北师大二附文科学霸高中数学笔记_不等式_2015高考状元笔记

不等式的性质和一元二次不等式的解法【知识精讲】（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式（3）掌握简单不等式的解法【基础梳理】1.不等式的基本概念不等（等）号的定义：2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：常用不等式的放缩法：①②（2）柯西不等式：（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解○1○2○3（4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

[高中数学状元笔记]高中数学笔记第一篇高中数学笔记:数学读书笔记摘抄格式数学读书笔记摘抄格式阅读了__老师的《优秀高中数学教师知道的十件事》，的确感受到何老师教育教学基本功扎实、经验丰富，教育理念超前，理论水平高。

能够站在一线教师的角度，对一线教师如何成为一名优秀教师谈非常明确的观点。

阅读过后，自感很多方面尚有欠缺，尤其他谈到了高中数学教学方面的几件事，给我留下深刻印象，现与大家交流。

在该书中，__老师首先提到，一个高中数学教师要想成为一名优秀的教师，首先他必须具有健康的身体、积极的心态和完善的人格。

教师的宽阔胸襟能够感染学生，净化学生的心灵，使之终身受益。

其次，作为老师必须要有一份爱心，这是师德的核心。

老师给予学生一份关爱，会影响至学生的一生。

我们严格要求学生先学会成人然后再谈成才。

目前社会上各种各样的诱惑充斥着我们的生活环境，因此教育中学生明是非，辨真伪，为学生的成长指引正确的方向和道路。

二期课改明确了教师要尊重学生的个性差异，尊重每一位学生，建立和谐的师生关系。

对高中学生，尤其是高一的新生，教师应帮助他们完善学习方法，掌握学习数学的技能，做到有效学习尤为重要。

我们会经常听到学生或家长提到的问题：初中时数学学得很好，每次考试不下90分，到了高中怎么学习数学这么吃力呢?甚至经常徘徊在及格线附近，这种现象应该说也是正常的，但是一个优秀的高中教师要了解学生数学能力的实际水平，并引导学生改变数学学习方法，以适应高中的大容量、快节奏的学习。

针对此类问题，__老师提出：我们老是要做到方法上的引导，因此就必须：(1)了解高中数学和初中数学有何不同。

从教材内容和要求到学习知识的能力需求分析。

相对初中数学，高中数学的知识内容丰富，思维要求高，题目难度大，抽象概括性强，灵活性综合性强。

教材中概念的符号多，定义严格，论证要求高，抽象思维增多，注重数学思想方法的积累和应用。

不仅要求学生运算能力，还要有逻辑推理能力，能运用一定的数学思想方法解决问题。

不等式一、不等式的基本性质：注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：①若ab>0，则ba 11>。

即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2(b a ； ②若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+ 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当p ab =（常数），当且仅当 时， ；当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>--=x x x y 的最小值 。

