，即－a >1，a <－1时，z ＝ax ＋y 有最大值，且取得最大值32的最优解为点N (如图)－y ＋2＝0，＋y －3＝0得∴32＝12a ＋52，a ＝－2.答案1－2能力提升题组(建议用时：15分钟)14.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为x≥0，x∈N，y ≥0，y∈N，x＋2y≤12，2x＋y≤12.设获利z元，则z＝300x＋400y.画出可行域如图.画直线l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值.由x＋2y＝12，2x＋y＝12，解得x＝4，y＝4，即M的坐标为(4，4)，∴z max＝300×4＋400×4＝2800(元)，故选C.答案C15.(2017·湖州监测)设实数x，y满足2x＋y－2≤0，x－y＋1≥0，x－2y－1≤0，则y－1x－1的最小值是()A.－5B.－12C.12D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w＝y－1x－1的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(1，1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点1 3，43时，直线AP的斜率最小，此时w＝y－1x－1的最小值为43－113－1＝－12，故选B.答案B16.已知变量x，y＋2y－3≤0，＋3y－3≥0，－1≤0，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是________.解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－12，∴a>12.答案17.(2015·浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.解析∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y，如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直；∴直线OA的方程为y＝43 x，＝43x，2＋y2＝1，得－35，－∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，z max＝10－3415.答案1518.(2017·浙江名校联考)已知实数x，yx＋3y－6≥0，－4y＋8≥0，x－y－9≤0，则z＝x－yx＋y的最大值为________，z取得最大值的最优解为________.解析不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，当x＝0，y＝2，此时z＝0－20＋2＝－1，当x≠0时，令u＝yx∈[0，＋∞)，则z＝1－yx1＋yx＝1－u1＋u＝2－（1＋u）1＋u＝21＋u－1≥21－1＝1，即z的最大值为1，此时u＝yx＝0，故最优解为(3，0).答案1(3，0)。

第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面地区不等式表示地区＋＋＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的不包含界限直线Ax ByCAx＋By＋C≥0全部点构成的平面地区包含界限直线不等式组各个不等式所表示平面地区的公共部分2．线性规划中的基本看法名称意义拘束条件由变量x，y构成的不等式(组)线性拘束条件由x，y的一次不等式(或方程)构成的不等式(组) 目标函数关于x，y的函数分析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次分析式可行解满足线性拘束条件的解(x，y)可行域全部可行解构成的会集最优解使目标函数获得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性拘束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[小题体验]1．以下各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面地区内的是( )A．(0,0)B．(－1,1)C．(－1,3)D．(2，－3)答案：Cx－3y＋6≥0，2．(教材习题改编)不等式组表示的平面地区是( )x－y＋2＜0答案：B2x ＋5y ≥0，3．(2018·浙江名校联考)若x ，y满足2x －y ≥0，则不等式组表示的平面地区x ≤5，的面积为________，z ＝y －x 的最大值是________．分析：作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，易得1M (5,10)，N (5，－2)，所以S △OMN ＝×(10＋2)×5＝30.2由z ＝y －x ，得y ＝x ＋z ，作出直线y ＝x ，平移直线y ＝x ，易知当直线 z ＝ － x 经过可行域内的点(5,10)时，目标函数z ＝ － x 获得最大值，yM y且z max ＝10－5＝5.答案：3051．画出平面地区．防备失误的重要方法就是第一使二元一次不等式化为0(a ＞0)．ax ＋by ＋c ＞2．线性规划问题中的最优解不必定是独一的，即可行域内使目标函数获得最值的点不 必定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．