2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题及答案

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数，恒成立，则实数的最小值为．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．3．若，则－4 ．4．已知顶角为的等腰三角形的底边长为，腰长为，则的值为 3 ．5．设N*，，则集合中的元素的个数为 504 ．6．已知点在Rt△所在平面内，，为锐角，，，．当取得最小值时，．7．已知正三棱锥的底面的边长为6,侧棱长为，则该三棱锥的内切球的半径为1 ．8．函数的值域为．9．已知是椭圆的两个焦点,分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为．10．使得和都是完全平方数的最大质数为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集，．若，求的最小值．解 作出平面点集、所表示的平面区域，表示如图阴影部分.xyOP令，则，表示直线的纵截距.易知：直线经过区域中的点时，取得最小值.……………（5分）因为点在圆上，设它的坐标为，结合图形可知.又点在曲线上，所以有，即. ………………………………………（10分）设，则，代入得，解得或（舍），即. ………………………………………（15分）结合，并注意到，解得，．所以，点的坐标为，的最小值为． ………（20分）12．设是数列的前项之积，满足N*．（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：．解（1）易知，，且由，得，即，即．……………（5分）所以，故．………………………………………（10分）（2）由（1）得．一方面，；……………（15分）另一方面，．又．所以 ． ………………………………………（20分）13．过直线上一动点（不在轴上）作抛物线的两条切线，为切点，直线分别与轴交于点．（1）证明直线恒过一定点；（2）证明△的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．证明（1）设，，.抛物线的过点的切线方程为：．而过，故①①式说明直线恒过点．………………………………………（5分）同理可证得直线恒过点．故直线过两点，则直线的方程为：．又，代入中，得．所以直线恒过定点．………………………………………（10分）（2）直线：与轴交于．抛物线的焦点为，则，又，则，所以.同理可证．所以四点共圆，且为直径．因此，△的外接圆恒过定点．………………………………………（15分）在和直线垂直时，圆的直径最小．此时，直线：，与联立，求得，则.所以，△的外接圆的半径的最小值为． ……………………………………（20分）。

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数x ，|||1|2x a x a +-+≤恒成立，则实数a 的最小值为13．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．3．若23234560123456(2)x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，则135a a a ++= －4 ．4．已知顶角为的等腰三角形的底边长为a ，腰长为，则332a b ab +的值为 3 ．5．设2,51(n n n a b n n ==-∈N *，201512201512{,,,}{,,,}a S a a a b b b =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，，CAP ∠为锐角，||2AP =，2AP AC ⋅=，1AP AB ⋅=．当||AB AC AP ++取得最小值时，tan CAP ∠=72． 7．已知正三棱锥P ABC -的底面的边长为6,1 ．8．函数()1)f x =．9．已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点,,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为115-． 10．使得12p +和212p +都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集18{(,)|()()0}25A x y y x y x=-⋅-≥，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤．若(,)x y AB ∈，求2x y -的最小值． 解 作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B 表示如图阴影部分D .令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵截距.易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）因为点P 在圆22(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为(1cos ,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2πθπ∈.又点P 在曲线1825y x =上，所以有18(1cos )(1sin )25θθ++=，即7sin cos sin cos 025θθθθ+++=. ………………………………………（10分）设sin cos t θθ+=，则21s i n c o s (1)2t θθ=-，代入得217(1)0225t t -++=，解得15t =或115t =-（舍），即1sin cos5θθ+=. ………………………………………（15分）结合22sin cos1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin5θ=，3cos5θ=-．所以，点P的坐标为29(,)55，2z x y=-的最小值为min292155z=⨯-=-．………（20分）12．设nT是数列{}na的前n项之积，满足1,n nT a n=-∈N*．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设22212n nS T T T=+++，求证：111123n n na S a++-<<-．解（1）易知1112T a==，0,1n nT a≠≠，且由111,1n n n nT a T a++=-=-，得11111n nnn nT aaT a+++-==-，即11111nn naa a++=--，即111111n na a+-=--．……………（5分）所以111111111112nn n na a=+-=+-=+---，故1111nnan n=-=++．………………………………………（10分）（2）由（1）得1211n nT a a an==+．一方面，22211123(1)nSn=++++11111112334(1)(2)222nan n n+>+++=-=-⋅⋅+++；……………（15分）另一方面，22211111123(1)444nSn<+++--+-1112135571323()()2222223n n n=+++=-⋅⋅+++．又1212111123322333nnan nn++-<-=-=-+++．所以111123n n na S a++-<<-．………………………………………（20分）13．过直线2130x y -+=上一动点A （A 不在y 轴上）作抛物线28y x =的两条切线， ,M N 为切点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,B C ．（1）证明直线MN 恒过一定点；（2）证明△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值． 证明 （1）设00(,)A x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y .抛物线28y x =的过点11(,)M x y 的切线方程为AM ：114()yy x x =+．而AM 过00(,)A x y ，故01014()y y x x =+ ①①式说明直线004()y y x x =+恒过点11(,)M x y ．………………………………………（5分）同理可证得直线004()y y x x =+恒过点22(,)N x y ．故直线004()y y x x =+过,M N 两点，则直线MN 的方程为：004()y y x x =+．又00213x y =-，代入004()y y x x =+中，得0(8)4(13)y y x -=-．所以直线MN 恒过定点(13,8)． ………………………………………（10分）（2）直线AM ：114()yy x x =+与y 轴交于114(0,)x B y ． 抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ，则111140202BFx y xk y -==--，又14BA k y =，则12181BA BF x k k y ⋅=-=-，所以BF BA ⊥.同理可证CF CA ⊥．所以,,,A B C F 四点共圆，且AF 为直径．因此，△ABC 的外接圆恒过定点(2,0)F ． ………………………………………（15分） 在AF 和直线2130x y -+=垂直时，圆的直径AF 最小．此时，直线AF ：02(2)y x -=--， 与2130x y -+=联立，求得(1,6)A -，则||AF =所以，△ABC． ……………………………………（20分）。

