专题20_特殊平行四边形

专题20 四边形中的折叠问题（原卷版）类型一平行四边形的折叠问题1．（2021•饶平县校级模拟）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，∠DEF＝60°，EF＝2，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6B．12C．6√2D．2（1+√2）2．（2022秋•市南区校级期末）如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为．3．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI＝FG．4．（2020秋•兴庆区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED'是菱形；（2）若点P是直线l上的一个动点，请作出使PD'+PB为最小值的点P，并计算PD'+PB．5．（2020秋•淮阴区校级月考）我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．如图，已知平行四边形ABCD 中，∠B ＝30°，AB ≠BC ，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，连接B 'D ．【发现与证明】：如图1：（1）说明：△AGC 是等腰三角形；（2）填空：B 'D 与AC 的位置关系是 ．【应用与解答】：如图2：如果AB ＝5，BC =√3，AB '与CD 相交于点E ，求AE 的长．【拓展与探究】：当AB ＝5，BC ＝ 时，△AB ′D 为直角三角形．类型二 矩形中的折叠问题6．（2020•长清区二模）将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE 、EG 、FG 为折痕，若顶点A 、C 、D 都落在点O 处，且点B 、O 、G 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上，则AD AB 的值为 √2 ．7．（2021春•德宏州期末）如图，将矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的A ′处．若∠DBC ＝24°，则∠A ′EB 等于（ ）A ．24°B ．33°C ．57°D ．66°8．（2021春•苍溪县期中）如图，有一张长方形纸片ABCD ，AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，点E 为CD 上一点，将纸片沿AE 折叠，BC 的对应边B 'C '恰好经过点D ，则线段CE 的长为（ ）cm ．A ．3B ．4C ．5D ．69．（2022•石城县模拟）如图，把一张矩形纸片ABCD 按如图所示方法进行两次折叠后，△BEF 恰好是等腰直角三角形，若BC ＝1，则AB 的长度为（ ）A ．43B ．√2C ．√5+12D ．√2+1210．（2021春•江阴市期中）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（Ⅰ）将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B ′处，如图③，两次折痕交于点O ；（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④．【探究】（1）证明：△OBC ≌△OED ；（2）若AB ＝8，设BC 为6，求OB 的长．11．（2020春•鲤城区校级期中）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的点E 处，折痕为PQ ．过点E 作EF ∥AB 交PQ 于点F ，连接BF ．（1）若AP ：BP ＝1：2，则AE 的长为 ．（2）求证：四边形BFEP 为菱形；（3）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在边AB 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．12．（2022春•河北区校级月考）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点G 处，且EG ⊥AC ，若CD ＝8，则FG 的长为（ ）A ．6B ．4√3C ．8D ．6√213．（2020•雁塔区校级模拟）如图，菱形ABCD 的对角线长分别为6和8，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，H 两点重合，EF 是折痕．若HE ＝1.5，则CF 的长为（ ）A ．52B ．4C ．72D ．314．（2019春•临海市期末）在▱ABCD 中，点E 是AB 边上的点（不与点A 、B 重合），点O 是AC 的中点，连接EO 并延长交CD 于点F ，将四边形ADFE 沿EF 折叠，点A 的对应点为A '，点D 的对应点为D '．（1）如图1，若AB 与D 'F 交点为K ，求证：△EKF 为等腰三角形；（2）若∠B ＝60°，AB ＝6，BC ＝4．①如图2，当点A '与点C 重合时，求CE 的长；②当∠AEA '＝90°时，请在图3中画出示意图，并求出AE 的长；（3）如图4，若四边形ABCD 是菱形，AB ＝6，∠B ＝60°，将菱形ABCD 沿EF 折叠，D 'F 交BC 于点Q ，D 'A '分别交AB 、BC 于点G 、P ．请判断△PQD '的周长是否为定值，如果是，请直接写出这个定值．15．（2022•兴庆区校级一模）如图，正方形纸片ABCD 中，AB ＝6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 翻折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长等于 ．16．（2022春•河西区期末）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 恰好落在AE 上的G 处，得到折痕BF ，与AD 交于点F ．（Ⅰ）当E 是CD 的中点时，求AF 的长；（Ⅱ）若DE ＝5，求GE 的长．17．（2020秋•达川区期末）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M 、N 分别是AD ，BC 边上的中点，将点C 折叠至MN 上，落在P 点的位置上，折痕为BQ ，连PQ ，则PQ 的长为（ ）A ．12B ．√33C ．13D ．√3218．（2021•汉阳区校级模拟）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．当点P 在边AD 上移动时，四边形EFGP 的面积S 的最小值为 ．。