zz3．在经过求直线的截距 b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b ＞0时，截距b 取最大值时， z 也取最大值；截距z取最小值时， z 也取最小值；当＜0时，截距z取最大值时，bbbzz 取最小值；截距b 取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]－x ＋y ≤0，1．若用暗影表示不等式组所形成的平面地区，则该平面地区中的夹3x －y ≤0角的大小为________．答案：15°x －2y －2≤0，． ·全国卷Ⅰ ) 若 x ， y 满足拘束条件 x －y ＋1≥0，则 z ＝ 3x ＋ 2y 的最大 2(2018y ≤0，值为________．分析：作出满足拘束条件的可行域如图中暗影部分所示．3 z由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－2x ＋2.3 作直线l 0：y ＝－2x .3z平移直线l 0，当直线y ＝－2x ＋2过点(2,0)时， z 获得最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：6考点一 二元一次不等式 组表示的平面地区基础送分型考点——自主练透[ 题组练透]x －y ≥0，． 易错题 ) 若满足条件 x ＋y －2≤0， 的整点 (x ， y ) 恰有 9 个，此中整点是指横、1(y ≥a纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为() A ．－3B ．－2C ．－1D ．0分析：选C 不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分，当 a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0) ；当＝－1时，正好增添(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，a(2，－1)，(3，－1)共5个整点．x －y ＞0，2．(2019·嘉兴高三基础测试)若不等式组3x ＋y ＜3，表示的平面地区为一个三x ＋y ＞a角形的内部地区，则实数a 的取值范围是()3 3A.－∞，4B.4，＋∞3 3 C.－∞，2D.2，＋∞3分析：选C 以以下图，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝(该直线2经过直线x －y ＝0和直线3x ＋y ＝3的交点)的下方时，原不等式组表 示的平面地区为一个三角形的内部地区，所以＜ 3 ，应选C. a 2x －2y ＋1≤0，． (2018 ·浙江名校联考 ) 若实数 ， y 满足 2x －y ≥0，则点 P (x＋ ， －y )3 xy xx ≤1，形成的地区的面积为________，能覆盖此地区(含界限)的圆的最小半径为________．x ＝a ＋＝ ＋ ，2b，分析：令 ax y 得b ＝x －y ， a －by ＝，23b －a ＋2≤0，则原不等式组可化为a ＋3b ≥0，a ＋b ≤2，所以点PA (2,0) ，B1，C (3，－1)．形成的地区如图中暗影部分所示，易知1，－31111－－2 2 设点B 到3的距离为，则△ABC ＝||·＝×2×2 ＝.所求半径最小的ACdS2ACd 23圆即△的外接圆，， 的垂直均分线分别为直线 y ＝ －3， ＝－3＋ 13 ，求得交点ABCACABx y x 311 75 2 坐标，即圆心坐标为6 ，－6 ，所以半径为6.2 52 答案：36[牢记通法]确立二元一次不等式(组)表示的平面地区的方法(1) “直线定界，特别点定域”，即先作直线，再取特别点并代入不等式组．若满足不 等式组，则不等式(组)表示的平面地区为直线与特别点同侧的那部分地区；不然就对应与特别点异侧的平面地区．(2) 当不等式中带等号时，界限为实线；不带等号时，界限应画为虚线，特别点常取原点．考点二求目标函数的最值题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]线性规划问题是高考的要点，而线性规划问题拥有代数和几何的两重形式，多与函数、 平面向量、数列、三角、概率、分析几何等问题交织浸透．常有的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值x ＋2y －5≥0，． ·全国卷Ⅱ ) 若 x ， y 满足拘束条件 x －2y ＋3≥0， 则 z ＝ ＋ y 的最大值1(2018x x －5≤0，为________．分析：作出不等式组所表示的可行域如图中暗影部分所 示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 获得最大值．x ＝5， 由x －2y ＋3＝0，得点A (5,4) ，∴z max ＝5＋4＝9.答案：9角度二：求非线性目标函数的最值x －y ＋1≥0，2．(2018·温州模拟)若实数 x ，y 满足拘束条件 x ＋y －2≤0，则拘束条件内的 yy ≥0，y ＋1的最大值为________，目标函数x ＋2的取值范围为________．分析：作出拘束条件所表示的可行域如图中暗影部分所示，x －y ＋1＝0， 由x ＋y －2＝0，1 3 3 y ＋1可知A ，2，所以y 的最大值为 2.