2.2平稳随机过程和各态历经过程

随机过程 X (t )的时间自相关函数定义 为 : 1 T X (t ) X (t + τ ) = lim ∫−T X (t ) X (t + τ ) dt T → ∞ 2T
3、 若 X (t )的均值和自相关函数都 具有各态历经性 , 且 X (t ) 是广义平稳过程 , 则称 X (t ) 是广义各态历经 过程 , 简称为各态历经过程 .
f X (x1, x2; t1, t2 ) = f X (x1, x2;0, t2 − t1), 令τ = t2 − t1 f X (x1, x2; t1, t2 ) = f X (x1, x2;τ )
R X (t1 , t 2 ) = ∫ =∫
∞ ∞ ∞
∫−∞ x1x2 f X ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2 −∞
∫−∞ x1x2 f X ( x1, x2 ;τ )dx1dx2 = RX (τ ) −∞
∞
严平稳过程X(t) 严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差 X(t)的自相关函数和协方差 的函数。 函数都只是时间间隔 τ = t 2 − t1 的函数。
2 C X (τ ) = RX (τ ) − m X
2 当 τ = 0时 , C X ( 0 ) = R X ( 0 ) − m 2 = σ X X
一阶平稳过程的概率密度满足f X ( x, t ) = f X ( x) 二阶平稳过程的概率密度同时满足上式和下式 f X ( x1, x2 ; t1, t 2 ) = f X ( x1, x2 ;τ )
如果两个随机过程 X (t )和Y (t )的任意 n + m维联合 概率密度满足 :
' ' f XY ( x1 , x2 , L , xn , y1 , y 2 , L , y m ; t1 , t 2 , L , t n , t1' , t 2 , L , t m ) =
f XY ( x1 , x2 , L , xn , y1 , y 2 , L , y m ;
各态历经性


• 平稳随机过程在满足一定条件下有一个 有趣而又非常有用的特性， 称为“各态 历经性”。 • 若平稳随机过程的数字特征（均为统计 平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代， 则称平稳随机过程具有“各态历经性”。
• “ 各态历经 ” 的含义 ： 随机过程中的任一 各态历经” 的含义： 实现都经历了随机过程的所有可能状态。 实现都经历了随机过程的所有可能状态 。 因此， 因此， 我们无需获得大量用来计算统计平 均的样本函数， 均的样本函数 ， 而只需从任意一个随机过 程的样本函数中就可获得它的所有的数字 特征， 从而使“ 统计平均” 化为“ 特征 ， 从而使 “ 统计平均 ” 化为 “ 时间平 使实际测量和计算的问题大为简化。 均 ” ， 使实际测量和计算的问题大为简化 。
一个严平稳过程只要它 的均方值有限， 的均方值有限，则它必 定是广义平稳的。但是， 定是广义平稳的。但是， 反之则不一定成立。 反之则不一定成立。
广义平稳的高 斯过程必定也 是严平稳的， 是严平稳的， 即对于高斯过 程来说， 程来说，严平 稳与宽平稳是 等价的。 等价的。
当两个随机过程 X (t )和 Y (t )分别是广义 平稳过程时 , 若它们的互相关函数满 足 : R XY (t1 , t1 + τ ) = E[ X (t1 )Y (t1 + τ )] = R XY (τ ) 则称 X (t )和 Y (t ) 是联合广义平稳过程 , 或 称为联合宽平稳过程 .
换句话说： 换句话说：
严平稳过程的n 维概率密度不随时间平移而变化， 严平稳过程的 n 维概率密度不随时间平移而变化 ， 或者说与时间起点无关。 或者说与时间起点无关。
在任何时刻计算严平 稳过程的统计结果都 是相同的
如果上式不是对任意的 n都成立, 而是仅 在n ≤ N时成立, 则称X (t )是N阶平稳的.
' ' t1 + τ , t 2 + τ , L , t n + τ , t1' + τ , t 2 + τ , L , t m + τ )
则称随机过程 X (t )和 Y (t ) 是联合严平稳过程 .
•严平稳过程的性质
性质一：严平稳过程X(t) X(t)的一维概率密度与时 性质一：严平稳过程X(t)的一维概率密度与时 间无关
2.2.2 宽平稳过程 • 平稳随机过程的定义对于一切n都需成立， 这在实际应用上很复杂。由平稳随机过 程的均值是常数， 自相关函数是τ的函数 还可以引入另一种平稳随机过程的定义： 若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关函 数仅是τ的函数， 则称它为宽平稳随机过 程或广义平稳随机过程。
若随机过程 X (t )满足 : E[ X (t )] = m X (t ) = m X , R X (t1 , t 2 ) = R X (τ ), 且E[ X 2 (t )] < ∞, 则称X (t ) 为广义平稳随机过程 , 式中τ = t 2 − t1.