②若正数y x ,满足12=+y x ，则y x 11+的最小值 。

三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：上述等号“＝”成立的条件； 四、常用的基本不等式：（1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号）（2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号）（3）b a ab b a 110,<⇒>>；⇔<ba 11 ； 五、证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0 作差比较的步骤：1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式笔记重点大全单选题1、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0 或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可.解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a ，即{ba=−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c a −ba )<0③． 将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A2、已知a >0，b >0且ab ＝1，不等式12a +12b +ma+b ≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥8 答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围. 不等式12a+12b+ma+b≥4可化为a+b 2ab+m a+b≥4，又a >0，b >0，ab ＝1，所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，令a +b =t ，则m ≥4t −t 22，因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立， 又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22)max因为4t −t 22=12(8t −t 2)=−12(t −4)2+8≤8，当且仅当t =4时等号成立，所以m ≥8，当且仅当a =2−√3，b =2+√3或a =2−√3，b =2+√3时等号成立， 所以m 的取值范围是[8,+∞)， 故选：D.3、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围 设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可， 即a >f(3)=2，得a >2， 所以实数a 的取值范围为(2,+∞)， 故选：D4、若a ，b ，c 为实数，且a <b ，c >0，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a +c <b +c B ．1a <1b C ．ac >bc D ．b −a >c 答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.5、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.6、不等式3x2−x−2≥0的解集是（）A．{x|−23≤x≤1}B．{x|−1≤x≤23}C．{x|x≤−23或x≥1}D．{x|x≤−1或x≥23}答案：C分析：利用一元二次不等式的解法求解即可． 解：3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)≥0 解得：x ≤−23或x ≥1.故选：C.7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca>cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b≥2D ．1a−1<1b−1答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8、不等式x (2x +7)≥−3的解集为（ ） A ．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B ．[−3,−12]C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13]答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0， 令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞). 故选：A. 9、若不等式2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A10、已知集合M ={x |−4<x <2 }，N ={x |x 2−x −6 <0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x < 3}B ．{x |−4<x < −2}C ．{x |−2<x < 2}D ．{x |2<x < 3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2 },N ={x |−2<x <3 }，则 M ∩N ={x |−2<x <2 }．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．11、若a >0,b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a >0,b >0时，a +b ≥2√ab ，则当a +b ≤4时，有2√ab ≤a +b ≤4，解得ab ≤4，充分性成立；当a =1,b =4时，满足ab ≤4，但此时a +b =5>4，必要性不成立，综上所述，“a +b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.12、已知实数a,b,c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．a +1b <b +1a B ．2a+ba+2b <ab C ．ba−c >ab−c D ．√ca 3<√cb 3答案：B分析：对于A ，利用不等式的性质判断；对于CD ，举例判断；对于B ，作差法判断 解：对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b ，所以a +1b >b +1a ，所以A 错误， 对于B ，因为a >b >0， 所以2a+ba+2b −ab =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b=b 2−a 2(a+2b)b <0，所以2a+ba+2b <ab ，所以B 正确，对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c =13<ab−c =1，所以C 错误， 对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√cb 3=−1，所以D 错误，故选：B填空题13、已知x、y为两个正实数，且mx+y ≤1x+1y恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：(−∞,4]分析：由参变量分离法可得m≤(x+y)(1x +1y)，利用基本不等式求出(x+y)(1x+1y)的最小值，由此可得出实数m的取值范围.