易知x ＋2的几何意义是可行2域内的点与点(－2，－1)所在直线的斜率，(2,0)与(－2，－1)两点连线的斜率为1 y ＋1 ，所以x ＋241y ＋1y ＋1的最小值为 4，由图可知x ＋2的最大值为直线x －y ＋1＝0的斜率1，所以x ＋2的取值范围为14，1.31答案：4，12角度三：线性规划中的参数问题x ＋2y －3≤0，． ·绍兴考前冲刺 ) 已知实数 x ，y 满足拘束条件x ＋3y －3≥0，若目标函3(20182y －3≤0.数z ＝x ＋ay 仅在点(3,0)处获得最大值，则实数a 的取值范围为()A ．[0,2)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)分析：选 C作出不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示，当a ＝0 时，目标函数为z ＝x ，此时目标函数仅在点(3，0)处获得最大值；当＜0时， y ＝－x ＋z，若使z 获得最大值，则aaazxz需a 获得最小值，数形结合知目标函数仅在点(3,0) 处获得最大值；当 a ＞0时，y ＝－a ＋a ，1 1要使目标函数仅在 (3,0)处获得最大值，则需－ a ＜－2，即0＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，2)．[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1) 作图——画出拘束条件所确立的平面地区和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2) 平移——将l 平行挪动，以确立最优解的对应点的地址；(3) 求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常有的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .az求这种目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转变成直线的斜截式：y ＝－b x ＋b ，经过求z直线的截距b 的最值间接求出z 的最值．(2) 距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.y －b(3) 斜率型：形如z ＝x －a .[提示]注意转变的等价性及几何意义．[演练冲关]x －y ＋1＞0，1．(2018·湖州五校高三模拟 )设实数 x ， y 满足拘束条件 x ＋y －3＜0，则 z＝2xy ＞0， －y 的取值范围为()A ．(－6，－1)B ．(－8，－2)C ．(－1,8)D ．(－2,6)分析：选D 法一：作出拘束条件所表示的可行域如图中暗影部分 所示．作出直线y ＝2x ，平移该直线，可知直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处获得最小值－2，在点C (3,0)处获得最大值6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．法二：三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1，0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．x＋－5≤0，y．·杭州七校联考) 已知x ，y 满足拘束条件2x －y －1≥0，若z ＝2x ＋y2(2018ax －2y ＋1≤0，的最大值为 8，则实数a 的值为()A ．－2B ．－1C ．1D ．2分析：选C 将目标函数变形为y ＝－2 ＋，当 取最大值时，x zz直线的纵截距最大，易知直线x ＋y －5＝0与2x －y －1＝0的交点(2,3) 不可以使得目标函数获得最大值8.由于直线ax －2y ＋1＝0恒过定点0， 1 ，所以要使目标函数能取到最大值，需－1＜a＜2，即－2＜＜4.作出不等式组所表2 2 a95a ＋1示的可行域如图中暗影部分所示，故目标函数在B 2＋a ，2＋a 处获得最大值，代入目标95a ＋1 函数得2×2＋a ＋2＋a ＝8，解得a ＝1.2x ＋5y ≥0，．(2019 ·宁波高三模拟 ) 若 x ，y 满足 2x －y ≥0，则不等式组表示的平面地区3x ≤5，的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________．分析：作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示，则所求平面地区的面积为1×5×[10－(－2)]＝30.2z ＝(＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点 ( x ， )与点 (－1，1)之间的距离的平方，数形xyM结合易知， z ＝(x ＋1) 2＋(y －1)2的最小值为点 M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离d ＝－ －1| 3的平方，即92－ 2＝5z min ＝.2＋59答案：305考点三 线性规划的实质应用要点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新式资料．