下载文档原格式
MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法内容目录
1MATLAB中软件拟合与插值运算的方法1
1.1拟合函数的选择1
1.1.1线性拟合1
1.1.2非线性拟合2
1.2拟合函数的求解2
1.2.1直接法2
1.2.2迭代法3
1.3MATLAB插值函数4
1.3.1样条插值函数4
1.3.2拉格朗日插值函数5
1.3.3指数插值函数5
结论6
近来，随着科学技术的进步，数据采集技术的发展，大量的实验数据和实验结果越来越多，如何合理地分析处理数据，描绘实际趋势，就变得十分重要，MATLAB中的软件拟合与插值是目前应用最多的数据处理技术之一、本文介绍了MATLAB中软件拟合与插值运算的方法及其具体实现。
1.1拟合函数的选择
1.1.1线性拟合
线性拟合是指拟合函数可以用一元线性方程描述，MATLAB中的拟合
函数有polyfit、polyval和 polyconf等。
其中，polyfit函数用来根据
输入的拟合数据拟出一元多项式，polyval函数用来求出拟合后的拟合值，polyconf函数用来计算拟合的参数的置信范围。
例如，用polyfit函数
拟合下面的数据，输入x = [1 2 3 4 5]和y = [4.3 7.3 11.1 14.1
18.4]，拟出的拟合函数为y = 4.1 + 2.3x，即拟合函数为y = 4.1 +
2.3x。
1.1.2非线性拟合。
13. 数据插值与拟合实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。
插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。
1.如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问题（不需要函数表达式）。
2.如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。
插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。
区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。
【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。
因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。
当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。
一、数据插值根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值）（2）分段线性插值（3）Hermite（4）三次样条插值Matlab 插值函数实现：（1）interp1( ) 一维插值（2）intep2( ) 二维插值（3）interp3( ) 三维插值（4）intern( ) n维插值1.一维插值（自变量是1维数据）语法：yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’)其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。
注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围；（2）插值方法有‘nearest’——最邻近插值；‘linear’——线性插值；‘spline’——三次样条插值；‘cubic’——三次插值；默认为分段线性插值。
例1 从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．试估计每隔1/10小时的温度值。
Matlab曲线拟合工具箱zy搜集整理1 插值 (1)1.1 一维插值interp1 (1)1.2 二维数据内插值interp2 (3)1.3 三维插值interp3 (4)1.4 快速Fourier 算法作一维插值interpft (5)1.5 命令5 griddata (5)1.6 三次样条数据插值spline (6)1.7 n 维数据插值interpn (7)1.8 生成三位图形矩阵数据meshgrid (8)1.9 多维函数数据产生函数ndgrid (8)2 拟合 (9)2.1 多项式曲线拟合ployfit (9)2.2 多项式曲线求值函数polyval (10)2.3 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数polyconf (10)2.4 稳健回归函数robust (11)2.5 向自定义函数拟合nlinfit (12)2.6 拟合工具cftool (13)3 回归分析 (14)3.1 多元线性回归分析函数regress (15)1插值Matlab中插值函数汇总和使用说明1.1 一维插值interp1MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为：yi= interp1(x,y,xi,'method') 其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量，'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种：'method'是最邻近插值，'linear'线性插值；'spline'三次样条插值；'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