因为x、y为两个正实数，由mx+y ≤1x+1y可得m≤(x+y)(1x+1y)，因为(x+y)(1x +1y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y时，等号成立.所以，m≤4，因此，实数m的取值范围是(−∞,4].所以答案是：(−∞,4].14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].15、正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.答案：[9,+∞)分析：由题得ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3，解不等式ab−2√ab−3≥0即得解.∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，所以ab−2√ab−3≥0，所以(√ab−3)(√ab+1)≥0，所以√ab≥3或√ab≤−1，所以ab≥9.所以答案是：[9,+∞)小提示：本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、若正数a，b满足2a+b=1，则a2−2a +b2−b的最小值是__．答案：2√23−12分析：设u=2−2a,v=2−b，得到a2−2a +b2−b=1u+2v−32=13(u+v)(1u+2v)−32，结合基本不等式，即可求解.设u=2−2a,v=2−b，则a=2−u2,b=2−v，可得u+v=3(u,v>0)，所以a2−2a +b2−b=1−12uu+2−vv=1u+2v−32=13(u+v)(1u+2v)−32=13(3+vu+2uv)−32≥13(3+2√vu⋅2uv)−32=1+2√23−32=2√23−12，当且仅当v=6−3√2,u=3√2−3时，等号成立，取得最小值．所以答案是：2√23−12．17、已知a，b∈R，若对任意x≤0，不等式(ax+2)(x2+2bx−1)≤0恒成立，则a+b的最小值为___________．答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax+2，f(x)=x2+2bx−1，由此确定a>0，x<0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a+b（用a表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax+2，f(x)=x2+2bx−1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a>0，g(x)=0时，x =−2a，x <−2a时，g(x)<0，−2a<x ≤0时，g(x)>0，因此x <−2a时，f(x)>0，−2a<x ≤0时，f(x)<0，f(−2a)=0，所以4a 2−4b a−1=0①，−b >−2a ②，由①得b =1a−a 4，代入②得a 4−1a>−2a，因为a >0，此式显然成立．a +b =1a+3a 4≥2√1a×3a 4=√3，当且仅当1a=3a 4，即a =2√33时等号成立， 所以a +b 的最小值是√3． 所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而可求得a +b 的最小值． 解答题18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cosA =12，可求得角A 的值； （2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵ 2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴ 2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴ cosA =12,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵b sinB=c sinC=a sinA=√32=2√3a3，∴ sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴ 2b ⋅√32⋅ba +2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒ a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当b =c ， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.19、已知a >0，b >0.（1）求证：a 2+3b 2≥2b (a +b )； （2）若a +b =2ab ，求ab 的最小值. 答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据a +b =2ab ，可得2ab =a +b ≥2√ab ，从而得到√ab ≥1，进而求得ab ≥1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）∵a 2+3b 2−2b (a +b )=a 2−2ab +b 2=(a −b )2≥0， ∴a 2+3b 2≥2b (a +b ).（2）∵a>0，b>0，∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，∴√ab≥1，∴ab≥1.当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.20、设关于x的二次函数f(x)=2mx2−mx−1．(1)若m=1，解不等式f(x)<0；(2)若不等式f(x)>m−10在[0,2]上恒成立，求实数m的取值范围．,1)；答案：(1)(−12,0)∪(0,8).(2)m∈(−95分析：（1）由题设有2x2−x−1<0，解一元二次不等式求解集即可.（2）由题意2mx2−mx−m+9>0在x∈[0,2]上恒成立，令g(x)=2mx2−mx−m+9并讨论m范围，结合二次函数的性质求参数范围.（1）<x<1，由题设，f(x)<0等价于2x2−x−1<0，即(x−1)(2x+1)<0，解得−12,1).所以该不等式解集为(−12（2）由题设，2mx2−mx−m+9>0在x∈[0,2]上恒成立．令g(x)=2mx2−mx−m+9，则对称轴x=1∈[0,2]且Δ=9m2−72m=9m(m−8)，4①当m<0时，g(x)开口向下且Δ>0，要使g(x)>0对x∈[0,2]恒成立，所以{g (0)=−m +9>0g (2)=5m +9>0，解得−95<m <9，则−95<m <0． ②当m >0时，g(x)开口向上，只需Δ<0，即0<m <8. 综上，m ∈(−95,0)∪(0,8)．。