生产一件产品A 需要甲资料 1.5kg ，乙资料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲资料 0.5kg ，乙资料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品 A 的利润为 2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲资料150kg ，乙资料90kg ，则在不超出600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．分析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得拘束条件为 1.5x ＋0.5y ≤150， 3x ＋y ≤300，x ＋0.3y ≤90，10x ＋3y ≤900， 5x ＋3y ≤600，即5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2100x ＋900y ，由拘束条件作出不等式组表示的可行域如图中暗影部分．作直线2100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 获得最大值，联立 10x ＋3y ＝900，解得M (60,100)．5x ＋3y ＝600，则z ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．max答案：216000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1) 转变——设元，写出拘束条件和目标函数，从而将实质问题转变成线性规划问题；(2) 求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3) 作答——将数学问题的答案还原为实质问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1) 明确问题中的全部拘束条件，并依据题意判断拘束条件能否可以取到等号．(2)注意结合实质问题的实质意义， 判断所设未知数 x ，的取值范围，特别注意分析x ，yy 是不是整数、是不是非负数等．(3) 正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超出 50亩，投入资本不超出54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价以下表：黄瓜 每亩年产量 4吨 每亩年种植成本 1.2万元每吨售价0.55万元韭菜6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本 )最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩 )分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50分析：选B设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3yx ＋y ≤50，－1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快x ≥0，1．不等式组x ＋3y ≥4，所表示的平面地区的面积等于()3x ＋y ≤43 2 A.2 B.3 43 C.3D.4分析：选C 平面地区以以下图．x ＋3y ＝4， 解得A (1,1)，3x ＋y ＝4.4 易得B (0,4)，C 0，3，48|BC |＝4－3＝3.所以S △ ＝1 8 42×3×1＝3.ABC2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在座标平面内表示的地区(用暗影部分表示 )应是()分析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0?x －2y ＋1≥0， x －2y ＋1≤0，C.x ＋y －3≤0 或画出图形可知选x ＋y －3≥0.2 x ＋3－9≥0，3．(2019·杭州高三质检)若实数x ，y 满足不等式组设z ＝x ＋2y ，x －2y －1≤0，则( )A ．z ≤0B ．0≤z ≤5C ．3≤z ≤5D ．z ≥5分析：选D作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示．作出直线x＋2y＝0，平移该直线，易知当直线过点A(3,1)时，z获得最小值，z min＝3＋2×1＝5，即z≥5.4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．分析：由于直线2x－3y＋6＝0的上方地区可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点2(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞3.2答案：3，＋∞x≥0，5．(2019·温州四校联考)若实数，满足拘束条件x ＋≤2，则可行域的面积x y2x－y≤2，为________，z＝2x＋y的最大值为________．分析：作出不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示，4x＋y＝2，x＝3，由得2x－y＝2， 2y＝3，所以A 4 2，易得|BC|＝4，，33148所以可行域的面积S＝2×4×3＝3.4 2由图可知，当目标函数z＝2x＋y所表示的直线过点A3， 3 时，z获得最大值，且z max 4210＝2×3＋3＝3.810答案：33二保高考，全练题型做到高考达标y≥1，1．