2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲 三个正数的算术-几何平均不等式

1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式[A级基础巩固]一、选择题1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则( )A．x＋y＋z的最大值是3 2B．x＋y＋z的最大值是332C．x＋y＋z的最小值是3 2D．x＋y＋z的最小值是332解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥33xyz＝332，当且仅当x＝y＝z＝32时，x＋y＋z取得最小值332.答案：D2．已知x∈R＋，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋ax n≥n＋1(n∈N*)，则a的值为( ) A．n n B．2nC．n2D．2n＋1解析：x＋ax n ＝xn＋xn＋…＋xn,\s\up6(,n个))＋ax n，要使和式的积为定值，则必须n n＝a.答案：A3．若a＞b＞0，则a＋1b（a－b）的最小值为( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a＋1b（a－b）＝(a－b)＋b＋1b（a－b）≥33（a－b）·b·1b（a－b）＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋1b（a－b）的最小值为3.答案：D4．设x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：因为lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23，所以lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号． 答案：B5．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235解析：2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z≥3326＝12. 当且仅当x ＝2y ＝3z ＝2时等号成立． 答案：C 二、填空题6．将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________．解析：设这三个正数分别是a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝1，所以abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33＝127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，abc 取得最大值127.答案：1277．函数f (x )＝x (5－2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值是________． 解析：f (x )＝14×4x (5－2x )(5－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋5－2x ＋5－2x 33＝25027， 当且仅当4x ＝5－2x ，即x ＝56时，等号成立．故函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值为25027.答案：250278．若实数x ，y 满足x ，y ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是________． 解析：由x 2y ＝2，得y ＝2x2，代入xy ＋x 2，得xy ＋x 2＝x ·2x 2＋x 2＝2x ＋x 2＝1x ＋1x＋x 2≥3，当且仅当1x＝x 2，即x ＝1，y ＝2时取等号．答案：3 三、解答题9．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号． 所以y max ＝239.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原式等号成立．B 级 能力提升1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π.当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号． 答案：B2．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1（a －2）（b －3）的最小值为______．解析：因为a ＞2，b ＞3，所以a －2＞0，b －3＞0， 则a ＋b ＋1（a －2）（b －3）＝(a －2)＋(b －3)＋1（a －2）（b －3）＋5≥33（a －2）×（b －3）×1（a －2）（b －3）＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1（a －2）（b －3），即a ＝3，b ＝4时等号成立．答案：83.如图，在一张半径是2 m 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：因为r ＝2cos θ，所以E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，所以E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22，所以h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大． 所以当灯的高度h 为 2 m 时，才能使桌子边缘处最亮．。

设 a1，a2，a3，a4 为正数， a1＋a2＋a3＋a4 4 求证： ≥ a1a2a3a4， 4 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
证明：若 a1＝a2＝a3＝a4，则上式左＝a1，右＝a1. 故所需证不等式中等号成立． 若 a1，a2，a3，a4 不全相等，则不妨设 a1≠a2，于是 a1＋a2＞2 a1a2＞0， a3＋a4≥2 a3a4＞0， 故 a1＋a2＋a3＋a4＞2( a1a2＋ a3a4) ≥2· 2· 4 a1a2· a3a4
13 ， a1a2a3＝________ 9 ________ ，
3
3
a1＋a2＋a3 3 ≥ 则有： ________ a1a2a3. 3
2．n 个正数的算术—几何平均不等式 ＋ (1)如果 a1，a2，…，an∈R ，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋…＋an 叫做这 n 个正数的算术平均数， n n a1a2…an叫做这 n 个正数的________；
不等式和绝对值不等式
1.1 1.1.3
不等式
三个正数的算术—几何平均不等式
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问 题． 2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定 函数的极值，从而学会解决简单的应用问题．
1．三个正数的算术—几何平均不等式 a1＋a2＋a3 ＋ (1)如果 a1，a2，a3∈R ，则： 叫做这 3 个 3 正数的算术平均数， a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数 ________； a1＋a2＋a3 3 (2)三个正数基本不等式： ≥ a1a2a3. 3 算术 平均数不小于它们的 语言表述：三个正数的________ ________ 几何 平均数． a1＋a2＋a3 练习 1：若已知 a1＝3，a2＝9，a3＝27 则 ＝ 3