第二节一元二次不等式及其应用错误!一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b２—４acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图像一元二次方程ax２＋bx＋c＝0 （a＞0）的根有两相异实根x１，x２（x１＜x２）有两相等实根x１＝x２＝—错误!没有实数根ax２＋bx＋c＞0（a＞0）的解集{x|x<x１或x>x２}{x|x≠—错误!}R ax２＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集{x|x１＜x＜x２}∅∅１．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．２．当Δ<0时，易混ax２＋bx＋c>0（a>0）的解集为R还是∅.[试一试]１．（２0１３·浙江高考）设集合S＝{x|x>—２}，T＝{x|x２＋３x—４≤0}，则（∁R S）∪T＝（）Ａ．（—２,１] Ｂ．（—∞，—４]Ｃ．（—∞，１] Ｄ．[１，＋∞）解析：选C T＝{x|—４≤x≤１}，根据补集定义，∁R S＝{x|x≤—２}，所以（∁R S）∪T＝{x|x≤１}，选Ｃ．２．不等式ax２＋bx＋２>0的解集是错误!，则a＋b的值是（）Ａ．１0 Ｂ．—１0Ｃ．１４Ｄ．—１４解析：选D 由题意知—错误!、错误!是ax２＋bx＋２＝0的两根．则a＝—１２，b＝—２．a＋b＝—１４．故选Ｄ．３．不等式x２＋ax＋４<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：∵不等式x２＋ax＋４<0的解集不是空集，∴Δ＝a２—４×４>0，即a２>１6．∴a>４或a<—４．答案：（—∞，—４）∪（４，＋∞）１．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论（１）不等式ax２＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!（２）不等式ax２＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!２．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[练一练]若不等式mx２＋２mx＋１>0的解集为R，则m的取值范围是________．解析：１当m＝0时，１>0显然成立．２当m≠0时，由条件知错误!得0<m<１，由１２知0≤m<１．答案：[0,１）错误!考点一一元二次不等式的解法[典例]（１）0＜x２—x—２≤４；（２）x２—４ax—５a２＞0（a≠0）．[解] （１）原不等式等价于错误!⇔错误!⇔错误!⇔错误!借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为错误!.（２）由x２—４ax—５a２＞0知（x—５a）（x＋a）＞0．由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．当a＜0时，x＜５a或x＞—a；当a＞0时，x＜—a或x＞５a.综上，a＜0时，解集为错误!；a＞0时，解集为错误!.[类题通法]１．解一元二次不等式的一般步骤：（１）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax２＋bx＋c＞0（a＞0），ax２＋bx＋c＜0（a＞0）；（２）计算相应的判别式；（３）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；（４）根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．２．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．[针对训练]解下列不等式：（１）—３x２—２x＋8≥0；（２）ax２—（a＋１）x＋１＜0（a＞0）．解：（１）原不等式可化为３x２＋２x—8≤0，即（３x—４）（x＋２）≤0．解得—２≤x≤错误!，所以原不等式的解集为错误!.（２）原不等式变为（ax—１）（x—１）＜0，因为a＞0，所以a错误!（x—１）＜0．所以当a＞１时，解为错误!＜x＜１；当a＝１时，解集为∅；当0＜a＜１时，解为１＜x＜错误!.综上，当0＜a＜１时，不等式的解集为错误!；当a＝１时，不等式的解集为∅；当a＞１时，不等式的解集为错误!.考点二一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：１形如f x≥0x∈R确定参数的范围；２形如f x≥0x∈[a，b]确定参数范围；３形如f x≥0参数m∈[a，b]确定x的范围.角度一形如f（x）≥0（x∈R）确定参数的范围１．（２0１３·重庆高考）设0≤α≤π，不等式8x２—（8sin α）x＋cos ２α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得（8sin α）２—４×8cos ２α≤0，即２sin２α—cos ２α≤0，２sin２α—（１—２sin２α）≤0，即—错误!≤sin α≤错误!.因为0≤α≤π，故α∈0，错误!∪错误!，π.答案：0，错误!∪错误!，π角度二形如f（x）≥0（x∈[a，b]）确定参数范围２．对任意x∈[—１,１]，函数f（x）＝x２＋（a—４）x＋４—２a的值恒大于零，求a的取值范围．解：函数f（x）＝x２＋（a—４）x＋４—２a的对称轴为x＝—错误!＝错误!.１当错误!<—１，即a>6时，f（x）的值恒大于零等价于f（—１）＝１＋（a—４）×（—１）＋４—２a>0，解得a<３，故有a∈∅；２当—１≤错误!≤１，即２≤a≤6时，只要f错误!＝错误!２＋（a—４）×错误!＋４—２a>0，即a２<0，故有a∈∅；３当错误!>１，即a<２时，只要f（１）＝１＋（a—４）＋４—２a>0，即a<１，故有a<１．综上可知，当a<１时，对任意x∈[—１,１]，函数f（x）＝x２＋（a—４）x＋４—２a的值恒大于零．