例如：在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，推测中午12点（即13点）时的温度．x=0:2:24;y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13];a=13;y1=interp1(x,y,a,'spline')结果为：27.8725若要得到一天24小时的温度曲线，则：xi=0:1/3600:24;yi=interp1(x,y,xi, 'spline');plot(x,y,'o' ,xi,yi)命令1 interp1功能一维数据插值（表格查找）。
函数插值与曲线拟合1、函数插值一维插值:interp1(x,y,cx,‟method‟)一维插值:interp1(x,y,z,cx,cy,‟method‟)method:nearest、linear、spline、cubic例：clearecho onx=-2:0.4:2;y=[2.8 2.96 2.54 3.44 3.565.46.0 8.7 10.1 13.3 14.0];t=-2:0.01:2;nst=interp1(x,y,t,'nearest');plot(x,y,'r*',t,nst)title('最临近点插值')lnr=interp1(x,y,t,'linear');figure(2)plot(x,y,'r*',t,lnr,'b:')title('线性插值')spl=interp1(x,y,t,'spline');figure(3)plot(x,y,'r*',t,spl)title('样条插值')cbc=interp1(x,y,t,'cubic');figure(4)plot(x,y,'r*',t,cbc,'k-')title('三次插值')2、曲线拟合多项式拟合：polyfit(x,y,m) 线性：m=1,二次：m=2, …例：x=0:0.1:1;y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.347.66 9.56 9.48 9.30 11.2];A=polyfit(x,y,2)Z=polyval(A,x);Plot(x,y,‟r*‟,x,z,‟b‟)matalb 曲线拟合的问题%多项式拟合函数polyfit示例x=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1];y=[-0.4471 0.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; n=2;%polynomial orderp=polyfit(x, y, n);%polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。
Matlab中的插值与拟合技术在科学研究和工程领域中，数据的插值和拟合技术在数值计算和数据处理中具有重要意义。
Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了丰富的插值和拟合函数和工具箱，能够满足不同场景下的需求。
插值是一种通过已知数据点构建新数据点的技术。
在实际问题中，我们经常会遇到仅有少量已知数据点，但需要了解未知数据点的情况。
插值技术就可以帮助我们填补数据之间的空缺，以便更好地分析和理解数据。
Matlab中提供了多种插值函数，包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
这些函数能够根据已知数据点的特征，推测出未知数据点的可能取值。
通过合理选择插值方法和参数，我们可以得到较为准确的结果。
以线性插值为例，其原理是根据已知数据点的直线特征，推测出未知数据点的取值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数实现线性插值。
该函数的基本用法是给定一组x和对应的y值，以及待插值的点xq，函数将计算出对应的插值点yq。
通过指定xq的形式，我们可以实现不仅仅是单个点的插值，还可以实现多点插值和插值曲线绘制。
这种灵活性使得插值操作更加方便快捷。
拟合技术则是通过一定数学函数的近似表示，来描述已知数据的特征。
它可以帮助我们找到数据背后的规律和趋势，从而更好地预测未知数据。
在Matlab中，拟合问题可以通过polyfit和polyval函数来解决。
polyfit函数可以根据一组已知数据点，拟合出最优的多项式曲线。
该函数的输入参数包括x和y，代表已知数据的横纵坐标值；以及n，代表拟合的多项式次数。
polyfit函数将返回拟合得到的多项式系数。
通过polyval函数，我们可以使用这些系数来求解拟合曲线的纵坐标值。
这样，我们就能够利用拟合曲线来预测未知数据点。
插值和拟合技术在实际问题中都有广泛的应用，尤其在数据处理和信号处理方面。
例如，当我们在实验中测量一组数据时，可能会存在测量误差或者数据缺失的情况。
此时，通过插值技术我们可以填补数据之间的空白，并得到一个更加完整的数据集。
实验10 曲线拟合和插值运算一． 实验目的学会MATLAB 软件中软件拟合与插值运算的方法。
二． 实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。