2015年全国高中数学竞赛试题一、简述：2015年全国高中数学竞赛试题，作为一场高水平的数学竞赛，其试题设计严谨，旨在全面检测参赛者在数学学科上的知识掌握、思维逻辑和问题解决能力。

试题内容通常涵盖代数、几何、数论等多个数学领域，要求参赛者具备扎实的数学基础和灵活的解题思维。

二、内容分析：该竞赛试题通常包含选择题、填空题和解答题等多种题型，每种题型都有其特定的考查重点。

选择题和填空题主要检测参赛者对数学基础知识点的掌握程度，而解答题则更注重对参赛者思维逻辑和问题解决能力的考查。

整体而言，试题内容既注重基础知识的考查，又强调对数学思想的深入理解和灵活运用。

三、特点分析：综合性强：试题往往融合了多个数学领域的知识点，要求参赛者具备全面的数学素养和跨学科的解题能力。

思维灵活：试题设计注重引导参赛者运用多种数学思想和解题方法进行问题求解，鼓励创新思维和发散性思维。

难度递进：试题难度通常呈现出递进的特点，从基础题到难题逐渐过渡，有利于全面评估参赛者的数学水平。

四、难易程度分析：整体而言，2015年全国高中数学竞赛试题的难度属于较高水平。

基础题部分主要考查参赛者的基本数学知识和解题技巧，难度适中；而难题部分则对参赛者的数学思维和问题解决能力提出了更高的要求，难度较大。

这种难度设计既保证了竞赛的区分度，又充分展现了数学学科的挑战性和趣味性。

需要注意的是，以上分析仅基于一般性的了解和推测，实际试题的难度和特点可能会有所不同。

因此，在准备此类竞赛时，建议参赛者充分熟悉竞赛要求和历年试题，制定科学的备考策略，全面提升自己的数学素养和解题能力。

由于我无法提供2015年全国高中数学竞赛的全部真实试题，我将根据该竞赛的一般特点和难度，为您模拟举例一些可能的试题。

请注意，以下试题仅为示例，并非真实的2015年竞赛试题。

2015年全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题1.若复数 (z) 满足 (z + |z| = 2 + i)，其中 (i) 是虚数单位，则 (z) 等于：A. (1 + i)B. (1 - i)C. (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i)D. (\frac{4}{3} + i)2.已知等差数列 ({ a_n }) 的前n项和为 (S_n)，若 (a_2 + a_4 = 10)，则 (S_5) 等于：A. 20B. 25C. 50D. 1003.设函数 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d) 的图像关于原点对称，且 (f(x))在 (x = 1) 处的切线斜率为 -6，则下列说法正确的是：A. (a = 2, b = 0)B. (a = -2, b = 0)C. (a = 2, c = 0)D. (a = -2, c = 0)二、填空题1.设实数 (a, b, c) 满足 (a^2 + b^2 + c^2 = 1)，则 (ab + bc + ca) 的最大值是 _______。

2015年全国高中数学联赛湖北省预赛一、 填空题:本大题共10小题,每小题9分,共90分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.若对于任意实数x ,都有|||1|2x a x a +-+≤恒成立,则实数a 的最小值是2.将5名大学生村官分配到某乡镇的三个村就职,若每个村至少一名,则不同的分配方案种数为3.若23260126(2)x x a a x a x a x --=++++ ,则135a a a ++=4.已知顶角为20的等腰三角形的底边长为a ,腰长为b ,则332a b ab += 5.设*1220151220152,51(),{,,,}{,,,}n n n a b n n N S a a a b b b ==-∈= ,则集合S 中的元素个数为 6.已知点P 在直角ABC ∆所在的平面内,90,BAC CAP ∠=∠ 为锐角, ||2,2,1AP AP AC AP AB =⋅=⋅= ,当||AB AC AP ++ 取得最小值时,tan CAP ∠=7.已知正三棱柱P ABC -的底面的边长为6,则该三棱锥的内切球的半径为8.函数()1)f x =的值域为9.已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点,,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点P 在线段AB 上,则12PF PF ⋅ 的最小值为10.使得12p +和212p +都是完全平方数的最大质数p 为 二、 本大题共3小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11(本小题满分20分) 设平面点集2218{(,)|()()0},{(,)|(1)(1)1}25A x y y x y B x y x y x=--≥=-+-≤,若 (,)x y A B ∈ ,求2x y -的最小值.12(本小题满分20分)设n T 是数列{}n a 的前n 项之积,满足*1,.n n T a n N =-∈(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设22212n n S T T T =+++ ,求证:111123n n n a S a ++-<<-.13(本小题满分20分)过直线2130x y -+=上一动点(A A 不在y 轴上)作抛物线28y x =的两条切线,,M N 为切点,直线 ,AM AN 分别与y 轴交于点,B C .(Ⅰ)证明:直线MN 恒过一定点;(Ⅱ)证明:ABC ∆的外接圆恒过一定点,并求该圆半径的最小值.12(本小题满分14分)(Ⅰ)(Ⅱ)13(本小题满分15分) (Ⅰ)(Ⅱ)14(本小题满分15分) (Ⅰ)(Ⅱ)。