角度三形如f（x）≥0（参数m∈[a，b]）确定x的范围３．对任意a∈[—１,１]，函数f（x）＝x２＋（a—４）x＋４—２a的值恒大于零，求x的取值范围．解：由f（x）＝x２＋（a—４）x＋４—２a＝（x—２）a＋x２—４x＋４，令g（a）＝（x—２）a＋x２—４x＋４．由题意知在[—１,１]上，g（a）的值恒大于零，∴错误!解得x<１或x>３．故当x<１或x>３时，对任意的a∈[—１,１]，函数f（x）的值恒大于零．[类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件（１）解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．（２）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．考点三一元二次不等式的应用[典例] /件到7．５元/件之间，经调查，顾客的期望价格是４元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为３元/件．（１）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（２）设k＝２a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商的收益比至少增长２0%？[解] （１）设该商品价格下降后为x元/件，则由题意可知年销量增加到错误!件，故经销商的年收益y＝错误!（x—３），５．５≤x≤7．５．（２）当k＝２a时，依题意有错误!（x—３）≥（8—３）a×（１＋２0%），化简得错误!≥0，解得x≥6或４<x≤５．又５．５≤x≤7．５，故6≤x≤7．５，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商的收益比至少增长２0%.[类题通法]构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．[针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为１00元，每天售出１00件．若售价降低x成（１成＝１0%），售出商品数量就增加错误!x成．要求售价不能低于成本价．（１）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f（x），并写出定义域；（２）若再要求该商品一天营业额至少为１0 ２60元，求x的取值范围．解：（１）由题意得y＝１00错误!·１00错误!.因为售价不能低于成本价，所以１00错误!—80≥0．所以y＝f（x）＝２0（１0—x）（５0＋8x），定义域为[0,２]．（２）由题意得２0（１0—x）（５0＋8x）≥１0 ２60，化简得8x２—３0x＋１３≤0．解得错误!≤x≤错误!.所以x的取值范围是错误!.错误![课堂练通考点]１．（２0１３·广东高考）不等式|x２—２|<２的解集是（）Ａ．（—１,１）Ｂ．（—２,２）Ｃ．（—１,0）∪（0,１）Ｄ．（—２,0）∪（0,２）解析：选D 由|x２—２|<２得—２<x２—２<２，即0<x２<４，所以—２<x<0或0<x<２．２．设a>0，不等式—c<ax＋b<c的解集是{x|—２<x<１}，则a∶b∶c＝（）Ａ．１∶２∶３Ｂ．２∶１∶３Ｃ．３∶１∶２Ｄ．３∶２∶１解析：选B ∵—c<ax＋b<c，又a>0，∴—错误!<x<错误!.∵不等式的解集为{x|—２<x<１}，∴错误!∴错误!∴a∶b∶c＝a∶错误!∶错误!＝２∶１∶３．３．（２0１３·重庆高考）关于x的不等式x２—２ax—8a２<0（a>0）的解集为（x１，x２），且x２—x１＝１５，则a＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选A 由条件知x１，x２为方程x２—２ax—8a２＝0的两根，则x１＋x２＝２a，x１x２＝—8a ２，故（x２—x１）２＝（x１＋x２）２—４x１x２＝（２a）２—４×（—8a２）＝３6a２＝１５２，得a＝错误!.４．（２0１４·皖南八校联考）不等式x２—２x＋５≥a２—３a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）Ａ．[—１,４] Ｂ．（—∞，—２]∪[５，＋∞）Ｃ．（—∞，—１]∪[４，＋∞）Ｄ．[—２,５]解析：选A x２—２x＋５＝（x—１）２＋４的最小值为４，所以x２—２x＋５≥a２—３a对任意实数x恒成立，只需a２—３a≤４，解得—１≤a≤４．５．（２0１３·温州调研）若函数f（x）＝错误!则不等式f（x）<４的解集是________．解析：不等式f（x）<４等价于错误!或错误!即0<x<错误!或—４<x≤0．因此，不等式f（x）<４的解集是（—４，错误!）．答案：（—４，错误!）6．（２0１２·天津高考）已知集合A＝{x∈R||x＋２|<３}，集合B＝{x∈R|（x—m）（x—２）<0}，且A∩B＝（—１，n），则m＝__________，n＝________.解析：因为|x＋２|<３，即—５<x<１，所以A＝（—５,１），又A∩B≠∅，所以m<１，B＝（m,２），由A∩B＝（—１，n）得m＝—１，n＝１．答案：—１１[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题１．（２0１４·潍坊质检）不等式错误!≤x—２的解集是（）Ａ．（—∞，0]∪（２,４] Ｂ．[0,２）∪[４，＋∞）Ｃ．[２,４）Ｄ．（—∞，２]∪（４，＋∞）解析：选B １当x—２>0，即x>２时，不等式可化为（x—２）２≥４，所以x≥４；２当x—２<0，即x<２时，不等式可化为（x—２）２≤４，所以0≤x<２．２．（２0１３·安徽高考）已知一元二次不等式f（x）<0的解集为错误!，则f（１0x）>0的解集为（）Ａ．{x|x<—１或x>lg ２}Ｂ．{x|—１<x<lg ２}Ｃ．{x|x>—lg ２}Ｄ．{x|x<—lg ２}解析：选D 因为一元二次不等式f（x）<0的解集为错误!，所以可设f（x）＝a（x＋１）·错误!（a<0），由f（１0x）>0可得（１0x＋１）·错误!<0，即１0x<错误!