第20讲特殊的平行四边形第20讲特殊的平行四边形一、选择题1．(2019·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝(B)A．5 B．4 C．3.5 D．3 2．(2019·上海)已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(C)A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB3．(2019·益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形4．(2019·海南)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是(C) A．14 B．16 C．18 D．20第4题图第5题图5．(2019·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(D)A．AB＝AC B．AD＝BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABC6．(2019·绍兴)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FE A.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是(C)A．7°B．21°C．23°D．24°7．(2019·黔东南州)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为(A)A．60°B．67.5°C．75°D．54°(2)解：添加AB＝BC(或∠A＝∠C)．理由如下：如解图所示．由(1)知DB＝AE，DB∥AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE.∴平行四边形DBEA是矩形．14．(2019·北京)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD ＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC.∵AD∥BC，∴四边形BCDE为平行四边形．∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE为菱形；(2)解：如解图所示．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1.∵AD＝2BC＝2，∠ABD＝90°，∴sin∠ADB＝ABAD＝12，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，由勾股定理得AC＝AD2－CD2＝22－12＝ 3.15．(2019·陕西)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE ＝CF ，连接AF ，CE 交于点G .求证：AG ＝CG .证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADF ＝∠CDE ＝90°，AD ＝CD .∵AE ＝CF ，∴DE ＝DF ，∴△ADF ≌△CDE (SAS)，∴∠DAF ＝∠DCE .在△AGE 和△CGF 中，⎩⎨⎧ ∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CGF (AAS)，∴AG ＝CG . 16．如图，AD 是△ABC 的中线，AE ∥BC ，BE 交AD 于点F ，且AF ＝DF .(1)求证：四边形ADCE 是平行四边形；(2)当AB ，AC 之间满足__________时，四边形ADCE 是矩形；(3)当AB ，AC 之间满足__________时，四边形ADCE 是正方形．(1)证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD .∵AE ∥BC ，∴∠AEF ＝∠DBF ，在△AFE 和△DFB 中，⎩⎨⎧ ∠AEF ＝∠DBF ，∠AFE ＝∠DFB ，AF ＝DF ，∴△AFE ≌△DFB (AAS)，∴AE ＝DB ，∴AE ＝CD .∵AE ∥BC ，即AE ∥CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形；(2)解：AB ＝AC ；【提示】 ∵四边形ADCE 是矩形，∴∠ADC ＝90°.∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，易证△ADB ≌△ADC (SAS)，∴AB ＝AC .(3)解：AB ⊥AC ，AB ＝AC .【提示】 ∵四边形ADCE 是正方形，∴∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，∠ACD ＝45°.∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，易证△ADB ≌△ADC (SAS)，∴AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACD ＝45°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC .17．(2019·青岛)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF .(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD .∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF .在△BCE 和△DCF 中，⎩⎨⎧ BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF (SAS)； (2)解：当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形．理由如下：∵E ，O 分别是AB ，AC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ∥BC .又∵BC ∥AD ，∴OE ∥AD ，即OE ∥AF ，同理可证OF ∥AE ，∴四边形AEOF 是平行四边形．由(1)可得AE ＝AF ，∴平行四边形AEOF 为菱形．∵AB ⊥BC ，∴∠BAD ＝90°，∴菱形AEOF 是正方形．一、选择题1．(2019·绵阳)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD 的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC 的长度为(A)A．1 B．2 C. 2 D. 3第1题图第2题图2．(2019·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(B)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②3．(2019·苏州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为(A)A．28 3 B．24 3C．32 3 D．323－8第3题图第4题图4．(2019·泰安)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC.其中正确结论的个数为(D)A．1 B．2 C．3 D．4 5．(2019·广东)如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F ，连接BF ，下列结论：①S △ABF ＝S △ADF ；②S △CDF ＝4S △CEF ；③S △ADF ＝2S △CEF ；④S △ADF ＝2S △CDF .其中正确的是( C )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题6．(2019·怀化)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AB ＝10 cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，A (P ，A 两点不重合)两点间的最短距离为 (103－10) cm.三、解答题7．(2019·广东)如图所示，已知四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，∠BAD ＝∠FAD ，∠BAD 为锐角．(1)求证：AD ⊥BF ；(2)若BF ＝BC ，求∠ADC 的度数．(1)证明：连接DB ，DF ，如解图所示．∵四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AD ＝DE ＝EF ＝F A. 在△BAD 与△FAD 中，⎩⎨⎧ AB ＝AF ，∠BAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△FAD (ASA)，∴DB ＝DF ，∴点D 在线段BF 的垂直平分线上．∵AB ＝AF ，∴点A 在线段BF 的垂直平分线上，∴AD 是线段BF 的垂直平分线，∴AD ⊥BF ； (2)解：设AD ⊥BF 于点H ，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，如解图所示，则四 边形BGDH 是矩形．∴DG ＝BH ＝12BF .∵BF＝BC，BC＝CD，∴DG＝12CD.在Rt△CDG中，∵∠CGD＝90°，DG＝12CD，∴∠C＝30°.∵BC∥AD，∴∠ADC＝180°－∠C＝150°.8．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，两动点P，Q分别同时从D，A出发，以1 cm/s的速度各自沿着DA，AB边向A，B运动(不与端点D，A，B重合)．试解答下列各题：(1)当P出发__________s时，△PDO为等腰三角形；(2)①当P，Q出发__________s时，四边形PDOQ为平行四边形；②当P，Q出发__________s时，四边形APOQ为正方形．解：(1)2或22；【提示】设当P出发t s时，△PDO为等腰三角形，有PD＝PO，OP＝OD，DP＝DO三种情况．当PD＝PO时，∵四边形ABCD是正方形，∴AO ＝DO，∠ADB＝45°，∴∠POD＝45°，∠DPO＝90°，即OP⊥AD，∴DP＝AP＝12AD＝2，∴t＝21＝2；当OP＝OD时，此时点P与点A重合，不符合题意，此种情况不存在；当DP＝DO时，在Rt△ABD中，BD＝AB2＋AD2＝42，∴DP＝DO＝12BD＝22，∴t＝221＝22；(2)①2；【提示】设当P，Q出发t s时，四边形PDOQ为平行四边形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAO＝45°，点O是BD的中点．∵四边形PDOQ为平行四边形，∴OQ∥PD，∴∠AQO＝90°，∴△AQO是等腰直角三角形，∴AQ＝OQ.∵OQ∥AD，点O是BD的中点，∴AQ＝OQ＝12AD＝2，∴t＝21＝2；②2.【提示】设当P，Q出发t s时，四边形APOQ为正方形．∵四边形APOQ为正方形，∴AP＝AQ.∵DP＝AQ，∴DP＝AP＝12AD＝2，∴t＝21＝2.。