根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。
（1） 测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2） 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
MATLAB 中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。
1.曲线拟合已知离散点上的数据集[(1x ,1y ),………(n x ,n y )]，求得一解析函数y=f (x),使f(x)在原离散点i x 上尽可能接近给定i y 的值，之一过程叫曲线拟合。
最常用的的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即使求使21|()|n i ii f x y =-∑ 最小的f(x).格式：p=polyfit(x,Y ,n).说明：求出已知数据x,Y 的n 阶拟合多项式f(x)的系数p ，x 必须是单调的。
[例 1.9]>>x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; %给出数据点的x 值>>y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; %给出数据点的y 值>>p=polyfit (x,y,2); %求出二阶拟合多项式f(x)的系数>>x1=0.5:0.05:3.0; %给出x 在0.5~3.0之间的离散值>>y1=polyval(p,1x ); %求出f(x)在1x 的值>>plot(x,y,‟*r ‟, 11,x y ‟-b ‟) %比较拟合曲线效果计算结果为：p=0.5614 0.8287 1.1560即用f(x)=0.56142x +0.8287x+1.1560拟合已知数据，拟合曲线效果如图所示。
Matlab 曲面插值和拟合插值和拟合都是数据优化的一种方法，当实验数据不够多时经常需要用到这种方法来画图。
在matlab中都有特定的函数来完成这些功能。
这两种方法的确别在于：当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
插值：对于一维曲线的插值，一般用到的函数yi=interp1(X,Y,xi,method) ，其中method包括nearst，linear，spline，cubic。
对于二维曲面的插值，一般用到的函数zi=interp2(X,Y,Z,xi,yi,method)，其中method也和上面一样，常用的是cubic。
拟合：对于一维曲线的拟合，一般用到的函数p=polyfit(x,y,n)和yi=polyval(p,xi)，这个是最常用的最小二乘法的拟合方法。
对于二维曲面的拟合，有很多方法可以实现，但是我这里自己用的是Spline Toolbox里面的函数功能。
具体使用方法可以看后面的例子。
对于一维曲线的插值和拟合相对比较简单，这里就不多说了，对于二维曲面的插值和拟合还是比较有意思的，而且正好胖子有些数据想让我帮忙处理一下，就这个机会好好把二维曲面的插值和拟合总结归纳一下，下面给出实例和讲解。
原始数据x=[1:1:15];y=[1:1:5];z=[0.2 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 0.25 0.26 0.26 0.29 0.25 0.29;0.27 0.31 0.3 0.3 0.26 0.28 0.29 0.26 0.26 0.26 0.26 0.29;0.41 0.41 0.37 0.37 0.38 0.35 0.34 0.35 0.35 0.34 0.35 0.35;0.41 0.42 0.42 0.41 0.4 0.39 0.39 0.38 0.36 0.36 0.36 0.36;0.3 0.36 0.4 0.43 0.45 0.45 0.51 0.42 0.4 0.37 0.37 0.37];z是一个5乘12的矩阵。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
matlab 插值拟合插值拟合是一种常用的数值分析方法，它通过已知的一些离散数据点，来构造一个函数，使得该函数通过这些数据点，并且在数据点之间的取值也能较好地拟合实际情况。
在MATLAB 中，可以使用interp1函数进行插值拟合。
interp1函数是MATLAB中用于一维数据插值的函数，它可以根据给定的数据点，通过线性插值、多项式插值、样条插值等方法，生成一个插值函数。
它的基本语法如下：YI = interp1(X,Y,XI,method)其中，X和Y是已知的数据点的横纵坐标，XI是需要插值的点的横坐标，method是插值方法。
下面将对这些参数进行解释。
X是已知数据点的横坐标，可以是一个向量或矩阵。
若X是向量，则X和Y的长度必须相等；若X是矩阵，则X和Y的行数必须相等。
X的元素必须按照升序排列。
Y是已知数据点的纵坐标，可以是一个向量或矩阵。
若Y是向量，则X和Y的长度必须相等；若Y是矩阵，则X和Y的行数必须相等。
XI是需要插值的点的横坐标，可以是一个向量或矩阵。
若XI 是向量，则返回的YI也是向量，长度与XI相等；若XI是矩阵，则返回的YI也是矩阵，行数与XI的行数相等。
XI的元素可以是任意实数，不一定需要在X定义的范围内。