(2018·金华四校联考)已知实数，y 满足y≤2x－1，假如目标函数＝－yx zx x＋y≤m.的最小值为－1，则实数 m 等于()A ．7B ．5C ．4D ．3分析：选B画出x ，y 满足的可行域如图中暗影部分所示，可得直线 y ＝2－1与直线 x ＋ ＝ m 的交点使目标函数 z ＝ － y 获得最小xyx值，由 y ＝2x －1， 解得x ＝ m ＋12m －1x －y ＝－1，得x ＋y ＝m ，，y ＝，代入33＋12－1m－m＝－1，∴m ＝5.选B.3 3x ＋y －1≥0，．在平面直角坐标系中，若不等式组x －1≤0，(a 为常数 ) 所表示的平面区2ax －y ＋1≥0域的面积等于 2，则a 的值为()A ．－5B ．1C ．2D ．3分析：选D 由于ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作 直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面地区为以以下图暗影部 分△ABC .由题意可求得A (0,1)，B (1,0)，C (1，a ＋1)，∵S △ABC ＝2，BC ＝|a ＋1|，BC 边上的高为AD ＝1，1∴S △ABC ＝2×|a ＋1|×1＝2，解得a ＝－5或3， ∵当a ＝－5时，可行域不是一个封闭地区， 当a ＝3时，满足题意，选D.3．(2017·浙江新高考研究缔盟)过点P (－1,1)的光辉经x 轴上点A 反射后，经过不等x －2y ＋4≥0，式组x ＋ －2≥0，所表示的平面地区内某点(记为)，则||＋||的取值范围是BPAAB3x ＋y －9≤0 ()A ．(22，5)B ．[2 2，5]C ．[2,5]D ．[22，5)x －2y ＋4≥0，分析：选B 不等式组x ＋y －2≥0，所表示的平面地区如图中暗影部分所示，3x ＋y －9≤0点P 关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，|PA |＋|AB |＝|P 1B |，过点P 1作直线x ＋y －2 ＝ 0的垂线，则|PB |的最小值为 |－1－1－2| ＝2 2.12由x －2y ＋4＝0，得B 0(2,3) ，3x ＋y －9＝0则11＋2＋ 2|PB |的最大值为 |PB |＝ ＋ ＝5.故22≤|PA |＋|AB |≤5.x ≥0，7． ·浙江名校联考 ) 设 x ，满足x ＋y －2≤0， 若 z ＝ 2x ＋ y 的最大值为4(2018 y2ax －y －a ≤0，则a 的值为()A ．－7B ．027C ．1D ．－ 2或1分析：选C法一：由z ＝2 ＋ y 存在最大值，可知a ＞－1，明显 a ＝0不吻合题意．作x出不等式组所表示的平面地区，如图1或图2中暗影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0 与ax －y －a ＝0的交点时，z 获得最大值，由x ＝a ＋2，x ＝a ＋2，＋ －＝ ，＋1a ＋1x70 ax －y －a ＝0，得a把 a代入2x ＋y ＝2，得a ＝1.y ＝a ＋1，y ＝a ＋1法二：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，明显a ＝0不吻合题意．作出不等式组 所表示的平面地区，如图1或图2中暗影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 获得最大值7，由233x ＋y －2＝0，x ＝2，x ＝2，代入ax －y －a ＝0，得a ＝1.7得把2x ＋y ＝2，11y ＝2，y ＝25．(2018·余杭地区部分学校测试)若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点 P 的坐标为(x ， y )，且满足条件|x|≥||，则称函数f ( x )拥有性质，那么以下函数中拥有性质S 的是()ySA ．f (x )＝e x －1B ．f (x )＝ln(x ＋1)C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝|x 2－1|分析：选C 作出不等式|x |≥||所表示的平面地区如图中暗影部y分所示，若函数f (x )拥有性质S ，则函数f (x )的图象一定完整分布在暗影地区①和②部分，易知f (x )＝e x －1的图象分布在地区①和③部分， f (x )＝ln(x ＋1) 的图象分布在地区②和④部分，f (x )＝sin x 的图象分 布在地区①和②部分， f (x )＝|x 2－1|的图象分布在①、②和③部分，应选C.x ＋2y －4≤0，6 x y －－1≤0， 1 axya， 满足xy≤4恒成立，则实数 的取值．当实数 时，≤ ＋x ≥1范围是________．分析：作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，由 1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处获得最小值， 在B (2,1)处获得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围3 是1，2.3答案：1，2x －y －3≤0，y ＋17．