特殊平行四边形知识归纳和常见题型精讲矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角判定•有三个角是直角；•是平行四边形且有一个角是直角；•是平行四边形且两条对角线相等.•四边相等的四边形；•是平行四边形且有一组邻边相等；•是平行四边形且两条对角线互相垂直。

•是矩形，且有一组邻边相等；•是菱形，且有一个角是直角。

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形.矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）.矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:（具有平行四边形的一切特征）性质1:矩形的四个角都是直角. 性质2:矩形的对角线相等且互相平分.如图，在矩形ABCD中，可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形的判定方法.方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形.角的四边形是矩形. 方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 互相平分的四边形是矩形.例1已知：如图，矩形ABCD , AB长8 cm，对角线比长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.方法2:有三个角是直方法4:对角线相等且ABCD 中，E 是BC 上一点，DF 丄AE 于F ,若AE=BC .求证：CE例3.如图，已知矩形 ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF 丄EC ,且EF = EC ,DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长.例4、如图，在-ABCD 中，E 为BC 的中点，连接 AE 并延长交DC 的延长线于点F .⑴求证：AB=CF ;.菱形菱形的性质性质1菱形的四条边都相等； 性质2菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角;菱形的判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.方法2:四边都相等的四边形是菱形.例2已知：如图，矩形 =EF .(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E .例1已知：如图，四边形求证：/ AFD= / CBE .ED例2已知：如图二ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于E 、F .例4、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE, / EAD=2/ BAE 。