method是插值方法，可以选择的参数有：- 'linear'：线性插值，即通过两个最近的数据点在其之间进行线性插值计算。
- 'nearest'：最近邻插值，即将每个需要插值的点与最近的数据点进行匹配。
- 'spline'：样条插值，利用样条函数拟合数据点，生成平滑的曲线。
- 'pchip'：分段三次Hermite插值，利用分段三次Hermite曲线拟合数据点。
- 'v5cubic'：使用v5版本算法生成的3次样条。
除了上述的基本插值方法，还可以使用更高级的插值方法，如二维和多维插值等。
此外，interp1函数还提供了一些其他的参数和选项，如出界值处理、插值半径等，可以根据具体需求进行调整。
MATLAB拟合和插值定义插值和拟合：曲线拟合是指您拥有散点数据集并找到最适合数据⼀般形状的线（或曲线）。
插值是指您有两个数据点并想知道两者之间的值是什么。
中间的⼀半是他们的平均值，但如果你只想知道两者之间的四分之⼀，你必须插值。
拟合我们着⼿写⼀个线性⽅程图的拟合：y=3x^3+2x^2+x+2⾸先我们⽣成⼀组数据来分析：x=-5:0.5:5;e=50*rand(1,length(x))-25;%制造[-25,25]的随机数作为误差y=3*x.^3+2*x.^2+x+2+e;%得到y值plot(x,y,'.')x =Columns 1 through 6-5.0000 -4.5000 -4.0000 -3.5000 -3.0000 -2.5000Columns 7 through 12-2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000Columns 13 through 181.0000 1.50002.0000 2.50003.0000 3.5000Columns 19 through 214.0000 4.50005.0000y =Columns 1 through 6-350.0110 -248.6360 -169.3421 -89.5653 -88.2298 -57.7238Columns 7 through 12-32.5505 2.3308 11.5861 9.0123 -0.4538 5.7254Columns 13 through 18-2.1840 30.3596 20.4478 73.2138 88.1756 152.0492Columns 19 through 21236.2809 334.3864 411.0563这时候x,y作为已知数据存在，要求我们拟合x,y的散点图，这时候会⽤到这个函数。
语法p = polyfit(x,y,n)[p,S] = polyfit(x,y,n)[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)说明p = polyfit(x,y,n) 返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数，该阶数是 y 中数据的最佳拟合（在最⼩⼆乘⽅式中）。
MATLAB中的插值与拟合方法详解篇一：介绍插值与拟合的概念及应用领域在科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要通过有限个已知数据点来推算出其它位置或数值的问题。
这种问题的解决方法通常可以分为两种：插值和拟合。
插值是指根据已知的离散数据点，在未知位置或数值上推算出一个函数值；而拟合则是根据已知的离散数据点，寻找一个函数模型来近似表示这些数据。
插值方法适用于数据点之间具有明显的数值关系的情况，如各种物理现象的测量数据、曲线绘制等。
拟合方法则适用于数据点之间存在较大离散度或复杂的关联关系的情况，例如统计分析、数据回归、信号处理等。
MATLAB作为一种强大的数值计算和可视化工具，提供了丰富的插值和拟合方法函数，使得我们能够更加高效地进行数据处理和分析。
接下来我们将详细介绍MATLAB中常用的插值和拟合方法。
篇二：插值方法详解插值方法在MATLAB中有多种实现方式，常用的有线性插值、多项式插值和样条插值。
1.线性插值线性插值是一种简单直接的插值方法，在已知的数据点间通过直线的插值来估计未知点的数值。
在MATLAB中，可以使用interp1函数来进行线性插值的计算。
该函数利用输入的数据点和未知点的坐标，返回未知点的插值结果。
2.多项式插值多项式插值是一种通过多项式函数来拟合数据点的插值方法。
MATLAB中的polyfit函数可以用来进行多项式的拟合计算。
这个函数通过最小二乘法来寻找一个多项式函数，使得该函数与给定的数据点最为接近。
3.样条插值样条插值是一种更加精确的插值方法，在MATLAB中可以使用interp1函数的'spline'选项来进行样条插值的计算。
样条插值通过分段函数形式来拟合数据，可以得到更加平滑和连续的插值结果。
篇三：拟合方法详解拟合方法主要有线性拟合、非线性拟合以及多项式拟合等。
1.线性拟合线性拟合是一种基于线性模型的拟合方法，它适用于数据点之间存在明确线性关系的情况。
在MATLAB中，可以使用polyfit函数来进行线性拟合计算。
matlab样条拟合曲线MATLAB中的样条拟合曲线是一种常用的数据拟合方法，它通过插值或逼近一组数据点来生成一条平滑的曲线。
下面我将从多个角度来回答关于MATLAB样条拟合曲线的问题。
首先，要进行样条拟合曲线，你需要有一组数据点。
这些数据点可以是实验数据、观测数据或任何你想要拟合的数据。