(2018·金丽衢十二校联考)若实数x ，y 满足 3x －y －9≥0，则x ＋1的取值范y ≤3，围为________．分析：作出不等式组所表示的平面地区，如图中暗影部分所示， y ＋1x ＋1的几何意义为可行域内一点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率，y ＋10＋1 1y ＋13＋1 4 y ＋1故由图可知， x ＋1min ＝ ＋1 ＝，x ＋1 max ＝ ＋ ＝，故 x ＋ 的取3 4 4 1 5 11 4值范围为4，5.1 4 答案： 4，5x ＋y －2≥0，8．(2018·金华十校联考)已知实数x ，满足x －3 y ＋6≥0，当 ＝2时，y－≤0m ＞1m－y，mx33z ＝|x ＋5y －6|的最大值为________；当m ＝________时，x ，y 满足的不等式组所表示的平 面地区的面积为30.x ＋y －2≥0，分析：作出x －3y ＋6≥0，所表示的平面地区如图中暗影部分所示，2x －y －3≤051易得A (3,3)，B 3，3，C (0,2)，161令a ＝x ＋5y －6，即y ＝－5x ＋5＋5a ，明显当直线过A (3,3) 时，a 获得最大值，此时 a ＝12， 当直线过B 51时，a 获得最小值，此时8， ＝－，3 3a3又z ＝|a |，所以z 的最大值为12.x －3y ＋6＝0，156m ＋3由方程组得A ′ 3－1，3－1，mx －y －3＝0，mmx ＋ －2＝0，52－3由方程组 得′ ，， mmx －y －3＝0，B m ＋1 m ＋1如图，易得D (0，－3)，△A ′B ′C△A ′CD△B ′CD115 － 522所以S＝S－S＝2×5× 3m －1m ＋1＝30，即9m ＋6m －8＝0，所以m ＝34或m ＝－3(舍去) ．答案：122 39．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为极点的三角形地区(包 括界限与内部)．以以下图．(1) 写出表示地区D 的不等式组．(2) 设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.7x －5y －23≤0，原点(0,0)在地区D 内，故表示地区D 的不等式组为x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2) 依据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．x ＋y ≥1，10．若x ，y 满足拘束条件x －y ≥－1，2x －y ≤2.1 1(1) 求目标函数z ＝2x －y ＋2的最值；(2) 若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处获得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．11平移初始直线2x －y ＋2＝0，过A (3,4)取最小值－2， 过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.(2)直线＋2 y ＝ z 仅在点(1,0) 处获得最小值，由图象可知－aa1＜－＜2，解得－4＜ax2＜ 2.故所求a 的取值范围为(－4,2)． 三登台阶，自主选做志在冲刺名校y ≤x ，． ·浙江名校联考 ) 设实数 x ， y 满足y ≥0，则 x ＋ 3y 的最大值为1(2018y ≤－2x ＋6， ________；若 x 2＋42≤a 恒成立，则实数a 的最小值为________．yy ≤x ，分析：作出不等式组y ≥0，所表示的平面地区如图1中暗影部分所示，由图y ≤－2x ＋61可知，当u ＝x ＋3y 过点A (2，2)时，u ＝x ＋3y 获得最大值u max ＝2＋3×2＝8.1 ′≤ ′，2y x令x ＝x ′，2y ＝y ′，则原不等式组等价于1 y ′≥0，21 ′≤－2′＋6，2y x2x ′－y ′≥0，即y ′≥0，作出可行域如图 2中暗影部分所示，由图 2可知，x ′2＋4x ′＋y ′－12≤0，y ′2 的最大值为原点到点(2,4) 的距离的平方，易得|| 2＝22＋42＝20，所以a 的最小值为BOB20.答案：8202．某工厂投资生产 A 产品时，每生产一百吨需要资本 200万元，需场所 200m 2，可获 利润300 万元；投资生产 B 产品时，每生产一百吨需要资本300万元，需场所 100m 2，可获利润200 万元．现某单位可使用资本 1400万元，场所 900m 2，问：应做如何的组合投资，可使盈利最大？解：先将题中的数据整理成下表，而后依据此表设未知数，列出拘束条件和目标函数.资本(百万元) 场所(百平方米) 利润(百万元) A 产品(百吨) 2 2 3 B 产品(百吨)3 1 2限制149设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元，2x＋3y≤14，则拘束条件为2x＋y≤9，x≥0，y≥0，目标函数S＝3x＋2y.作出可行域如图暗影部分所示，将目标函数S＝3x＋2y 变形为y 3S 3＝－x＋，这是斜率为－，随S变化而变化的一组平行直线．2 2 2S2是直线在y轴上的截距．由图知，使3x＋2y获得最大值的(x，y)是直线2x＋y＝9与2x＋3y＝14的交点(3.25,2.50)，此时S＝3×3.25＋2×2.50＝14.75.∴生产A产品325吨，生产B产品250吨时，盈利最大，且最大利润为1475万元．。