4、 如果两个随机过程 X (t )和Y (t )都是各态历经过程 , 且它们的时间互相关函 数等于统计互相关函数 , 即 : 1 T X (t )Y (t + τ ) = lim ∫−T X (t )Y (t + τ )dt = RXY (τ ) T → ∞ 2T 则称它们是联合各态历 经过程.
§ 2.2 平稳随机过程和各态历经过程
• 统计特性不随时间的推移而变化的随机过 程称为平稳随机过程。 • 设随机过程ξ(t),若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及τ为 任意值，且x1, x2, …, xn∈R，有 fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn) =fn(x1, x2, …, xn; t1+τ , t2+τ , …, tn+τ ) 则称ξ(t)是平稳随机过程。
−∞ −∞
∞ 2 D[ X (t )] = ∫ ( x − m) f X ( x, t )dx = ∫ ( x − m) 2 f X ( x)dx = σ X 2 −∞ −∞ ∞
∞
∞
证明： 证明：
严平稳过程的数学期望和方差与时 间无关
f X ( x, t) = f X ( x, t + τ ) 令 τ = −t, 则有 : f X ( x , t ) = f X ( x , 0 ) = f X ( x )
严平稳过程X(t) 严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关 X(t)的一维概率密度与时间无关
f X ( x, t ) = f X ( x, t + τ ) 令τ = −t , 则有 : f X ( x, t ) = f X ( x,0) = f X ( x)
E[ X (t )] = ∫ xf X ( x, t )dx = ∫ xf X ( x)dx = m X
E[ε (t )] = ∫ x1 f1 ( x1 , )dx1 = a
−∞
∞
• R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ =R(t1, t1+τ)=R(τ)
2.2.1 严平稳过程
严格的说： 严格的说：
如果对于任意的τ , 随机过程X (t )的任意n维概率密度满足 f X ( x1 , x2 ,L, xn ; t1 , t2 ,L, tn ) = f X ( x1 , x2 ,L, xn ; t1 + τ , t 2 + τ ,L, t n + τ ) 则称X (t )为严平稳过程.
随机过程的各个样 本函数都同样地经 历了随机过程的各 种可能状态， 种可能状态，因此 从随机过程的任何 一个样本函数就能 得到随机过程的全部统计信息， 得到随机过程的全部统计信息 ， 任何一个样本函 数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。 数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。
1 . 对于二阶平稳过程 X (t ), 若 X (t ) = E [ X (t )] = m X 以概 率1成立 , 则称随机过程 X (t )的均值具有各态历经性 .
随机相位的正弦信号
随机幅度的正弦信号
X (t ) = a cos(ωt + Φ )
随机频率的正弦信号
X (t ) = A cos(ωt + ϕ )
幅度、相位和频率都是随机的 幅度、
X (t ) = a cos(Ωt + ϕ )
X (t ) = A cos(Ωt + Φ )
• 平稳随机过程的定义说明：当取样点在时 间轴上作任意平移时，随机过程的所有有 限维分布函数是不变的。 • 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布 只与时间间隔τ有关。从而有
E[ X (t )] = ∫ xf X ( x, t )dx = ∫ xf X ( x)dx = m X
−∞ −∞ ∞ ∞
2 D[ X (t )] = ∫ ( x − m) f X ( x, t )dx = ∫ ( x − m) 2 f X ( x)dx = σ X 2 −∞ −∞
∞
∞
性质二：严平稳过程X(t) X(t)的二维概率密度只与两个 性质二：严平稳过程X(t)的二维概率密度只与两个 时刻t 的间隔有关，与时间起点无关。 时刻t1和t2的间隔有关，与时间起点无关。 证明： 证明： f X (x1, x2;t1, t2 ) = f X (x1, x2;t1 + λ, t2 + λ), 令λ = −t1
1 随机过程的时间均值定 义为 : X (t ) = lim T → ∞ 2T
2 . 对于二阶平稳过程 X (t ), 若
∫
T
−T
X (t ) dt
X (t ) X (t + τ ) = E [ X (t ) X (t + τ )] = R X (τ ) 以概率 1成立 , 则称随机过程 X (t )的自相关函数具有各 态历经性 .