在MATLAB 中，你可以使用函数`interp1`来进行样条插值拟合。
这个函数可以根据你提供的数据点，生成一个平滑的曲线。
其次，样条拟合曲线的平滑程度可以通过控制插值点之间的插值方式来调整。
在MATLAB中，你可以使用不同的插值方法来获得不同平滑程度的曲线。
常见的插值方法有线性插值、三次样条插值和样条逼近插值。
你可以根据你的需求选择合适的插值方法。
另外，MATLAB还提供了一些额外的函数和工具箱，可以帮助你更好地进行样条拟合曲线。
例如，`spline`函数可以根据给定的数据点生成一个样条插值曲线。
`csape`函数可以生成一个平滑的样条逼近曲线。
此外，MATLAB的Curve Fitting Toolbox提供了更多高级的拟合方法和工具，可以帮助你进行更复杂的数据拟合。
此外，样条拟合曲线也可以用于数据的平滑和去噪。
通过拟合一条平滑的曲线，可以减少数据中的噪声和波动，使数据更易于分析和解释。
最后，样条拟合曲线在各个领域都有广泛的应用。
在工程学中，它常用于信号处理、图像处理和控制系统设计等方面。
在统计学中，它常用于回归分析和时间序列分析。
在科学研究中，它常用于数据可视化和模型拟合。
总结起来，MATLAB提供了丰富的函数和工具箱来进行样条拟合曲线。
通过合理选择插值方法和调整参数，可以得到满足需求的平滑曲线。
样条拟合曲线在数据分析、信号处理和科学研究等领域有着广泛的应用。
希望这些信息对你有所帮助。
MATLAB在拟合与插值中的应用在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
（比如在土木工程中对实验梁的应力应变(σ--ε) 曲线的数据进行拟合,从而得出钢筋混凝土的弹性模量的计算式。
）在这里讨论的方法是曲线拟合与插值。
其中包括曲线拟合，一维插值，二维插值以及如何解决插值中求值时的单调性问题。
曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
我们将最佳拟合解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
先看看图1图1 2阶曲线拟合在MA TLAB中，函数polyfit求解最小二乘曲线拟合问题。
简单阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .11];» y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。
通常称为线性回归。
如果我们选择n=2作为阶次，得到一个2阶多项式。
» n=2; % polynomial order» p=polyfit(x, y, n)p =-9.8108 20.1293 -0.0317polyfit的输出是一个多项式系数的行向量。
其解是y = －9.8108x2＋20.1293x－0.0317。
为了将曲线拟合解与数据点比较，把二者都绘成图。
» xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting» z=polyval(p, xi);为了计算在xi数据点的多项式值，调用MATLAB的函数polyval。
matlab曲线插值方法
在MATLAB中，有多种方法可以进行曲线插值。
以下是一些
常用的方法：
1. 线性插值：使用线性函数将给定数据点之间的空白区域填充。
在MATLAB中，可以使用`interp1`函数实现线性插值。
2. 多项式插值：使用一个多项式函数来逼近数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数拟合数据点，并使用
`polyval`函数计算插值点。
3. 样条插值：使用分段多项式来逼近数据点，形成平滑的曲线。
在MATLAB中，可以使用`interp1`函数的`'spline'`选项进行样
条插值。
4. Lagrange插值：使用Lagrange插值多项式逼近数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数的第三个参数指定插值多
项式的次数。
5. 三次样条插值：使用三次多项式来逼近数据点，并确保曲线在数据点之间是连续且光滑的。
在MATLAB中，可以使用
`csape`函数进行三次样条插值。
这些方法在MATLAB中都有相应的函数可以直接调用，并提
供了灵活的参数选项来满足不同的插值需求。
插值法和曲线拟合电子科技大学摘要：理解拉格朗日多项式插值、分段线性插值、牛顿前插，曲线拟合，用matlab编程求解函数，用插值法和分段线性插值求解同一函数，比较插值余项；用牛顿前插公式计算函数，计算函数值；对于曲线拟合，用不同曲线拟合数据。
关键字：拉格朗日插值多项式；分段线性插值；牛顿前插；曲线拟合引言：在数学物理方程中，当给定数据是不同散点时，无法确定函数表达式，求解函数就需要很大的计算量，我们有多种方法对给定的表格函数进行求解，我们这里，利用插值法和曲线拟合对函数进行求解，进一步了解函数性质，两种方法各有利弊，适合我们进行不同的散点函数求解。
正文：一、插值法和分段线性插值1拉格朗日多项式原理对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：[3]拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。
