湖南师大附中2017届高三上学期第三次月考试题 数学(文)含答案

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(三)

数 学(文科)

命题人：贺忠良 洪利民 黄钢 审题人：高三文科数学备课组

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1)集合M＝{x|log2(1－x)<0}，集合N＝{x|－1≤x≤1}，则M∩N等于(D)

(A)1－1，1) (B)10，1) (C)1－1，1] (D)(0，1)

(2)若复数z满足(3＋3i)z＝3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(C)

(A)32－32i (B)32＋32i (C)34－34i (D)34＋34i

(3)在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(C)

(A)12 (B)18 (C)24 (D)30

(4)设a＝20.3，b＝0.32，c＝logx()x2＋0.3(x>1)，则a，b，c的大小关系是(B)

(A)a

(5)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为(A)

(A)13 (B)14 (C)15 (D)16

(6)右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A>0，ω>0，0

(A)向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

(B)向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变

(C)向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

(D)向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 (7)已知函数f(x)＝－x2－ax－5（x≤1）ax（x>1）是R上的增函数，则a的取值范围是(C)

(A)－3≤a<0 (B)a≤－2 (C)－3≤a≤－2 (D)a<0

(8)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则|AF||BF|的值等于(C)

(A)5 (B)4 (C)3 (D)2

(9)函数f(x)＝21＋ex－1cos x的图象的大致形状是(B)

【解析】由题意得，f(x)＝21＋ex－1cos x＝1－ex1＋ex·cos x，所以f(－x)＝1－e－x1＋e－x·cos(－x)＝ex－11＋ex·cos x＝－f(x)，所以函数f()x为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令x＝1，

则f()1＝21＋e1－1cos 1＝1－e1＋ecos 1<0，故选B.

(10)执行如图所示的程序框图，输入p＝10，则输出的A为(C)

(A)－12 (B)10 (C)16 (D)32

【解析】第1次执行循环体：S＝S－2n＋10＝0－2＋10＝8>A＝0，是，A＝S＝8，n＝1≥p＝10，否，n＝2n＝2；

第2次执行循环体：S＝S－2n＋10＝8－4＋10＝14>A＝8，是，A＝S＝14，n＝2≥p＝10，否，n＝2n＝4；

第3次执行循环体：S＝S－2n＋10＝14－8＋10＝16>A＝14，是，A＝S＝16，n＝4≥p＝10，否， n＝2n＝8；

第4次执行循环体：S＝S－2n＋10＝16－16＋10＝10>A＝16，否，n＝8≥p＝10，否， n＝2n＝16；

第5次执行循环体：S＝S－2n＋10＝10－32＋10＝－12>A＝16，否，n＝16≥p＝10，是，输出A＝16，故选C.

(11)在体积为43的三棱锥S－ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，SA＝SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是(B)

(A)823π (B)92π (C)272π (D)12π

【解析】△ABC外接圆圆心为AC中点D，连接SD，则由平面SAC⊥平面ABC及SA＝SC，知SD⊥平面ABC，且球心O在SD上，则13S△ABC×SD＝43，解得SD＝2.设三棱锥S－ABC外接球半径为R，则R＝OS＝OB，所以在Rt△ODB中，OB2＝BD2＋OD2，即R2＝(2)2＋(2－R)2，解得R＝32，

故所求球的体积为V＝43πR3＝92π，故选B.

(12)设x，y满足y≥0ax＋y－1≤03x－2y－2≤0，若z＝x2－10x＋y2的最小值为－12，则实数a的取值范围是(D)

(A)a<32 (B)a<－32

(C)a≥12 (D)a≤－12

【解析】由题意作平面区域如下，

∵z＝x2－10x＋y2＝(x－5)2＋y2－25的最小值为－12，

∴(x－5)2＋y2的最小值为13，直线ax＋y－1＝0恒过点A(0，1)，

直线y＝32x－1与圆(x－5)2＋y2＝13相切于点B(2，2)；

∵ax＋y－1＝0可化为y＝－ax＋1，故－a≥kAB＝12，故a≤－12，故选D.