，x<—lg ２．３．（２0１４·湖北八校联考）“0<a<１”是“ax２＋２ax＋１>0的解集是实数集R”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a＝0时，１>0，显然成立；当a≠0时，错误!故ax２＋２ax＋１>0的解集是实数集R等价于0≤a<１．因此，“0<a<１”是“ax２＋２ax＋１>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．４．关于x的不等式x２—（a＋１）x＋a＜0的解集中，恰有３个整数，则a的取值范围是（）Ａ．（４,５）Ｂ．（—３，—２）∪（４,５）Ｃ．（４,５] Ｄ．[—３，—２）∪（４,５]解析：选D 原不等式可能为（x—１）（x—a）＜0，当a＞１时得１＜x＜a，此时解集中的整数为２,３,４，则４＜a≤５，当a＜１时得a＜x＜１，则—３≤a＜—２，故a∈[—３，—２）∪（４,５]５．（２0１３·洛阳诊断）若不等式x２＋ax—２>0在区间[１,５]上有解，则a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．错误!解析：选B 由Δ＝a２＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[１,５]上有解的充要条件是f（５）≥0，f（１）≤0，解得a≥—错误!，且a≤１，故a的取值范围为错误!.6．不等式|x（x—２）|>x（x—２）的解集是________．解析：不等式|x（x—２）|>x（x—２）的解集即x（x—２）<0的解集，解得0<x<２．答案：{x|0<x<２}7．在R上定义运算：x*y＝x（１—y）．若不等式（x—y）*（x＋y）<１对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是________．解析：由题意，知（x—y）*（x＋y）＝（x—y）·[１—（x＋y）]<１对一切实数x恒成立，所以—x ２＋x＋y２—y—１<0对于x∈R恒成立．故Δ＝１２—４×（—１）×（y２—y—１）<0，所以４y２—４y—３<0，解得—错误!<y<错误!.答案：错误!8．不等式x２—２x＋３≤a２—２a—１在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．解析：原不等式即x２—２x—a２＋２a＋４≤0，在R上解集为∅，∴Δ＝４—４（—a２＋２a＋４）＜0，即a２—２a—３＜0，解得—１＜a＜３．答案：（—１,３）9．设函数f（x）＝mx２—mx—１．（１）若对于一切实数x，f（x）<0恒成立，求m的取值范围；（２）若对于x∈[１,３]，f（x）<—m＋５恒成立，求m的取值范围．解：（１）要使mx２—mx—１<0恒成立，若m＝0，显然—１<0；若m≠0，则错误!⇒—４<m<0．所以—４<m≤0．（２）要使f（x）<—m＋５在[１,３]上恒成立，即m错误!２＋错误!m—6<0在x∈[１,３]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g（x）＝m错误!２＋错误!m—6，x∈[１,３]．当m>0时，g（x）在[１,３]上是增函数，所以g（x）max＝g（３）⇒7m—6<0，所以m<错误!，则0<m<错误!；当m＝0时，—6<0恒成立；当m<0时，g（x）在[１,３]上是减函数，所以g（x）max＝g（１）⇒m—6<0，所以m<6，所以m<0．综上所述：m的取值范围是错误!.法二：因为x２—x＋１＝错误!２＋错误!>0，又因为m（x２—x＋１）—6<0，所以m<错误!.因为函数y＝错误!＝错误!在[１,３]上的最小值为错误!，所以只需m<错误!即可．所以，m的取值范围是错误!.１0．设二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c，函数F（x）＝f（x）—x的两个零点为m，n（m＜n）．（１）若m＝—１，n＝２，求不等式F（x）＞0的解集；（２）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜错误!，比较f（x）与m的大小．解：（１）由题意知，F（x）＝f（x）—x＝a（x—m）（x—n），当m＝—１，n＝２时，不等式F（x）＞0，即a（x＋１）（x—２）＞0．那么当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜—１，或x＞２}；当a＜0时，不等式F（x）＞0 的解集为{x|—１＜x＜２}．（２）f（x）—m＝a（x—m）（x—n）＋x—m＝（x—m）（ax—an＋１），∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜错误!，∴x—m＜0,１—an＋ax＞0．∴f（x）—m＜0，即f（x）＜m.第Ⅱ组：重点选做题１．若函数f（x）＝（a２＋４a—５）x２—４（a—１）x＋３的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是（）Ａ．[１,１9] Ｂ．（１,１9）Ｃ．[１,１9）Ｄ．（１,１9]解析：选C 函数图像恒在x轴上方，即不等式（a２＋４a—５）x２—４（a—１）x＋３>0对于一切x∈R恒成立．（１）当a２＋４a—５＝0时，有a＝—５或a＝１．若a＝—５，不等式化为２４x＋３>0，不满足题意；若a＝１，不等式化为３>0，满足题意．（２）当a２＋４a—５≠0时，应有错误!解得１<a<１9．综上可知，a的取值范围是１≤a<１9．２．（２0１３·江苏高考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x２—４x，则不等式f（x）>x的解集用区间表示为________．解析：由于f（x）为R上的奇函数，所以当x＝0时，f（0）＝0；当x<0时，—x>0，所以f（—x）＝x２＋４x＝—f（x），即f（x）＝—x２—４x，所以f（x）＝错误!由f（x）>x，可得错误!或错误!解得x>５或—５<x<0，所以原不等式的解集为（—５,0）∪（５，＋∞）．答案：（—５,0）∪（５，＋∞）。