2分段线性插值原理给定区间[a,b], 将其分割成a=x0<x1<…<xn=b, 已知函数y= f(x) 在这些插值结点的函数值为y k =f(xk)(k=0,1,…,n)求一个分段函数Ih(x), 使其满足：(1) I h (x k )=y k ，(k=0,1,…,n) ;(2) 在每个区间[x k ,x k+1 ] 上,I h (x)是个一次函数。
易知,I h (x)是个折线函数, 在每个区间[x k ,x k+1 ]上,(k=0,1,…,n) k1k k 1k 1k k 1k k k ,1)()()(x x x x x f x x x x x f x L --+--=++++，于是, I h (x)在[a,b]上是连续的，但其一阶导数是不连续的。
3拉格朗日插值多项式算法○1输入,(0,1,2,,)i i x y i n = ，令0)(=x L n 。
○2对0,1,2,,i n = ，计算 0,()()/()ni j i j j j il x x x x x -≠=--∏()()()n n i iL x L x l x y ←−−+4分段线性插值算法○1输入（x k ,y k ）,k=0,1,…,n;○2计算k1k k 1k 1k k 1k k k ,1)()()(x x x x x f x x x x x f x L --+--=++++5插值法和分段线性插值程序按下列数据分别作五次插值和分段线性插值，画出两条插值曲线以及给定数据点。
求x 1=0.32,functionlagrintxi=[0.32,0.55,0.68];%xi=[0.2:0.001:0.8];x=[0.3,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72];y=[1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223]; L=zeros(size(y)); m=length(xi); fori=1:mdxi=xi(i)-x;L(1)=prod(dxi(2:6))/prod(x(1)-x(2:6));L(6)=prod(dxi(1:6-1))/prod(x(6)-x(1:6-1)); for j=2:6-1num=prod(dxi(1:j-1))*prod(dxi(j+1:6));den=prod(x(j)-x(1:j-1))*prod(x(j)-x(j+1:6));L(j)=num/den;endyi(i)=sum(y.*L);fprintf('x=%f,y=%f\n',xi(i),yi(i));endplot(xi,yi,'r');axis([0.2 0.8 1.03 1.24]);hold onplot(x,y,'b.','markersize',20)grid on分段线性插值算法程序：function [y]=div%xi=[0.3:0.001:0.72];x0=[0.3,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72];y0=[1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223]; k=1;xi=[0.32,0.55,0.68];for j=1:3fori=1:5if xi(j)>=x0(i) && xi(j)<=x0(i+1) && k<=3lx(1)=(xi(j)-x0(i+1))/(x0(i)-x0(i+1));lx(2)=(xi(j)-x0(i))/(x0(i+1)-x0(i));y(k)=lx(1)*y0(i)+lx(2)*y0(i+1);k=k+1;endendendplot(xi,y,'r');axis([0.2 0.8 1.03 1.24]);hold onplot(x0,y0,'b.','markersize',20)grid on6运算结果拉格朗日插值结果x=0.320000,y=1.049958 x=0.550000,y=1.141271 x=0.680000,y=1.209300 拉格朗日插值余项：)72.0)(66.0)(58.0)(5.0)(42.0)(3.0(!6)()()()(655------=-=x x x x x x f x L x f x R ξ分段插值结果ans =1.0508 1.1418 1.2095 分段线性插值余项：)(max8))((2)(max)()(max11121,1x f h x x x x f x L x f R i i i i i i x x x ii i i x x x i x x x ''≤--''≤-=+++≤≤+≤≤≤≤ξ由于拉格朗日插值的余项比分段线性插值的余项要求更为严格，点少、区间小的时候，拉格朗日插值要更好。
但在区间较大、节点较多的时候，分段线性插值要更好。
二、牛顿前插 1牛顿前插原理n 次牛顿前插公式：)1()1(!)1(!2!1)(!)(00200100+--∆++-∆+∆+=-∏∆=+-==∑n t t t n f t t f t f f j t k f th x N nk j nk kn 插值余项：)()!1()()1()()1(10ξ+++--=+n n n fhn n t t t th x R ，),(0n x x ∈ξm 阶差分记作i m i m i mf f f 111-+-∆-∆=∆。
[]i f x k 阶差商是[]∑∏=≠=-=km kmi i i mm k x xx f x x x f 0010)()(,,,差分和差商之间的关系是[]ki kk i i i hk f x x x f !,,,1∆=++2牛顿前插算法○1输入),2,1,0(,,n i y x n ii =。