第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥a ＝b ＝c 时，等号成立．定理3的推广，一般形式的平均值不等式：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．上述不等式称为平均值不等式，或简称均值不等式．知识点一 求函数的最值1．已知x 为正数，下列求最值的过程正确的是( )A ．y ＝x 2＋2x ＋4x3≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋1－x ＋1－2x 33 ＝881，∴y max ＝881解析：在A 、B 、D 中，等号不成立，取不到最值；C 正确， ∵x >0时，y ＝2＋x ＋1x ≥2＋2x ·1x＝4，当且仅当x ＝y＝1时取等号．答案：C2．(2019·安徽合肥高二检测)若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，∴xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3312xy ·12xy ·x 2＝3314x 2y2＝3，当且仅当12xy＝12xy ＝x 2，即x ＝1，y ＝2时，等号成立，∴xy ＋x 2的最小值是3，故选C.答案：C知识点二 证明不等式3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1，证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 证明：(1)∵abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c ·abc ＝bc ＋ac ＋ab .∵2(a 2＋b 2＋c 2)＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴2(a 2＋b 2＋c2)≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c ，即a 2＋b 2＋c 2≥1a ＋1b ＋1c .(2)∵(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，a ＋c ≥2ac ，(当且仅当a ＝b ＝c 时等号同时成立)，∴(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3×2ab ×2bc ×2ac ＝24abc2，又abc ＝1，∴(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 4．已知a ，b ，c >0，求证： (a ＋b ＋c )(ab ＋bc ＋ca )≥9abc . 证明：∵a ，b ，c >0， ∴(a ＋b ＋c )(ab ＋bc ＋ca ) ≥33abc ·33ab ·bc ·ca＝93abc3＝9abc(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 知识点三 实际问题中的最值5．用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示，单位：m)．若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是( )A ．2×5B ．2×5.5C ．2×6.1D ．3×5解析：设长方体水箱长、宽、高分别为x ，y ，z ，则xyz ＝4.水箱的表面积S ＝xy ＋2xz ＋2yz ＝xy ＋2x ·4xy ＋2y ·4xy ＝xy ＋8y ＋8x≥33xy ·8x ·8y＝12.故要制作容积为4 m 3的无盖水箱，所需的钢板面积最小为12 m 2，所以A ，B 排除，而C ，D 均够用，但D 剩较多，故选C.答案：C6．已知球的半径为R ，球内接圆柱的半径为r ，高为h ，则r 与h 为何值时，球内接圆柱的体积最大？解：轴截面如图，设球内接圆柱的体积为V ，则V ＝πr 2h ，又R2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫h 22，∴r 2＝R 2－h 24.∴V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 2－h 24h ＝π4(4R 2－h 2)h ＝π4·4R 2－h 22·h 2＝π4·124R 2－h 24R 2－h 2·2h 2≤π4·12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4R 2－h 2＋4R 2－h 2＋2h 233＝π4·12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8R 233＝439πR 3. 当且仅当4R 2－h 2＝2h 2，即h ＝233R 时，等号成立，此时r＝63R ， ∴当r ＝63R ，h ＝233R 时，球内接圆柱的体积最大，最大值为439πR 3.一、选择题1．(2019·河北衡水期中)已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z的最小值为( )A ．336 B ．2 C ．12D ．1235解析：因为x ＋2y ＋3z ＝6，所以2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z ＝332x ＋2y ＋3z ＝3326＝12，当且仅当2x ＝22y ＝23z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时，等号成立，∴2x ＋4y ＋8z 的最小值为12，故选C.答案：C2．设a >0，b >0，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：∵a >0，b >0，a ＋b ＝3，∴ab 2＝a ×b 2×b 2×4≤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2＋b 233＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 33＝4×13＝4，当且仅当a ＝b2，即a ＝1，b ＝2时，等号成立，∴ab 2的最大值为4. 答案：C3．若x >0，则6x ＋9x2的最小值是( )A ．933B ．3336C ．13D ．不存在解析：∵x >0，∴6x ＋9x 2＝3x ＋3x ＋9x2≥3381＝933，当且仅当3x ＝9x2，即x ＝33时取等号．答案：A4．若a >b >0，则a ＋1ba －b的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．3 3解析：∵a >b >0，∴a ＋1ba －b ＝(a －b )＋b ＋1b a －b ≥33a －b b ·1ba －b＝3，当且仅当a －b ＝b ＝1ba －b，即a ＝2，b ＝1时取等号．答案：A5．(2019·山东潍坊检测)已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析：∵x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋33x 3≥4，…，x ＋n nxn ≥n ＋1，∴a ＝n n ，故选A. 答案：A 二、填空题6．若x >0，y >0，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋y ⎝⎛⎭⎪⎪⎫y x ＋x 的最小值是________． 解析：∵x >0，y >0，xy ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y x ＋x ＝1＋y 2x ＋x 2y ＋xy ≥1＋33y 2x ·x 2y·xy ＝1＋33x 2y 2＝1＋3＝4.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：47．函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________，最小值为________．解析：∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427， ∴y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝±2时取等号．∴y max ＝893，y min ＝－89 3.答案：89 3 －8938．(2019·江苏无锡模拟)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，对于下列不等式：①abc ≤127；②1abc ≥27；③a 2＋b 2＋c 2≥13.其中正确不等式的序号是________．解析：∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，∴abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立，∴①正确；∵0<abc ≤127，∴1abc≥27，②正确；∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，∵a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，③正确．综上所述，正确不等式的序号是①②③. 答案：①②③ 三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正实数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：证法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 证法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3·1bc ＋3·1ab ＋3·1ac ≥6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 10．(2019·河北唐山高二期中)如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x (x >0)，高为h ，由图可知2h ＋3x ＝3， ∴h ＝32(1－x )． ∴该六棱柱容器的容积V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x ) ＝23×332×x 2×x 2×(1－x ) ≤9×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2＋x 2＋1－x 33 ＝13. 当且仅当x 2＝x2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，该正六棱柱容器的容积最大，最大容积为13.。

高为 h，表面积为 S. 则 V＝πr2h， ∴h＝πVr2. ∴S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2rV ＝2πr2＋Vr ＋Vr ≥3 3 2πV2.
即当 2πr2＝Vr ，
3 r＝
2Vπ时表面积最小．此时 h＝2r.
3 即饮料盒的底面半径为 r＝
2Vπ，
高为 2 3 2Vπ时，用料最省．
本课时经常考查算术-几何平均不等式在求最值中的应
n 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[问题思考]
1．满足不等式a＋3b＋c≥3 abc成立的 a，b，c 的范 围是什么？
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0．
2．应用三个正数的算术－几何平均不等式，求最 值应注意什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为 定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
三个正数的算术-几何平均不等式定理，是根据不等式 的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定 理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是 在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备 “一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立 的条件是否保持一致．
已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
[精讲详析] 本题考查三个正数的算术-几何平 均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼 凑出利用其算术-几何平均不等式的条件，然后再求 解．
∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2 ＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2， ∴y2≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247. 当且仅当 2x2＝1－x2＝1－x2，