选择题答题卡

题

号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

答 D C C B A D C C B C B D 案

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

(13)若|a|＝1，||b＝2，c＝a＋b，且c⊥a，那么a与b的夹角为__120°__．

(14)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是__－1__．

【解析】圆的半径是4，△ABC是直角三角形，则圆心C到直线AB的距离为22，

所以||a＋a－2a2＋1＝22，解得a＝－1.

(15)如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为__4＋2π3__．

【解析】相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为13π·2＋2·2·1＝4＋2π3.

(16)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是__32e，1__．

【解析】f(x)<0⇔ex(2x－1)

则题意说明存在唯一的整数x0，使g(x)的图象在直线y＝ax－a下方，g′(x)＝ex(2x＋1)，

当x<－12时，g′(x)<0；当x>－12时，g′(x)>0，

因此当x＝－12时，g(x)取得极小值也是最小值g－12＝－2e－12，又g(0)＝－1，g(1)＝e>0，

直线y＝ax－a过点(1，0)且斜率为a，故－a>g（0）＝－1g（－1）＝－3e－1≥－a－a，解得32e≤a<1.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分12分)

已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4，记f(x)＝m·n.

(Ⅰ)若f(x)＝1，求cosx＋π3的值；

(Ⅱ)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足

(2a－c)cos B＝bcos C，求f(2A)的取值范围．

【解析】(Ⅰ)f(x)＝m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12，

由f(x)＝1，得sinx2＋π6＝12，所以cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12.(5分)

(Ⅱ)因为(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得

(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，所以2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，

所以2sin Acos B＝sin(B＋C)，因为A＋B＋C＝π，

所以sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，所以cos B＝12，又0

则A＋C＝23π，A＝23π－C，又0

所以32

故函数f(2A)的取值范围是3＋12，32.(12分)

(18)(本小题满分12分)

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B－AD－C，如图2.

(Ⅰ)证明：平面ABD⊥平面BCD；

(Ⅱ)设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．

【解析】(Ⅰ)因为折起前AD是BC边上的高，则当△ABD折起后，

AD⊥CD，AD⊥BD.(2分) 又CD∩BD＝D，则AD⊥平面BCD.(3分)

因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.(4分)

(Ⅱ)取CD的中点F，连结EF，则EF∥BD，

所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角．(6分)

连结AF、DE.设BD＝2，则EF＝1，AD＝23，CD＝6，DF＝3.

在Rt△ADF中，AF＝AD2＋DF2＝21.(8分)

在△BCD中，由题设∠BDC＝60°，

则BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝28，即BC＝27，

从而BE＝12BC＝7，cos∠CBD＝BD2＋BC2－CD22BD·BC＝－127.

在△BDE中，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos∠CBD＝13.

在Rt△ADE中，AE＝AD2＋DE2＝5.(11分)

在△AEF中，cos∠AEF＝AE2＋EF2－AF22AE·EF＝12.

所以异面直线AE与BD所成的角为60°.(12分)

(19)(本小题满分12分)

设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝32(an－1)．

(Ⅰ)求a1的值，并求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且b3＋b5＝－8，2b1＋b4＝0.设cn＝an·bn，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：对任意n∈N*，Tn＋n－52·3n＋1是一个与n无关的常数．

【解析】(Ⅰ)当n＝1时，S1＝32(a1－1)，即2a1＝3a1－3，所以a1＝3.(1分)

因为Sn＝32(an－1)，则Sn－1＝32(an－1－1)(n≥2)．

两式相减，得an＝32(an－an－1)，即an＝3an－1(n≥2)．(4分)

所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，故an＝a1·qn－1＝3·3n－1＝3n.(5分)

(Ⅱ)因为b3＋b5＝2b4＝－8，则b4＝－4.又2b1＋b4＝0，则b1＝2.(7分)

设{bn}的公差为d，则b4－b1＝3d，所以d＝－2，所以bn＝2＋(n－1)×(－2)＝4－2n.(8分)

由题设，cn＝(4－2n)·3n，则Tn＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n)·3n.

3Tn＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n)·3n＋(4－2n)·3n＋1.(9分)