○2对n k ,,3,2,1 =，k i ,,2,1 =计算各阶差分i m i m i m f f f 111-+-∆-∆=∆ ○3计算函数值)1()1(!)1(!2!1)(!)(00200100+--∆++-∆+∆+=-∏∆=+-==∑n t t t n f t t f t f f j t k f th x N nk j nk kn 3牛顿前插程序：编写一个用牛顿前插公式计算函数值的程序，要求先输出差分表，再计算x 点的函数值分别求x =0.158和x =0.636的三次插值的值，并比较二者的插值余项。
这里以x=0.636为例 function [P]=newtoncha x0=0.636;X=[0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750]; Y=[0.796 0.773 0.744 0.704 0.656 0.602]; h=abs(X(2)-X(1)); n=find(abs(x0-X)<3*h); X=X(n(1):n(end)); Y=Y(n(1):n(end));w=length(X);R=zeros(w,w);R(:,1)=Y(:);for k=2:wfor j=k:wR(j,k)=R(j,k-1)-R(j-1,k-1);endendt=(x0-X(1))/h;T=1;for m=1:w-1T=T*(t-m+1);N(m)=R(m+1,m+1)*T/factorial(m); endP=R(1,1)+sum(N);4运行结果：差分表X=0.636时ans =0.651459661824000 x=0,158时ans =0.790229818880000 三、曲线拟合 1曲线拟合原理： 给定数据(,),1,2,,j j x y j n= 。
记拟合函数的形式为0011()()()()m m p x a x a x a x ϕϕϕ=+++ （1.1），其中{}0()mkk x ϕ=为已知的线性无关函数。
求系数***01,,,ma a a 使得220111(,,,)[()][()]nnmm jj kkj j j j k a a a p xy a x y ϕϕ====-=-∑∑∑ （1.2）取最小值。
称**0()()mkk k p x ax ϕ==∑（1.3）为拟合函数或经验公式。
如果),,1,0()(m k x x kk ==ϕ，则（1.3）为m 次最小二乘拟合多项式2曲线拟合算法：已知数据对),,2,1)(,(n j y x i i =，求多项式)()(0n m xa x P mi ii<=∑=，使得∑∑==-=Φnj j mi i jim y xa a a a 12010)(),,,( 为最小。
注意到此时kk xx =)(ϕ，多项式系数ma a a ,,,10 满足下面的线性方程组： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++m m m m mm m T T T a a a S S S S S S S S S10102112110其中)2,,2,1,0(1m k xS nj k jk ==∑=，),,2,1,0(1m k x y T nj kjj k ==∑=然后只要调用线性方程组的函数程序即可 3曲线拟合程序：试分别用抛物线y =a +bx 2和指数曲线y =ae bx拟合下列数据画出数据点和两条拟合曲线，并通过计算2个拟合函数残差向量的2范数来比较拟合优劣。
用抛物线y=a+bx 拟合程序： function ZXEx=[1 2.5^2 3.5^2 4^2];y=[3.8 1.50 26.0 33.0];m=1;S=zeros(1,2*m+1);T=zeros(m+1,1); for k=1:2*m+1S(k)=sum(x.^(k-1));endfor k=1:m+1T(k)=sum(x.^(k-1).*y);endA=zeros(m+1,m+1);a=zeros(m+1,1); fori=1:m+1for j=1:m+1A(i,j)=S(i+j-1);endenda=A\T;for k=1:m+1fprintf('a[%d]=%f\n',k,a(k)); endp=polyfit(x,y,1);u=polyval(p,x);plot(sqrt(x),u,'b')hold onplot(sqrt(x),y,'b.')grid on指数曲线y=aebx拟合程序：function ZXE2x=[1 2.5 3.5 4];y=[3.8 1.50 26.0 33.0];y=log(y);m=1;S=zeros(1,2*m+1);T=zeros(m+1,1); for k=1:2*m+1S(k)=sum(x.^(k-1));endfor k=1:m+1T(k)=sum(x.^(k-1).*y);endA=zeros(m+1,m+1);a=zeros(m+1,1); fori=1:m+1for j=1:m+1A(i,j)=S(i+j-1);endenda=A\T;for k=1:m+1fprintf('a[%d]=%f\n',k,a(k)); endp=polyfit(x,y,1);u=polyval(p,x);plot(x,exp(u),'r')hold onplot(x,exp(y),'b.')grid on4运行结果：拟合曲线：a[1]=-0.168731a[2]=0.833636结论：求解散点函数的时候，点少、区间小的时候，拉格朗日插值要更好。
